Соктоева Любовь Жамбаловна ,учитель математики МБОУ Загустайская СОШ

Селенгинского района Республики Бурятия

Алгебра и начала математического анализа,10 класс

Дидактический материал к теме: «Производная в задачах на оптимизацию» с

агротехническим содержанием.
1. При проектировании дорог сельскохозяйственного района часто возникает необходимость соединить подъездным путем тот или иной объект с автомагистралью. Различные экономические соображения в таких случаях обычно показывают, что подъездной путь должен пойти не перпендикулярно к магистрали, а под некоторым острым углом, называемым углом примыкания подъездного пути к магистрали. [ 2 ] Предприятие С расположено в 50 км от центра района А и в 30 км от магистрали, проходящей через райцентр. Под каким углом к магистрали следует провести подъездной путь из С, чтобы стоимость перевозок груза из С в А и из А в С была наименьшей, если известно, что перевозки по магистрали будут обходиться предприятию в 2 раза дешевле, чем по подъездному пути? [ 7 ] C A E D B 2. Сообщение между селами и предприятием А (рис.) расположенного около автомагистрали l осуществляется по дорогам, состоящим из двух взаимно перпендикулярных отрезков. Докажите, что постройка прямой дороги от любого села В до села А не может сократить путь из В в А более чем на 30 %. [ 7 ] A O B l 3. Пункты А и В расположены по одну сторону от реки с прямолинейным берегом А 1 B 1 на расстояниях A A 1 =a и B B 1 =b от берега, причем A 1 B 1 =c.В каком пункте М берега следует соорудить насосную станцию для водоснабжения пунктов A и B, чтобы суммарная длина прямоугольных водоводов МА+МВ была наименьшей? [ 5 ]
4. В мелиоративной практике часто сооружаются каналы или лотки с поперечным сечением в форме прямоугольника, треугольника, трапеции и сегмента круга. Поэтому представляет интерес расчет гидравлически наивыгоднейшего профиля для каналов такой формы ( рисунок) а) При каком отношении глубины к ширине канал прямоугольного сечения имеет гидравлически наивыгоднейший профиль? рисунок на 59 б) Сечение канала- равнобедренная трапеция с углом откоса в 45 ° . При каком отношении ширины дна канала к его глубине канал имеет гидравлически наивыгоднейший профиль? в) Сечение канала- сегмент круга. Каким должен быть центральный угол α ( 0 < α < π ) ,чтобы канал имел гидравлически наивыгоднейший профиль? рисунок 5. Колхоз из луговых земель, расположенных на берегу правого берега Убукуна, решил отвести под овощные культуры 8 га. Найти ширину и длину участка прямоугольной формы, отводимого под овощные культуры, чтобы на ограждение этого участка израсходовать наименьшее количество строительного материала. [ 4 ] 6. Для размещения склада требуется огородить участок прямоугольной формы наибольшей площади имеющейся для этого сеткой длиной 80 м. Найдите размеры участка. [ 5 ] 7. Для размещения склада, примыкающего к одной стене готовой постройки, требуется огородить участок прямоугольной формы наибольшей площади имеющейся для этого сеткой длиной 80 метров. Найдите размеры участка. [ 5 ] 8. Для размещения склада, примыкающего одновременно к двум стенам постройки, требуется огородить участок прямоугольной формы наибольшей площади имеющейся для этого сеткой длиной 80 метров. Найдите размеры участка. [ 5 ] 9. Зависимость между размером используемой площади полей и валовым доходом из расчета на 100га сельскохозяйственных угодий лесостепной зоны ССССССССССС выражена функцией у ≈ 9+9х-1,5 х 2 , где х- площадь сельскохозяйственных угодий,
тыс.га, у- валовый доход на 100га сельскохозяйственных угодий, тыс.руб. При какой площади хозяйство будет иметь наибольший доход? [ 5 ] 10. Заготовлен материал на 240 м ограждения двух участков прямоугольной формы одинаковых периметров, граничащих между собой. Какую ширину и длину должны иметь участки, чтобы их площадь была наибольшей? [ 5 ] 11. Требуется построить овощехранилище с общей площадью 180 м 2 при наименьших затратах материалов на наружные стены. Каковы должны быть размеры здания, если оно будет строиться из железнобетонных блоков длиной 3м каждый? [ 5 ] 12. При движении теплохода по озеру расходы N в рублях на 1 км пути определяются по формуле N(v)=a v 3 + b v , где v-скорость теплохода, км\ч; а и b – определяемые из опыта коэффициенты. Найдите скорость теплохода, при которой расходы будут наименьшими, если а=0,001, b=60. [ 5 ] 13. При движении теплохода против течения реки расходы N в рублях на 1 км пути определяется по фо рм ул е : N(v)=0.001 v 3 + 60 v + kv, где к- ко эффициент пропорциональности; v-скорость теплохода, км / ч . При скорости теплохода 20 км / ч расходы на 1 км пути составляет 122руб. Найдите значение k и определите скорость теплохода по реке против течения, при которой расходы N минимальны. [ 5 ] 14. Сменив груз, теплоход взял курс в порт отправления. При таком движении расходы снизились на величину, пропорциональную скорости: N(v)=0,001 v 3 + 60 v - kv, причем установлено , что при скорости v=20 км / ч расходы на 1 км пути составляет 70 руб. Определите значение k и найдите оптимальную скорость теплохода при движении по течению реки. [ 5 ] 15. Необходимо построить некоторое количество одинаковых домов общей площадью 40 тыс. м 2 . Затраты на постройку одного дома, имеющего N жилой площади, складываются из стоимости наземной части, пропорциональной N √ N ,и стоимости фундамента, пропорциональной √ N . Строительство дома площадью 1600 м 2 обходится в 1840,6 тыс.руб., причем в этом случае стоимость наземной части составляет 32% стоимости фундамента. Определите, сколько нужно построить домов, чтобы сумма затрат была наименьшей. Найдите эту сумму. [ 5 ] 16. Требуется оградить прямоугольный участок земли площадью а 2 .Определите оптимальные размеры участка, при которых затраты на ограду буд у т
наименьшими( предполагается, что стоимость ограды пропорциональна ее длине с коэффициентом k ¿ 0 ¿ [ 5 ] 17. Задание B12 (№ 28049) Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия- монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 700 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. 18. Задание B12 (№ 28055) Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия- монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 160 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. 19. Задание B12 (№ 28283) Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой (в килограммах) от температуры до температуры (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы кг. Он определяется формулой , где Дж/(кг К) — теплоёмкость воды, Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть кг воды от до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше . Ответ выразите в килограммах.
20. Задание B12 (№ 28285) Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой (в килограммах) от температуры до температуры (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы кг. Он определяется формулой , где Дж/(кг К) — теплоёмкость воды, Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть кг воды от до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше . Ответ выразите в килограммах. 21. Пусть совхоз занимается возделыванием только двух культур- зерновых и картофеля- и располагает следующими ресурсами: пашня—5000га, труд-300 тыс.чел.-ч, возможный объем тракторных работ-28000 условных га. Цель производства- получение максимального объема валовой продукции( в стоимостном выражении). Найдите оптимальное сочетание посевных площадей культур. [ 6 ] 22. Из круглого бревна, толщина которого dсм, следует вырезать балку прямоугольного сечения. Прочность балки пропорциональна a b 2 (a,b-измерения сечения балки в см).При каких значениях a и b прочность балки будет наибольшей? [ 6 ] 23. Найдите, при каких условиях расход жести на изготовление ведер цилиндрической формы заданной емкости будет наименьшим. [ 6 ] 24. К пришкольному участку нужно проложить летний водопровод длиной 191м. Школа располагает трубами одинакового диаметра, длиной в 5м и 7м. Сколько нужно тех и других труб, чтобы сделать наименьшее число соединений? Разрезать трубы не рекомендуется. [ 6 ] 25. Задача. Объем ямы. При определении объемов ям, траншей, ведер и других емкостей, имеющих форму усеченного конуса в сельскохозяйственной практике иногда пользуются упрощенной формулой. V= 1 2 h(s+S),где h- высота, s и S-площади оснований конуса. Выясните, завышается
или занижается при этом реальный объем. Какой процент от реального объема составляет погрешность? Какой процент от реального объема составляет погрешность при естественном для практики условии: R ¿ R иr − радиусы оснований , r < 2 ¿ ¿ ¿ R ¿ r)? [ 1 ] 26. Задача. Полевые дороги. Поля севооборота обычно проектируют в форме прямоугольников, что обеспечивает наиболее производительное и правильное выполнение механизированных полевых работ. В соответствии с этим полевые дороги также целесообразно проектировать в виде сетки прямоугольников, совмещая их стороны со сторонами полей севооборота [ 2 ] . Если прямоугольное поле окаймлено полевой дорогой, то урожай с любой точки поля транспортируется сначала по кратчайшему пути к дороге, а затем- по дороге к фиксированной вершине прямоугольника. Известно, что грузовая работа по вывозке урожая с поля в таком случае вычисляется по формуле 6 S 2 x R ( x ) = k ¿ + 9Sx- x 3 ). Где x- ширина, S-площадь поля, k- некоторый коэффициент, зависящий от урожайности. Из всех прямоугольников данной площади S требуется выбрать такой, для которого грузовая работа R будет наименьшей. [ 7 ] 27. Задача. Сила тяги плуга. Снижение затрат энергии на пахоту прицепным плугом можно в определенной степени достичь правильным выбором направления силы тяги плуга в продольно-вертикальной плоскости. Такое снижение будет наибольшим [ 3 ] в том случае, когда направление силы тяги совпадает с направлением( будем называть его оптимальным) наименьшей по модулю силы( приложенной к плугу),достаточной для того, чтобы сдвинуть стоящий на земле плуг, преодолевая силу трения. Найдите оптимальное направление силы тяги прицепного плуга, считая, что коэффициент трения стали о почву μ = 0,5. [ 7 ] 28. Хозрасчетной бригаде выделено для возделывания кормовых культур 100га пашни. Эту пашню предполагается занять кукурузой и свеклой, причем свеклой решено занять не менее 40 га. Как должна быть распределена площадь пашни по культурам, чтобы получилось наибольшее число кормовых единиц? При этом должно быть учтено следующее: 1 ц кукурузного силоса содержит 0,2ц кормовых единиц, 1ц свеклы – 0,26
кормовых единиц, на возделывание 1га кукурузного поля необходимо затратить 38 человеко-часов труда механизаторов и 15 человеко-часов ручного труда, а на 1 га поля, занятого свеклой, соответственно 43 и 185 человеко-часов, ожидаемый урожай кукурузы- 500ц с 1га, а свеклы-200ц с 1 га, и, наконец, всего на возделывание кормовых культур можно затратить 4000 человеко-часов труда механизаторов и 15000 человеко-часов ручного труда. [ 8 ] 29. Математическая часть комплексного задания учащимся, работающим на уборке зерновых культур: Определите, на какой скорости может работать комбайн при данной урожайности убираемой культуры и его часовую производительность. Выясните, как влияют соломистость хлебной массы и урожайность на скорость движения комбайна. Подсчитайте число транспортных единиц, обеспечивающих бесперебойную отгрузку зерна от комбайна на ток. Вычислите среднюю урожайность зерна с одного участка. Определите перспективную себестоимость 1 ц пшеницы в том же предприятии при той же ее урожайности в 2016г.
Список использованной литературы
1.Богорад Л М и др. Справочник бригадира-садовода.Л.,1968 2.Славуцкий А.К. Проектирование, строительство, содержание и ремонт сельскохозяйственных дорог. М., 1972. 3.Сельскохозяйственные и мелиоративные машины \ Под ред.Г.Е.Листопада.М.,1976 4. П.Т.Апанасов., Н.П. Апанасов., Сборник математических задач с практическим содержанием., М.: Просвещение, 1978. 5.Монахов В.М и др., Преподавание математики и экономическая подготовка учащихся профтехучилищ. « Высшая школа», 1989 6.Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики., М.: Просвещение, 1990. 7.Петров В.А. Преподавание математики в сельской школе., М.: Просвещение, 1986. 8. Н.А. Терешин. Прикладная направленность школьного курса математики:М.: Просвещение,1996