Вычислите сумму ряда: 2 n + 1 n 2 ( n + 1 ) ; 2 4 n ∙ n 3 ( 2 n + 1 ) ! ;3 1 ¿ ∑ n = 1 ∞ ¿ ∑ n = 0 ∞ ¿ ∑ n = 1 ∞ n 1 + 1 ∙ 1 ! + 2 ∙ 2 ! + … + n ∙ n ! ; ¿ ¿ 1 + sin 3 n n ! ; 5 ( − 1 ) n ( 2n − 1 ) ‼ ( 2n ) ‼ ( 2n + 1 ) ; 6 4 ¿ ∑ n = 0 ∞ ¿ ¿ ∑ n = 1 ∞ ¿ ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 − 2n + 1 ( 2n − 1 ) 4 ; ¿ ; 7 ¿ ∑ n = 0 ∞ cos n ( 2n ) ! ;8 ¿ ∑ n = 1 ∞ arcctg ( n 4 + 4 n 3 + 7n 2 + 6 n + 2 2 n 2 + 4 n + 4 ) . 9) Даны произвольные арифметические прогрессии { a n } и { b n } ( a n > 0, b n > 0 ). Что можно сказать о сходимости ряда ∑ n = 1 ∞ √ 1 a n 3 + 1 b n 3 ? 10) Последовательность { a n } положительных чисел такова, что ряд ∑ n = 1 ∞ a 1 + a 2 + … + a n n сходится. Следует ли отсюда, что ряд ∑ n = 1 ∞ n 1 a 1 + 1 a 2 + … + 1 a n также является сходящимся? 11) Используя числовые ряды, выведите «равенство» 1 = 2 . Объясните суть парадокса. 1 2 ) Н а й д и т е в с е з н а ч е н и я x ∈ ( 0, 2 π ) , при которых фу н к ц и я f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ sin nx n принимает отрицательные значения.
13) Что больше: ∑ n = 1 ∞ 1 1 3 + 2 3 + … + n 3 или π 3 6 ? 14) Последовательно вычисляются суммы рядов: ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = a 1 , ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 2 ) = a 2 , ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 3 ) = a 3 , … . Является ли сходящимся ряд ∑ n = 1 ∞ a n n ? 15) Найдите сумму ряда ∑ l = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ ∑ k = 1 ∞ 1 l ! n ! k ! . 16) Найдите сумму всех элементов матрицы ( 1 1 4 1 9 … 1 4 1 16 1 36 … 1 9 ⋮ 1 36 ⋮ 1 81 ⋮ … ) 17 ¿ Пусть f ' ' ( x ) ≥0 при x ≥ 1,и lim n→∞ f ( n ) = 0. Докажите , что ∑ n = 1 ∞ f ( n ) ≥ ∫ 1 + ∞ f ( x ) dx ( сумма ряда иинтеграл конечны ) . 18) На каком множестве функция f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ cos nx n 2013 имеет непрерывную производную 2011-го порядка?