МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ

РЯЗАНСКОЙ ОБЛАСТИ

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«РЯЗАНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Цикловая методическая комиссия естественнонаучных дисциплин

Серапегина В.Д.

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

09.02.07 Информационные системы и программирование,

09.02.06 Сетевое и системное администрирование

Рязань, 2024

Введение

Теория вероятностей возникла в XVII веке в работах Паскаля, Ферма, Гюйгенса,

причём её первоначальное развитие связано с исследованиями азартных игр. И в

настоящее время при изучении и применении теории вероятностей азартные игры

«используются» довольно широко. Дело в том, что случайные события, встречающиеся в

азартных, играх имеют ряд преимуществ. Они отличаются простотой, дают возможность

чётко поставить задачу, не загромождая её побочными факторами, присущими той или

иной

специальной

области

знаний.

Наконец,

они

обеспечивают

возможность

неограниченной экспериментальной проверки полученных закономерностей, так как

именно в азартных играх можно сколько угодно раз ставить один и тот же опыт.

Случайные события, связанные с азартными играми, служат чрезвычайно удобными

моделями при изучении более сложных и, главное, более важных практических задач.

Теория вероятностей, начав свой путь с анализа ситуаций, возникающих в

азартных играх, с выдачи рекомендаций игрокам в кости, превратилась в науку, без

которой сейчас не обходится ни физика, ни астрономия, ни экономика, ни лингвистика, ни

биология, ни медицина, ни информатика.

Выдающую роль в становлении теории вероятностей как математической науки

сыграли Я. Бернулли, А. Муавр, П. Лаплас, К. Гаусс, С. Пуассон. Большой вклад в её

развитие внесли русские учёные А.А. Марков, А.М. Ляпунов; ряд основополагающих

результатов в различных областях теории вероятностей получен советским математиком

А.Н. Колмогоровым.

2

Элементы комбинаторики.

Комбинаторными задачами принято называть задачи, в которых необходимо подсчитать,

сколькими способами можно осуществить то или иное требование, выполнять какое-либо

условие, сделать тот или иной выбор.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает

«соединять», «сочетать». Методы комбинаторики находят широкие применения в физике,

химии, биологии, экономике и других областях знаний.

Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи:

Пример №1:

Группу студентов колледжа должна экзаменовать по математике комиссия из двух

преподавателей. Сколькими способами может быть составлена такая комиссия, если в

колледже пять преподавателей математики.

Решение: Обозначим преподавателей буквами A, B, C, D, E. Выпишем все возможные

экзаменационные комиссии AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE.

Получили 10 вариантов составления экзаменационной комиссии.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют

перебором возможных вариантов.

Этим способом неудобно пользоваться, когда получается большое число возможных

вариантов.

Пример №2:

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, используя в записи числа

каждую из них не более одного раза?

Решение: Составляем все числа, которые начинаются с цифры 1: 123, 124, 132, 134, 142,

143.

Аналогично составим числа, которые начинаются с цифры 2, с цифры 3, с цифры 4.

Полученные результаты запишем в четыре строки

123, 124, 132, 134, 142, 143

213, 214, 231, 234, 241, 243

312, 314, 321, 324, 341, 342

412, 413, 421, 423, 431, 432

Следовательно, из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить 24 трёхзначных числа, в записи

которых цифры не повторяются.

Проведённый перебор вариантов можно проиллюстрировать на схеме:

3

Первая цифра:

Вторая цифра:

Такую схему называют деревом возможных вариантов.

Ответ на вопрос в примере 2 можно получить, не выписывая сами числа. Можно

рассуждать так:

Первую цифру можно выбрать четырьмя способами. После выбора первой цифры

останется три, значит, вторую цифру можно выбрать уже тремя способами, третью цифру

можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Значит, общее число искомых

трёхзначных чисел равно произведению

4 ×3 ×2

, то есть 24. Для ответа на поставленный

вопрос мы получили так называемое комбинаторное правило умножения.

Пусть имеется n элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если

первый элемент можно выбрать

n

1

способами, после чего второй элемент можно выбрать

n

2

способами из оставшихся и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все

k элементов, равно произведению

n

1

∗

n

2

∗

n

3

…n

k

.

При решении комбинаторных задач речь идёт о некотором конечном множестве и о

количестве его подмножеств, удовлетворяющих некоторым заданным требованиям.

В комбинаторных задачах всегда необходимо подсчитать число всех подмножеств

данного множества, удовлетворяющих определённым условиям, но в одних задачах

подмножества, отличающиеся только установленным в них порядком следования

элементов, приходится считать различными, в других порядок следования элементов не

важен и подмножества, отличающиеся только расположением элементов, не считаются

различными.

Перестановки.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение из этих элементов в

определённом порядке. Число перестановок из n элементов обозначают символом Pn

(читается «P из n») и вычисляется по формуле: Pn=n! (читается «n факториал»).

Примечание:

n !

=

n

(

n

−

1

)(

n

−

2

)

×2 ×1

3 !

=

3× 2× 1

=

6

5 !

=

5× 4 × 3 ×2 ×1

=

120

Пример №1:

Курьер должен разнести пакеты в 5 различных учреждений. Сколько

маршрутов он может выбрать?

Решение:

P

5

=

1 ×2 ×3 × 4 × 5

=

120

. Существует 120 маршрутов доставки пакетов в 5

различных учреждений.

Пример №2:

сколько различных четырёхзначных чисел, в которых цифры не

повторяются, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5?

Решение: Из цифр 0, 1, 3, 5 можно получить

P

4

перестановки.

Из них надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное

число не может начинаться с цифры 0.

Число таких перестановок

P

3

.

P

4

−

P

3

=

4 !

−

3!

=

1 ×2 ×3 × 4

−

1× 2× 3

=

24

−

6

=

18

Можно составить 18 различных четырёхзначных чисел, в которых цифры не

повторяются из четырёх цифр 0, 1, 3, 5.

Пример №3: Имеются девять различных книг, четыре из которых словари. Сколькими

способами можно расставить эти книги, чтобы все словари стояли рядом?

4

Решение: Рассмотрим все словари как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не

девять, а шесть книг. Это можно сделать

P

6

способами. В каждой из полученных

комбинаций можно переставить словари, т.е. получим

P

4

перестановок словарей. Значит

искомое число способов расположения книг на полке равно

P

6

× P

4

.

P

6

∗

P

4

=

6!

∗

4 !

=

720

∗

24

=

17280.

Размещения.

Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k

элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов. Число размещений из

n элементов по k обозначают

A

n

k

(читается: «A из n по k») и вычисляется по формуле

A

n

k

=

n !

(

n

−

k

)

!

Формула верна, когда k=n, т.к. 0!=1. Размещения из n элементов по n отличаются друг от

друга только порядком элементов, т.е. представляют собой перестановки из n элементов,

т.е.

A

n

n

=

n !

Пример №1:

Студенты второго курса изучают 10 дисциплин и профессиональных

модулей. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём

было 3 различных предмета?

Решение: Любое расписание, составленное на один день из 3 предметов, отличается от

другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Следовательно, в данной

задаче речь идёт о размещениях из 10 предметов по 3.

A

10

3

=

10 !

(

10

−

3

)

!

=

10 !

7 !

=

8× 9 ×10

=

720

способов.

Расписание можно составить 720 различными способами.

Пример №2: Сколько трёхзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно

составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, 8, 9?

Решение: Если среди семи цифр нет нуля, то трёхзначных чисел (без повторения цифр)

можно получить, найдя число размещений из 7 элементов по 3. Так как среди данных

чисел есть 0, с которого не может начинаться число, поэтому из размещений из 7

элементов по 3 надо исключить те, которых первым элементом является цифра 0. Их

число равно числу размещений из 6 элементов по 2. Тогда искомое число трёхзначных

чисел равно:

A

7

3

−

A

6

2

=

7 !

4 !

−

6 !

4 !

=

5× 6 ×7

−

5 ×6

=

180

Из данных чисел можно составить 180 трёхзначных чисел (без повторения цифр).

Сочетание.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k

элементов, выбранных из данных n-элементов.

Число сочетаний из n элементов по

k обозначается

C

n

R

(читается: «C из n по k») и

вычисляется по формуле

C

n

R

=

n!

R !

(

n

−

R

)

!

(

k ≤ n

)

5

Пример №1: Из набора, состоящего из 12 красок, надо выбрать 4 для окрашивания

новогодних гирлянд. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: Каждый выбор 4 красок отличается от другого хотя бы одной краской

C

12

4

=

12 !

4 !

(

12

−

4

)

!

=

12!

4 ! 8!

=

9 ×5 ×11

=

495

4 краски из 12 можно выбрать 495 способами.

Пример №2: В группе учатся 6 юношей и 15 девушек. Для участия в конференции по

математике требуется выделить двух юношей и 5 девушек. Сколькими способами можно

это сделать?

Решение: Выбрать двух юношей из 7 можно:

С

6

2

=

6 !

2!

(

6

−

2

)

!

=

6!

2! 4 !

=

5 ×6

2

=

15

способами.

Выбрать 5 девушек из 15 можно:

C

15

5

=

15 !

5 !

(

15

−

5

)

!

=

15 !

5 ! 10 !

=

13 × 11×7 ×3

=

3003

способами.

Тогда выбор студентов, о котором идёт речь в задаче, можно найти

C

6

2

× C

15

5

способами

C

6

2

× C

15

5

=

15 ×3003

=

45045

способами.

Задания для самостоятельной работы:

1.

Укажите все способы, какими можно разложить три груши в две вазы (учтите при

этом случаи, когда одна из ваз окажется пустой).

2.

Стадион имеет четыре входа: A, B, C, D. Укажите все возможные способы, какими

посетитель может войти через один вход, а выйти через другой. Сколько таких

способов?

3.

Сколькими способами можно составить все возможные двухзначные числа из

указанных цифр, используя в записи числа каждую из них не более одного раза: а)

1, 5, 7; б) 0, 2, 4.

4.

В кафе имеются три первых блюда, четыре вторых блюда и два третьих.

Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого,

второго и третьего блюд?

5.

Найдите значения выражений: а)

10!

8!

; б)

15 !

3!

∗

5 !

; в)

32!

4 ! 6 !

; г)

2!

∗

32 !

36 !

; д)

14 !

∗

7 !

21!

6.

Сколькими способами 5 человек могут встать в очередь в регистратуру

поликлиники?

7.

Сколько различных двухзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4?

8.

Сколько различных перестановок можно образовать из букв следующих слов: а)

прямоугольник; б) ромб; в) квадрат; г) параллелограмм.

9.

Сколькими способами можно разложить на полке 10 книг, 4 из которых сборники

сказок так, чтобы сборники сказок стояли рядом в произвольном порядке?

10. Сколькими способами можно разложить в ряд 5 белых и 4 чёрных шара так, чтобы

чёрные шары не лежали рядом? Шары одного цвета неотличимы друг от друга.

11. На семь сотрудников выделили четыре путёвки. Сколькими способами их можно

распределить, если: а) все путёвки одинаковы; б) все путёвки различны?

12. В почтовом ящике 38 отделений. Сколькими способами можно положить в ящик 35

одинаковых открыток так, чтобы в каждом отделении было не более одной

открытки?

6

13. В розыгрыше первенства по футболу сыграно 153 матча. Каждые две команды

встречались между собой один раз. Сколько команд участвовало в розыгрыше

первенства?

14. В группе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами

можно выбрать из них троих для участия в математической олимпиаде?

15. Во взводе 3 сержанта и 30 солдат. Сколькими способами можно выделить одного

сержанта и трёх солдат для патрулирования?

16. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих.

Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестёрку, состоящую

из вратаря, двух защитников, трёх нападающих?

17. Номер машины в некотором городе составляют из двух различных букв, взятых из

набора К, М, Н, К, Т и трёх различных цифр. Сколько машин можно обеспечить

такими номерами?

18. Подсчитано, что существует 378 способов выбора из группы двух дежурных.

Сколько студентов в группе?

19. Из группы туристов четырёх дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом

способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?

Случайные события. Виды случайных событий.

Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое событие,

которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.

Если рассмотреть пример с подбрасыванием монеты, то случайными событиями будут

выпадение орла или решки. Случайными событиями являются так же выпадения

«шестёрки» при бросании игральной кости, «выход» из строя какого-либо прибора в

течение определённого времени, гибель клетки под действием радиоактивного облучения.

Во всех перечисленных случаях невозможно предсказать заранее, до опыта, произойдёт

или не произойдёт соответствующее событие, так как результат зависит от слишком

многих факторов, учесть которые не представляется возможным. Никакая наука, в том

числе и математика, не претендует на то, чтобы делать какие-либо предсказания,

относительно исхода какого-либо одного подобного эксперимента. Изучать случайные

события можно только тогда, когда есть хотя бы принципиальная возможность повторить

опыт

многократно,

и

каждый

раз

фиксировать

произошло

или

не

произошло

рассматриваемое событие.

Относительной

частотой

случайного

события

в

серии

испытаний

называется

отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний.

Пример 1. Французский естествоиспытатель Бюффон, изучая случайные события, провёл

опыт с подбрасыванием монеты 4040 раз. Герб выпал в 2048 случаях. Значит

относительная частота случайного события «выпадения герба» в данном эксперименте

равна:

2048

4040

≈ 0,507 ≈ 0 ,5

Пример 2. По теории Менделя при скрещивании жёлтого гороха с жёлтым, примерно в

одном случае из четырёх получается зелёный горох. Для проверки этой теории опыт по

скрещиванию жёлтого гороха был проведён 34153 раза. В 8506 случаях получится

7

зелёный горох. Относительная частота случайного события «появления зелёного гороха»

в произведённом эксперименте равна

8506

34153

≈ 0,252 ≈ 0 ,25

Эксперименты, рассматриваемые в примерах 1, 2 повторялись много раз, и всякий раз,

когда число проводимых опытов было достаточно велико, относительная частота события

«выпадения герба» оказывалась близкой к 0.5, а относительная частота события

«появление зелёного гороха» мало отличалась от 0,25.

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который

называется теорией вероятностей.

Пример 1. Если в урне находятся только белые шары, а опыт заключается в извлечении

наудачу шара из урны, то событие «извлечён белый шар» является достоверным, а

событие «извлечён чёрный шар» - невозможным.

События А и В называются равносильными (равными), если А происходит тогда и

только тогда, когда происходит В. Равносильные события соединяют знаком равенства,

т.е. А=В.

Пример 2. В опыте с подбрасыванием игральной кости событие «выпала шестёрка» и

событие «выпала грань с наибольшим возможным номером» равносильны.

Для каждого события А можно рассматривать событие, заключающееся в том, что

событие А не произошло. Его называют противоположным к А и обозначают

А

.

Пример 3. Если опыт состоит в том, что стрелок производит выстрел по мишени, то

событие «мишень поражена» и событие «стрелок не попал в мишень» являются

противоположными друг другу.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление

других событий в одном и том же испытании.

Пример 1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной

детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная

деталь» и «появилась нестандартная деталь» - несовместимые.

Пример 2. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События

«появился герб» и «появилась надпись» - несовместимые.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится

хотя бы одно из них.

Появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате

испытания появится одно и только одно из этих событий.

Пример 1. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдёт

одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал

на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на

оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу

попарно несовместимых событий.

Пример 2. Стрелок произвёл выстрел по мишени. Обязательно произойдёт одно из

следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместимых события образуют

полную группу.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не

изменяют вероятности события В. Несколько событий называют попарно независимыми,

8

если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимыми,

если независимы события А и В, А и С, В и С.

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает

появление другого в одном и том же испытании.

Пример. Событие А – появление шести очков при бросании игральной кости. Событие В

– появление чётного числа очков на игральной кости. События А и В совместные.

Классическое определение вероятности.

Если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом

испытании равно отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех

равновозможных исходов. Это определение можно представить в виде формулы:

P

(

A

)

=

m

n

, где m – число благоприятных исходов, n – число всех равновозможных исходов. Данная

формула читается так:

«Вероятность события А равна

m

n

≫

; Р – первая буква английского слова «probabilite»,

что означает «вероятность»». Из определения видно, что

0 ≤ P

(

A

)

≤ 1

. Вероятность

достоверного события равна 1. Вероятность невозможного события равна 0.

Пример 1. Найдём вероятность того, что при подбрасывании двух монет на обеих

монетах выпадет решка.

Решение: при одновременном подбрасывании двух монет равновозможными являются

следующие исходы:



На обеих монетах выпадет решка



На обеих монетах выпадет орёл



На первой монете выпадет орёл, а на второй решка



На первой монете выпадет решка, а на второй орёл

Благоприятным для события А, состоящего в том, что на обеих монетах выпадет решка,

является один исход из четырёх возможных, значит

P

(

A

)

=

1

4

Пример 2. Среди 100 ламп 5 испорченных. Какова вероятность того, что выбранные

наудачу 3 лампы окажутся исправными?

Решение: пусть А – событие, при котором 3 выбранных лампы окажутся исправными.

Любой выбор трёх ламп из ста является равновозможным исходом. Общее число

равновозможных исходов равно числу сочетаний из 100 по 3, т.е.

С

100

3

.

Исходом, благоприятным для события А является выбор трёх исправных ламп из 95 ламп

(100-5=95). Значит, число благоприятных исходов для события А равно числу сочетаний

из 95 по 3, т.е.

С

95

3

Р

(

А

)

=

С

95

3

С

100

3

=

95!

3 !

(

95

−

3

)

!

100 !

3 !

(

100

−

3

)

!

=

95 !

3 ! 92!

100 !

3! 97 !

=

93 × 94 × 95

3 !

:

98 ×99 ×100

3!

=

93 × 94 ×95

3 !

∗

3!

98 × 99× 100

=

93 × 94 × 95

98× 99 ×100

=

31 ×47 × 19

49 × 33× 20

=

27683

32340

≈ 0 ,86

Задания для самостоятельной работы:

1.

Из урны, в которой находятся 3 белых, 5 чёрных и 4 красных шаров, наудачу

вынимается один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) белым;

б) чёрным; в) зелёным; г) красным?

9

2.

Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма

очков, выпавших на двух кубиках, окажется равной 6?

3.

В лотерее из 56 билетов 10 выигрышных. Какова вероятность того, что

среди первых пяти наугад выбранных билетов, два будут выигрышными?

4.

Первенство по баскетболу разыгрывают 18 команд, среди которых две

команды экстра-класса. Для уменьшения общего числа игр команды, путём

жеребьёвки, разбиваются на две равные группы. Какова вероятность того, что две

команды экстра-класса окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе?

5.

Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало

число очков больше, чем 4?

6.

На клавиатуре телефона 10 цифр – от 0 до 9. Какова вероятность того, что

случайно нажатая цифра окажется чётной?

7.

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10

до 19 делится на 3?

8.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии,

7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 спортсменов из Норвегии.

Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите

вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из

Швеции.

9.

Группа туристов, в которой 7 юношей и 4 девушки, выбирает по жребию

четырёх дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 юноши и 2

девушки?

10. В коробке лежат 8 зелёных карандашей и 4 жёлтых. Из коробки наугад вынимают 5

карандашей. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся зелёными и 2 – жёлтыми.

Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая

вероятность.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных

исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания,

число возможных исходов которых бесконечно. В каких случаях классическое

определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность

классического определения.

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто

невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных

событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные

события равновозможными. Обычно, о равновозможности элементарных исходов

испытания говорят из соображений симметрии. Например, предполагают, что

игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из

однородного материала. Задачи, в которых можно исходить из соображений

симметрии, на практике встречаются весьма редко. Поэтому, кроме классического

определения вероятности, используют и другие определения, в том числе статическое

определение. За статическую вероятность события принимают относительную частоту

или число, близкое к ней. Если в результате достаточно большого числа испытаний

относительная частота весьма близка

числу 0.3, то это число и принимают за

статистическую вероятность события.

10

Все свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и

при статистическом определении вероятности.

Для существования статистической вероятности события А необходимо:

1)

Возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число

испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

2)

Устойчивость относительных частот появления события А в различных

сериях достаточно большого числа испытаний.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической

вероятности. В приведённом примере, в качестве вероятности события, можно принять

не только 0.3, но и 0.29, 0.31 и т.д.

Геометрическая вероятность.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в

том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят

геометрическую вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть

плоскости и т.д.).

Пусть отрезок ℓ составляет часть отрезка α. На отрезок α наудачу поставлена точка.

Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может

оказаться в любой точке отрезка α, вероятность попадания точки на отрезок ℓ

пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно

отрезка α. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок ℓ

определяется равенством

P

=

Длинаl

Длина α

Пример №1. На отрезок ОА длины α числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х).

Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину большую

α

3

.

Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок, пропорциональна длине

отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение:

Разобьём отрезок ОА точками С и D на три равные части. Требование задачи будет

выполнено, если точка В(х) попадёт на отрезок

CD

=

α

3

Искомая вероятность

P

=

α

3

: α

=

1

3

Пусть плоская фигура f составляет часть плоской фигуры F. На фигуру F наудачу

брошена. Это означает выполнение следующих условий: брошенная точка может

оказаться в любой точке фигуры F, вероятность попадания брошенной точки на фигуру f

пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от её расположения,

11

B(x)

Х

O

C

D

A

относительно F, ни от формы f. В этих предположениях вероятность попадания точки в

фигуру f определяется равенством:

P

=

Площадь f

Площадь F

Пример №2. А плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых

10 и 15 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в

большой

круг,

попадёт

в

кольцо,

образованное

построенными

окружностями.

Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна

площади этой фигуры и не зависит от её расположения относительно большого круга.

Решение:

S

круга

=

π R

2

S

большого круга

=

π 15

2

=

225 π

S

малого круга

=

π 10

2

=

100 π

S

кольца

=

S

б . кр

−

S

м.кр

=

225 π

−

100 π

=

125 π

Искомая вероятность:

P

=

S

кольца

S

б .кр

=

25 π

225 π

=

1

9

Задания для самостоятельной работы:

1.

Пункты C и D находятся друг от друга на расстоянии 3,5 км. Телефонная

линия, соединяющая эти пункты, оборвалась в неизвестном месте. Какова

вероятность того, что точка разрыва удалена от точки С не более, чем на 500

м?

2.

На координатной прямой отмечены точки А(0) и В(3). На отрезке наугад

выбрана точка С(х). какова вероятность того, что

0 ≤ х ≤ 1,2

?

3.

На отрезок ОА длины α числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х).

Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину,

меньшую, чем

α

3

. Предполагается, что вероятность попадания точки на

отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения

на числовой оси.

4.

Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определённом

месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждёт второго в

течение

1

4

часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча

состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода в

промежутке от 12 до 13 часов.

5.

Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того,

что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного

треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть

круга

пропорциональна

площади

этой

части

и

не

зависит

от

её

расположения относительно круга.

6.

В треугольнике АВС проведён отрезок DE, параллельный AB. Известно,

что

DE

=

1

3

AB

. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная

точка окажется принадлежащей треугольнику CDE?

7.

Участники игры поочерёдно бросают в мишень дротики (специальные

стрелы). Мишень представляет собой круг, в котором выделены малый круг

и кольцевая зона, причём радиус малого круга вдвое меньше радиуса

большого круга. Найти вероятность того, что при попадании дротика в

мишень, точка попадания окажется в кольцевой зоне.

12

8.

Быстро вращающийся диск разделён на чётное число равных секторов,

попеременно окрашенных в белый и чёрный цвет. По диску произведён

выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадёт в один из белых

секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую

фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

9.

На отрезке ОА длины α числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х)

и С(y). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем

α

2

.

Предполагается,

что

вероятность

попадания

точки

на

отрезок

пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на

числовой оси.

Сложение вероятностей. Теоремы сложения вероятностей.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А,

или события В, или обоих этих событий.

Если орудие произвело два выстрела: А – попадание при первом выстреле, В – попадание

при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в

обоих выстрелах.

Если два события А и В несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного

из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы

одного из этих событий. Например, событие А+В+С состоит в появлении одного из

следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Теорема №1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично

какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р

(

А

+

В

)

=

Р

(

А

)

+

Р

(

В

)

Следствие №1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных

событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

P

(

A

1

+

A

2

+

…

+

A

n

)

=

P

(

A

1

)

+

P

(

A

2

)

+

…

+

P

(

A

n

)

Следствие №2. Сумма вероятностей событий

А

1

,

А

2

, …,

А

n

, образующих полную

группу, равна единице.

P

(

A

1

)

+

P

(

A

2

)

+

…

+

P

(

A

n

)

=

1

Следствие №3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример №1. На экзамене по математике студенту достаётся один вопрос из списка

экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Производная»

равна 0,27. Вероятность того, что это вопрос на тему «Интеграл» равна 0,31. Вопросов,

которые одновременно относятся к этим двум темам нет. Найдите вероятность того, что

на экзамене студенту достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. Определим события:

А – студенту достался вопрос на тему «Производная»

В – студенту достался вопрос на тему «Интеграл»

События А и В несовместны, т.к. по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим

двум темам одновременно. Введём событие С – студенту достался вопрос по одной из

этих тем.

С

=

А

+

В

13

Используя

формулу

сложения

вероятностей

несовместных

событий

Р

(

С

)

=

Р

(

А

)

+

Р

(

В

)

=

0 ,27

+

0 ,31

=

0 ,58

Пример №2.

Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными

работами из городов А, В, С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из

города В 0,2. Найдите вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.

Решение. Определим события:

А – пакет получен из города А;

В – пакет получен из города В;

С – пакет получен из города С.

События А, В, С образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна

единице, т.е. искомую вероятность находим по формуле:

Р

(

А

)

+

Р

(

В

)

+

Р

(

С

)

=

1

0 ,7

+

0 ,2

+

Р

(

С

)

=

1

0 ,9

+

Р

(

С

)

=

1

Р

(

С

)

=

0 ,1

Пример №3. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет)

равна 0,15. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того,

что эта ручка пишет хорошо.

Решение. Определим события:

А – выбранная ручка пишет хорошо

Противоположное событие

А

– выбранная ручка пишет плохо.

Воспользуемся формулой вероятности противоположных событий:

Р

(

А

)

+

Р

(

А

)

=

1

Р

(

А

)

=

1

−

Р

(

А

)

Р

(

А

)

=

1

−

0 ,15

=

0 ,85

Искомая вероятность того, что купленная ручка пишет хорошо, равна 0,85.

Пример №4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников,

причём пять из них в переплёте. Библиотекарь берёт наудачу три учебника. Найти

вероятность того, что хотя бы один из этих учебников окажется в переплёте (событие А).

Решение. Первый способ:

Событие А – хотя бы один из трёх взятых учебников в переплёте. Будет осуществлено,

если произойдёт любое из следующих трёх несовместимых событий: В – один учебник в

переплёте, С – два учебника в переплёте, D – все три учебника в переплёте.

Событие

A

=

B

+

C

+

D

Тогда интересующая нас вероятность

P

(

A

)

=

P

(

B

)

+

P

(

C

)

+

P

(

D

)

По теореме сложения:

P

(

B

)

=

C

5

1

∙C

10

2

C

15

3

=

5!

1!

(

5

−

1

)

!

∙

10 !

2 !

(

10

−

2

)

!

15!

3 !

(

15

−

3

)

!

=

5 !

4 !

∙

10 !

2! 8!

15 !

3 ! 12!

=

5 ∙

9 ∙ 10

2

13∙ 14 ∙ 15

2∙ 3

=

5 ∙ 9∙ 5

13 ∙ 7∙ 5

=

45

91

P

(

C

)

=

C

5

2

∙ C

10

1

C

15

3

=

5 !

2! 3 !

∙

10 !

9 !

15!

3 ! 12 !

=

4 ∙ 5

2

∙ 10

13 ∙14 ∙ 15

2∙ 3

=

100

13 ∙ 7 ∙5

=

20

91

14

P

(

D

)

=

C

5

3

∙C

10

0

C

15

3

=

5 !

3 ! 2!

∙

10 !

10 !

15 !

3 ! 12!

=

4 ∙ 5

2

∙ 1

13∙ 7 ∙ 5

=

2 ∙5

13 ∙ 7 ∙5

=

2

91

P

(

A

)

=

45

91

+

20

91

+

2

91

=

67

91

Второй способ:

Событие А – хотя бы один из взятых учебников в переплёте и

А

– ни один из взятых

учебников не имеет переплёт – противоположные. Тогда

Р

(

А

)

+

Р

(

А

)

=

1

Р

(

А

)

=

1

−

Р

(

А

)

Р

(

А

)

=

С

10

3

∙С

5

0

С

15

3

=

10 !

3 ! 7 !

∙1

15 !

3 ! 12!

=

8∙ 9 ∙ 10

2 ∙ 3

13 ∙ 14 ∙ 15

2 ∙ 3

=

8 ∙3 ∙ 5

13 ∙7 ∙ 5

=

24

91

P

(

A

)

=

1

−

P

(

A

)

=

1

−

24

91

=

67

91

Произведение событий

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном

появлении этих событий.

Произведением

нескольких событий называют событие, состоящее в совместном

появлении всех этих событий.

Пример: Событие А – деталь стандартная, событие В – деталь окрашенная.

Событие АВ – деталь стандартная и окрашенная.

Пример: Если события А, В, С – появление надписи соответственно в первом, втором и

третьем бросаниях монеты, то АВС – выпадение надписи при всех трёх бросаниях

монеты.

Условная вероятность

Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме

заданных, не налагается, то такую вероятность называют безусловной, если же налагаются

и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Условной

вероятностью

Р

А

(

В

)

называют вероятность события В, вычисленную в

предложении, что событие А уже наступило.

Пример: В коробке 3 красный и 3 синих карандаша. Из коробки дважды вынимают по

одному карандашу, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления красного

карандаша при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечён

синий карандаш (событие А).

15

Решение: После первого испытания в коробке осталось 5 карандашей (3 красных

карандаша и 2 синих).

Искомая условная вероятность:

Р

А

(

В

)

=

3

5

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по

определению равна:

Р

А

(

В

)

=

Р

(

АВ

)

Р

(

А

)

Теорема.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению

вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в

предположении, что первое событие уже наступило:

Р

(

АВ

)

=

Р

(

А

)

∙ Р

А

(

В

)

Следствие.

Вероятность

совместного

появления

нескольких

событий

равна

произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных,

причём вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что

все предыдущие события уже появились.

Р

(

А

1

А

2

А

3

… А

n

)

=

Р

(

А

1

)

∙ Р

А

1

(

А

2

)

∙ Р

А

1

А

2

(

А

3

)

… Р

А

1

А

2

А

n

−

1

(

А

n

)

Пример: У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял

один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков

конусный, а второй эллиптический.

Решение: Событие А – первый валик окажется конусный.

Р

(

А

)

=

3

10

– вероятность того, что первый валик окажется конусным.

Событие В – второй валик окажется эллиптическим.

Р

А

(

В

)

=

7

9

– вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим, вычисленная в

предположении, что первый валик – конусный, т.е.

Р

А

(

В

)

– условная вероятность.

Искомую вероятность находим по теореме умножения:

Р

(

АВ

)

=

Р

(

А

)

Р

А

(

В

)

=

3

10

∙

7

9

=

7

30

Пример: В урне 5 красных, 4 синих и 3 жёлтых шара. Каждое испытание состоит в том,

что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что

при первом испытании появится красный шар (событие А), при втором синий шар

(событие В), при третьем – жёлтый (событие С).

Решение: Вероятность появления красного шара в первом испытании

Р

(

А

)=

5

12

Вероятность появления синего шара во втором испытании, вычисленная в предложении,

что при первом испытании извлечён красный шар, т.е. условная вероятность:

Р

А

(

В

)

=

4

11

Вероятность появления жёлтого шара в третьем испытании, при условии, что в первом

испытании был извлечён красный шар, а во втором синий шар, т.е. условная вероятность

Р

АВ

(

С

)

=

3

10

16

Искомая вероятность

Р

(

АВС

)

=

Р

(

А

)

∙ Р

А

(

В

)

∙ Р

АВ

(

С

)

=

5

12

∙

4

11

∙

3

10

=

5 ∙ 4 ∙ 3

12 ∙ 11 ∙10

=

1

2 ∙11

=

1

22

Следствие. Для независимых событий теорема умножения

Р

(

АВ

)

=

Р

(

А

)

∙ Р

А

(

В

)

имеет

вид

Р

(

АВ

)

=

Р

(

А

)

∙ Р

(

В

)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в

совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

P

(

A

1

A

2

… A

n

)

=

P

(

A

1

)

P

(

A

2

)

… P

(

A

n

)

Пример: Найти вероятность совместного появления надписи при одном бросании двух

монет.

Решение: Событие А – появление надписи при бросании одной монеты, событие В –

появление надписи при бросании второй монеты.

P

(

A

)

=

1

2

, P

(

B

)

=

1

2

События А и В независимые, поэтому искомая вероятность, по теореме умножения

равна:

P

(

AB

)

=

P

(

A

)

∙ P

(

B

)

=

1

2

∙

1

2

=

1

4

Пример: Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в

третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одой детали.

Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение: Событие А – из первого ящика извлечена стандартная деталь. Событие В – из

второго ящика извлечена стандартная деталь. Событие С – из третьего ящика извлечена

стандартная деталь.

P

(

A

)

=

8

10

=

0.8 ; P

(

B

)

=

7

10

=

0.7 ; P

(

C

)

=

9

10

=

0.9

События А, В, С независимые в совокупности и искомая вероятность по теореме

умножения равна:

P

(

ABC

)

=

P

(

A

)

∙ P

(

B

)

∙ P

(

C

)

=

0.8∙ 0.7 ∙ 0.9

=

0.504

Пример:

Вероятности появления каждого из двух независимых событий

А

1

и А

2

соответственно равны

р

1

и р

2

. Найти вероятность появления только одного из этих

событий.

Решение: Пусть событие

В

1

– появление только события

А

1

;

В

2

– появилось только

событие

А

2

.

Событие

В

1

равносильно событию появилось первое событие и не появилось второе, т.е.

В

1

=

А

2

А

2

Событие

В

2

равносильно событию появилось второе событие и не появилось первое, т.е.

В

2

=

А

1

А

2

Появление только одного из событий

А

1

или А

2

, равносильно событию

В

1

+

В

2

.

События

В

1

и В

2

несовместны, поэтому воспользуемся теоремой сложения:

P

(

B

1

+

B

2

)

=

P

(

B

1

)

+

P

(

B

2

)

События

А

1

и А

2

; А

1

и А

2

– независимы, поэтому воспользуемся теоремой умножения:

P

(

B

1

)

=

P

(

A

1

A

2

)

=

P

(

A

1

)

∙ P

(

A

2

)

=

p

1

∙ q

2

, где

q

1

=

1

−

p

2

– вероятность противоположного

события.

P

(

B

2

)

=

P

(

A

1

A

2

)

=

P

(

A

1

)

∙ P

(

A

2

)

=

q

1

p

2

, где

q

1

=

1

−

p

1

– вероятность противоположного

события.

17

P

(

B

1

+

B

2

)

=

P

(

B

1

)

+

P

(

B

2

)

=

p

1

q

2

+

q

1

p

2

Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий

A

1

, A

2

… A

n

независимых в

совокупности

равна

разности

между

единицей

и

произведением

вероятностей

противоположных событий

A

1

, A

2

… A

n

.

P

(

A

)

=

1

−

q

1

q

2

…q

n

Следствие. Если события

A

1

, A

2

… A

n

имеют одинаковую вероятность, равную p, то

вероятность появления хотя бы одного из этих событий:

P

(

A

)

=

1

−

q

n

Пример:

Вероятность попадания в цель при стрельбе из трёх орудий таковы:

р

1

=

0.75 , р

2

=

0.8 , р

2

=

0.85

. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А), при

одном залпе из всех орудий.

Решение: Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов

стрельбы из других орудий.

Событие

А

1

– попадание первого орудия,

А

2

– попадание второго орудия,

А

3

– попадание

третьего орудия (независимы в совокупности)

P

(

A

1

)

=

1

−

0.75

=

0.25 ;

P

(

A

2

)

=

1

−

0.8

=

0.2 ;

P

(

A

3

)

=

1

−

0.85

=

0.15

Искомая вероятность:

P

(

A

)

=

1

−

q

1

q

2

q

3

=

1

−

0.25 ∙ 0.2 ∙0.15

=

1

−

0.0075

=

0.9925

Пример: Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трёх независимых в

совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном

испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна

и та же)

Решение: Рассматриваемые события независимы в совокупности. Используем формулу:

P

(

A

)

=

1

−

q

n

По условию задачи:

P

(

A

)

=

0.936 ; n

=

3

0.936

=

1

−

q

3

q

3

=

1

−

0.936

q

3

=

0.064

q

=

√

0.064

q

=

0.4

Искомая вероятность:

p

=

1

−

q

=

1

−

0.4

=

0.6

Задания для самостоятельной работы:

1.

Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1;

вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков

равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не

менее 9 очков.

2.

В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу

извлечённых двух деталей есть хотя бы одна стандартная.

18

3.

В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что

в наудачу отобранных шести деталях окажется не более одной нестандартной

детали.

4.

В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три

детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

5.

На карточках написали натуральные числа от 1 до 10, включительно, после чего

карточки перевернули и перемешали. Затем наугад открыли одну карточку.

Какова вероятность того, что на ней написано составное число или число больше

8?

6.

Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков,

выпавших на двух кубиках, меньше 11?

7.

В результате многократных наблюдений установили, что вероятность попадания в

мишень одного стрелка равна 0,9, а другого 0,8. Каждый из стрелков сделал по

одному выстрелу по мишени. Какова вероятность того, что мишень будет

поражена?

8.

В вазе 11 роз, из которых 4 – красные. В темноте наугад вынимают 3 розы. Какова

вероятность того, что хотя бы одна из них будет красной?

9.

В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых

три в переплёте. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность

того, что оба учебника окажутся в переплёте.

10. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что

два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

11. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу

отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица

окажутся женщинами.

12. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент

знает все три вопроса в билете.

13. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает в мишень, равна 0,8.

Стрелок произвёл три выстрела. Найти вероятность того, что все три выстрела

дали попадание.

14. Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий:

появился «герб», «появилось 3 очка».

15. Чему равна вероятность того, что при бросании трёх игральных костей, 6 очков

появится хотя бы на одной из костей (событие А)?

16. В студии телевидения 4 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность

того, что она включена в данный момент, равна 0,7. Найти вероятность того, что в

данный момент включена хотя бы одна камера (событие А).

17. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины

вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти

вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие

А).

18. Для

сигнализации

об

аварии

установлены

два

независимо

работающих

сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна

0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при

аварии сработает только один сигнализатор.

19

19. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном

выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность

того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

20. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность

того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух

проверенных изделий только одно стандартное.

21. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того,

что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность

того, что из трёх проверенных изделий только два изделия высшего сорта.

22. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38.

Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если

известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

23. По данным переписи населения (1891г) Англии и Уэльса установлено:

темноглазые отцы и темноглазые сыновья (АВ) составили 5% обследованных лиц;

темноглазые отцы и светлоглазые сыновья (

А В

) – 7,9%; светлоглазые отцы и

темноглазые сыновья (А

В

) – 8,9%; светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья (

А В

) – 78,2%. Найти связь между цветом глаз отца и сына.

Следствия теорем сложения и умножения. Теорема сложения вероятностей

совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна

сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P

(

A

+

B

)

=

P

(

A

)

+

P

(

B

)

−

P

(

AB

)

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Для

трёх совместных событий:

P

(

A

+

B

+

C

)

=

P

(

A

)

+

P

(

B

)

+

P

(

C

)

−

P

(

AB

)

−

P

(

AC

)

−

P

(

BC

)

+

P

(

ABC

)

Пример: Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий

соответственно равны:

p

1

=

0 ,7 ; p

2

=

0 ,8 .

Найти вероятность попадания при одном

залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Решение: Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов

стрельбы из другого орудия, поэтому события А (попадание первого орудия) и В

(попадание второго орудия) независимы.

Событие АВ – оба орудия дали попадание

P

(

AB

)

=

P

(

A

)

P

(

B

)

=

0 ,7 ∙ 0 ,8

=

0 ,56

Искомая вероятность:

Р(А+В) – вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним

из орудий.

20

P

(

A

+

B

)

=

P

(

A

)

+

P

(

B

)

−

P

(

AB

)

=

0 ,7

+

0 ,8

−

0 ,56

=

0 ,94

2 способ:

Т.к. события А и В независимые, то

P

(

A

+

B

)

=

1

−

q

1

∙ q

2

q

1

=

1

−

p

1

=

1

−

0 ,7

=

0 ,3 ; q

2

=

1

−

p

2

=

1

−

0 ,8

=

0 ,2

P

(

A

+

B

)

=

1

−

0 ,3∙ 0 ,2

=

1

−

0 ,06

=

0 ,94

Формула полной вероятности

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных

событий

B

1

,B

2

,…,B

n

, образующих полную группу.

Теорема. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления

одного из несовместных событий

B

1

,B

2

,…,B

n

, образующих полную группу, равна сумме

произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные

вероятности события A:

P(A)=P(B

1

) P

B

1

(A)+P(B

2

) P

B

2

(A)+

⋯

+P(B

n

)P

B

n

(A)

Пример:

Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора

стандартная, равна 0,8, а второго — 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу

деталь (из наудачу выбранного набора) — стандартная.

Решение: Событие

A

—

извлечённая

деталь

стандартная.

Событие

B

1

—

деталь

извлечена

из

первого

набора.

Событие

B

2

— деталь извлечена из второго набора.

P(B

1

)=

1/2

— вероятность того, что деталь извлечена из первого набора.

P(B

2

)=

1/2

— вероятность того, что деталь извлечена из второго набора.

P

B

1

(A)=0,8

— условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена

стандартная деталь.

P

B

2

(A)=0,9

— условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена

стандартная деталь.

Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности:

P(A)=P(B

1

)P

B

1

(A)+P(B

2

)P

B

2

(A)=0,5

⋅

0,8+0,5

⋅

0,9=0,85

Пример: В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из неё наудачу

извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если

равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по

цвету).

Решение: Событие

A

—

извлечён

белый

шар.

Возможны

следующие

предположения

о

первоначальном

составе

шаров:

B1B

1

—

белых

шаров

нет;

B2B

2

—

один

белый

шар;

B3B

3

— два белых шара.

Все предположения равновероятны (они образуют полную группу событий):

P(B

1

)=P(B

2

)=P(B

3

)=1/3

P

B

1

(A)=1/3

— условная вероятность извлечь белый шар, если первоначально не было

белых шаров.

P

B

2

(A)=2/3

— условная вероятность извлечь белый шар, если первоначально был один

белый шар.

21

P

B

3

(A)=3/3=1

— условная вероятность извлечь белый шар, если первоначально было два

белых шара.

Искомая вероятность того, что будет извлечён белый шар, находится по формуле полной

вероятности.

P(A) = P(B

1

) · P

B

1

(A) + P(B

2

) · P

B

2

(A) + P(B

3

) · P

B

3

(A) =

1

3

·

1

3

+

1

3

·

2

3

+

1

3

· 1 =

1

9

+

2

9

+

1

3

=

1

9

+

2

9

+

3

9

=

6

9

=

2

3

Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных

событий В

1

В

2

…В

n

, образующих полную группу. Т.к заранее не известно, какое из этих

событий наступит, их называют гипотезами

P

A

(

B

i

)

=

P

(

B

i

)

· P

B

i

(

A

)

P

(

B

1

)

· P

B

1

(

A

)

+

P

(

B

2

)

· P

B

2

(

A

)

+

⋯

+

P

(

B

n

)

· P B

n

(

A

)

,

Где

i

= 1,2 …

n

Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского

математика, который их вывел и опубликовал в 1764г).

Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как

становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример: Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на

стандартность в ОТК к одному из двух контролёров. Вероятность того, что деталь

попадает к первому контролёру, равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что

деталь будет признана стандартной первым контролёром равна 0,94, а вторым – 0,98.

Деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь

проверил первый контролёр.

Решение: Событие А – деталь признана стандартной

Гипотеза В

1

– деталь проверил первый контролёр

Гипотеза В

2

– деталь проверил второй контролёр

По условию задачи:

P(B1) = 0,6 – вероятность того, что деталь попадёт к первому контролёру

P(B2) = 0,4 – вероятность того, что деталь попадёт к второму контролёру

P

B

1

(A) = 0,94 – вероятность того, что деталь будет признана стандартной первым

контролёром

P

B

1

(A) = 0,98 – вероятность того, что деталь будет признана стандартной вторым

контролёром

Искомая вероятность того, что деталь при проверке была признана стандартной

первым контролёром находится по формуле Байеса:

P

A

(

B

1

)

=

P

(

B

1

)

P

B

1

(

A

)

P

(

B

1

)

P

B

1

(

A

)

+

P

B

2

(

A

)

=

0 ,6

⋅

0 ,94

0 ,6

⋅

0 ,94

+

0 ,4

⋅

0 ,98

≈ 0 ,59

Примечание. До испытания вероятность гипотезы В

1

равнялась 0,6, а после

испытания, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (условная

вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Использование формулы Байеса позволило

переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

22

Пример: Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на

общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше

производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей

отличного качества, а второй 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного

качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение: Событие А - деталь отличного качества. Гипотеза В

1

- деталь произведена

первым автоматом. Гипотеза В

2

- деталь произведена вторым автоматом. Т.к. первый

автомат производит деталей вдвое больше, чем второй, то Р(В

1

)=

2

3

; Р(В

2

)=

1

3

;.

Р

В

1

(A)=0,6 - условная вероятность того, что деталь будет отличного качества,

произведённая первым автоматом.

РВ 2(А)=0,84 - условная вероятность того, что деталь будет отличного качества,

произведенная вторым автоматом.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества по формуле

полной вероятности, равна P(A)=P(B1)

⋅

Pв1(A)+P(B2)

⋅

Pв2(A)=

2

3

⋅

0,6+

1

3

⋅

0,84=0,68.

Искомая вероятность того, что наудачу взятая деталь отличного качества произведена

первым автоматом по формуле Байеса, равна:

P

A

(

B

1

)

=

P

(

B

1

)

⋅

P

B

1

(

A

)

P

(

B

1

)

⋅

P

B

1

(

A

)

+

P

(

B

2

)

⋅

P

B

2

(

A

)

=

P

(

B

1

)

⋅

P

B

1

(

A

)

P

(

A

)

=

2

3

⋅

0.6

0.68

=

10

17

Задания для самопроверки:

1.

Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым

стрелком равна 0,7, вторым 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков

попал в мишень.

2.

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз

выпадет 5 очков.

3.

В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй

коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и

переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённая из

первой коробки, будет стандартной.

4.

В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность

выполнить квалификационную норму такова: для лыжника - 0,9, для велосипедиста -

0,8 и для бегуна - 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу

выполнит норму.

5.

В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором - 30

деталей, из них 24 стандартных; в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти

вероятность того, что наудачу извлечённая деталь из наудачу взятого ящика -

стандартная.

6.

В учебных мастерских на станках №1, №2, №3 изготавливают соответственно 25%,

35% и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет 15%, 12% и 6%. Найти

вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна.

7.

В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1

нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу

взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу

извлечённая из второго ящика лампа будет нестандартной.

8.

В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата.

Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчёта автомат не выйдет из

23

строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит

расчёт на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания

расчёта машина не выйдет из строя.

9.

В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них

4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух

шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

10. Число

грузовых

автомашин,

проезжающих

по

шоссе,

на

котором

стоит

бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же

шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна

0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для

заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

11. В

специализированную

больницу

поступают

в

среднем

50%

больных

с

заболеванием К, 30% — с заболеванием Л, 20% — с заболеванием М. Вероятность

полного излечения болезни К равна 0,7; для болезни Л и М эти вероятности

соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан

здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

12. Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в

первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу

выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь

возвращают в партию и вторично из этой же партии наудачу извлекают деталь,

которая так же оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были

извлечены из третьей партии.

13. Батарея из трёх орудий произвела залп, причём два снаряда попали в цель. Найти

вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятность попадания в

цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны p

1

=0,4 p

2

=0,3, p

3

=0,5 p2=0,3

14. Два из трёх независимо работающих элементов вычисляют число устройств отказа.

Найти вероятность того, что отказы первый и второй элементы, если вероятность

отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.

Повторение испытаний.

Формула Бернулли.

Если производится несколько испытаний, причём вероятность события A в каждом

испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют

независимыми относительно события A.

В разных независимых испытаниях событие A может иметь либо различные вероятности,

либо одну и ту же вероятность. Будем рассматривать лишь такие независимые испытания,

в которых событие A имеет одну и ту же вероятность.

Под понятием сложного события будем понимать совмещение нескольких отдельных

событий, которые называют простыми.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может

появиться либо не появиться. Пусть вероятность события A в каждом испытании одна и та

же и равна p. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании

постоянна и равна q=1-p. Вероятность того что

в n независимых испытаниях , в каждом из которых вероятность появления события равна

р(0<p<1) , событие наступает ровно k раз(безразлично, в какой последовательности ), и не

наступит n-k раз равна

p

n

(

k

)

=

c

n

k

p

q

n

−

k

или

P

n

(

k

)

=

n !

k !

(

n

−

k

)

⋅

1

p

k

q

❑

n

−

k

Данную формулу называют формулой Бернулли.

24

Пример: Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две

партии из четырёх или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

Решение: Т.к как играют равносильные шахматисты, то вероятность выигрыша p=

1

2

;

следовательно, вероятность проигрыша q=1−

1

2

=

1

2

.

Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой

последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли:

P

4

(

2

)

=

C

4

2

p

2

q

2

=

4 !

2 !

(

4

−

2

)

!

∙

(

1

2

)

2

∙

(

1

2

)

2

=

4 !

2 ! 2!

∙

(

1

2

)

4

=

3∙ 4

2

∙

(

1

2

)

4

=

6 ∙

(

1

2

)

4

=

6

16

– вероятность

того, что две партии из четырёх будут выиграны.

P

6

(

3

)

=

C

6

3

p

3

q

3

=

6 !

3 !

(

6

−

3

)

!

∙

(

1

2

)

3

∙

(

1

2

)

3

=

6 !

3 ! 3 !

∙

(

1

2

)

6

=

4 ∙ 5 ∙ 6

2 ∙3

∙

(

1

2

)

6

=

20∙

(

1

2

)

4

∙

(

1

2

)

2

=

20 ∙

1

4

∙

(

1

2

)

4

=

5 ∙

1

16

=

5

16

– вероятность того, что три партии из шести будут выиграны.

P

4

(

2

)>

P

6

(

3

)

Значит вероятность выиграть две партии из четырёх больше, чем выиграть три партии из

шести.

Задания для самостоятельной работы:

1.

В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент

включен равна 0,8. Найти вероятность того, что он в данный момент: а) включено 3

мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

2.

Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях

не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А

равна 0,3.

3.

Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не

превысит установленной нормы, равна 0,74. Найти вероятность того, что в

ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

4.

Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну

шахматную партию из двух или две из четырёх? б) выиграть не менее двух партий

из четырёх или не менее трёх партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

5.

Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее

двух раз; б) не менее двух раз.

6.

а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трёх раз в четырёх

независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном

испытании равна 0,4.

б) Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырёх раз.

Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых

испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

7.

В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б)

не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух мальчиков и не

более трёх мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

25

8.

Отрезок АВ разделён точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу

выброшены 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки

С, а две – правее.

Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна

длине отрезка и не зависит от его расположения.

Список литературы

1.

Андрухаев Х. М. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник

задач. М.: Юрайт, 2024. 178 с.

2.

Андрюшечкина И. Н., Ковалев Е. А., Савюк Л. К. Правовая статистика. М.:

Юрайт, 2024. 460 с.

3.

Антонова И. И., Смирнов В. А. Статистические методы в управлении

качеством. М.: Юрайт, 2024. 246 с.

4.

Васильев А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юрайт,

2023. 225 с.

5.

Ганченко О. И., Петрова Е. В., Анастасов М. С. Статистика транспорта:

Учебник. М.: Финансы и статистика, 2024. 442 с.

6.

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юрайт,

2024. 480 с.

7.

Горпинченко К. Н. Статистика. Учебное пособие для вузов. М.: Лань, 2023. 156

с.

8.

Долгова В. Н., Медведева Т. Ю. Социально-экономическая статистика. М.:

Юрайт, 2023. 296 с.

9.

Долгова В. Н., Медведева Т. Ю. Статистика. М.: Юрайт, 2023. 565 с.

10. Долгова В. Н., Медведева Т. Ю. Теория статистики. М.: Юрайт, 2023. 279 с.

11. Дудин М. Н., Лясников Н. В., Лезина М. Л. Социально-экономическая

статистика. М.: Юрайт, 2023. 234 с.

12. Дудин М. Н., Лясников Н. В., Лезина М. Л. Теория статистики. М.: Юрайт,

2023. 149 с.

26