Теорема Пифагора
. Геометрия. 8 класс. Учитель математики Орлова Надежда Павловна УЭ Деятельность учителя Деятельность ученика 0 Организационный этап Организация рабочего места ученика, запись даты и темы урока 1
Входной контроль
Цель: 1) Актуализация знаний учащихся по теме «Площадь». 2) Подготовка к изучению нового материала Задание для учащихся: Правильно оцените уровень знаний по теме «Площадь», выберите задания соответствующего уровня, выполните задание в тетради для домашних работ. Работайте самостоятельно. Тетради сдайте на проверку учителю. (Дидактический материал. Входной контроль.) 2
Открытие нового знания

Цель:
1) Рассмотреть задачи, приводящие к открытию теоремы Пифагора 2) Доказать теорему Пифагора «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление – деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, а второе же больше напоминает драгоценный камень. Иоганн Кеплер» Еще в глубокой древности возникла необходимость вычислять стороны прямоугольных треугольников по двум известным сторонам. Такие задачи решаются при проектировании любых строительных объектов, подобные задачи решаются и в нашей повседневной жизни. (практическая задача) 8 2 + 6 2 = 10 2 64+36=100
1.

Практическая работа (работа в группах)
Решите задачу 1
На площади устанавливается елка высотой 8

метров. Для закрепления ее в вертикальном положении от

вершины елки сделали проволочные растяжки одинаковой длины

и закрепили на земле на расстоянии 6 метров от основания елки.

Какой длины должна быть натягивающая проволока, чтобы елка

занимала вертикальное положение?
Постройте прямоугольный треугольник с катетами 8см и 6см. Измерьте гипотенузу получившегося треугольника. Рассмотрите числовые значения отрезков. Какое равенство можно составить из этих чисел?
Сформулируйте гипотезу
. Решите задачу 2: Даны три квадратные золотые пластины, Можно взять либо одну большую, либо две маленькие. Какой выбор Вы сделаете? 8 10 3 4
Если взять нам треугольник, да притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы мы всегда легко найдем. Катеты в квадрат возводим, сумму степеней находим – И таким простым путем к результату мы придем. Это стихотворение дает нам математическую запись теоремы Пифагора. Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Историческая справка
ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок. 580 – ок. 500г. до н. э. )
С берегов Средиземноморья дошло до нас имя Пифагора- математика, философа, мистика. Не сохранилось ни одной строки из его сочинений, его биография стала легендой, а самого Пифагора назвали “на одну десятую гением, на девять десятых выдумкой”. С виду он был величав и благороден, а красота и обаяние были у него и голосе, и в обхождении, и во всем О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н. э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море, поэтому его называют Пифагором Самосским. В молодости Пифагор был учеником Фалеса, побывал в Египте, где учился у жрецов. . Пифагор в 18 лет отправился в путешествие по странам Востока. Вавилонская наука, и в частности, математика, была передовой наукой того времени. Пифагор во 6
многом воспринял восточную мудрость. Вернувшись на родину в 56 лет, Пифагор собрал вокруг себя единомышленников. В 530 г. до н. э. Пифагор основал так называемую пифагорейскую школу. Около сорока лет учёный посвятил себя, созданной им школе. Учеников школы называли пифагорейцами. Они занимались не только математикой, но и философией, естественными науками. Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев. Система жизненных принципов и правил, проповедуемых Пифагором, и сейчас достойна подражания. Так, Пифагор учил: “Беги от всякой хитрости, любым орудием отсекай от тела болезнь, от души невежество, от утробы – роскошество, от семьи – ссору, от всего, что есть – неумеренность”. Начинать день нужно было с вопроса: “Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью, Думой раскинь, какие дела тебе день приготовил”. А заканчивать день пифагорейцу надлежало вопросом: “Не допускай ленивого сна на усталые очи, Прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь: Что я сделал? Чего не сделал? И что мне осталось сделать?”, Вот и сегодня на уроке мы тоже ответим на эти три вопроса. Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.
(доказательство теоремы Пифагора)
Внимательно слушайте объяснение учителя. По ходу доказательства делайте записи в тетрадь. 3
Значение теоремы Пифагора


Цель:
1) Сформулировать теорему Пифагора, используя понятие площади квадрата. Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Из нее или с ее помощью можно вывести большинство терем геометрии. Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойство равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: . Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его “ослиный мост” или “бегство убогих”, т.к. некоторые убогие ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему наизусть, без понимания, и прозванные потому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Учащиеся придумывали к ней разные карикатуры, стихи и т.д. С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно около пяти сотен, но стремление к преумножению их числа сохранилось. Причина популярности теоремы Пифагора триедина: простота – красота – значимость. Множество теорем в геометрии доказывается с помощью теоремы Пифагора или следствия из нее. Думаю, что самостоятельное “открытие” доказательств теоремы Пифагора будет полезно и современным школьникам. К следующему уроку Изучите пункты 4 и 5 стр.202-203 «Геометрия 7-9», В.Н.Руденко, Г.А.Бахурин. Ответьте на вопросы 1-6 стр.203 устно. Ответьте на вопрос практической задачи №2 Какой выбор Вы сделали?
попытайтесь найти другие доказательства теоремы Пифагора. Рассмотрим одно из доказательств, которое может подсказать направления таких поисков. Это доказательство, основанное на
использовании понятия равновеликости фигур.
Квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника, “складывается” из таких же фигур, что и квадраты, построенные на катетах. На рис. изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна
a + b
. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами
a
и
b
, то останутся равные площади, т.е. . Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом:
смотри!
4
Применение теоремы Пифагора. Решение задач (на примере

старинных задач)

Цель:
1) Научиться применять теорему Пифагора при решении задач
Алгоритм решения задач по теореме Пифагора:
1. Внимательно прочти задачу, разберись с условием. 2. По условию сделай чертеж. 3. Выдели на чертеже прямоугольный треугольник, пользуясь цветным карандашом. 4. Найди в треугольнике катеты и гипотенузу. 5. Запиши теорему Пифагора, согласно обозначениям, на чертеже. 6. Выполни подстановку данных и реши полученное уравнение.
7. Соотнеси полученный ответ с вопросом задачи и смыслом условия. 8. Грамотно запиши ответ.
Применим алгоритм решения задач по теореме Пифагора к

старинным задачам.

а) Старинная задача.

(Из первого учебника математики на Руси – “Арифметики”

Магницкого.)
Леонтий Филиппович Магницкий (настоящая фамилия – Телятин, Магницким стал по приказу Петра I, который был восхищен его занятиями, притягивающим к себе всех любознательных, подобно магниту.) “Арифметику” Магницкого и “Грамматику” Смотрицкого М.В.Ломоносов назвал “вратами учености”. “Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отсояти имать”.
б)

У древних индусов был обычай предлагать задачи в

стихах: (Древнеиндейская задача)
Над озером тихим, С полфута размером, высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока? (Перевод В.И.Лебедева)
в) е) “Венец ученья”,
Задача индийского математика и астронома Бхаскара Ачарья (1114- 1178), автора труда “Венец ученья”, в котором содержались методы решения алгебраических и теоретико-числовых задач. “На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал, Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?”
Работайте в группах, строго следуя алгоритму
. Аккуратно оформите решение задачи в тетради 5
Выходной контроль. Рефлексия.

Цель:
1) Оценить уровень усвоения материала Правильно оцените уровень усвоения материала. Выберите посильное для себя задание. Выполните работу в тетрадях для классных работ. Выполните рефлексию. Запишите домашнее задание: пункт 54, 55 знать теоремы, №483, 484, 498(а,б,в) письменно Рейтинговая оценка. Критерии оценивания максимальное количество баллов 17 16-17 баллов – «5» 12-15 баллов – «4»
9-12 баллов – «3» Меньше 9 баллов – «2»