Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие

логического мышления на уроках математики»

Введение: условия возникновения опыта и актуальность

Практика преподавания математики в основной школе на протяжении

последних лет устойчиво показывает нарастающее противоречие между

требованиями федеральных государственных образовательных стандартов к

метапредметным результатам обучения и реальным уровнем сформированности

логических операций у значительной части обучающихся. Условием

возникновения данного педагогического опыта стала работа учителя

математики в общеобразовательной школе в классах с разнородным составом

учеников, где при выполнении стандартных контрольных срезов обнаруживался

стабильный разрыв между умением воспроизводить алгоритм решения и

способностью обоснованно выстраивать цепочку рассуждений. Наблюдения за

учебной деятельностью школьников 5–9 классов показали, что типичными

затруднениями являются подмена доказательства пересказом готового решения,

неумение отличать необходимые условия от достаточных, слабое владение

приёмами классификации, сравнения и обобщения, а также избегание задач с

неполными или избыточными данными.

Актуальность опыта обусловлена тем, что логическое мышление

выступает не только инструментом освоения математического содержания, но и

универсальным познавательным действием, обеспечивающим успешность

обучения по другим предметам естественнонаучного и гуманитарного циклов.

Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего

образования прямо относит умение определять понятия, создавать обобщения,

устанавливать аналогии, классифицировать, строить логическое рассуждение и

Страница

1

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

делать выводы к группе познавательных универсальных учебных действий.

Математика при этом является той учебной дисциплиной, в которой данные

операции востребованы на каждом уроке и могут развиваться целенаправленно

без привлечения дополнительного учебного времени. Таким образом, возникла

потребность в построении системы работы, которая позволяла бы развивать

логическое мышление не эпизодически, а на регулярной основе, встроив

соответствующие приёмы в структуру обычного урока математики.

Теоретическая база опыта

В основе опыта лежат положения отечественной психолого-

педагогической теории развивающего обучения. Согласно концепции Льва

Семёновича Выготского, обучение должно ориентироваться не на уже

созревшие психические функции, а на зону ближайшего развития. Это означает,

что ученику необходимо предъявлять такие учебные задачи, которые он не

может решить сразу, но способен решить при направляющей помощи учителя

или в совместной деятельности с одноклассниками. Именно в процессе

преодоления посильного интеллектуального затруднения происходит развитие

мышления.

Существенное значение для опыта имеет теория учебной деятельности

Даниила Борисовича Эльконина и Василия Васильевича Давыдова. В ней

учебная задача рассматривается не как любое задание, а как задача, решение

которой требует открытия общего способа действия. Применительно к

математике это означает, что ученик должен не просто вычислять или

преобразовывать выражения, а выделять существенные отношения между

математическими объектами, фиксировать их в моделях и применять к новым

ситуациям. Логическое мышление в данной парадигме развивается через

анализ, планирование и рефлексию. Рефлексия понимается как обращённость

Страница

2

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

ученика на собственный способ рассуждения, умение зафиксировать, почему

был выбран именно такой путь решения и можно ли было действовать иначе.

Опора на теорию поэтапного формирования умственных действий Петра

Яковлевича Гальперина позволила выстроить методику работы с логическими

приёмами. Сначала действие выполняется развёрнуто, с опорой на внешние

средства: таблицы, схемы, карточки-инструкции. Затем внешняя опора

сокращается, действие переносится во внутренний план и становится

умственным. Это особенно важно при формировании умения строить

доказательство, так как многие ученики теряют нить рассуждения именно из-за

попытки сразу выполнить все шаги в уме без промежуточной фиксации.

Кроме того, учитывались идеи Жана Пиаже о стадиальности развития

интеллекта. Возраст учащихся 5–7 классов приходится на переход от

конкретных операций к формальным, поэтому значительная часть заданий

строится на наглядном материале с постепенным переходом к абстрактным

символическим формулировкам. В 8–9 классах акцент смещается на

дедуктивные построения, работу с определениями и доказательства от

противного.

Важным нормативным основанием является Концепция развития

математического образования в Российской Федерации, утверждённая

распоряжением Правительства Российской Федерации. В ней зафиксирована

необходимость формирования у обучающихся логического и алгоритмического

мышления, а также способности к строгому доказательству. Эти ориентиры

определили отбор содержания и методов работы.

Страница

3

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

Технология опыта: система работы, методы, приёмы и формы

Целевой и содержательный компоненты

Цель опыта состоит в создании на уроках математики условий, при

которых каждый ученик осваивает базовые логические операции: анализ,

синтез, сравнение, классификацию, обобщение, установление аналогий,

формулирование определений, построение умозаключений. Для достижения

цели решаются взаимосвязанные задачи. Во-первых, сформировать у

школьников потребность в обосновании каждого утверждения. Во-вторых,

обучить конкретным приёмам работы с условием и требованием задачи. В-

третьих, обеспечить перенос усвоенных логических операций на материал

других тем и предметов.

Содержательной основой служит стандартный курс математики. Никаких

специальных дополнительных дисциплин не вводится. Логический компонент

выделяется внутри каждой учебной темы: при изучении натуральных чисел,

дробей, уравнений, функций, геометрических фигур, элементов теории

вероятностей. Учителем совместно с методическим объединением была

составлена карта логических умений по параллелям.

Методы и приёмы

Основным методом является проблемное обучение. Урок строится вокруг

серии вопросов, требующих рассуждения, а не воспроизведения заученного.

Например, при изучении признаков делимости на 3 и на 9 учащимся

предлагается выдвинуть гипотезу, проверить её на нескольких числах, найти

контрпример или подтверждение. При этом фиксируется различие между

подтверждением гипотезы примерами и доказательством общего утверждения.

Страница

4

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

Используется метод учебного диалога. Учитель не даёт готового ответа, а

формулирует цепочку наводящих вопросов. Пример диалога на уроке

геометрии по теме «Сумма углов треугольника»:

Учитель: Может ли у треугольника быть два прямых угла?

Ученик: Нет, потому что тогда третьего угла не останется.

Учитель: Почему не останется? На какое известное свойство мы

опираемся?

Ученик: На то, что сумма углов треугольника равна ста восьмидесяти

градусам.

Учитель: Но это свойство нам пока не доказано. Можем ли мы

пользоваться им как фактом?

Такой диалог заставляет ученика отличать утверждение, которое уже

доказано, от предположения, которое только предстоит обосновать.

Важным приёмом является составление логических цепочек. Ученикам

предлагается карточка, на которой записаны шаги доказательства в

перепутанном порядке. Задача состоит в том, чтобы восстановить верную

последовательность, вычеркнуть лишние шаги или вставить недостающие. Этот

приём применяется в 5–6 классах при работе с текстовыми задачами и в 7–9

классах при работе с геометрическими доказательствами.

Приём работы с определениями реализуется через задания на

распознавание существенных признаков. Например, даётся несколько

формулировок определения прямоугольника. Среди них одна верная, одна

содержит лишний признак, одна пропускает существенный признак. Ученик

должен выбрать верное определение и объяснить, почему остальные неверны.

Это формирует понимание того, что определение должно быть соразмерным, не

содержать избыточных требований и не сводиться к перечислению примеров.

Страница

5

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

Систематически используются задания на классификацию. В 5 классе это

классификация чисел по разным основаниям: чётные и нечётные, кратные трём,

простые и составные, натуральные и дробные. Важно, чтобы ученик сам

называл основание классификации. В 7 классе классификация применяется при

изучении углов, треугольников, многоугольников. В 8 классе

классифицируются квадратные уравнения по количеству корней, а также по

виду коэффициентов.

Приём установления аналогии применяется при переносе способа

действия с одного класса объектов на другой. Например, после изучения

свойств линейной функции ученикам предлагается самостоятельно

сформулировать гипотезу о свойствах функции вида y равно kx плюс b при

разных знаках коэффициентов, опираясь на уже известные свойства прямой

пропорциональности. При этом требуется не просто перенести вывод, но и

проверить его на конкретных числовых примерах.

Задачи с избыточными и недостающими данными используются как

средство обучения анализу условия. Ученику предлагается текст: «Поезд вышел

из пункта А в пункт Б со скоростью 60 километров в час. Через два часа вышел

второй поезд со скоростью 80 километров в час. Найдите расстояние между

пунктами». Ученик должен обнаружить, что данных для ответа недостаточно, и

сформулировать, какого именно данного не хватает. Это разрушает привычку

бездумно складывать или умножать все числа, встречающиеся в тексте.

Приём поиска ошибки в готовом решении развивает критическое

мышление. Учитель заранее готовит решение с типичной логической ошибкой.

Например, при решении неравенства выполнено деление обеих частей на

выражение, знак которого не определён, и получен неверный ответ. Ученики

должны найти ошибку, назвать её тип и исправить. Этот приём особенно

эффективен в 8–9 классах.

Страница

6

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

Формы организации деятельности

Основной формой является урок. В его структуру включается этап

логической разминки продолжительностью пять–семь минут. На этом этапе

предлагаются задания, не требующие длительных вычислений, но

направленные на анализ, сравнение или построение умозаключения. Примеры

заданий для разминки в 6 классе:



Даны числа: 2, 5, 8, 11, 14. Продолжите последовательность и объясните

правило её построения.



Найдите лишнее слово в ряду: квадрат, ромб, круг, прямоугольник.

Объясните выбор.



Истинно ли утверждение: «Если число делится на 4, то оно делится на 2»?

Сформулируйте обратное утверждение и проверьте его.

Парная и групповая формы работы применяются при решении задач,

требующих обсуждения и проверки разных версий. В группе из четырёх

человек распределяются роли: аналитик разбирает условие, стратег предлагает

план решения, критик ищет слабые места, докладчик оформляет обоснование.

Такая организация позволяет каждому ученику практиковаться в определённой

логической операции.

Проектная деятельность используется в 8–9 классах. Учащиеся

выполняют мини-проекты по темам «Золотое сечение в архитектуре и

живописи», «Логические парадоксы и математика», «Пропорции в живой

природе». В ходе работы над проектом ученик собирает информацию,

сравнивает источники, формулирует выводы, защищает свою позицию перед

классом. Это способствует переносу логических умений с учебных задач на

практический материал.

Внеурочная работа представлена математическим кружком, на котором

решаются задачи повышенной сложности, включая задачи олимпиадного

Страница

7

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

характера на доказательство, перебор вариантов, принцип Дирихле,

инварианты. Занятия кружка не дублируют урок, а расширяют поле применения

логических операций.

Алгоритм введения логического приёма

Каждый логический приём вводится по единой схеме, основанной на

теории поэтапного формирования умственных действий. На первом этапе

учитель показывает образец выполнения приёма с подробным проговариванием

каждого шага. На втором этапе ученики выполняют аналогичные задания в

парах с опорой на памятку. На третьем этапе опора убирается, и задание

выполняется индивидуально. На четвёртом этапе приём применяется в новой,

незнакомой ситуации. Например, при обучении приёму сравнения дробей в 5

классе сначала учитель объясняет способ приведения к общему знаменателю с

развёрнутой записью. Затем ученики работают по памятке, в которой

перечислены шаги: найти общий знаменатель, найти дополнительные

множители, умножить числитель и знаменатель каждой дроби, сравнить

полученные числители. Далее памятка убирается, и сравнение выполняется в

свернутой форме. Наконец, предлагается задание, где требуется сравнить дроби,

не приводя их к общему знаменателю, например, сравнить 7/8 и 8/9, что требует

анализа близости каждой дроби к единице.

Педагогические условия

Развитие логического мышления обеспечивается при соблюдении ряда

условий. Первое условие — регулярность. Логические задания включаются в

каждый урок, а не от случая к случаю. Второе условие — посильность. Уровень

трудности подбирается так, чтобы ученик мог справиться при умеренной

помощи, иначе возникает отторжение. Третье условие — принятие разных

версий. На уроке поощряется высказывание гипотез, даже если они

Страница

8

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

оказываются неверными. Ошибка рассматривается как учебный материал, а не

как повод для порицания. Четвёртое условие — фиксация способа рассуждения.

Ученики ведут специальный раздел в тетради, куда записывают схемы

рассуждений, примеры логических ошибок, правила построения доказательства.

Пятое условие — связь с жизненным опытом. Многие задачи формулируются

на бытовом или практическом материале: расчёт скидок, сравнение тарифов,

планирование времени, оценка вероятности событий.

Результативность опыта

Оценка результативности проводилась на основе комплексной

диагностики, включающей контрольные работы с логическими заданиями,

педагогическое наблюдение, анализ устных ответов и письменных работ.

Диагностика проводилась в течение четырёх лет в контрольных и

экспериментальных классах одной параллели. Контрольные классы занимались

по традиционной методике, экспериментальные — с систематическим

включением описанных приёмов.

Учебный год

Контрольный класс,

процент справившихся с

Экспериментальный

класс, процент справившихся

Страница

9

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

логическими заданиями

с логическими заданиями

2022/2023

44

58

2023/2024

47

69

2024/2025

49

76

Таблица 1

Данные таблицы показывают, что на старте различия между классами

были незначительными. За четыре года разрыв увеличился до 27 процентных

пунктов, что свидетельствует об устойчивом эффекте систематической работы.

Доля учеников экспериментального класса, справившихся с заданиями на

построение доказательства, выросла с 22 процентов в начале пятого класса до

64 процентов к концу восьмого класса.

Качественные изменения фиксировались в следующих показателях.

Увеличилось число учеников, которые при выполнении задания спрашивают не

«Какой ответ?», а «Почему так?». Уменьшилось количество случаев, когда

ученик, получив неверный ответ, не может объяснить свои действия. На устных

опросах ученики стали чаще использовать речевые конструкции «из этого

следует», «так как», «следовательно», «предположим противное». При решении

текстовых задач повысился процент работ, в которых присутствует краткая

запись условия или схема рассуждения, а не только числовой ответ.

Косвенным показателем результативности является динамика результатов

участия школьников в олимпиадах и конкурсах. За последние три года два

ученика экспериментального класса становились призёрами муниципального

этапа всероссийской олимпиады школьников по математике. Команда класса

заняла третье место в городском математическом турнире среди восьмых

классов. В международном игровом конкурсе по математике доля учеников,

набравших баллы выше среднего по региону, выросла с 18 до 35 процентов.

Страница

10

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

Транслируемость опыта

Опыт был представлен педагогическому сообществу в разных формах. В

течение двух лет проведено пять открытых уроков для учителей математики

городского методического объединения. Темы открытых уроков: «Признаки

делимости» в 5 классе, «Сравнение дробей с разными знаменателями» в 6

классе, «Сумма углов треугольника» в 7 классе, «Квадратные уравнения с

параметром» в 8 классе, «Логические задачи на графах» в 9 классе.

На заседании городского методического объединения учителей

математики был представлен доклад по теме «Приёмы развития логического

мышления на разных этапах урока». Доклад сопровождался раздаточными

материалами, содержащими примеры заданий для 5–9 классов. Материалы

были использованы коллегами из школ города; по их отзывам, наиболее

востребованными оказались карточки логических разминок и задания на поиск

ошибки в готовом решении.

Опыт обобщён в методической разработке «Система заданий для развития

логического мышления на уроках математики в 5–7 классах», которая прошла

обсуждение на школьном методическом совете и рекомендована к

использованию. Разработка содержит подборку из 120 заданий, распределённых

по темам и типам логических операций. Каждое задание сопровождается

комментарием о месте применения на уроке и ожидаемом уровне трудности.

Проведены два мастер-класса в рамках региональной августовской

конференции педагогических работников. Участники мастер-классов

самостоятельно выполняли задания, моделируя учебную ситуацию, после чего

обсуждали методические приёмы. По результатам анкетирования участников,

87 процентов отметили практическую применимость предложенных

материалов.

Страница

11

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

Школьное методическое объединение учителей естественнонаучного

цикла использовало элементы опыта при разработке интегрированных уроков

математики и физики, математики и информатики. Учителя физики отметили,

что ученики, прошедшие систематическую подготовку, увереннее работают с

формулами, лучше понимают зависимость между величинами и легче строят

объяснение физического явления.

Заключение: выводы и перспективы

Проведённая работа позволяет сделать обоснованный вывод о том, что

развитие логического мышления на уроках математики достижимо при

соблюдении ряда принципов. Главный принцип — систематичность.

Логический компонент должен быть встроен в каждый урок, а не выделен в

отдельные редкие мероприятия. Второй принцип — деятельностный характер

обучения. Ученик развивает мышление только в процессе самостоятельного

рассуждения, поиска ошибок, выдвижения гипотез и их проверки. Третий

принцип — постепенность перехода от внешней опоры к внутреннему

действию. Четвёртый принцип — вариативность заданий, предупреждающая

привыкание к одному типу формулировок.

Перспективы развития опыта связаны с несколькими направлениями.

Предполагается расширить применение цифровых инструментов для создания

интерактивных логических тренажёров, в которых ученик получает

немедленную обратную связь. Планируется усилить межпредметную

интеграцию, особенно с информатикой, где логические операции востребованы

при изучении алгоритмизации и программирования. Отдельным направлением

может стать разработка диагностических материалов для отслеживания уровня

сформированности логических универсальных учебных действий на каждой

параллели. Накопленный банк заданий планируется дополнить задачами,

Страница

12

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»

требующими построения контрпримеров, так как умение опровергать

утверждение является для большинства школьников более сложным, чем

умение доказывать истинность.

Практическая значимость опыта состоит в том, что предложенная система

не требует специального финансирования, дополнительных часов или особого

оборудования. Она реализуется в рамках обычной учебной нагрузки и доступна

учителю с любым стажем работы. Для начинающего педагога ценность

представляют готовые подборки заданий и алгоритмы введения логических

приёмов. Для опытного учителя опыт может служить основой для

совершенствования собственной методической системы.

Устойчивость результатов подтверждается их сохранением при переходе

учеников от одного учителя к другому внутри школы, а также положительными

отзывами учителей старшей школы о подготовленности выпускников к

доказательному рассуждению на уроках алгебры и начал анализа.

Список литературы



Федеральный государственный образовательный стандарт основного

общего образования, утверждённый приказом Министерства просвещения

Российской Федерации от 31 мая 2021 года № 287.



Концепция развития математического образования в Российской

Федерации, утверждённая распоряжением Правительства Российской

Федерации от 24 декабря 2013 года № 2506-р.



Выготский Л. С. Мышление и речь. Москва: Национальное образование,

2021.



Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. Москва: ИНТОР, 2021.



Эльконин Д. Б. Психология обучения младшего школьника. Москва:

Педагогика, 2020.

Страница

13

Обобщение педагогического опыта по теме «Развитие логического мышления на уроках математики»



Гальперин П. Я. Лекции по психологии. Москва: Книжный дом

Университет, 2020.



Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных

задач. Москва: ЛЕНАНД, 2022.



Хинчин А. Я. Педагогические статьи: Вопросы преподавания математики.

Москва: URSS, 2021.



Шарыгин И. Ф. Математика. Задачи на смекалку. Москва: Просвещение,

2022.



Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. Логические и проблемные

задания. Москва: Мнемозина, 2021.

Страница

14