МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ

РЯЗАНСКОЙ ОБЛАСТИ

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«РЯЗАНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Цикловая методическая комиссия естественнонаучных дисциплин

Серапегина В.Д.

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

09.02.07 Информационные системы и программирование,

09.02.06 Сетевое и системное администрирование

Рязань, 2024

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

Перестановкой называют комбинации, состоящие из одних и тех же n

различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок вычисляется по формуле:

P

n

= n! ,

где n! = 1*2*3 . . . n, заметим, что 0! = 1.

Размещениями называют комбинации, составленные из

n

разных

элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов,

либо их порядком.

Число всех возможных размещений вычисляется по формуле

A

n

k

=

n!

(

n

−

k

)

!

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n

различных

элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число всех возможных сочетаний вычисляется по формуле:

C

n

k

=

n !

k !

(

n

−

k

)

!

В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком

порядке указаны элементы. Два сочетания из n элементов по k отличаются

друг от друга хотя бы одним элементом.

При решении комбинаторных задач используются следующие правила:

1.

Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из

совокупности и объектов m способами, а другой объект В может быть

выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.

2.

Правило умножения. Если объект А можно выбрать из совокупности

объектов m способами, и после каждого такого выбора объект В можно

выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке

может быть выбрана mn способами.

Задача №1.

Имеются девять различных книг, четыре из которых словари.

Сколькими способами можно расставить эти книги, чтобы все словари

стояли рядом?

Решение: Рассмотрим все словари как одну книгу. Тогда на полке надо

расставить не девять, а шесть книг. Это можно сделать P

6

способами. В

каждой из полученных комбинаций можно переставить словари, т. Е

получим P

4

перестановок словарей.

Значит искомое число способов расположения книг на полке равно:

Р

6

⋅

P

4

=

6 ! 4 !

=

720

⋅

24

=

17280

Задача №2.

Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа

можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, 8, 9?

Решение: Если среди семи цифр нет нуля, то трехзначных чисел(без

повторения цифр) можно получить, найдя число размещений из 7 элементов

по 3. Так как среди данных чисел есть 0, с которого не может начинаться

число, поэтому из размещений из 7 элементов по 3 надо исключить те, из

которых первым элементом является цифра 0. Их число равно числу

размещений трехзначных чисел равно:

A

7

3

−

A

6

2

=

7 !

4 !

−

6

4 !

=

5

⋅

6 7

−

5

⋅

6

=

180

Из данных чисел можно составить 180 трехзначных чисел (без

повторения цифр).

Задача №3.

В группе учатся 6 юношей и 15 девушек. Для участия в конференции

по математике требуется выделить двух юношей и пять девушек. Сколькими

способами можно это сделать.

Решение: Выбрать юношей из шести можно:

C

6

2

=

6 !

2!

(

6

−

2 !

)

=

6 !

2 4 !

=

5

⋅

6

2

=

15

способами.

Выбрать пять девушек из 15 можно:

C

15

5

=

15 !

5 !

(

15

−

5

)

!

=

15 !

5 ! 10 !

=

13

⋅

11

⋅

7

⋅

3

=

3003

способами.

Тогда выбор студентов о которых идет речь в задаче можно найти:

C

G

2

⋅

C

15

5

=

15

⋅

3003

=

45045

способами.

КЛАССИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

При классическом определении вероятность события определяется

равенством:

P(A)= m/n,

где

m- число элементарных исходов испытания;

n-общее число возможных элементарных исходов испытания.

Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и

равновозможны. Относительная частота события A определяется равенством:

W(A)=m/n,

где

m- число испытаний, в которых A наступило;

n- общее число произведенных испытаний.

При статистическом определении в качестве вероятности события

принимает его относительную частоту. Французский естествоиспытатель

Бюффон, изучая случайные события провел опыт с подбрасыванием монет

4040 раз. Герб выпал в 2048 случаях значит относительная частота

случайного события, “выпадения герба” в данном эксперименте равна

2048/4040= ≈ 0,507 ≈ 0,5

Задача №1

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма

очков на выпавших гранях, четная, причем на грани хотя бы одной из кости

появится шестерка.

Решение: На выпавшей грани первой игральной кости может появится

одно очко, два очка,…шесть очков. Аналогичные шесть элементарных

исходов возможны при бросании второй кости. Каждый из исходов бросания

“первой” кости может сочетаться с каждым из исходов бросания “второй”.

Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания

равно 6*6=36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии

костей равновозможны.

Для наглядности можно составить таблицу

Введем события A- при бросании двух игральных костей сумма очков

на выпавших 4 гранях-, четная причем на грани хотя бы одном из костей

появится шестерка.

I \ II

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

Благоприятствующими интересующему нас событию A (хотя бы на

одной грани появится шестерка, сумма выпавших очков — четная) являются

следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на

«первой» кости, вторым — число очков, выпавших на «второй» кости; далее

найдена сумма очков):

1) (6, 2); 6+2=8;

2) (6, 4); 6+4=10;

3) (6, 6); 6+6=12;

4) (2, 6); 2+6=8;

5) (4, 6); 4+6=10.

По классическому определению вероятности искомая вероятность

равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу

всех возможных элементарных исходов:

P(A) = 5/36

Задача №2

Указать ошибку «решения» задачи: Брошены две игральные кости,

найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие A).

Решение: Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков

равна 3 и сумма выпавших очков не равна 3. Событию A благоприятствует

один исход; общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая

вероятность P(A) = 1/2.

Правильное решение:

Задача №3

В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, ... 10.

Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди

извлеченных деталей окажутся:

a)

деталь №1;

b)

детали №1 и №2.

Решение:

А) Общее число возможных элементарных исходов испытания равно

числу способов, которыми можно извлечь

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас

событию

A:

среди

отобранных

шести

деталей

есть

деталь

№1

и,

следовательно, остальные пять деталей имеют номера из набора других

номеров. Число таких исходов, очевидно, равно числу способов, которыми

можно отобрать пять деталей из оставшихся девяти, т.е.

Искомая

вероятность

равна

отношению

числа

исходов,

благоприятствующих

рассматриваемому

событию

к

общему

числу

возможных элементарных исходов:

P(A) =

Б)Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию B

(среди отобранных деталей есть детали №1 и №2, следовательно, четыре

детали имеют другие номера) равно числу способов, которыми можно

извлечь четыре детали из оставшихся восьми, т.е.

Искомая вероятность:

P(B) =

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.

Объясните, как ведется подсчёт числа возможных вариантов с

помощью комбинаторного правила умножения. Приведите пример.

2.

Что означает запись 8! ? Найдите значение выражения

50 !

46 ! 2 !

3.

Что называется перестановкой из n элементов? Запишите формулу для

вычисления числа перестановок из n элементов. Приведите пример.

4.

Что называется размещением из n элементов по &? Запишите формулу

для вычисления числа размещений из n элементов по k. Приведите

пример.

5.

Сочетанием.

6.

Какое событие называют случайным? Приведите пример.

7.

Какие события называют несовместимыми? Приведите пример.

8.

Какие события образуют полную группу?

9.

Какие события называют равновозможными? Приведите пример.

10.Как вычисляется вероятность случайного события при классическом

подходе.

11.Чем отличается вероятность случайного события при классическом

подходе от относительной частоты.

12.Приведите пример достоверного, невозможного и случайного события.

Чему равна их вероятность.

Задачи для самостоятельного решения

1.

Брошены

две

игральные

кости.

Найти

вероятность

следующих

событий:

a)

сумма выпавших очков равна семи;

b)

сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем;

c)

сумма выпавших очков равна восьми, а разность – четырем;

d)

сумма выпавших очков равна пяти, а произведение – четырем;

2.

Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и,

помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти

вероятность того, что набраны нужные цифры.

3.

В партии из N деталей имеется n стандартных. Наугад отобрали m

деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно

k оказались стандартных.

4.

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число

от 10 до 19 делится на 3?

5.

В коробке лежат 8 зеленых карандашей и 4 желтых. Из коробки наугад

вынимают 5 карандашей. Какова вероятность того, что 3 из них

окажутся зелеными и 2 желтыми.

6.

По теории Менделя при скрещивании желтого гороха с зеленым,

примерно в одном случае из четырех получается зеленый горох. Для

проверки этой теории опыт по скрещиванию желтого гороха с зеленым

был проведен 34153 раза. В 8506 случаях получился зеленый горох.

Найти

относительную

частоту

случайного

события

"появление

зеленого гороха" в произведенном эксперименте.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

Вариант 1

1. Найдите значение выражения:

16 !

14 ! 3 !

2. Используя цифры 0; 1; 4; 7; составьте все возможные трехзначные числа, в

которых цифры не повторяются.

3. Семь юношей, в число которых входят Иван и Андрей становятся в ряд.

Найдите число возможных комбинаций:

а) Иван должен находиться в начале ряда;

б) Андрей должен находиться в начале, а Иван в конце ряда;

в) Андрей и Иван должны стоять рядом.

4. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все

цифры различны и первая отлична от нуля.

5. Из 12 студентов, в число которых входят Максимов и Новоселов, надо

отправить троих на конференцию. Сколькими способами можно это

сделать, если:

а) Максимов и Новоселов должны остаться;

б) Максимов должен пойти на конференцию, а Новоселов остаться?

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

Вариант 2

1. Найдите значение выражения:

45!

43 ! 3 !

2. Используя цифры 2; 8; 9; составьте все возможные трехзначные числа, в

которых цифры не повторяются.

3. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо

отправить 5 человек в командировку.

Сколькими способами можно это сделать, если:

а)

Заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б)

Заведующий лабораторией должен остаться?

4. Сколько среди перестановок букв слова «журнал» таких, которые:

а)

Начинаются с буквы «н»;

б)

Начинаются с буквы «а», а оканчиваются буквой «р»;

в)

Буквы «у» и «л» должны быть рядом.

5. Сколько можно составить из цифр 3, 4, 5, 6, 7 (Без их повторения)

различных трехзначных чисел которые являются четными.

1 вариант

1. Из данных событий выбрать противоположные:

А) Стрелок стреляет по мишени.

а -

промах при стрельбе;

б - попадание при стрельбе.

Б) Бросают игральный кубик.

а -

выпадет 4 очка;

б - выпадет 6 очков.

В) В урне находятся красные, синие и зеленые шары.

а -

извлечен красный шар;

б - извлечен зеленый шар.

Г) Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта.

а -

взятое изделие высшего сорта;

б - взятое изделие не является изделием высшего сорта.

Д) Студент берет экзаменационный билет, состоящий из 3 вопросов.

а -

студент знает все 3 вопроса;

б - студент знает всего лишь 2 вопроса.

2. Дать определение достоверного события. Привести пример.

3. Может ли вероятность какого-либо случайного события быть равной 1,3?

4. На четырех карточках написаны буквы «о», «м», «р», «б».

Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад

последовательно одну за другой эти карточки положили в ряд.

Какова вероятность того, что получится слово «ромб»?

5. На полке стоят 12 книг, из которых 4 – учебники. С полки снимают 6 книг.

Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками?

2 вариант

1. Из данных событий выбрать противоположные:

А) Брошена монета.

а -

появление «герба»;

б - появление надписи.

Б) Два стрелка сделали по выстрелу.

а - первый стрелок попал в цель;

б - второй стрелок не попал в цель.

В) Бросают игральный кубик.

а - выпало 6 очков;

б - выпало менее 6 очков.

Г) В непрозрачном пакете лежат 7 жетонов с номерами 1,2,3,4,5,6,7.

а - вынули жетон с номеров 5;

б - вынули жетон с номером 7.

Д) Бросают игральный кубик.

а - появление четырех очков;

б - появление нечетного числа очков.

2. Дать определение невозможного события. Привести пример.

3. Может ли вероятность какого-либо случайного события быть равной 0,34?

4. Игорь и Сергей договорились, что если при бросании двух игральных

кубиков в сумме выпадет число очков, кратное 5, то выигрывает Игорь, а

если в сумме выпадет число очков, кратное 9, то выигрывает Сергей. У

кого из мальчиков больше шансов выиграть?

5. В коробке лежат новогодние шары 8 красных и 4 желтых. Из коробки

наугад вынимают 5 шаров. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся

красными и 2 желтых?