«Решение задач на движение по воде»

Автор:Гриненко Светлана Николаевна,

Ермоленко Людмила Валентиновна

МБОУ « СОШ №141 г. Челябинска»

2026год

В «Федеральном компоненте образовательного стандарта основного общего образования по

математике» представлен «обязательный минимум содержания основных общеобразовательных

программ», среди которых есть и умение решать текстовые задачи.

Арифметика: «…Проценты. Нахождение процента от величины, величины по её проценту.

Текстовые задачи (на движение, работу, стоимость, смеси и др.) Решение текстовых задач

арифметическим способом»

Алгебра: «… Составление уравнений, неравенств и их систем по условиям задач. Решение задач

алгебраическим способом».

В «Требованиях к уровню подготовки выпускников основной школы» сказано, что ученик должен

уметь:

Арифметика: «,,, Решать текстовые задачи, включая задачи на движение и работу; задачи, связанные

с отношением и с пропорциональностью величин; основные задачи на дроби и проценты; задачи с

целочисленными неизвестными».

Алгебра: «,,, Решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный

результат, проводить отбор решений, учитывать ограничение целочисленности, диапазона изменения

величин.»

С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику

вырабатывать

правильные

математические

понятия,

глубже

выяснить

различные

стороны

взаимосвязей в окружающей его жизни, даёт возможность применять изучаемые теоретические

положения. Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо ответить,

опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.

Следует учесть, что научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их.

Задачи,

связанные

движением

или

задачи

с

величинами:

скорость,

время,

расстояние,

рассматриваются в 4 классе. Подготовительная работа к решению простых задач на движение в

одном направлении предусматривает обобщение представлений детей о движении, знакомство с

новой величиной «скорость», раскрытие связей между величинами: скоростью, временем,

расстоянием.

Для решения текстовых задач в школе

применяют два основных метода: арифметический и

алгебраический. Рассмотрим каждый из этих методов.

Арифметический метод

заключается в том, что задача решается отдельными арифметическими

действиями. Значение неизвестной величины определяется через известные по условию задачи

величины. При этом необходимо выяснить, какая из трех основных величин (пройденный путь,

скорость, время) неизвестна, и с помощью какого арифметического действия можно определить эту

неизвестную величину. Напомним, что за основу берется формула пройденного пути , откуда

получаем еще две формулы: t V S

- для определения скорости и t S V :

- для определения времени движения. V S t :

Арифметический метод решения задач преимущественно используется в 5-6 классах. Задачи на

движение по реке, решаемые арифметическим методом, служат для отработки вычислительных

навыков и навыка решения задач на движение, готовят к пониманию текстов алгебраических задач,

служат пропедевтикой для изучения алгебры.

Простые задачи позволяют учащимся усвоить понятия «собственная скорость»; «скорость в стоячей

воде»; «скорость течения»; «скорость плота», «скорость по течению»; «скорость против течения»,

выработать навыки нахождения этих видов скоростей.

Ученик с 5 класса должен знать:



Скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.



Скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения реки.



Скорость по озеру равна собственной скорости.



Собственная скорость равна половине суммы скорости по течению и скорости против течения.

Задача1. Из четырех скоростей (Vсоб.,Vпо теч.,Vпр. теч.,Vтеч. ) две заданы и изображены отрезком.

Вычислите две другие скорости и изобразите их отрезками:

№ 2. Заполним таблицу.

Vсоб, км/ч

V теч,

км/ч

Vпо теч, км/чVпр. теч, км/ч

15

3

?

?

16

?

18

?

13

?

?

10

?

2

11

?

?

3

?

15

?

?

28

24

Решение задач на движение по реке арифметическим способом.

1.

Собственная скорость моторной лодки 17 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. Найдите скорость

моторной лодки по течению реки.

1) 17+2 =19(км/ч)

Ответ: скорость моторной лодки по течению 19км/ч.

2.

Скорость теплохода при движении по озеру 32 км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите

скорость теплохода против течения реки.

1) 32-3=29(км/ч)

Ответ: скорость теплохода против течения 29км/ч.

3.

Скорость лодки по течению реки 8 км/ч. Собственная скорость лодки 5 км/ч. Найдите скорость

течения реки.

1) 8-5=3(км/ч)

Ответ: скорость течения реки 3 км/ч.

4.

Скорость катера в стоячей воде 12 км/ч, а по течению реки -14 км/ч. Найдите скорость течения

плота, плывущего по этой же реке.

1) 14-12=2(км/ч)

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.

Задачи, в которых надо найти ни одну, а несколько скоростей: скорость не только по течению,

но и против, среднюю скорость движения .

1.

Собственная скорость катера 12 км/ч. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите скорость катера по

течению и против течения реки.

1) 12+3=15(км/ч)

2) 12-3=9(км/ч)

Ответ: скорость катера по течению реки 15км/ч, скорость катера против течения 9 км/ч.

2.

Собственная скорость катера 21,7 км/ч, а его скорость по течению реки - 24,2 км/ч. Найдите

скорость катера против течения реки.

1) 24,2-21,7=2,5(км/ч)-скорость течения реки;

2) 21,7-2,5=19,2(км/ч)

Ответ: скорость катера против течения 19,2 км/ч.

3.

Собственная скорость теплохода 41,2 км/ч, а его скорость против течения реки - 37,6 км/ч.

Найдите скорость теплохода по течению реки.

1) 41,2 - 37,6=3,6(км/ч)-скорость течения реки;

2) 41,2+3,6=44,8 (км/ч)

Ответ: скорость теплохода по течению реки 44,8 км/ч.

Примеры

на движение по реке, решаемых арифметическим способом с использованием

общего правила решения задач на движение: путь=скорость*время.

S=v*t

1.

Собственная скорость теплохода 48,2 км/ч, а его скорость против течения реки - 45,5 км/ч. Какое

расстояние пройдет теплоход по течению реки за 5 ч?

1) 48,2-45,5=2,7 (км/ч) скорость течения реки;

2) 48,2+2,7=50,9(км/ч) скорость теплохода по течению реки;

3) 50,9*5=254,5(км)

Ответ: теплоход по течению реки пройдет 254,5 км.

2.

Моторная лодка, собственная скорость которой 12,6 км/ч, прошла за 3 ч по течению реки 46,2 км.

Найдите скорость течения реки.

1) 46,2 : 3=15,4 (км/ч) –скорость моторной лодки по течению реки.

2) 15,4-12,6=2,8 (км/ч)

Ответ: 2,8 км/ч–скорость течения реки.

3.

Скорость течения реки 4,6 км/ч. Теплоход за 4 ч прошел против течения 154,4 км. Какова

собственная скорость теплохода?

1) 154,4 :4 =38,6(км/ч)- скорость теплохода против течения реки;

2) 38,6+4,6=43,2(км/ч)

Ответ: собственная скорость теплохода 43,2 км/ч.

4.

Туристы проплыли на лодке 24 км вниз по реке до острова и, побыв там, вернулись в лагерь.

Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки 8 км/ч. Сколько времени туристы были в

пути?

1) 8+2=10(км/ч)-скорость лодки вниз по реке;

2) 8-2=6(км/ч)-скорость лодки вверх по реке;

3) 24: 10=2,4 (ч)- время движения вниз по реке;

4) 24: 6= 4 (ч)- время движения вверх по реке;

5) 2,4+4=6,4(ч)

Ответ: время туристов в пути 6,4 ч.

Алгебраический способ.

Решение задач алгебраическим способом осуществляется при помощи уравнений. Для того, чтобы

решить задачу с помощью уравнения, надо сначала по условию задачи составить его. Для этого

соотношения между величинами в задаче необходимо перевести на математический язык.

Примерная схема (алгоритм) решения задачи алгебраическим способом:

1. Выбирают одну из неизвестных величин, входящих в условие задачи, и обозначают ее буквой x

(можно другой латинской буквой). Обычно через x обозначают искомую величину, т.е. ту, которую

требуется определить. Но иногда бывает удобнее обозначить через x какую-либо другую

неизвестную величину, связанную с искомой величиной.

2. Все остальные неизвестные величины, входящие в условие задачи выражают через x . При этом

необходимо строго следить за тем, чтобы все однородные величины были выражены в единицах,

одного наименования (приведены к одной единице измерения).

3. На основании данной в условии задачи зависимости между величинами составляют уравнение.

4. Решают составленное уравнение.

5. Далее необходимо проверить, удовлетворяет ли найденный корень условию задачи.

6. Запись ответа.

В шестом классе можно начать решать простейшие алгебраические задачи, вариации которых могут

подвести к пониманию необходимости изучения действий с алгебраическими дробями.

1.Теплоход проходит за 15 часов против течения столько же, сколько за 13 часов по течению.

Найдите скорость течения реки, если собственная скорость теплохода 70 км/ч?

v соб = 70 км/ч; v теч =х км/ч.

v по= v соб + v теч

v против= v соб - v теч

В целях обеспечения пропедевтики решения задач алгебраическим методом можно использовать

табличную форму анализа текста задачи:

На движение по реке

По течению

Против течения

V, км/ч

70+х

70-х

t,ч

13

15

S=v*t, км

13(70+х) =

15(70-х)

Решение:

13(70+х) =15(70-х)

910+13х=1050-15х

28х=140

Х=5

Ответ: 5км/ч

Опыт показывает, что решая табличным методом, учащиеся видят как различные задачи, переводя на

математический язык, становятся похожими. Однако система задач на движение по реке,

предлагаемая в учебниках, не позволяет в должной мере сформировать у учащихся навык решения

такого типа задач.

2.

На путь по течению реки катер затратил 3ч, а на обратный путь 4,5ч. Какова скорость течения

реки, если скорость катера относительно воды 25 км/ч?

Пусть v

теч

= xкм/ч

Так как прошел

одинаковое расстояние составим уравнение:

3(25+х)= 4.5(25-х)

3.

За 6 часов катер проходит по течению реки на 20 км меньше, чем за 10 часов против течения.

Какова скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 15 км/ч.

Пусть v

теч

= xкм/ч

На движение по реке

V,км/ч

t,ч

S,км

По течению

15+х

6

6(15+х) на 20км меньше. чем

Против течения

15-х

10

10(15-х)

Т.к. расстояние по течению на 20 км меньше, то запишем уравнение:

6(15+х)+20 = 10(15-х)

90+6х+20 = 150-10х

6х+10х = -90-20+150

16х = 40

х = 40:16

х = 2,5

2,5 км/ч – скорость течения. Ответ: 2,5

В учебниках 7-9 класса встречаются задачи, которые выходят на ОГЭ.

Задача на движение одного объекта. 7 класс

1. Теплоход прошел расстояние между пристанями по течению реки за 4 ч, а против течения реки

за 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость реки 2 км/ч. Каково расстояние

между пристанями?

Пусть v

собст

= xкм/ч

На движение по реке

V,км/ч

t,ч

S,км

По течению

х+2

4

4(х+2)

Против течения

х-2

5

5(х-2)

Т. к. путь по течению реки и против течения один и тот же, составим уравнение.

На движение по реке

V,км/ч

t,ч

S,км

По течению

25+х

3

3(25+х)

Против течения

25-х

4,5

4.5(25-х)

5(х - 2) = 4(х + 2)

5х - 10 = 4х + 8

5х - 4х = 8 + 10

х = 18

Итак, собственная скорость теплохода 18 км/ч.

S=v*t тогда S=(18+2)•4=80(км) или(18-2) •5=80(км)

Ответ: 18; 80

2. Прогулочный речной катер на маршрут к базе отдыха и обратно затрачивает 2ч 40 мин. На

каком расстоянии от начала маршрута находится база отдыха, если собственная скорость катера

35 км/ч, скорость течения реки 5 км/ч и возле базы отдыха катер делает остановку на полтора

часа?

Пусть S=хкм

На движение по реке

V,км/ч

t,ч

S,км

По течению

35+5

х

40

х

Против течения

35-5

х

30

х

Так как делает остановку на 1,5 ч, то время движения равно 2ч40мин-1ч30мин=1ч10минили

7

6

ч

х

40

+

х

30

=

7

6

. общий знаменатель 120

7 х

120

=

140

120

7Х=140

Х=20 , база находится на расстоянии 20 км

Ответ:20

3.Два катера отходят одновременно от пристани А к пристани В, расстояние до которой 100 км.

Проходя в час на 3 км больше второго катера, первый катер через 4 ч пути был вдвое ближе к

пристани В, чем второй катер. Найти скорость каждого катера. Решение. Изобразим графически

условие задачи

Так как расстояние между пристанями А и В равно 100км, то первому катеру до пристани В осталось

пройти (100-4(x +3)) км (отрезок С1B на рис.1), а второму осталось пройти (100 -4x) км (отрезок С1B

на рис.1). Согласно условию задачи ( С2B =2 С1B ) имеем уравнение: 100 -4x =2(100 -4(x+ 3)) ,

решением которого является x 19 . Итак, 19км/ч – скорость второго катера и 22км/ч – скорость

первого.

Ответ: 22км/ч, 19км/ч.

Задача на движение одного объекта. 8-9 класс

Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов.

Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Решение.

Обозначим

км/ч искомую скорость.

На движение по реке

V,км/ч

t,ч

S,км

По течению

х+3

36

Против течения

х-3

36

Так как на весь путь потратила 5 часов , составим уравнение

.

Решим его:

Корни квадратного уравнения: 15 и −0,6. Следовательно, скорость лодки равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

2. Пристани

и

расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч.

Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную

скорость лодки.

Решение.

Пусть

км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость движения по течению равна

км/ч,

а скорость движения против течения равна

км/ч. Обозначим

расстояние между пристанями.

Время, затраченное на весь путь, равно

.

По условию средняя скорость равна 8 км/ч, а весь путь равен

. Следовательно,

.

Решим это уравнение:

Получаем:

или

. Корень −1 не является решением задачи. Значит, скорость лодки равна

9 км/ч.

Ответ: 9 км/ч.

3. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа

после этого следом за ним со скоростью, на 2 км/ч большей, отправился второй. Расстояние между

пристанями равно 168 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода

прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Примем скорость первого теплохода за х км/ч.

Сказано, что через два часа после отправления первого, в путь отправился второй, то есть он

затратил время на движение на два часа меньше:

Умножаем левую и правую части на х(х + 2

≠ 0

Решаем квадратное уравнение:

Скорость есть величина положительная, значит, она равна 12 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч

Задача на движение одного объекта. Необходимо обратить внимание что в данных есть общее

время и время стоянки.

4.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 560 км и после стоянки возвращается в

пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4

км/ч, стоянка длится 8 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 56 часа после

отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x (км/ч). Всего теплоход затрачивает 56 часа (на

весь путь: туда, два часа стоянки, обратно). То есть:

56 = (ПО ТЕЧЕНИЮ)+(СТОЯНКА)+(ПРОТИВ ТЕЧЕНИЯ)

Таким образом, скорость теплохода в неподвижной воде равна 24 км/ч.

Ответ: 24

Ответ: 4 км/ч.

5. Задача на движение двух объектов в одном направлении вдогонку.

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 70 км, отправился с постоянной ско-

ростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью, на 8 км/ч большей,

отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли од-

новременно.

Решение.

Пусть

км/ч — скорость первого теплохода, тогда

км/ч — скорость второго теплохода. Рассто-

яние между пристанями 70 км, второй теплоход отправился в путь через час после выхода первого,

причём в конечный пункт оба теплохода прибыли одновременно, составим уравнение:

Корень −28 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость первого теплохода равна 20

км/ч.

Ответ: 20.

6. Задача на движение двух объектов в одном направлении вдогонку. Есть необходимость

повторения скорости плота.

Расстояние между пристанями А и В равно 99 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через

час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно

и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 22 км. Найдите скорость лодки в неподвижной

воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение.

Плот прошёл 22 км, значит, он плыл 11 часов, из которых лодка находилась в пути 10 часов. Пусть

скорость лодки в неподвижной воде равна v км/ч, тогда

откуда v = 20.

Ответ: v = 20.