Муниципальное общеобразовательное учреждение - средняя общеобразовательная

школа п. Индустриальный Екатериновского районе Саратовской области.

Сообщение на тему:

«Вероятность и статистика

на профильном уровне»

Разбор задач прототип №5 математика ЕГЭ-2026

профильный уровень.

Выполнила Назарова Л.В.,

учитель математики МОУ СОШ

п. Индустриальный.

Апрель 2026

Вероятность и статистика в КИМах ЕГЭ математика

(профильный уровень) представлена в задачах №4 и 5 .

Задачи прототипа №4 на применение классического определения вероятности и как

правило особых затруднений у обучающихся не вызывают. Что нельзя сказать о задаче

№5, которая далеко не простая, усложнили её за счет условной вероятности и

комбинаторики. Поэтому и необходимо знать определение условной вероятности и

умения решать задачи на нахождение условной вероятности, формулы комбинаторики и

т.п..

Оно проверяет:

понимание классического определения вероятности (

𝑃

=

𝑚

/

𝑛

);

умения вычислять вероятности событий, суммы событий и их произведений,

а также работу с независимыми событиями и противоположными

событиями.

Основные темы и типы задач

1

Классическая вероятность: Выбор одного объекта из множества (монеты, шары, билеты,

конфеты).

2

Независимые события: Вероятность того, что два прибора не сломаются, или что

стрелок попадет дважды (умножение вероятностей)

3

Условная вероятность: Вероятность того, что событие А произойдет, если уже

произошло событие Б .

4

Геомтрическая вероятность: Вероятность попадания в область, длина отрезка.

Виды событий по отношению к друг другу

А) совместные и несовместные:

Совместные события одновременно проходить могут ;

Несовместные события одновременно проходить не могут (орел и решка)

Б) зависимые и независимые:

Зависимые события. Вероятность зависит от наступления другого. Пример: вы на

экзамене хотите взять 21 билет, вы 5-ый человек.

В) противоположные события: образуют полную группу событий.

Теоремы

1.

Для противоположных событий А и В : Р(А)+Р(В)=1

2.

Для независимых событий А и В: Р(А*В)=Р(А)*Р(В),

3.

Для совместных событий А и В : Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

В своей работе, я рассмотрела несколько прототипов задач № 5.

Оказывается, что сложные задачи, можно решать не сложным методом.

Рассмотрим примеры некоторых задач.

1.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание

автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что

вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе»

равна 0,1. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате

закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих

автоматах, равна 0,05. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе

останется в обоих автоматах.

Решение:

Р(З)=0,1; Р(О)=1-0,1=0,9; Р(З1)и Р(З2) 0,1*0,1=0,01 – если события независимые,

Здесь события зависимые.

Пусть событие А= «кофе останется в 2-х автоматах ( О1О2)»,

В= «О1З2, З1О2,З1З2»

Найти вероятность события А ( Р(А)).

В чем заключается событие В ? Р(В)= Р(З1)+ Р(З2)- Р(З1*З2)=0,1+0,1-0,05=0,15

События А и В противоположные и не пересекаются, значит Р(А)=1-0,15=0,85.

Ответ : 0,85.

2.

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно,

что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле.

Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил

мишень с вероятностью не меньше 0,8?

Решение:

Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не

будет уничтожена за n выстрелов

1 способ.

П – поражение, У – успех. Р(П) = 0,5; Р(У) = 0,5. Надо Р(У)>=0,8 или Р(П)<0,2

Заметим, что вероятность поражения цели после n выстрелов равна 

1-

0,5

n

> 0,8

Проверим сколько выстрелов надо совершить, чтобы Р(П)< 0,2

1 выстрел – промах 0,5;

2 выстрел –промах 0,5*0,5=0,25;

3 выстрел – промах 0,5*0,5*0,5=0,125, достаточно. Ответ: 3.

2 способ.

1 выстрел – успех 0,5;

2 выстрел – У+П 0,5+0,5*0,5=0,75; (попадет при1в или промахнется при2)

3 выстрел – 0,5+0,5*0,5+0,5*0,5*0,5> 0,8 .

Ответ: 3.

Условная вероятность

3.

В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом

выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны

один синий и один красный фломастер?

Решение:

11 синих 6 красн

8 зелен

Всего фломастеров: 11+6+8=25.

Как посчитать вероятность, что сначала вытащим 1 синий, потом 1 красный?

«Сначала вытащим 1 синий» -это условие

P(условия)=

11

25

«потом 1 красный»-это событие при условии P(события при условии)=

6

24

P(условия)*P(события при условии) =P(одноврем.произошло событие и условие)-

это ключевая формула условной вероятности.

Всего фломастеров: 11+6+8=25. Надо найти Р(С1иК1)

Найдем вероятность 1-К,2-С или 1- С, 2-К

Р(С1)*Р(К2)+Р(К1)*Р(С2)=11/25+6/24+6/25*11/24=2*11*6/25*24=0,22.

P(одноврем.произошло событие и условие)=

11

25

*

6

24

+

6

25

*

11

24

= 0,22. Ответ 0,22

4.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что

готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка

проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует

неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по

ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность

того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована

системой контроля.

Решение:

Нарисуем дерево вероятности:

Батарейка

неисправная

исправная

0,02

0,98

забракует

не забракует

забракует

не забракует

0,99

0,01

0,01

0,99

Р(А)= 0,02*0,99 + 0,98*0,01=0,0198 + 0,0098 = 0,0296.

1с

2к

1к

2с

Ответ:0,0296.

5.

Стрелок стреляет по 4 одинаковым мишеням по одному разу, вероятность

промаха 0,2, найдите вероятность что он попадёт в первую мишень, а в 3

оставшиеся промахнется.

Решение:

А= «1У 2П 3П4П» Р(А)= 0,8*0,2

3

= 0,0064.

Ответ: 0,0064.

6.

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой

лампы в течение года равна 0,4.найдпте вероятность того, что в течение года

хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение : рассмотрим варианты события

А= «в течение года хотя бы 1 не перегорит»

…………….

В= «перегорят все три лампы»

Р(В)=0,4*0,4*0,4= 0,064, Р(А) = 1- 0,064 = 0,936.

Ответ: 0,936.

7.

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки.

Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г,

равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г,

равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г,

но меньше, чем 810 г.

Решение: удобно решение показать на прямой

Пусть событие А состоит в том, что масса буханки меньше, чем 810 г, а событие B состоит

в том, что масса буханки больше чем 790 г. Необходимо вычислить вероятность

произведения этих событий. Сумма этих событий является событием достоверным, его

вероятность равна 1. В то же время Р(А+В) = Р(А) +Р(В) – Р(АВ) поскольку события A и B

совместные. Подставляя известные значения, находим искомую вероятность:

Р(АВ)= Р(А)+Р(В)- Р(А+В) = 0,97+0,91-1= 0,88.

2 способ. : удобно решение показать на прямой

0,97

0,03

С

Д

790г.

В 810г.

С+Д=В

0,91

Р(В)=Р(С + Д) = Р(С) + Р(Д), тогда Р(С) = Р(В) – Р(Д) = 0,91-0,03= 0,88.

8.

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся

не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень

каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность

события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности

события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Решение.

Вероятность попасть в одну мишень с первого или второго выстрела равна

Р(Пм) = Р(П)+Р(ППр)= 0,6 + 0,4*0,6= 0,84. Вероятность противоположного события,

состоящего в том, что стрелок не попадёт в мишень с двух выстрелов, равна

1 − 0,84  =  0,16. (или Р(Прм)=Р(Пр Пр) = 0,4*0,4 = 0,4

2

= 0,16

Вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» равна P

5

(5)  =  0,84

5

. Для

нахождения вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени» воспользуемся

формулой Бернулли: Р

n

(A

k

) = p

k

q

n-k

C

k

n

, где q= 1-p (р- вероятность появление события А, а

q- вероятность не появления события А.)

∁

n

m

=m!/n!*(m-n)!

Р(П ППП Пр)= 0,84

4

*0,16*С

4

5

=0,84

4

*0,16*5!/4!*(5-4)!

Р

5

(5)/Р

5

(4) = 0,84

5

/0,84

4

*0,16*5 = 0,84/0,80 = 1,05.

Ответ:1,05.

9.Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события

«выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли. Найдем вероятность события А, состоящего в том,

что при десяти бросаниях выпадет ровно 5 орлов:

Аналогично найдем вероятность события B, состоящего в том, что при десяти бросаниях

выпадет ровно 4 орла:

Тогда Р(А)/Р(В) =0,5

10

*10!*4! *6!/0,5

10

*5!*5!*10! = 6/5=1,2

Ответ: 1,2

10.Игральный кубик бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не

превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось ровно два

броска? Ответ округлите до тысячных.

Решение.

Получить в сумме больше 3 очков при двух бросаниях можно в следующих случаях:

13, 14, 15, 16, 22, 23, 24, 25, 26, 31, 32, 33, 34, 35, 36,

где первая цифра  — число очков, выпавших первый раз, вторая цифра  — число

очков, выпавших второй раз. Вероятность каждого из этих 15 вариантов равна а

искомая вероятность равна

то есть

15/36

Разделив в столбик, получаем

округляя до тысячных, получаем 0,417. Ответ: 0,417.

11.При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на

ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 91%

случаев. Если заболевание нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем

в 93% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10%

пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента

врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова

вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? Результат

округлите до сотых.

Решение.

Найдем вероятность того, что пациент болен при условии, что известно, что у него ПЦР

тест положительный. Пусть вероятность того, что пациент болен х

, тогда вероятность

того, что пациент здоров равна (1-х).

Нарисуем дерево вероятностей

.

По условию задачи тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на

тестирование. Если пациент здоров, то вероятность получить положительный тест

равна 0,07(1-х), если пациент болен, вероятность получить положительный тест

равна 0,91*х. Составим уравнение из условия тест оказывается положительным у 10%

пациентов, направленных на тестирование.

0,07*(1-х)+0,91х=0,1

0,07-0,07х +0,91х=0,1

0,84х=0,03

х=

0 ,03

0 ,84

=

1

28

.

Найдем отношение вероятности ого, что пациент болен и имеет положительный тест к

вероятности того, что пациент имеет положительный тест

Р=

0 ,91 х

0 ,1

=

0 ,91

∗

1

28

: 0,1=0,325 = 0,33.

Ответ: 0,33.

12. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года,

равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите

вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Пусть A  =  «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В  =  «чайник

прослужит больше двух лет», С  =  «чайник прослужит ровно два года», тогда

A + B + С  =  «чайник прослужит больше года».

События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих

событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно

через два года  — строго в тот же день, час, наносекунду и т. д.,  — равна нулю. Тогда:

откуда, используя данные из условия, получаем

Таким образом, для искомой вероятности имеем:

Ответ: 0,08.

В заключении хочу всем, коллегам и выпускникам

пожелать удачи! И хороших задач!