программа элективного курса

для 9-го класса

Автор:

Колбышева С.В.

учитель математики

Пояснительная записка

Данная программа предназначена для организации предпро-

фильной подготовки в 9 классе общеобразовательной школы.

Цель данного курса – расширить знания школьников о свой-

ствах

функций,

рассмотреть

различные

приёмы

построения

графиков функций, которые мало представлены в базовом курсе

математики, овладеть основным программным материалом на

более высоком уровне.

Кроме того данный курс поможет создать условия для

формирования и развития у учащихся познавательного интереса к

математике, творческих способностей.

Тема исследования функций, построения и чтения графиков

функций является одной из важнейших для всего курса математики

и

вплотную

связана

с

решением

уравнений,

неравенств,

текстовыми задачами и др. Подобные задачи часто встречаются на

математических олимпиадах и на вступительных экзаменах в вузы.

Материал курса воспитывает интерес к математике, доступен

широкому кругу учащихся.

Изучение курса не требует специальной предшествующей

подготовки.

Изучение курса предполагается в виде лекций, практических

занятий.

Продолжительность курса – 17 часов.

Форма итогового контроля – зачет.

2

Тема занятия

Часы

1.

Понятие функции. Способы задания функции.

1

2.

Свойства функции

2

3.

Преобразования графиков функций.

2

4.

Функции у =



х



, у = [x], y = {x}.

1

5.

Линейная функция.

1

6.

Квадратичная функция. Интересные свойства параболы.

2

7.

Дробно – линейная функция. Интересные свойства гиперболы.

1

8.

Степенная функция.

1

9.

Рациональные функции.

1

10

.

Алгоритм построения графиков сложных функций.

1

11

.

Решение задач.

2

12

.

Итоговый контроль.

2

3

1. Понятие функции. Способы задания функции.

1.Зависимости одной переменной от другой называются функциональными зависи-

мостями.

2.Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому

значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у =



(х).

3.Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а перемен-

ную у – зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.

4.Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функ-

ции.

5.Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область оп-

ределения функции – D(y); все значения, которые принимает зависимая переменная, обра-

зуют множество значений функции – Е(у).

Рассмотрим функцию

.Что разумно считать ее областью определения?

Если функция задана формулой, то рассматривается обычно ее так называемая естес-

твенная область определения, т.е. множество всех чисел, для которых можно выпол-

нить действия, указанные формулой. Извлечь квадратный корень из выражения

(х – 2) можно, только если эта величина неотрицательна, т.е. х – 2



0 или х



2. Зна-

чит, D(y) = [ 2;+

∞

). Т.к. по определению арифметического корня 0





+

∞

, то

прибавив ко всем частям этого неравенства число 3, получим : 3



+3



+

∞

или 3



у



+

∞

. Поэтому Е(у) = [ 3;+

∞

).

6.Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого

значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Таких способов

три: а) аналитический – это способ задания функции с помощью формул;

б) табличный – это способ задания с помощью таблицы;

в) графический – это способ задания с помощью графика.

Графиком функции называется множество всех точек, абсциссы которых равны

значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Всегда, когда нужно выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее

особенности, график, в силу своей наглядности, является незаменимым. Поэтому инженер

или ученый, получив интересующую его функцию в виде формулы или таблицы, обычно

берется за карандаш, набрасывает эскиз графика и смотрит, как ведет себя функция, как

она «выглядит».

2. Свойства функции.

1

.

Монотонность функции.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответ-

ствует большее значение функции (т.е. если х

2



х

1

, то у(х

2

)



у(х

1

)).

Функция называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует

меньшее значение функции (т.е. если х

2



х

1

, то у(х

2

)



у(х

1

)).

4

2

.

Четность функции.

Функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функ-

ции не меняется, т.е. у(-х) = у(х). График четной функции всегда симметричен относи-

тельно оси ординат.

Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента значение функ-

ции также меняется на противоположное, т.е. у(-х) = -у(х). График нечетной функции

всегда симметричен относительно начала координат.

3

.

Периодичность функции.

Функция называется периодической с периодом Т (Т



0), если для всех х выполня-

ется равенство у(х+Т) = у(х-Т) = у(х). Чтобы изобразить график периодической функции,

нужно построить часть его на отрезке [0,T], а затем продолжить ее периодически на всю

действительную ось.

4.Ограниченность функции.

Функция называется ограниченной снизу, если все значения функции не меньше

некоторого числа А, т.е. у(х)



А.

Функция называется ограниченной сверху, если все значения функции не больше

некоторого числа А, т.е. у(х)



А.

Если функция ограничена и снизу и сверху, то она называется ограниченной.

5

3. Преобразование графиков функций.

Зная график некоторой функции и правила преобразования графиков, можно постро-

ить график гораздо более сложной функции.

Пусть дан график функции у =



(х).

1.



(

х

)



a



(

х

).

При

a



1 график функции у =

a



(х) получается из графика

функции у =



(х) растяжением в

a

раз вдоль оси ординат и при 0



a



1 сжатием в 1



a

раз

вдоль этой же оси.

2.



(

х

)





(

b

х

).

При b



1 график функции у =



(bх) получается сжатием графика

функции у =



(х) в b раз к оси ординат и при 0



b



1 растяжением в 1



b раз от этой же оси.

3

.



(

х

)





(-

х

).

График функции у =



(-х) получается симметрией графика функции

у =



(х) относительно оси ординат.

4

.



(

х

)



-



(

х

).

График функции у = -



(х) получается симметрией графика функции

у =



(х) относительно оси абсцисс.

5

.



(

х

)





(

х)

+

с.

График функции у =



(х) + с получается сдвигом графика функ-

ции у =



(х) вдоль оси ординат на



с



единиц. Направление сдвига определяется знаком

числа с (при с



0 график сдвигается вверх, при с



0 – вниз).

6

6

.



(

х

)





(

х +

n

).

График функции у =



(х + n) получается сдвигом графика

функции у =



(х) вдоль оси абсцисс на



n



единиц. Если n



0, график сдвигается влево,

если n



0, график сдвигается вправо.

7

.



(

х

)





(



х



).

График функции у =



(



х



) получается из графика функции

у =



(х), если оставить без изменения часть графика,

лежащую справа от оси ординат и отразить эту же

часть симметрично этой же оси.

8

.



(

х

)







(

х

)



.

График функции у =





( х )



получается из графика функции у =



(х), если оставить без изменения части графика, лежащие

выше оси абсцисс, а участки, лежащие ниже этой оси,

отразить симметрично этой же оси.

4. Функции

у

=



х



,

у

= [

x

],

y

= {

x

}.

Функция у =



х



.

По определению абсолютной величины: если х



0, то у = х, а

графиком функции у = х при х



0 служит биссектриса первого

координатного угла. Так как функция у =



х



- четная, график

этой функции симметричен относительно оси ординат.

Функция у

= [

x

]

,

она называется «целая часть х».

Если 0



х



1, то у = [x] = 0,

если 1



х



2, то у = [x] = 1,

если -1



х



0, то у = [x] = -1 и т.д.

График функции у = [x] состоит из бесконечного множества го-

ризонтальных отрезков, правые концы этих отрезков не принад-

лежат графику, левые же концы принадлежат и поэтому обозна-

чаются черной точкой.

Функция у =

{

x

}

.

Так как {x+1} = {x}, поэтому достаточно сначала построить ветвь

графика на любом

промежутке

длиной 1, например на [0, 1)(рис. а).

Если 0



х



1, то [x] = 0, а потому

{x} = х. График функции у = {x} на

всей числовой оси (рис. б).

а) б)

Примерные задания: 1)Построить графики функций у =



х



+ 1, у =



3х - 2



2) Построить графики функций у = 4 - 2



х



, у =



4 - 2



х



.

7

5. Линейная функция.

Функция, заданная формулой у = kх + b, где k и b – заданные числа, называется

линейной функцией.

Область определения линейной функции – множество R всех действительных чисел.

График линейной функции – прямая. Для построения графика достаточно найти ко-

ординаты двух точек, например (0;b) и (

;0).

Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая у = kх + b с положи-

тельным направлением оси Ох, поэтому k называют угловым коэффициентом. Если k



0,

то этот угол острый; если k



0, то – тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

Примерные задания:1)График линейной функции проходит через точки А(2;3) и

В(-1;-3). Найти функцию.

2)Построить графики функций у =2



х - 3



, у =



х + 1



+



х – 2



.

3)Построить график функции

.

6. Квадратичная функция .

Функция

, где

- заданные числа,

, называется

квадратичной функцией.

График квадратичной функции - парабола, ветви параболы направлены вверх при

a



0

и вниз при

a



0

. Для построения графика достаточно найти координаты вершины

параболы и точки пересечения параболы с осями координат.

Координаты вершины параболы: х

о

=

; у

о

= у(х

о

).

Ось симметрии х = х

о

.

При

a



0

:

1)Функция возрастает на [х

о

; +

∞

) и убывает на (-

∞

; х

о

];

2)х

о

– точка минимума, у

о

– наименьшее значение;

3)Е(у) = [у

о

; +

∞

).

При

a



0

:

1)Функция возрастает на (-

∞

;х

о

] и убывает на [x

о

; +

∞

);

2)х

о

– точка максимума, у

о

– наибольшее значение;

3)Е(у) = ( -

∞

; у

о

].

Пересечение графика квадратичной функции с осью абсцисс определяется знаком

дискриминанта

. При этом возможны три случая:

1)

если D



0, то график пересекает ось Ох в двух точках;

2)

если D = 0, то график имеет только одну точку, принадлежащую оси Ох, т.е. каса-

ется оси абсцисс;

3)

если D



0, то график не пересекает оси Ох.

8

Интересные свойства параболы

.

1. Любая точка параболы равноудалена от некоторой точки, называемой фокусом

параболы, и некоторой прямой, называемой её директрисой.

2. Если вращать параболу вокруг оси её симметрии (например, параболу

вокруг оси Оу , то получается очень интересная поверхность, которая называется парабо-

лоидом вращения.

3. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит

по параболе.

4. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной

его образующей, то в сечении получится парабола.

5. В парках культуры устраивают иногда забавный аттракцион "Параболоид чудес".

Каждому из стоящих внутри вращающегося параболоида кажется, что он стоит на полу, а

остальные люди каким-то чудом держатся на стенках.

(Опыты, описанные в пунктах 4 и 5, основаны на одном и том же свойстве парабо-

лоида: если вращать параболоид с подходящей скоростью вокруг его оси, расположенной

вертикально, то равнодействующая центробежной силы и силы тяготения и любой точке

параболоида направлена перпендикулярно к его поверхности).

Примерные задания: 1)При каких значениях

a

график функции

пересекает ось абсцисс или имеет с ней общую точку?

2)Решить неравенства: а)

; б)

.

3)Построить графики функций: а)

; б)

;

в)

.

4)Построить график функции

.

7. Дробно - линейная функция .

Функция

, где

- заданные числа,

, называется

дробно – линейной функцией.

9

График дробно – линейной функции - гипербола.

В школе изучается частный случай функции – обратная пропорциональность

,

(

, при

). Для такой зависимости при изменении х в несколько раз

значение у меняется во столько же раз, а b – коэффициент обратной пропорциональ-ности.

Для построения графика дробно – линейной функции достаточно найти точки пере-

сечения графика с осями координат и асимптоты (вертикальную и горизонтальную).

При этом ветви гиперболы расположены в диаметрально противоположных частях

областей между асимптотами.

Построим график функции

.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

А(0;3), В(

;0).Отметим эти точки.

Определим асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота задается условием, что знаме-

натель функции обращается в 0, т.е. 1 – х = 0 или х = 1.

Поэтому х = 1 – уравнение вертикальной асимптоты (1).

Горизонтальная асимптота определяется поведением

при больших значениях



х



. В этом случае числитель

функции 2х + 3



2х, знаменатель 1 – х



-х. Поэтому

функция у приблизительно равна

. Прямая

у = -2 – горизонтальная асимптота ( 2 ).

Вертикальная и горизонтальная асимптоты пересекаются в точке С (1;-2). Ветви ги-

перболы должны быть симметричны относительно этой точки С. Ветви гиперболы пере-

секать асимптоты не могут.

Начинаем построение с левой ветви гиперболы. Она должна пройти через точки А и

В и приближаться неограниченно как к вертикальной, так и к горизонтальной асимптотам.

Полученную ветвь гиперболы симметрично отражаем относительно точки С.

График дробно – линейной функции состоит из двух ветвей гиперболы.

Уравнения асимптот можно находить по формулам

и

.

Интересные свойства гиперболы.

10

1. Гипербола есть геометрическое место точек М, разность расстояний которых до

двух заданных точек F

1

и F

2

, называемых фокусами, по абсолютной величине равна задан-

ному числу.

2. Комета или метеорит, залетевшие в солнечную систему, движутся по ветви гипер-

болы. В фокусе находится Солнце. Одна асимптота дает направление, в котором комета

прилетает, вторая - направление, в котором она покидает солнечную систему.

3. При бомбардировке атомного ядра



- частица, пролетающая мимо ядра, движется

по гиперболе.

4.Если вращать гиперболу вокруг её оси симметрии, не пересекающей её ветвей, то

получится поверхность, называемая однополостным гиперболоидом. Эта поверхность об-

ладает удивительным свойством: она "соткана" из прямых линий. Ажурная мачта москов-

ского телецентра составлена из "кусков" таких гиперболоидов, целиком сделанных из

стальных стержней.

5. Если вращать гиперболу вокруг другой оси симметрии, то получится поверхность,

состоящая из двух "кусков" - двуполостный гиперболоид. Именно его имел в виду А.Тол-

стой в своем романе "Гиперболоид инженера Гарина". Впрочем, нужным инженеру Гари-

ну свойством - собирать лучи в параллельный пучок - обладает на самом деле не гипербо-

лоид, а параболоид. Так что правильней было бы назвать книгу "Параболоид инженера

Гарина".

6. Если подходящим образом пересечь бесконечный конус плоскостью, то в сечении

получится гипербола. Если у Вас есть лампа с круглым абажуром, Вы можете в этом

убедиться. Лампа освещает часть стены, ограниченную куском гиперболы.

Примерные задания:1)Построить графики функций: а)

; б)

.

2) Построить графики функций: а)

; б)

; в)

.

8. Степенная функция .

Функция

, где

- заданные числа,

, n –целое или рациональное

число называется степенной.

С некоторыми из этих функций уже знакомы:

(n = 2 – квадратичная функция)

(n = -1 – обратная пропорцио-

нальность).

Наиболее распространенные частные случаи степенной функции:

и

.

Функция у = х

3

.

Область определения и множество значений функции – вся числовая ось.

Функция неограниченная и возрастающая.

Функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.

График этой функции – кубическая парабола.

Функция у =



х.

Область определения и множество значений функции – [0; +

∞

).

Функция ни четна, ни нечетна.

Функция ограничена снизу и возрастает на [0; +

∞

).

Примерные задания:1)Какие из графиков следующих функций имеют центр симмет-

рии, какие – ось симметрии:

;

;

;

?

2)Построить графики функций:

11

а)

;б)

;в)

;г)

; д)

.

9. Рациональные функции.

Функции, которые можно представить в виде частного двух многочленов,

называются рациональными.

Примеры рациональных функций:

;

;

.

Построим схематически график функции

.

Построим сначала графики числителя у = х и знаменателя

.

Для построения графика данной функции нужно зна-

чения числителя делить на значения знаменателя.

При х = 0 числитель равен нулю – график проходит через

начало координат.

Рассмотрим положительные значения аргумента. Т.к. величина

х

2

много меньше х при очень маленьких х, то при выходе из на-

чала координат знаменатель будет почти равен единице; поэто-

му вся функция будет примерно равна числителю х – график

пойдет рядом с прямой у = х, постепенно от нее отставая.

Вскоре,

начинает расти быстрее, чем х, знаменатель ста-

новится больше, чем числитель и дробь начинает уменьшаться -

график заворачивает вниз.

Т.к. в числителе стоит х в первой степени, а в знаменателе х

2

, то

при больших значениях х знаменатель растет быстрее числите-

ля. Поэтому значение дроби с увеличением х становится все

меньше – график приближается к оси абсцисс.

Левую половину графика (при отрицательных значениях ар-

гумента) можно построить, заметив, что данная функция – не-

четная.

Примерные задания: Построить графики функций

;

.

10. Алгоритм построения графиков сложных функций.

12

Комната смеха

Таблица посвящена основным преобразованиям графиков функций: сдвиг и растя-

жение по осям, функция от модуля и модуль функции.

Один график в центре таблицы как бы отражается в ряде кривых зеркал (разумеется,

в настоящих зеркалах мы не могли бы видеть все изображения одновременно при таком

их расположении). Имеющиеся на чертежах элементы «лица» позволяют более отчетливо

представить себе, что же именно происходит с графиком при данном преобразовании

(сдвиге или растяжении).

С помощью данной таблицы можно также познакомить учащихся с алгоритмом

построения графиков сложных функций, который предложен преподавателем Оренбург-

ского педагогического института В.Ю. Шадриным. Кратко изложим этот алгоритм, пока-

зав его действие на примере графика функции

Для построения графика поступаем следующим образом.

1.Избираем опорную функцию, удовлетворяющую двум условиям:

а) ее график должен быть известен;

б) график данной функции получается из графика опорной функции с помощью

уже известных преобразований.

В рассматриваемом примере опорной может быть функция

.

2.Определяем порядок действий, которые нужно выполнить с аргументом опорной

функции (обозначим эти действия A

1

, А

2

, ... - от слова аргумент), и порядок действий, ко-

торые нужно выполнить с самой опорной функцией (обозначим их Ф

1

, Ф

2

, ... - от слова

функция), чтобы в результате получилась заданная функция.

В нашем случае эти действия таковы:

А

1

- сложение с числом 4;

А

2

- взятие модуля;

А

3

- умножение на число 3;

Ф

1

- умножение на число 2;

Ф

2

- вычитание числа 5.

3. Составляем из действий А

i

и Ф

j

последовательность, удовлетворяющую следую-

щим двум условиям:

а) действия Ф

j

в последовательности располагаются в порядке возрастания j;

13

б) действия A

i

располагаются в порядке убывания i. В рассматриваемом примере

можно выбрать любую из следующих последовательностей:

1)A

3

,А

2

, A

1

,Ф

1

,Ф

2

;

2)Ф

1

, Ф

2

, А

3

, А

2

, А

1

;

3)А

3

, Ф

1

, А

2

, Ф

2

, A

1

;

4)A

3

, А

2

, Ф

1

, Ф

2

, A

1

и т. д., всего 10 последовательностей.

4.Преобразуем график опорной функции в соответствии с выбранной последователь-

ностью действий. В нашем примере четырем выписанным последовательностям действий

соответствуют следующие цепочки преобразований графика:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

.

11. Рисуем графиками функций.

Рисуя графиками простейших функций, заданных на отрезках, можно получить

любой рисунок.

Очки:

Литература:

1.«Математика», №12/97; №4/98; №7/98; №12/98; №22/98; №7/99;

№15/99; №18/99, №22/99, №23/99, №24/99 учебно – методическое

приложение к газете «Первое сентября».

14

2.А.Н.Рурукин. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по

математике (выпускной, вступительный, ЕГЭ). Москва «ВАКО», 2004.

3.И.М.Гельфанд, Е.Г.Глаголева, Э.Э.Шноль. Методические разработки

для учащихся ВЗМШ при МГУ. Москва, 1984.

4.Пособие по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие/

Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. – Под

редакцией Г.Н. Яковлева. – 3-е изд., перераб. – М.: Наука. гл. ред. физ.-

мат. лит., 1988.

15

16

17