Задачи для проведения математических пятиминуток в старших классах 1) На острове Серобуромалин живут хамелеоны трёх цветов: серые, бурые, малиновые. Когда встречаются два хамелеона разных цветов, они одновременно меняют свой цвет на третий (например, серый и бурый оба становятся малиновыми). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны станут одного цвета? 2) Расставьте в выражении 1 : 2 :3 : 4 : 5 : 6 :7 : 8 : 9 скобки так, чтобы результат получился: а) наименьшим; б) наибольшим. 3) Решите задачу, сформулированную стихами: Сочтите отношенье наших лет, Но календарь поможет Вам едва ли. В два раза старше я, чем были Вы в момент, Когда я был таким, какой теперь Вы стали. 4) В ряд выписаны числа: 1,2, … ,10 . Можно ли между ними расставить знаки « + » или « − » так, чтобы в результате получился нуль? 5) Что больше: 500 600 или 6 00 500 ? 6) На шашечной 16-ти клеточной доске произвольно расставлены 6 шашек. Доказать, что всегда можно указать два таких горизонтальных и два вертикальных ряда, что все 6 шашек стоят в этих рядах. 7) Имеются две бесконечно глубокие бочки, заполненные водой, а также два ковша ёмкостью √ 2 л и ( 2 − √ 2 ) л. Можно ли, пользуясь только этими
ковшами, перелить из одной бочки в другую ровно 1л воды? (ковши можно заполнять только целиком!) 8) Среди 12 монет имеется ровно одна фальшивая. Найти её четырьмя взвешиваниями на весах с двумя чашками без гирь, если неизвестно, легче она или тяжелее остальных. 9) Пусть a , b −¿ натуральные числа. Известно, что из следующих четырёх утверждений: а) a + 1 делится на b ; б) a равно 2b + 5 ; в) a + b делится на 3 ; г) a + 7b – простое число, три верных, а одно – неверное. Найдите всевозможные пары чисел a и b . 10) Дано равенство ( АХ ) А = БАХ . Какая буква здесь какую цифру обозначает? 11) Яйцо варится 4 минуты. Имеется двое песочных часов, рассчитанных на 3 и 5 минут. Как сварить яйцо при помощи этих часов? 12) Сосновый лес растёт на участке, имеющем форму квадрата со стороной 1 км. Зная, что весь этот лес состоит из 4500 деревьев диаметра 50 см, докажите, что в лесу можно выбрать прямоугольную площадку 10 м ×20 м , на которой не растёт ни одно дерево. 13) Дана окружность, на которой последовательно расставлены числа: 1, 1 4 , 1 9 , 1 16 и так далее ( конечное число ) . Чем больше диаметр окружности, тем больше чисел на ней можно разместить. Можно ли подобрать диаметр окружности так, чтобы сумма всех расположенных на ней чисел была равна 2?
14) Три пчелы летят в одном направлении. Наступит ли такой момент времени, когда они не будут находиться в одной плоскости? 15) В каждой клетке клетчатой доски 17 ×17 сидит ровно по одной лягушке. В какой-то момент времени каждая лягушка перепрыгнула на соседнюю клетку (то есть клетку, граничащую с данной клеткой по стороне). Доказать, что после этого найдётся такая клетка, в которой будут сидеть не менее двух лягушек. 16) Даны несколько чисел. Известно, что сумма их квадратов равна 91, а сумма их всевозможных попарных произведений равна 175. Чему может быть равна сумма этих чисел? 17) На столе лежит кучка из 37 спичек. Двое по очереди берут любое число спичек, не превосходящее 6. При этом запрещается повторять последний ход противника. Выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку. Кто при правильной игре будет победителем: первый или второй игрок? Как он должен играть, чтобы выиграть? 18) Можно ли в клетчатой таблице размером 5 × 5 расставить 25 чисел так, чтобы сумма четырёх чисел в каждом квадрате 2 × 2 была отрицательной, а сумма всех двадцати пяти чисел оказалась положительной? Ответ обосновать. 19) В единичный квадрат бросили 51 точку. Доказать, что некоторые три из них обязательно лежат внутри круга радиуса 1 7 . 20) В пруд пустили 30 щук, которые постепенно съедают друг друга. Щука считается сытой, если она съела трёх щук (сытых или голодных). Каково наибольшее число щук, которые могут насытиться?
21) Подберите два нечётных числа так, чтобы сумма их квадратов была квадратом некоторого натурального числа. 22) Можно ли из 6 спичек сложить 4 равносторонних треугольника? 23) Квадрат со стороной 100 разделили н а 100 2 единичных квадратиков. Сколько существует различных квадратов с вершинами в узлах образованной сетки? 24) Барон Мюнхгаузен врёт по понедельникам, вторникам и средам, а в остальные дни говорит правду. В какой день недели он может заявить: а) «Я врал вчера»; б) «Я буду врать завтра»; в) «Я врал вчера и буду врать завтра»? 25) На тарелке лежат 9 разных по массе кусков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы 10 получившихся кусков делились на две части равной массы по пять кусков в каждой? 26) На каждой из 2013 планет некоторой системы находится астроном, наблюдающий за ближайшей планетой. Расстояния между планетами системы попарно различны. Доказать, что за одной из планет никто не наблюдает. 27) Можно ли доску размером 10 × 10 замостить «доминошками» размера 4 × 1? Если «да», то изобразите такое замощение, если «нет», то объясните почему. 28) Ученику прислали задание, состоящее из 20 задач. За каждую верно решённую задачу ему ставят 8 баллов, за каждую неверно решённую – минус 5 баллов, за задачу, которую он не брался решать – 0 баллов. Ученик получил в сумме 13 баллов. Сколько задач он брался решать?
29) На плоскости даны 6 точек так, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Каждая пара точек соединена отрезком синего или красного цвета. Доказать, что среди данных точек можно выбрать такие 3 точки, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет. 30) В четырёх заданных точках на плоскости расположены точечные прожекторы, каждый из которых может освещать прямой угол. Стороны этих углов могут быть направлены на север, юг, запад, восток. Доказать, что эти прожекторы можно направить так, что они осветят всю плоскость.
Решение задач по математике для старших школьников. 1 ) П у с т ь a , b , c −¿ число серых, бурых, малиновых хамелеонов соответственно. Чтобы все хамелеоны стали одного цвета, необходимо, чтобы в какой-то момент времени одна из разностей a − b , b − c , a − c оказалась равна нулю. Однако при встречах у этих разностей не меняется остаток при делении на 3, а первоначально эти остатки были ненулевыми. Следовательно, такого момента времени никогда не наступит.
Ответ:
нет. 2) Очевидно, что 1 : 2 :3 : 4 : 5 : 6 :7 : 8 : 9 = 1 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 −¿ минимальное число, а 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 2 = 1 : ( 2 : 3 : 4 :5 : 6 : 7 : 8 : 9 ) −¿ максимальное число. 3) Пусть тому, кто говорит, x лет, а второму y лет. «Момент», о котором говорится в стихотворении, очевидно, был ( x − y ) лет назад. Слушающему в тот момент было y − ( x − y ) = ( 2 y − x ) лет. По условию x = 2 ( 2 y − x ) . Отсюда получается, что x y = 2 ( 2 y − x ) y = 4 − 2 x y ⇒ x y = 4 3 .
Ответ:
4 3 (естественно, с точностью до обратной величины). 4) Заметим, что чётность результата не зависит от того, каким образом будут расставлены знаки. Предположим, что числа складываются – получим 55, то есть нечётное число. Следовательно, ни при каком варианте расстановки знаков сумма не может быть равна нулю.
Ответ:
нет. 5) 500 600 ˅600 500 ⇔ ( 500 6 ) 100 ˅ ( 600 5 ) 100 ⇔ 5 6 ∙ 100 6 ˅6 5 ∙ 100 5 ⇔ ⇔ 2 2 ∙ 5 8 ˅ 2 5 ∙ 3 5 ⇔ 5 8 ˅2 3 ∙ 3 5 . Очевидно, слева стоит большее число.
Ответ:
500 600 > 600 500 . 6) Если в одном из рядов стоит не менее трёх шашек, то нужно взять ряд с наибольшим числом шашек, оставшиеся заведомо лежат не более чем в трёх рядах. Если есть два ряда, в которых стоят ровно по две шашки, укажем эти два ряда. Для оставшихся двух шашек также укажем свои ряды.
7) Пустьиз одной бочки в другую было совершено t переливаний ковшом ёмкостью √ 2 л и r переливаний ковшом ёмкостью ( 2 − √ 2 ) л. Всего было перелито √ 2 t +( 2 − √ 2 ) r литров воды. Согласно условию, √ 2 ( t − r ) + 2r = 1 ⟹ √ 2 = 1 − 2 r t − r . Ясно, что равенство невозможно, так как t , r – натуральные числа.
Ответ:
нет
.
8) Сначала положим на каждую чашку по 4 монеты. 1 случай. Если весы останутся в равновесии, то все 8 монет настоящие. Следовательно, фальшивую монету следует искать среди оставшихся четырёх. Кладём по одной монете на каждую чашку – если весы останутся в равновесии, убираем одну, вместо неё кладём третью. Если весы опять в равновесии – вместо третьей кладём четвёртую (она и окажется фальшивой). Таким образом, мы определим, легче фальшивая монета или тяжелее. Понятно, что фальшивая монета могла быть обнаружена раньше – в таком случае потребовалось бы меньшее число взвешиваний. 2 случай. Весы вышли из равновесия. Уберём монеты с той чашки, которая оказалась ниже. Вместо них кладём оставшиеся 4 монеты. Если весы останутся в равновесии, то фальшивая монета тяжелее остальных, и её можно выделить из второй кучки максимум двумя взвешиваниями – сравниванием по массе с одной из четырёх монет. Если же весы опять выйдут из равновесия, то фальшивая монета легче остальных. Её точно также можно обнаружить не более чем двумя взвешиваниями. 9) Очевидно, условие в) противоречит условиям б) и г). Так как неверным может быть только одно из условий, ясно, сто тогда необходимо исключить условие в). Получим три справедливых утверждения: а ) a + 1 делится на b ; б) a равно 2b + 5 ; г) a + 7b – простое число. Из а) и б) имеем: 2b + 6 делится на b . Отсюда возможны варианты: b = 1, b = 2,b = 3,b = 6. Подходят случаи b = 2, b = 6.
Ответ:
( 9,2 ) , ( 17,6 ) .
10) Очевидно, что А ≥ 2. Далее, Х может равняться 1, 5, 6, 0. Остаётся осуществить перебор и выбрать подходящий вариант.
Ответ:
25 2 = 625. 1 1 ) Переворачиваем одновременно двое часов. В то время, когда заканчивается песок в трёхминутных часах, в пятиминутных остаётся песка на 2 минуты. В этот момент переворачиваем трёхминутные часы. Через 2 минуты песок заканчивается в пятиминутных часах, а в трёхминутных остаётся песка на 1 минуту. В этот момент переворачиваем пятиминутные часы, как только кончается песок в трёхминутных, то есть проходит одна минута, ставим варить яйца. Они варятся до тех пор, пока не кончится песок в пятиминутных часах. 12) Разобьём участок на прямоугольники размером 10 м ×20 м и на полосы между ними, а именно: на одной стороне участка отложим 48 отрезков длиной в 20м каждый, причём между соседними отрезками оставим промежуток в 0,6м, и два крайних отрезка по 5,9м каждый. На второй стороне квадрата отложим 95 отрезков длины 10м каждый, разделённых промежутками длины, большей 0,5м каждый. Тогда на участке окажется 48*95=4560 прямоугольников, разделённых полосами, шириной, большей 0,5м. так как деревьев всего 4500 и ни одно из деревьев не может попасть больше, чем в один прямоугольник, то найдутся прямоугольники, на которых нет деревьев. 13) Заметим, что на окружности располагаются числа, обратные квадратам натуральных чисел. Школьникам известен, например, такой факт: 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + … = 2. Весьма полезно познакомить их с тем, что 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + … = π 2 6 . Далее следует элементарная оценка: π 2 6 < 2. Следовательно, сколько бы мы чисел не помещали на окружность, набрать в сумме 2 никогда не удастся. 14) Как известно из аксиом стереометрии, через любые три точки (центры пчёл в данном случае) всегда проходит и притом единственная плоскость.
Следовательно, как бы пчёлы ни располагались во время полёта, через них всегда будет проходить ровно одна плоскость. 15) Раскрасим доску в шахматном порядке в чёрно-белый цвет. На доске 17 ×17 клеток чёрного (например) цвета будет на одну больше, чем клеток белого цвета. Значит, при перепрыгивании лягушки, сидевшие на чёрных клетках, окажутся на белых клетках, то есть, по крайней мере, одной лягушке не хватит места – она и окажется второй в некоторой клетке. 16) Вспоминая известную формулу возведения суммы нескольких слагаемых в квадрат, обнаружим, что квадрат такой суммы равен 441. Значит, сама сумма может быть равна либо 21, либо -21.
Ответ:
21 либо -21. 17) Победителем будет первый игрок при следующей тактике: а) первым ходом взять две спички (останется 35 спичек); б) на каждые x спичек второго игрока брать 7 − x спичек (это возможно, так как x ≠7 − x ). Всего 11 ходов (6 ходов первого игрока и 5 ходов второго). 18) Нетрудно проверить, что в квадрате 5 × 5 п р и a > 0, b > 0, a ≫ b сумма четырёх чисел любого квадрата 2 × 2 отрицательна, а сумма всех чисел квадрата 5 × 5 равна 7 a − 9 b и при a ≫ b , очевидно, положительна.
Ответ:
можно
.
19) Разобьём квадрат на 25 равных квадратиков со стороной 1 5 . Ясно, что в один из квадратиков попадёт не менее трёх точек (в противном случае, получим максимум 50 точек в квадрате). Опишем окружность около этого
квадрата. Её радиус будет равен √ 2 10 < 1 7 . Отсюда и будет вытекать, что такой круг действительно существует, так как если три точки попали в квадрат, то они тем более попадут в указанный круг. 20) Если, например, 7 щук насытятся (каждая при этом съест по три голодных щуки), то останутся ещё две голодные, которые насытятся (каждая должна будет съесть по три ранее насытившихся щуки); итак, общее количество насытившихся щук равно 9. Покажем, что это максимально возможное число. Действительно, пусть n −¿ число насытившихся щук, тогда 3 n −¿ число проглоченных щук. При n = 10 получим, что проглочено 30 щук, что, естественно, невозможно, так как их всего 30.
Ответ:
9 щук. 21) Допустим, мы подобрали такие числа: 2 x + 1и 2 y + 1. Вычислим сумму квадратов этих чисел: ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y + 1 ) 2 = 2 ( 2 x 2 + 2 y 2 + 2 x + 2 y + 1 ) . Если это квадрат, то квадрат чётного числа. Поэтому число должно делиться на 4. Очевидно, это не имеет места.
Ответ:
таких чисел не существует. 22) Можно – это правильный тетраэдр, у которого 6 рёбер и 4 грани, являющиеся одинаковыми равносторонними треугольниками. 23) Будем по очереди считать все квадратики, начиная от размера 1×1 , заканчивая размером 100×100. Возьмём верхний левый квадрат 1×1 и будем его перемещать, фиксируя положение его нижней правой вершины. Получим 100 2 квадратов. Взяв квадрат 2×2 и повторив подобные рассуждения, получим ( 100 − 1 ) × ( 100 − 1 ) = 99 2 квадратов. Аналогично продолжая далее, получим, что общее количество квадратов равно 1 2 + 2 2 + 3 2 + … + 99 2 + 100 2 = 100 ( 100 + 1 ) ( 2 ∙100 + 1 ) 6 = 338350.
Ответ:
338350. 24) а) Фразу «Я врал вчера» барон Мюнхгаузен может сказать, когда врёт и когда говорит правду. В первом случае, в понедельник он соврёт, так как в
воскресенье он говорил правду. Во втором случае в четверг, потому что говорит правду, что врал в среду. б) Фразу «Я буду врать завтра» может сказать в среду, так как он не будет врать в четверг, и в воскресенье, так как он действительно врёт по понедельникам. в) Аналогичные рассуждения приводят к тому, что фразу «Я врал вчера и буду врать завтра» он может сказать в понедельник и в среду.
Ответ:
а) понедельник и четверг; б) среда и воскресенье; в) понедельник и среда. 25) Расположим массы кусков сыра в порядке возрастания: m 1 < m 2 < m 3 < m 4 < m 5 < m 6 < m 7 < m 8 < m 9 . Очевидно, что m 1 + m 3 + m 5 + m 7 < m 2 + m 4 + m 6 + m 8 , однако, m 1 + m 3 + m 5 + m 7 + m 9 > m 2 + m 4 + m 6 + m 8 . Следовательно, кусок сыра массой m 9 можно разделить на две части так, что будет иметь место равенство масс.
Ответ:
всегда. 26) Возьмём две самые близкие планеты. Их астрономы наблюдают друг за другом. Осталось 2011 планет и 2011 астрономов. Если хотя бы один из них смотрит на уже выбранную планету, то на одну из оставшихся 2011 планет не хватит астрономов. Если же на эти две планеты никто больше не смотрит, то снова применяем уже проведённое рассуждение. Поскольку 2013 −¿ число нечётное, в конце концов, останется одна планета, на которую никто не смотрит. 27) Раскрасим доску в четыре цвета по диагоналям так, чтобы цвета чередовались в определённом порядке: А, Б, В, Г, А, Б, В, Г, …, начиная, например, с верхней угловой клетки. Если каждую клетку «доминошки» покрасить в один из цветов А, Б, В или Г, то при любом расположении на доске она накроет клетки четырёх разных цветов. Таким образом, для того чтобы «доминошками» можно было покрыть всю доску, необходимо, чтобы на ней клеток каждого цвета было по 25 штук. Однако клеток цвета Б (они лежат на самой большой диагонали из 10 клеток) будет 26.
Ответ:
нельзя.
28) Пусть x задач ученик решил верно, а y – неверно. Тогда имеет место уравнение: 8 x − 5 y = 13, причём x + y ≤ 20. Получается, что x = 5 8 y + 13 8 . Ясно, что x будет натуральным при y = 7,15,23 … . Пара ( 6,7 ) подходит. Рассматривая следующий вариант, видим, что условие x + y ≤ 20 не выполняется. Очевидно, что, начиная с третьего, оно тем более не будет выполняться.
Ответ:
ученик брался решать13 задач. 29) Выберем из 6 данных точек произвольную. Из неё выходят по крайней мере три отрезка, окрашенные в один цвет. Пусть, например, это синий цвет. Если два из их концов соединены отрезком синего цвета, то искомый треугольник найден. Если же все концы соединены отрезками красного цвета, то они образуют треугольник красного цвета. 30) Пусть направления осей в декартовой системе координат совпадают с направлениями на восток (ось OX) и на север (ось OY), тогда , соответственно, противоположные им направления – на запад и юг. Рассмотрим четыре произвольных точки плоскости. Выберем из них точку A, лежащую северо – западнее остальных. Тогда из неё лучи прожектора необходимо направить на юг и на восток. Из точки B, лежащей северо – восточнее остальных, лучи направим на юг и запад. Аналогично поступим с точками, лежащими южнее рассмотренных точек. Расположенные таким образом прожекторы осветят всю плоскость.