Иррациональные уравнения и методы решений.
Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или возведена в дробную степень. Например: К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида: Метод решения иррационального уравнения: 1. Привести у равнение к простейшему (выразить корень). 2. Возвести обе части уравнения в ту степень, какова степень корня. 3. При возведении в чётную степень требуется проверка (т.к. могут появиться посторонние корни). При возведении в нечётную степень проверка не требуется. 1.Решить уравнение: Решение. Приведем уравнение к простейшему и возведём обе части в квадрат: При возведении в чётную степень выполним проверку: (Подставим 4 вместо x в заданное иррациональное уравнение) 3-3=0 верно Ответ: х=4 2.Решить уравнение: Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат: получим , откуда следует, что или . Проверка: : 3 1 2   х 2 3 1 2   x 9 1 2   x 8 2  x 4  x
. Это неверное числовое равенство, следовательно, число -5 не является корнем данного уравнения. : . Это верное числовое равенство, следовательно, число -1 является корнем данного уравнения. Ответ: х=1 Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. При решении иррациональных уравнений речь всегда идет об отыскании действительных корней 1.Решить уравнение . Решение. Так как в данном примере - нечетное, то после возведения обеих частей уравнения в третью степень получим равносильное данному уравнение: . Ответ: . 2.Решить уравнение . Решение. Так как - четное, то исходное уравнение равносильно системе:
Ответ:
.  Решить уравнение
Решение. Запишем данное уравнение в виде: Возводя обе части в квадрат и учитывая, что получим уравнение 2х+6=х+1, решение которого есть х=-5 – не удовлетворяет выписанному условию. Значит, данное уравнение не имеет решений. Ответ:нет решений Если иррациональное уравнение содержит несколько радикалов, то уравнение приходится возводить в соответствующую степень несколько раз. При этом предварительно выражают один из радикалов так, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными. Особое внимание следует обратить на правильное нахождение ОДЗ. Область допустимых значений иррационального уравнения состоит из тех значений неизвестных, при которых неотрицательными являются все выражения, стоящие под знаком радикала четной степени. Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ. 1.Решить уравнение . Решение. Найдя ОДЗ этого уравнения, приходим к выводу, что ОДЗ исходного уравнения – одноэлементное множество . Подставив х=2 в данное уравнение, приходим к выводу, что х=2 – корень исходного уравнения. Ответ: 2 . 2.Решить уравнение Решение. Уравнение не имеет решений, т.к. при каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательна. Ответ: уравнение корней не имеет. 3.Решить уравнение + 3 = . Решение: ОДЗ: ОДЗ уравнения пустое множество. Ответ: уравнение корней не имеет.