Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение Республики Крым

«Симферопольский политехнический колледж

имени князя Л.С. Голицына»

Методическая разработка

открытого занятия

«Позиционные и непозиционные системы

счисления»

по дисциплине

«Информационные

технологии/Адаптированные

информационные технологии»

Подготовила:

Преподаватель специальных дисциплин

Акимова Екатерина Леонидовна

г. Симферополь – 2025

2

Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Информационные

технологии/Адаптированные

информационные

технологии»,

подготовила

Акимова Екатерина Леонидовна, преподаватель специальных дисциплин, 2025 г.

Рецензенты: Гнатенко Татьяна Владимировна, старший методист ГБПОУ РК

«Симферопольский политехнический колледж им. Князя Л.С. Голицына»

РАССМОТРЕНА И ОДОБРЕНА

цикловой методической комиссией

информационных систем и программирования

(протокол от «___»_________2025 г. №___)

Председатель ЦМК ____________ Е.Л. Акимова

подпись

© Е.Л. Акимова

3

Тема: Позиционные и непозиционные системы счисления.

Цель:

1.

Учебная:

познакомить с общими представлениями о позиционных и

непозиционных системах счисления; научить определять основание и алфавит

системы счисления, переходить от свернутой формы записи числа к его

развернутой записи, а также научить обучающихся производить кодирование

информации с помощью двоичной системы счисления.

2.

Развивающая:

использовать полученные знания для практических

целей.

3.

Воспитательная:

способствовать развитию внимания, работать в

коллективе, повышать познавательную активность,

формировать устойчивый

интерес к будущей профессии.

Задачи: рассмотреть основные определения системы счисления, изучить

позиционные и непозиционные системы счисления, а также изучить алгоритм

перевода систем счисления.

Формируемые общие компетенции:

ОК 01. Выбирать способы решения задач профессиональной деятельности,

применительно к различным контекстам.

ОК 02. Осуществлять

поиск,

анализ

и

интерпретацию

информации,

необходимой для выполнения задач профессиональной деятельности.

ОК 09. Использовать информационные технологии в профессиональной

деятельности.

Описание формируемой профессиональной компетенции:

4

Обеспечивать защиту информации в сети с использованием программно-

аппаратных средств.

В результате проведения лекционного занятия обучающиеся должны:

знать:



виды и формы представления информации;



принципы кодирования и декодирования информации.

учебно-методическое обеспечение:



ноутбук;



мультимедиапроектор (переносной);



экран проекционный (переносной);



операционная система Альт Образование;



презентация;



раздаточный материал.

Рекомендуемые группы: группа 2ИСП-П1, второго курса специальности

09.02.07 Информационные системы и программирование.

Присутствующие:

Е.В. Крутченко,

А.А. Мясникова,

Е.А. Смирнова.

План занятия

1.

Подготовка и организация рабочего места.

2.

Инструктаж по технике безопасности на рабочем месте и правила

поведения в кабинете основ теории кодирования и передачи информации.

5

3.

Основные цели и задачи лекции.

4.

Мотивация.

5.

Самостоятельная работа студентов.

6.

Подведение итогов.

6

ПЛАН ЛЕКЦИОННОГО ЗАНЯТИЯ

1. Подготовка и организация рабочего места

Организационный

момент.

Приветствие.

Отметка

в

журнале

отсутствующих. Организация рабочего места каждого студента.

2. Инструктаж по технике безопасности на рабочем месте и правила

поведения

в

кабинете

основ

теории

кодирования

и

передачи

информации

При работе в кабинете основ теории кодирования и передачи информации

каждый студент должен соблюдать следующие правила по технике безопасности

на рабочем месте и правила поведения:

1.

Выполнять

только

ту

работу,

по

которой

проинструктирован

обучающийся.

2. Содержать в чистоте свое рабочее место, а по окончанию работы

тщательно убирать его.

3. В кабинете строго запрещается распивать напитки и употреблять еду.

3. Основные цели и задачи выполнения лекционного занятия

Определение темы лекционного занятия, цели и задачи.

Цель

лекционного занятия является рассмотреть основные понятия

системы счисления.

Основной

задачей

занятия

является

изучение

позиционных

и

непозиционных систем счисления

.

4. Мотивация

7

В древности пещерные люди не умели ни считать, не писать. Для

обозначения количества в подсчетах использовались пальцы рук и ног. Если их

оказывалось недостаточно, то всё что больше описывали простым словом

– «много». По мере эволюции, в разных частях мира, люди придумывали

разные методы счета и формы записи чисел. Давайте выясним, какая система

счисления была первой. Итак, начало.

Согласно истории человек быстро эволюционировал – изобретались

новые орудия для охоты, и появлялись инструменты, которые помогали вести

сельское хозяйство. В результате развития людское племя начало быстро

отвоевывать земли у дикой природы. Количество добычи, как и население

племен неуклонно росло. Человеку больше не хватало обозначений один, пара,

несколько или много. Это привело к возникновению и созданию первой, самой

древней

в

истории,

простейшей

формы

счисления,

называемой унарной (единичной).

В этой форме счисления алфавит состоял из одного символа. Древние

люди использовали зарубки на дереве, либо наносили палочки на стены пещер

и кости убитых животных. Сколько объектов могли подсчитывать древнейшие

племена – неизвестно. Однако, в 1937 году в Вестонице учеными археологами

была найдена волчья кость, на которую было поставлено пятьдесят пять

насечек. На данный момент это наибольшее значение, которое удалось

подтвердить (см. рис.1).

8

Рисунок 1 – Кость, на которую поставлено пятьдесят пять насечек

Унарная форма используется и в современной истории, например сейчас

применяется для обучения маленьких детей счету – вспомните про счетные

палочки.

Далее,

после того как люди разбрелись по всему миру было предложено

много простых форм записи чисел. Однако, все числовые нумерации

можно

было разделить на две большие ветви – позиционные и непозиционные

системы.

Рассмотрим непозиционные системы счисления.

В непозиционных нумерациях, позиция цифры в числе не влияла на её

значение. Например, возьмем римскую нотацию. В ней число 11 представляется

двумя латинскими буквами X(10) и I(1). Если поставить единицу до десяти, то

9

получится 9. При перестановке знака его значение не поменялось – единица так

и осталась единицей. Более подробно разберем римскую, и некоторые другие

системы этого типа, которые были популярны в истории.

1. Римская – первые упоминания о её возникновении и происхождении в

истории появились в 500 годах до нашей эры, в древнем Риме. В качестве

алфавита для представления чисел использовались латинские буквы – X, I, V и

другие (см. рис. 2). Популярна и сейчас – обозначения веков, групп крови и

воинских

частей

записываются

в

этой

форме

записи.

Часы

с

римским

циферблатом установлены на здании кремля в Москве.

Рисунок 2 – Римская система счисления

2. Египетская – использовалась до десятого века до нашей эры. Числа в

ней записывались при помощи иероглифов (см. рис. 3). Самое интересное, что с

её помощью можно было считать до миллиона. Каких-то специальных приемов

и правил для записи не существовало: иероглифы могли записываться как слева

направо, так и справа налево. Ниже приведена краткая таблица обозначений с

расшифровкой некоторых символов:

10

Рисунок 3 – Египетская система счисления

3. Славянская – использовалась нашими предками в древней Руси. Её

происхождение и развитие началось с десятого века. Если описать кратко, то в

такой

форме

записи

числа

каждой

букве

кириллического

алфавита

сопоставлялся знак (цифра). Например, букве «Азь» соответствовала единица,

«Веди»

– двойка и так далее. Представляет собой почти полную копию

греческой нумерации. Согласно истории, вышла из употребления в 1725 году и

была заменена на арабские цифры (см. рис. 4).

11

Рисунок 4 – Славянская система счисления

К сожалению, данный вид счислений почти не используется. Почему? С

помощью непозиционных форм неудобно представлять большие значения и

делать перевод из одной нумерации в другую. Именно поэтому, в результате

развития,

в

истории

появляется

другой

вид

счислений

называемый

позиционным.

Теперь рассмотрим позиционные системы счисления

Позиционные

В позиционном виде имеет роль, какую позицию цифра занимает в числе.

Например, возьмем число 10 – здесь единица обозначает количество десятков, а

в числе 100 единица представляет количество сотен. С помощью такой формы

удобно представлять большие значения и легко выполнять арифметические

действия. Именно поэтому большая часть человечества пользуется системами

счислений, которые относятся к этой группе.

В истории считается, что позиционное счисление изобрели древние

шумеры и жители Вавилона. На его принципах, в пятом веке, индусами была

построена десятичная система, которая состояла из индуских цифр (1-9) и нуля,

который обозначал отсутствие числа (см. рис. 5).

12

Рисунок 5 – Обозначение чисел

Также её возникновению способствовал великий индийский ученый Абу

Джафар Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми (см. рис. 6) с помощью работы,

которая называется «Краткая книга о восполнении и противопоставлении»,

ставшей важной вехой для развития классической алгебры и арифметики,

давшей начало простым основам теории решения уравнений. Впоследствии

система стала широко использоваться арабами, которые через некоторое время

видоизменили знаки её алфавита.

Рисунок 6 – Муса Аль-Хорезми

13

В Европе же её возникновение приписывается купцам, перенявшим её у

индийцев. Упоминание об этом в истории датируется десятым веком нашей эры.

Однако,

широкого

развития

и

популярности

вначале

она

не

получила.

Большинство европейцев продолжали пользоваться римской нумерацией. Всё

изменилось после выхода в свет нескольких трактатов великого итальянского

математика Леонардо Фибоначчи в 1200 году (см. рис. 7).

Рисунок 7 – Леонардо Фибоначчи

Сам он был купцом и учился науке у арабских учителей, когда ездил по

торговым делам. Со своими работами математик посетил Сирию, Египет и

Сицилию, а после издал труд, который называется «Книга Абака». В ней

показывалось преимущество позиционных систем над римской нотацией.

В истории России первые упоминания об арабском алфавите начинаются с

четырнадцатого века, а после введения гражданской азбуки в восемнадцатом

веке он полностью вытесняет славянские кириллические цифры. Именно в таком

виде алфавит дошел до нас.

14

А как же, мир информатики?

Стоит отметить, что системы счисления играют большую роль в развитии и

происхождении компьютерной сферы, и цифровой техники. С помощью них

ЭВМ представляют информацию в виде удобном для хранения, передачи и

обработки.

Сейчас наибольшую популярность имеет

цифровой код, введенный в

историю немецким математиком Вильгельмом Лейбницем (см. рис. 8) в

семнадцатом веке.

Рисунок 8 – В. Лейбниц

Его алфавит состоит всего из двух символов (0 и 1). Он успешно

используется в ЭВМ с 1940 года. Широкое использование обусловлено:

1.

Легкой технической реализацией.

2.

Аппаратура может находиться всего лишь в двух состояниях, а это

обеспечивает высокую помехоустойчивость и скорость работы.

Давайте перечислим примеры позиционных систем счислений, а также их

использование в математике и информатике:

1.

Десятичная – все вы её прекрасно знаете и изучали с первого класса.

В качестве алфавита здесь используются цифры от 0 до 9.

15

2.

Двоичная – счисление введенное в семнадцатом веке великим

математиком Вильгельмом Лейбницем. В данный момент нашло широкое

применение в персональных компьютерах и цифровой технике. Состоит всего из

двух знаков 0 и 1.

3.

Третичная – состоит из 0, 1 и 2 либо латинских букв A, B, C. На

данный момент нигде не применяется. Однако в 1959 году Московским

университетом на её основе был выпущен малый компьютер “Сетунь”.

4.

Восьмеричная

–

счисление,

широко

применяющееся

в

высокоуровневых языках программирования (например, Java и Python) и

разработке цифровой аппаратуры. Свою популярность заслужила из-за легкого

перевода в цифровой (двоичный) код. Состоит из цифр от 0 до 7.

5.

Двенадцатеричная – распространена на территории Индии и Тибета.

Счисление построено на пальце-фаланговом методе счета, при котором

большим пальцем считают фаланги той же руки. Попробуйте сами посчитать

фаланги, и вы убедитесь, что их действительно 12. Постепенно полностью

заменяется десятичной.

6.

Шестнадцатеричная – счисление используется в низкоуровневых

языках программирования (язык Assembler’а) в информатике. Также в 16-ом

виде представляются символы в стандарте Юникода. В её алфавит входят числа

от 0 до 9 и латинские буквы A, B, C, D, E и F.

Теперь вы знаете краткую историю создания и развития систем счисления

– от самых древних времен и заканчивая нашими днями. Имеете представление

о самых популярных и в курсе, какая из них самая древняя.

16

Давайте более подробно рассмотрим двоичную система исчисления,

называемую также бинарным кодом. Так как вы будете работать в айти сфере

необходимо обязательно разобраться в данном вопросе.

Экскурс в прошлое

Бинарное исчисление было введено немецким математиком и ученым

Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке (мы свами в вкратце узнали об

этом ранее). Он считал двоичную нумерацию простой и красивой. Вот что он сам

про неё говорил: «Вычисление с помощью двоек является для науки основным и

порождает

новые

великие

изобретения.

При

сведении

чисел

к

таким

основаниям, как 0 и 1 — появляется чудесный порядок». Однако счисление не

получило большой популярности. По нему не издавали работ до 20 века.

Однако, с появлением первых ЭВМ все поменялось, и мы пользуемся им до сих

пор.

Для того чтобы полностью разобраться с двоичным исчислением нужно

разобрать основные определения. Это будет фундаментом для того, чтобы вы

смогли понять то, что дальше буду объяснять. К ним относятся такие понятия

как:

1.

Цифры – знаки, с помощью которых мы записываем числа (0-9).

2.

Алфавит – набор знаков, которые мы используем для отображения

числового значения. В арабском алфавите, который используется во всем мире,

знаки состоят из цифр от 0 до 9.

3.

Разряд — место (позиция) цифры, которое она занимает. Далее я

наглядно покажу, что он из себя представляет.

4.

Основание – количество символов, которое используется, чтобы

представить

информацию

в

нужной

системе

счисления.

Например,

в

17

шестнадцатеричном исчислении используются – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, 16

символов.

5.

Позиционные система счисления – системы, где значение цифры

зависит от её разряда (места в числе).

Исходя из этого:

Двоичная система счисления – позиционная система с основанием 2. Для

отображения чисел применяется два знака – 0 и 1.

В математике обозначается с помощью нижнего индекса, где указано

основание.

Выглядит

это

вот

так

.

Натуральные

числа

представляются по следующей формуле:

где:



а – цифры (нуль или единица);



n – номер последней позиции в числе. Отсчет начинаем от 0 и считаем

справа налево;



k – индекс позиции.

Но, без практики объяснить, как этим пользоваться – трудно. Поэтому

рассмотрим пару примеров. Однако для начала вам необходимо посмотреть

таблицу, где значения бинарного кода представляются в десятичной форме.

Выглядеть она будет следующим образом (см. рис. 9):

18

Рисунок 9 – Значение бинарного кода представленного в десятичной форме

Рассмотрим примеры:

Задание 1:

Представить 7 в двоичном коде, а потом расписать его с

помощью формулы выше.

Для того чтобы это сделать ннеобходимо:

1. Последовательно делить семерку на 2, пока остаток от нее станет

меньше либо равен единице. Используем принцип деления «столбиком».

2. Записываем значение в двоичной форме по остаткам справа налево.

19

Ответ:

Сверяем результат с таблицей.

20

Записываем в виде степенного ряда:

n

(номер

крайней

позиции)=2

так

как

Задание 2: Отобразить 13 в двоичной системе счисления.

Все шаги останутся точно такими же, однако я покажу другой способ для

выполнения первого пункта. Принцип тот же, но он кажется мне более удобным.

Получаем

что

Далее приведём несколько свойств, которые вы сможете применить при

работе с двоичной системой.

21

Полезные свойства

–

Добавляя справа нулик, вы увеличиваете числовое значение в два раза:

– В конце четного числа всегда стоит нуль, а в конце нечетного – единица.

Если не верите, то можете посмотреть в таблице =):

– Числа, которые можно представить записью —

записываются k

единицами в двухзначном представлении.

Области применения

1.

Во всех компьютерах и другой цифровой технике мы применяем

бинарное исчисление. Все дело в его простоте. 0 и 1 соответствует двум

состояниям электрической цепи – включено и выключено. Простота реализации

обеспечивает высокую скорость работы и высокую помехоустойчивость всей

системы в целом.

2.

В шифровании сообщений. Вспомните азбуку Морзе, которая

популярна среди радиолюбителей. В ней используется два сигнала:

1) длинный гудок – называется тире;

2) короткий гудок – точка.

22

3.

Для кодирования изображений. Каждый пиксель картинки, которая

сохранена

в

одном

растровых

форматах

(png,jpg,gif

и

других),

хранит

информацию о своем цвете, используя три байта памяти ПК – двадцать четыре

нуля и единицы (двоичное исчисление).

4.

Является

основой

«Дополнительного

двузначного

кода».

Кодирование, которое используется в электронно-вычислительных машинах для

представления

отрицательных

чисел.

В

результате

операция

вычитания

заменяется

операцией

сложения,

что

значительно

упрощает

архитектуру

конструирования ЭВМ.

5.

Лежит в основе работы таких устройств, как компараторы, которые

применяются для преобразования аналогового сигнала в цифровой (широко

используется в теле-радиовещании).

5. Самостоятельная работа студентов

Задание №1. Переведите числа из двоичной системы счисления в

десятичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

№ варианта

Двоичное число

№ варианта

Двоичное число

1

11101010

1

111101011

2

100100110

2

111101

3

11000101

3

10001111

4

100011111

4

1100101001

5

101010101

5

101101101

23

Задание №2.

Переведите числа из десятичной системы счисления в

двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

1 вариант

Десятичное число

2 вариант

Десятичное число

1

125

1

205

2

381

2

352

3

376

3

118

4

253

4

344

5

317

5

290

6. Подведение итогов

Преподаватель

подводит

итоги

по

лекционному

занятию,

дает

индивидуальную оценку по проделанной работе каждого студента.

24

25