Возвратные уравнения

Рассмотрим целое уравнение n-ой степени с одной переменной

a

0

x

n

+ a

1

x

n-1

+ a

2

x

n-2

+…+ a

n-1

x+a

n

= 0, х- переменная, a

i

(i =0,1,2,…n)коэффициенты, причем a

0

≠

0

Такое уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов

совпадают, т.е. a

0

= a

n,

a

1

= a

n-1,

a

2

= a

n-2…,

а

к

= а

п-к,…

Возвратные уравнения четной степени.

Пусть n=2k. Уравнение имеет (2k+1) коэффициентов. Каждый из первых k коэффициентов имеет

себе равный среди k последних, коэффициент при х

к

равноотстоит от каждого конца.

Рассмотрим возвратное уравнение 6 степени

х

6

+ x

5

-6x

4

-7 x

3

- 6x

2

+x+1

= 0.

Число 0 не является корнем этого уравнения. Поэтому, разделив обе его части на x

3

, получим

уравнение X

3

+ x

2

-6x-7 - 6

1

х

+

1

х

2

+

1

х

3

= 0 равносильное.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами. Уравнение примет вид

(х

3

+

1

х

3

¿

+(х

2

+

1

х

2

¿

-6 (х+

1

х

¿−

7

=0

Введем новую переменную.

Пусть х+

1

х

=

t

, тогда х

2

+

1

х

2

=

t

2

−

2 ,

х

3

+

1

х

3

=

t

3

−

3 t

, причем

|

t

|

≥2

(по известному свойству суммы двух

взаимно обратных чисел)

Уравнение примет вид

t

3

+

t

2

−

9 t

−

9

=

0.

(¿)

Левая часть полученного уравнения раскладывается на множители:

t

3

+

t

2

−

9 t

−

9

=(

t

+

1

)(

t

2

−

9

)

.

t

=−

1, t

=−

3 , t

=

3

корни уравнения

(¿)

Выполним обратную подстановку.

t

=−

1

не удовлетворяет условию

|

t

|

≥2

, поэтому рассматриваем два уравнения:

1) х+

1

х

=−

3

х

2

+

3 х

+

1

х

=

0

х=

−

3

−

√

5

2

, х=

−

3

+

√

5

2

2)х+

1

х

=

3

х

2

−

3 х

+

1

х

=

0

х=

3

−

√

5

2

, х=

3

+

√

5

2

Ответ:

−

3

−

√

5

2

,

−

3

+

√

5

2

,

3

−

√

5

2

,

3

+

√

5

2

Вывод.

Учитывая, что число 0 не является корнем возвратного уравнения ( старший коэффициент по

определению степени уравнения не равен нулю, тогда и свободный член по определению возвратного

уравнения отличен от нуля). Поэтому, разделив обе его части на возвратного уравнения четной

степени на переменную в степени с показателем равным половине показателя степени уравнения,

получим уравнение( не целое)равносильное данному.

Обозначив х+

1

х

новой переменной, выразив суммы вида х

к

+

1

х

к

через новую переменную, получим

целое уравнение степени в два раза меньшей степени данного относительно вспомогательной

переменной. Решив это уравнение известными приемами, получим значения вспомогательной

переменной. Выполнив обратную подстановку, получим уравнения относительно основной

переменной, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. Корни последних и есть

корни данного возвратного уравнения.

Если некоторое число является конем возвратного уравнения четной степени, то и число ему

обратное также является корнем этого уравнения.

Возвратные уравнения нечетной степени

Докажем, что один из корней любого возвратного уравнения нечетной степени равен

(–1). Рассмотрим левую часть такого уравнения - возвратный многочлен степени (2k+1).

У него (2k+2) коэффициентов.

Р(х)= a

0

x

2к+1

+ a

1

x

2к

+ a

2

x

2к-1

+…+a

к+1

х

к

+ a

к+1

x

к-1

+ a

к

x

к-2

+…+ a

2

x

2

+ a

1

x+a

0

Заметим, что у такого возвратного многочлена равны коэффициенты при х, имеющих разную

четность. В силу этого Р(-1)= 0. По определению корня многочлена число (-1) корень. По теореме

Безу остаток от деления многочлена на (х+1) равен значению многочлена при х=-1.

То есть возвратный многочлен нечетной степени относительно переменной х делится на двучлен

(х+1). В частном получается возвратный многочлен четной степени.

Таким образом, решение возвратного уравнения нечетной степени сводится к решению возвратного

уравнения четной степени.

Пример:

Рассмотрим уравнение х

7

+2х

6

- 5x

5

-13x

4

-13 x

3

- 5x

2

+2x+1

= 0.

Воспользуемся схемой Горнера для деления

-1

1

2

-5

-13

-13

-5

2

1

1

1

-6

-7

-6

1

1

0

Итак: х

7

+2х

6

- 5x

5

-13x

4

-13 x

3

- 5x

2

+2x+1=(х+1)( X

6

+ x

5

-6x

4

-7 x

3

- 6x

2

+x+1).

Корнями данного уравнения является число (-1) и корни уравнения

X

6

+ x

5

-6x

4

-7 x

3

- 6x

2

+x+1=0