Рабочая программа элективного курса по математике для учащихся 10 - 11 классов общеобразовательного учреждения
Тема: Аналитическая геометрия в пространстве
Составлена учителем математики Побоковой А.К.

Пояснительная записка
В школьной (элементарной) геометрии изучаются свойства прямолинейных фигур и окружности. Основную роль играют построения, вычисления же, хотя практическое зна чение их и велико, в теории играют подчиненную роль. Выбор того или иного построения обычно требует изобретательности. Это и составляет главную трудность при решении задач методами элементарной геометрии. Аналитическая геометрия возникла из потребности создать единообразные средства для решения геометрических задач с тем, чтобы применить их к изучению важных для практики кривых линий различной формы. Эта цель была достигнута созданием координатного метода. В нем ведущую роль играют вычисления, построения же имеют вспомогательное значе ние. Вследствие этого решение задач методом аналитической геометрии требует гораздо меньшей изобретательности. Программой школьного курса математики не предусмотрено изучение основ аналитической геометрии. Это и позволит сделать элективный курс «Аналитическая геометрия». Курс рассчитан на учащихся 11 классов общеобразовательных школ, проявляющих интерес к изучению математики. Программа элективного курса предполагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 34 часа. Основной целью курса является выработка начальных навыков владения геометрическими навыками для их успешного применения в прикладных задачах, правильными алгебраическим и аналитическим способами описывать геометрические задачи, имеющие прикладное значение. Для реализации поставленной цели в процессе преподавания курса решаются следующие задачи:  изучить классические понятия и теоремы аналитической геометрии;  сформировать навыки применения данных знаний при решении стандартных задач по теме;  сформировать умения и навыки исследовательской работы;  способствовать развитию алгоритмического мышления учащихся;  способствовать формированию познавательного интереса к математике. В процессе изучения данного курса предполагается использование проблемного метода для активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы, в том числе выполнение проектов.
Требования к уровню усвоения учебного материала
В результате изучения программы элективного курса «Аналитическая геометрия» учащиеся получают возможность
знать и уметь:
 изображать геометрические фигуры и тела, выполнять чертеж по условию задачи;  решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;  проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;  вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;  применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний и углов;  строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения.
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной

жизни
для  исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;
 вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства. Учебно-тематический план № п/п Темы Количество часов 1 Введение. 1 2 Векторы в пространстве
16
3 Плоскости в пространстве
16
6 Итоговое занятие 1
Содержание курса
(1 ч в неделю, всего 34 ч)
Введение (1 ч.)
Предмет аналитической геометрии. Аналитическая геометрия в пространстве.
Векторы в пространстве (16 ч.)
Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты точки. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Признак коллинеарности (параллельности) векторов. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное произведение двух векторов. Физический смысл скалярного произведения. Условие перпендикулярности векторов. Угол между векторами. Компланарные векторы. Определитель третьего порядка. Признак компланарности в координатной форме. Объем параллелепипеда. Уравнение плоскости. Угол между двумя плоскостями. Плоскость, проходящая через три точки. Расстояние от точки до плоскости. Уравнения прямой в пространстве. Пересечение прямой с плоскостью. Направляющий вектор. Угол между двумя прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую. Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми.
Итоговое занятие

(1 ч.)

Литература
1. П.С. Александров Лекции по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1968. 2. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 3. Н.В. Ефимов Краткий курс аналитической геометрии. - М.: Наука, 1967. 4. Д.В.Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1998.

Календарно-тематический план
№ п/п Темы Дата проведения 1
Введение (1 ч.)
Предмет аналитической геометрии. Аналитическая геометрия в пространстве. 2
Векторы

в

пространстве

(16

ч.)
Прямоугольная система координат в пространстве. 3 Координаты точки. 4 Координаты вектора. 5 Действия над векторами, заданными своими координатами. 6 Длина вектора. Расстояние между двумя точками. 7 Признак коллинеарности (параллельности) векторов. 8 Деление отрезка в данном отношении. 9 Скалярное произведение двух векторов. 10 Физический смысл скалярного произведения. 11 Свойства скалярного произведения. 12 Условие перпендикулярности векторов. 13 Угол между векторами. 14 Компланарные векторы. 15 Определитель третьего порядка. 16 Признак компланарности в координатной форме. 17 Объем параллелепипеда. 18
Плоскости в пространстве (16 ч.)
Уравнение плоскости. 19 Угол между двумя плоскостями. 20 Плоскость, проходящая через три точки. 21 Расстояние от точки до плоскости. 22 Уравнения прямой в пространстве. 23 Пересечение прямой с плоскостью. 24 Направляющий вектор. 25 Угол между двумя прямыми. 26 Угол между прямой и плоскостью. 27 Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. 28 Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. 29 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой. 30 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной плоскости. 31 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую 32 Уравнения общего перпендикуляра к двум данным прямым. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. 33 Кратчайшее расстояние между двумя прямыми. 34
Итоговое занятие

(1 ч.)


Введение (1 ч.)
Предмет аналитической геометрии. Аналитическая геометрия на плоскости.
Простейшие задачи аналитической геометрии (9 ч.)
Координаты. Прямоугольная система координат. Координатные углы. Уравнение линии. Взаимное расположение линии и точки. Взаимное расположение двух линий. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении. Деление отрезка пополам. Площадь треугольника.
Уравнение линии (17 ч.)
Прямая линия. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой. Прямая, параллельная осям координат. Общее уравнение прямой. Построение прямой по её уравнению. Условие параллельности прямых. Пересечение прямых. Условие перпендикулярности двух прямых. Угол между двумя прямыми. Условие, при котором три точки лежат на одной прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение пучка прямых. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно к данной прямой. Взаимное расположение прямой и пары точек. Расстояние от точки до прямой. Отрезки на осях. Уравнение прямой "в отрезках". Преобразование координат. Перенос начала координат.
Окружность (2 ч.)
Окружность и её уравнение. Разыскание центра окружности.
Аналитические приёмы для решения задач на плоскости (4 ч.)
Определитель третьего порядка. Свойства определителей. Практический прием вычисления определителей. Применение определителей к решению системы с двумя переменными. Решение системы трёх уравнений с тремя переменными.
Итоговое занятие

(1 ч.)
Дополнительно Задачи для самостоятельного решения 1.1. Даны координаты вершин треугольника ABC: A(1, − 3), B(3, − 5), C(−5, 7). Определить координаты середин его сторон. 7 1.2. Известны координаты вершин A(1, − 2) и B(3, 2) параллелограмма ABCD, а также точка N(5, −1) пересечения его диагоналей. Найти координаты двух других вершин C и D. 1.3. Найти координаты центра и радиус окружности, проходящей через точки O(0, 0), M (3, −1) и N(8, 4). 1.4. Найти точки пересечения линий, заданных своими уравнениями L1 : 25 2 2 x + y = и L2 : x + 7 y − 25 = 0. 1.5. Охарактеризовать геометрически расположение точек на оси Ox, координаты которых удовлетворяют неравенствам: 1) x > 2; 2) x − 3 ≤ 0; 3) 12 − x < 0; 4) 1 < x < 3; 5) 0 1 2 > − − x x ; 6) 1 2 2 1 > − − x x ; 7) 8 15 0 2 x − x + ≤ . 1.6. Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы второго координатного угла y = −x следующим точкам: 1) A(3, 5); 2) B(−4, 3); 3) C(7, − 2). 1.7. Даны точки A(1, −1), B(3, 3) и C(4, 5), лежащие на одной прямой. Определить отношение λ , в котором каждая из точек делит отрезок, ограниченный двумя другими точками. 1.8. Отрезок, определяемый точками ( 6, 7) M1 − и ( 2, 3) M2 − , разделен на четыре равные части. Найти координаты точек деления L, M и N . До какой точки P нужно продолжить отрезок M1M2 , чтобы его длина увеличилась в три раза? 1.9. Найти декартовы координаты точек, равноудалённых от осей координат и от точки M (1, 8). 1.10. Даны две смежные вершины квадрата A( ;2 −1) и B(− 3;1 ). Определить две его другие вершины. 1.11. Зная проекции отрезка на координатные оси X = 1 , Y = − 3 , найти его проекцию на ось, которая составляет с осью Ox угол 3 2π Θ = .
1.12. Определить координаты концов A и B отрезка, который точками P( 2;2 ) и Q( 5;1 ) разделён на три равные части. 1.13. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам (3, 4) M1 π , (2, 2) M2 −π , (3, 3) M3 −π , (1, 2) M4 и (5, 1) M5 − , заданным в полярной системе координат. 8 1.14. В полярной системе координат даны две вершины A(3,− 4π 9) и B(5, 3π 14) параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить полярные координаты двух других вершин этого параллелограмма. 1.15. В полярной системе координат даны точки A(8, − 2π 3) и B(6, π 3). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки A и B. 1.16. Вычислить площадь треугольника, вершины которого       8 ;3 π A ,       24 7 ;8 π B и       8 5 ;6 π C заданы в полярных координатах. 1.17. В полярных координатах записать уравнение окружности, проходящей через начало координат с центром на полярной оси и радиусом a. 1.18. В полярной системе координат на линии, определённой уравнением ρ(ϕ) =1 sinϕ , найти координаты точек, расстояния которых от начала координат равны: 1) 1; 2) 2; 3) 2 . Какая линия определена данным уравнением? Построить её на чертеже. 1.19. Прямая перпендикулярна полярной оси и отсекает на ней отрезок OM = 3. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах. 1.20. Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояния от которых до двух данных точек F1 и F2 есть величина постоянная и равная 2 a , где 2 F1F2 a = . Произвести расчёт как в декартовых, так и в полярных координатах (данная кривая носит название «лемниската Бернулли»). 1.21. Окружность радиуса R равномерно катится без проскальзывания по оси Ox. Записать параметрическое уравнение линии x = x(t), y = y(t), где t есть время, а (x, y) представляют собой координаты точки окружности, находившейся при t = 0 в начале координат (данная кривая носит название «циклоида»).