Новосибирский радиотехнический колледж

Занятие по математике

Тема

Способы решения систем

иррациональных уравнений

Выполнил: учитель математики

Шарапова Наталья Алексеевна

.

2016 год

Цели занятия:

I. 1. Обучающиеся должны «придумать», «открыть » способы решения

систем иррациональных уравнений.

2. Обучающиеся должны увидеть способ решения каждой из

предложенных систем уравнений.

3. Обучающиеся должны научиться применять открытые ими способы и

приёмы для решения систем иррациональных уравнений.

4. Повторить способы решения систем уравнений.

II. 1. Развитие логического мышления учащихся.

2. Развитие творческих способностей учащихся.

3. Развитие навыков сопоставления, анализа, обобщения.

4. Развитие самостоятельной деятельности учащихся.

III. 1.Воспитание целеустремлённости, умения доводить дело до конца;

2.Воспитание чувства радости от проделанной работы.

Оборудование:

1. компьютер,

2. проектор,

3.мультимедийная доска,

4. презентация слайдов,

5. лист с индивидуальным заданием,

6. памятка со способами решения систем уравнений.

Форма занятия

«Мозговой штурм»

Тип занятия - комбинированный

Ход занятия.

1)Ответ учителя на вопросы учащихся по домашнему заданию (3 минуты).

2)Актуализация знаний.

Вопросы учащимся: 1) Какие вы знаете основные способы решения

систем уравнений?

-Способ подстановки и способ сложения.

2) В чём заключается каждый способ? Каков алгоритм решения?

-Для решения системы уравнений способом подстановки необходимо

выразить одну из переменных через другую из одного уравнения, а затем

подставить полученное выражение вместо переменной в другое

уравнение.

- Метод сложения заключается в том, чтобы алгебраически сложить

два уравнения, тогда мы можем вычислить одну из переменных, а затем

подставим её значение в любое из удобных нам уравнений и найдем

другую переменную.

3) Тема сегодняшнего урока «Способы решения систем уравнений»

Слайд № 1

4) Решите систему уравнений: (устно) Слайд № 2



,

7

.

3









у

х

у

х



,

9

2

.

13

3









у

х

у

х



,

7

3

2

.

32

4

3











у

х

у

х

Первая система легко решается способом сложения: 2х=10, х=5; у=7-х,

у=2. Ответ (5;2) . Краткие записи делаются на доске.

Вторая система решается способом сложения, предварительно умножив

второе уравнение на дополнительный множитель (-2)



,

9

2

;

26

2

6









у

х

у

х

7х=35, х=5, у=

2

9

х



, у=2 или способом подстановки:



,

2

9

.

13

)

2

9

(

3

у

х

у

у











-7у=-14, у=2, х=5. Ответ (5;2) .

Третья система проще решается способом сложения, предварительно

умножив каждое уравнение на дополнительный множитель



,

28

12

8

;

96

12

9











у

х

у

х

17х= 68, х=4, у =

4

3

32

х



, у=5. ответ (4;5).

3)

Изучение нового материала.

Вступительное слово учителя. Сегодня мы должны научиться находить

способы решения систем иррациональных уравнений. Не каждый способ

рационален, не каждый способ приведёт к решению. Применяя

известные способы, мы можём прийти в тупик, но этого не надо

бояться, надо искать новые способы решения системы уравнений,

применять совершенно другой подход. Решение существует и его надо

просто увидеть. Так и в жизни мы часто стоим перед выбором, и,

порою, трудно найти выход из ситуации, трудно принять правильное

решение, но выход должен быть, надо либо перебрать все возможные

известные варианты либо придумать что-то кардинально новое. Вот

мы сегодня этим и будем заниматься. Либо вспомним и применим

известное ранее, либо придумаем что-то новое. Начнём решение с

очень простых систем.

Каков способ решения этой системы. (Слайд №3).Напоминаю, цель

сегодняшнего урока: найти способы решения систем уравнений, до

конца систему мы решать не будем, преобразования будем делать до

тех пор, пока не увидим дальнейший ход решения системы уравнений.



















,

1

2

3

;

6

у

х

ху

Учащиеся должны записать в тетради способ

. 1)

1

2

3







у

х

2)

2

3







у

х

3)

5





у

х

Через 1-2 минуты учитель просматривает тетради. (Слайд № 4) Учащиеся

предлагают способы решения. Рассматриваются все предложенные

варианты, выбирается лучший способ: возведение в квадрат иррационального

уравнения, т.е. приём «мозговой штурм». Таким способом находятся решения

для каждой системы. Делаем вывод. Первый способ:

возведение в

квадрат одного или двух уравнений, если радикал находится в

одной части уравнения, или в обеих, но легко исчезает при

возведении в соответствующую степень.

А если бы уравнение содержало радикал не второй степени, а третьей,

четвёртой или n-ой? Учащиеся предлагают свои варианты.

Демонстрируется слайд № 5 (аналогичная работа). Учащиеся предлагают

свои способы решения.





















,

10

1

1

;

16

1

1

у

х

х

у

Замена выражений

в

у

а

х









1

,

1

Демонстрируется слайд № 6



,

10

;

16







в

а

ав

такая система учащимся знакома, дальше её не решаем.

Второй способ:

замена переменных, после нахождения новых

переменных перейти снова к переменным системы.

Демонстрируется слайд № 7















,

7

;

18

3

3

х

у

у

х

учащиеся видят, что система решается вторым способом, делают замену

в

х

а

у





,

3

. И снова такая система учащимся знакома, дальше её не

решаем.

Демонстрируется слайд № 8















,

16

;

2

у

х

у

х

в этой системе учащиеся должны увидеть, что нужна замена

переменной, содержащей радикал (хотя вовсе и необязательно), что в

первом уравнении появляется формула разности квадратов. Раскладываем

на множители левую часть, подставляем 2 вместо одной из скобок и

получаем новую простую систему уравнений. Слайды № 9

а

х



,

в

у





,

16

;

2

2

2









в

а

в

а



,

16

)

)(

(

;

2











в

а

в

а

в

а



,

8

.

2









в

а

в

а

Способ третий:

после замены переменных применяем формулы

сокращённого умножения (в данном случае формулу разности

квадратов)

Перейдём к более сложным системам уравнений.

4) Минута релаксации (слайды №10, 11 с природой и немножко

посмотреть в окно, на чудесное зимнее небо)

5) Продолжение урока. Слайд № 12, 13



















1

1

1

4

у

х

у

х

учащиеся видят, что система решается вторым способом,

делают замену

в

х

а

у





,

, дальше могут быть два варианта, или начнут

решать способом подстановки, или увидят, что можно работать с первым

уравнением. Лучше преобразовать первое уравнение:

1

1

1





в

а

, а+в=ав,

получаем систему



,

;

4

ав

в

а

в

а









или



,

4

;

4







в

а

ав

Вывод: систему решали

вторым способом.

Слайд № 14, 15, 16



,

100

6

9

2











ху

у

х

х

у

методом «мозгового штурма», «узнают в лицо»

формулу квадрата суммы, применяют её







,

100

3

;

2

2









в

а

а

в

как поступить дальше? Четвёртый способ:

от одной

системы уравнений переходим к совокупности систем, решение

каждой из которых является решением совокупности систем







,

10

3

;

2

,

10

3

;

2



















в

а

а

в

в

а

а

в

Слайд № 17



,

2

;

26

3

3









у

х

у

х

учащиеся должны увидеть третий способ, но здесь формула

суммы кубов двух выражений.

Слайд № 18



,

2

5

3

;

1

7

3

2















у

х

у

у

х

система решается первым способом, а затем

способом подстановки.

Слайд № 19,20























;

5

,

1

2

2

;

4

х

у

у

х

у

х

методом проб и ошибок, т.е. обсуждаются идеи

решения «мозговым штурмом», учащиеся видят в первом уравнении две

взаимно-обратные переменные, но в этом случае заменяем не одну

переменную под корнем, а целых две переменные, а затем получаем

квадратное уравнение:

,

2

а

у

х





а-

5

,

1

1



а

; а

2

-1,5а-1=0, отсюда а=2 и

а=-0,5. при а=-0,5 выражение

у

х

2



не имеет смысла, получаем одну

систему, которую решаем первым способом



















,

2

2

;

4

у

х

у

х

. Всегда ли мы

получим одну систему?

-Нет, если оба числа положительные, то получим совокупность систем

уравнений

Слайды № 21, 22, 23



,

0

4

;

5

4

2

2

2

2













х

у

у

х

у

у

х

эта система интересна тем, что её хочется разбить

на две системы, когда

0



у

и

0

4

2

2





х

у

, но при у=0 выражение у

2

-4х

2

неотрицательно, тогда и х=0, а при этих условиях пара (0;0) не

удовлетворяет второму уравнению, остаётся совокупность двух систем







,

0

2

;

5

,

0

2

;

0

















х

у

у

х

х

у

у

х

вывод: после всех рассуждений систему решали четвёртым

способом.

Слайд № 24, 25.

Выводы:

Первый способ.

Возведение в квадрат одного или двух уравнений,

если радикал находится в одной части уравнения, или в обеих, но

легко исчезает при возведении в соответствующую степень.

Второй способ:

замена переменных, после нахождения новых

переменных перейти снова к переменным системы.

Третий способ:

после замены переменных применяем формулы

сокращённого умножения.

Четвёртый способ:

от одной системы уравнений переходим к

совокупности систем, решение каждой из которых является

решением совокупности систем.

Пятый способ:

способ сложения.

Шестой способ:

способ подстановки.

Примечания

*******************************************************

При решении любой системы иррациональных уравнений

отбираем

корни или способом проверки или находим область определения

системы уравнений

При решении систем иррациональных уравнений возможна

комбинация нескольких способов

********************************************************

6) Закрепление изученного материала.

Вариант а) Каждый учащийся получает памятку со способами решений

(приложение №1) и лист с заданием (приложение №2): к каждой системе

подобрать способ решения (заполняют таблицу ответов) при наличии

времени учащиеся должны решить любую систему уравнений до конца,

отобрать корни уравнения, записать ответ. Учитель в это время отвечает на

вопросы учащихся, при необходимости корректирует их работу.

Вариант б) учащиеся садятся к компьютерам и выполняют то же самое

задание, заполняя таблицу ответов на компьютере. Учитель может быстрее

проверить работу учащихся.

7)Проверка выполненных заданий. (Слайд № 26). Проверяются ответы,

обсуждаются способы решений.

8) Домашнее задание. Решить любые три системы уравнений из данного

листа с заданиями, учитывая, что трудность решения увеличивается от

первого номера к последнему заданию. К следующему уроку можно

принести задания с системами уравнений, взятых из других источников,

если при решении этих заданий возникли трудности.

9) Итог урока. Урок заканчивается. Сегодня на уроке мы решили или

нашли способы решения для 13 систем уравнений. Конечно, это не все

способы, но мы научились их находить. Чему же научились на уроке? Кто

получил радость оттого, что сам придумал способ решения, радость

оттого, что просто увидел применение известного способа к решению

системы?

9) Минутка рефлексии. Вы можете сказать себе: (Слайд № 27)«Я –

молодец! Я очень хорошо сегодня поработал. Я сам научился искать

способы решения систем уравнений. Я научился думать, т.е.

анализировать, сравнивать, обобщать. Я получил радость от познания».

Спасибо всем за урок.

10) Оценки за урок можно поставить

- если ученик хорошо работал на уроке,

- положительную оценку за выполнение работы по закреплению

материала;

- за выполненную домашнюю работу.

Литература:

1) Колмогоров А.Н. и др. «Алгебра и начала анализа»;

2)Саакян С.М. и др. «Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11

классов»;

3) Шестаков С.А. и др. «Алгебра и начала анализа. Сборник задач для

подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы.»

Приложение №1

Способы решения систем иррациональных уравнений

Первый способ.

Возведение в квадрат одного или двух уравнений,

если радикал находится в одной части уравнения, или в обеих, но

легко исчезает при возведении в соответствующую степень.

Второй способ:

замена переменных, после нахождения новых

переменных перейти снова к переменным системы.

Третий способ:

после замены переменных применяем формулы

сокращённого умножения.

Четвёртый способ:

от одной системы уравнений переходим к

совокупности систем, решение каждой из которых является

решением совокупности систем.

Пятый способ:

способ сложения.

Шестой способ:

способ подстановки.

Примечания

*******************************************************

При решении любой системы иррациональных уравнений

отбираем

корни или способом проверки или находим область определения

системы уравнений

При решении систем иррациональных уравнений возможна

комбинация нескольких способов

********************************************************

Приложение №2

Системы иррациональных уравнений

1)



,

8

2

2

;

15

2

2















у

х

у

х

2)



,

3

;

10

4

3

3

4







у

х

х

у

3)



,

7

;

7











х

у

у

х

4)



















,

9

2

4

;

48

2

7

х

у

у

х

у

х

5)



,

5

4

17

18

16

;

4

2

2

















х

у

ху

х

у

х

6)



,

71

9

2

;

73

9

2













ху

у

х

ху

у

х

7)



,

5

1

;

3

2

15

















х

у

у

у

х

8)



,

28

12

;

36

6

8









х

у

х

х

у

х

у

у

9)



,

2

3

3

;

3

3

2













у

х

х

у

10)



,

6

36

25

5

;

0

36

25

)

36

(

2

2

2

2

2



















у

х

у

х

у

х

х

Номер

системы

уравнений

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Номер

способа

решения

Приложение №3

Ответы к заданию на нахождение способа решения систем уравнений

.

Номер

системы

уравнений

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Номер

способа

решения

2

2

3

4;1

1

5

1;6

2;3

2

4

Приложение №3

Ответы к решению систем уравнений.

Номер системы

Ответ

уравнений

1

(23; 11), (7; 27)

2

(125;16)

3

(16; 9)

4

(36; 9), (10,24; 51,2)

5

(-9; 5)

6

(36;

3

1

)

7

(-21,5; 2,5)

8

(1; 2,25)

9

(3; -2), (12; 7)

10

(-6; 0), (6; 0)