Министерство образования Нижегородской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Нижегородский политехнический колледж имени Героя Советского Союза Руднева А.П.»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

по ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

для студентов специальностей

080114 «Экономика и бухгалтерский учет»

100701 «Коммерция»
2016
Методические рекомендации разработаны на о снове рабочей программы по ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» для специальностей среднего профессионального образования (далее - СПО): 080114 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям), 100701 Коммерция (по отраслям) РЕКОМЕНДОВАНЫ Цикловой комиссией математического и естественнонаучного цикла «_____»______________ 20 __ г. УТВЕРЖДЕНЫ Методическим советом ГБОУ СПО «Нижегородский политехнический колледж» ___________________________ «_____»_____________ 20 __ г. Разработчик: Орлова Галина Николаевна, преподаватель ГБПОУ «Нижегородский политехнический колледж имени Героя Советского Союза Руднева А.П.» Методические рекомендации предназначены для применения в выполнении и оформлении самостоятельных работ студентами ГБПОУ «Нижегородский политехнический колледж имени Героя Советского Союза Руднева А.П.» по ЕН.01 «МАТЕМАТИКА». Разработанные преподавателем методические рекомендации выполнены в полном соответствии с требованиями ФГОС для специальностей 080114 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», 100701 «Коммерция (по отраслям)» образовательного учреждения. Методические рекомендации содержат требования к последовательности выполнения самостоятельных работ и правилам их оформления. Разработчик в предлагаемом документе определил количество времени и краткое содержание тем для выполнения самостоятельных работ согласно рабочей программе по ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» Методические рекомендации предназначены для улучшения освоения умений, освоения знаний и получение практических навыков по ЕН.01 «МАТЕМАТИКА». 2

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Е Н . 0 1 « М АТ Е М АТ И К А » , предназначенная для обучающихся экономических специальностей СПО080114 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям), 100701 Коммерция (по отраслям), включает разделы: «Действия с процентами», «Линейное программирование», «Комплексные числа», «Теория вероятностей», «Производная и дифференциал», «Определенный интеграл». Методические рекомендации предназначены для применения в выполнении и оформлении самостоятельных работ студентами по ЕН.01 «МАТЕМАТИКА». Методические рекомендации разработаны преподавателем для разделов математического курса обучения, в которых предложены задания по выполнению самостоятельных работ. В результате изучения курса и выполнения самостоятельных работ обучающийся должензнать: - правила действий с процентами; - способы применения линейной алгебры в экономических расчетах; - формулы для решения квадратных уравнений на множестве комплексных чисел; - понятие предела функции; - понятие производной и ее применение; - понятие определенного интеграла и его практическое применение. Материал методических рекомендаций включает задания по темам ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» порядок их выполнения и оформления: 1. Решение задач на максимум и минимум с практическим содержанием. 2. Простые и сложные проценты. 3. Применение линейной алгебры в экономических расчетах. 4. Основные понятия теории комплексных чисел. Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел. 5. Основные понятия теории вероятностей. Формула полной вероятности. 6. Предел функции в точке. Вычисление пределов функций. Исследование функций на непрерывность. Правило Лопиталя. 7. Производная и дифференциал. Нахождение производной сложной функции. 8. Нахождение приближенных значений с помощью дифференциала. 9. Решение задач прикладного характера с использованием производной функции для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции. 10.Неопределенный интеграл. Методы вычисления неопределенного интеграла. 11.Определенный интеграл. Методы вычисления определенного интеграла. 3
12.Вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, работы и давления. 13.Вычисление геометрических, механических, физических величин с помощью определенного интеграла. Самостоятельные работы рассчитаны на выполнение за 2-4 часа. Форма выполнения и оформления самостоятельных работ предложена в каждой самостоятельной работе. Краткое изложение тем самостоятельных заданий выполнено преподавателем в удобной форме при изучении тем ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»
СОДЕРЖАНИЕ
4
Введение…………………………………………………………………………… 6 1. Самостоятельная работа №1 ««Значение математики в профессиональной деятельности»…………………………………………………………………… … 8 2. Самостоятельная работа №2 «Действия с процентами»……………………….. 19 3. Самостоятельная работа №3 «Линейное программирование»………………… 22 4. Самостоятельная работа №4 «Комплексные числа»…………………………… 27 5. Самостоятельная работа №5 «Основные понятия теории вероятностей»…….. 30 6. Самостоятельная работа №6 «Предел и непрерывность функции»…………... 39 7. Самостоятельная работа №7 «Производная и дифференциал»………………. 42 8. Самостоятельная работа №8 «Определенный интеграл»…………………….. 51 5

ВВЕДЕНИЕ
На современном этапе развития промышленности большое внимание уделяется развитию и совершенствованию системы профессионально- технического образования как основной формы планомерной подготовки квалифицированных специалистов среднего звена промышленного производства. В повседневной жизни и работе каждому члену современного общества нужны математические знания, умения и навыки. Они являются необходимой основой изучения других наук, достаточными для продолжения образования, необходимыми для чтения научно-популярной и технической литературы. В современном мире математика и математики востребованы, пожалуй, как никогда раньше. Ведь нас со всех сторон окружают компьютеры, цифры и алгоритмы. Математическим алгоритмам находят применение в таких областях, где раньше о них и подумать не могли. Мир входит в новую эпоху – эпоху цифр. Математика превратилась в повседневное орудие исследования в экономике, промышленности, в коммерческом деле и организации производства. Существует ряд профессий, которым математика нужна в «чистом» виде. Это бухгалтер, экономист, архитектор, водитель, тракторист, продавец, токарь и многие другие профессии. Им необходимо умение вычислять, пользоваться различными формулами, решать вопросы рентабельности производства и т.д. Для того чтобы уметь связывать теорию с практикой, с повседневной и всесторонней работой на общую пользу, для этого надо много и самостоятельно учиться. Поэтому, одной из главных и важных задач становится задача – научить учащихся учиться, привить им умения самостоятельно получать и применять знания, самостоятельно трудиться. При изучении математики осуществляется развитие интеллекта учащегося, обогащение его методами отбора и анализа информации. Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии, поскольку прививает навыки ясного логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями. Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и 6
взаимно противоположные элементы - логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Изучение математики также способствует формированию гражданских качеств личности посредством воспитания свойства, которое мы называем интеллектуальной честностью, благотворно сказывается на умственном, нравственном и эстетическом развитии учащихся. Одновременно воспитываются волевые качества личности, без которых невозможно овладение научной теорией, формируются н а в ы к и самостоятельной исследовательской работы, наконец, воспитывается интеллектуальная честность, которая не позволяет оперировать сомнительными, не доказанными со всей необходимой строгостью фактами. Причем это относится не только к решению математических задач, но и к другим областям человеческой деятельности, в том числе и к анализу явлений общественно-политической жизни. Математическое образование из внешнего по отношению к ученику процесса обучения трансформируется в собственно познавательный процесс. Только совместные действия этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки. Методические рекомендации предназначены для обучающихся по специальностям СПО «080114 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)», «100701 Коммерция (по отраслям)». Рекомендации разработаны преподавателем для унифицирования студенческих работ в соответствии с рабочей программой МДК, для подготовки квалифицированных специалистов. Здесь предложен материал для практического применения в выполнении самостоятельных работ студентами по индивидуальным заданиям. Умение выполнять самостоятельные задания в учебном процессе - необходимое условие повседневной производственной деятельности каждого квалифицированного специалиста. .
Самостоятельная

работа №1
7

Тема: «ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ»

Цели работы:
1. Применение прикладных аспектов математических понятий, затрагивающих вопросы финансов и экономики, формирование навыков проектной деятельности по построению математических моделей. 2. Выбор профессиональных ситуаций, для которых необходимо строить математические модели и проводить их исследование в рамках требований Государственного стандарта. 3. Овладение навыками работы в «стандартных» прикладных ситуациях.
Задания:
1. Выбрать 2-3 прикладных сюжета и исследовать их, перевести ситуацию на математический язык, выполнить постановку математической задачи. 2. Выполнить описание способов решения математической задачи, обсуждение результатов. 3. Выполнить реферат и презентацию по результатам работы.
Последовательность выполнения самостоятельной

работы:
1. Выбрать 2-3 прикладных сюжета и провести их исследование. 2.Выполнить задание в форме реферата и презентации.
Содержание реферата.
1. Титульный лист(форма прилагается). 2. Тема и цель самостоятельной работы. Введение. 3. Выполнение задания. 4. Выводы. Заключение.
Время выполнения: 4 час.

Материально-техническое оснащение:
1. Методические рекомендации для выполнения практических работ по модулю ПМ.02. 2. Приложение – титульный лист реферата. 3. Учебная литература: - Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. Глава 8. §§ 4,5. Стр.111-113. 8
- М. И. Башмаков. Учебное пособие. Математика. Сборник задач профильной направленности. Москва. Издательский центр «Академия». - Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. Глава 8. Стр.111-113. - Сборник задач по математике для техникумов. О.Н. Афанасьева, Я.С. Бродский, и др. Москва «Наука». (глава 3, стр.108-111). - Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. А.Н. Колмогоров. «Просвещение». Глава II, §6, стр.155-160. - Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 класса (профильный уровень). А.Г. Мордкович. «Мнемозина». Глава 6, §33, стр.270-273.
Краткая теоретическая часть

ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ
В современном мире математика и математики востребованы, пожалуй, как никогда раньше. Ведь нас со всех сторон окружают компьютеры, цифры и алгоритмы. Математическим алгоритмам находят применение в таких областях, где раньше о них и подумать не могли. Мир входит в новую эпоху – эпоху цифр. При решении математической задачи человек имеет дело с ограниченным набором объектов, имеющих четкие отношения друг с другом. Математика превратилась в повседневное орудие исследования в экономике, промышленности, в коммерческом деле и организации производства. Таким образом, можно сделать вывод, что существует ряд профессий, которым математика нужна в «чистом» виде. Это бухгалтер, экономист, архитектор, водитель, тракторист, продавец, токарь и многие другие профессии. Им необходимо умение вычислять, пользоваться различными формулами, решать вопросы рентабельности производства и т.д. Поскольку математика представляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должна использоваться во всех отраслях науки. Математику можно отнести к всеобщим наукам. В самом деле, она считается всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания. Задача математики состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математического аппарата, то есть формально-логическим способом. Говоря о предмете и функциях математики, 9
очевидно, что в современной науке все более ощутимой становится интегрирующая роль математики, поскольку она является всеобщей научной дисциплиной. Функции математики в равной мере являются функциями гуманитарными, поскольку направлены на совершенствование материальной и духовной сфер человеческого бытия. При изучении математики осуществляется развитие интеллекта учащегося, обогащение его методами отбора и анализа информации. Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии, поскольку прививает навыки ясного логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями. Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству. Ее основные и взаимно противоположные элементы - логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Изучение математики также способствует формированию гражданских качеств личности посредством воспитания свойства, которое мы называем интеллектуальной честностью, благотворно сказывается на умственном, нравственном и эстетическом развитии учащихся. Одновременно воспитываются волевые качества личности, без которых невозможно овладение научной теорией, формируются н а в ы к и самостоятельной исследовательской работы, наконец, воспитывается интеллектуальная честность, которая не позволяет оперировать сомнительными, не доказанными со всей необходимой строгостью фактами. Причем это относится не только к решению математических задач, но и к другим областям человеческой деятельности, в том числе и к анализу явлений общественно-политической жизни. Математическое образование из внешнего по отношению к ученику процесса обучения трансформируется в собственно познавательный процесс. Только совместные действия этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки. Учитывая внутреннее логическое единство математики, органическую взаимосвязь ее частей, важнейшим требованием к организации ее преподавания должны стать последовательность и преемственность в обучении, видение на всех его этапах основной цели. Этой целью является накопление специальных знаний, овладение приемами постановки и решения математических задач и на 10
их базе развитие интеллекта учащихся, формирование у них культуры мышления, воспитание волевых качеств личности, умения преодолевать трудности, эстетическое развитие, базирующееся на способности оценить красоту научных построений и радости от обретения нового знания. Хороший специалист должен участвовать в разработке и реализации мероприятий, направленных на повышение прибыли, снижение трудоемкости, повышение производительности труда, а также рассмат ривать рационализаторские предложения по совершенствованию технологических процессов и давать заключения о целесообразности их использования в условиях производства. Решение практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Решение разнообразных прикладных задач выполняют по следующей схеме: 1) Задача «переводится» на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x); 2) Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке; 3) Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат. Вообще решение практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа: 1) формализацию (перевод исходной задачи на язык математики); 2) решение полученной математической задачи и 3) интерпретацию найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи). Этот общий метод называется методом математического моделирования.
ПРИМЕРЫ ПРИКЛАДНЫХ СЮЖЕТОВ:

Задача 1
. Окно имеет форму прямоугольника, периметр которого равен 8 м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света? 11

Решение.
Первый этап. Составление математической модели. Обозначим через х ширину окна, тогда его высота равна Р 2 − х = 4 − х , тогда площадь окна можно выразить формулой: S = x ⋅( 4 − x ) . По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0 < x <4, то есть принадлежит интервалу (0; 4). Второй этап. Работа с составленной моделью. Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции S ( х )= x ⋅( 4 − x ) на интервале (0; 4). Будем искать наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0; 4], а потом сделаем выводы для решаемой нами задачи. Находим критические точки функции: S ' ( x )=( 4 x − x 2 ) ' = 4 − 2 x , 4 − 2 x = 0, x = 2 . S ( 2 )= 4 ⋅ 2 − 2 2 = 4 . Так как S ( 0 )= 0 и S ( 4 )= 0, то своего наибольшего на отрезке [0; 4] значения функция S достигает при х = 2 , то есть S max = S ( 2 )= 4 . Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; 4 ] , следовательно, и внутри интервала (0; 4). Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Остается вспомнить, что х - ширина окна и при х = 2 площадь окна наибольшая, а значит оно пропускает наибольшее количества света.
Ответ:
Окно размером 2х2 пропускает наибольшее количество света.
Задача

2
. Населенный пункт А расположен на расстоянии 3 км от автомагистрали и 5 км от города В, через который проходит автомагистраль. Под каким углом к автомагистрали нужно построить подъездную дорогу, чтобы затраты времени на перевозку грузов из А в В были наименьшими, если допустимая скорость движения автомобилей по магистрали 90 км/ч, а по подъездной дороге 45км/ч? (Ответ: 60°). 12

Задача 3.
Прочность прямоугольной балки пропорциональна произведению ширины её на квадрат высоты. Найти размеры наиболее прочной балки, которую можно вырезать из цилиндрического бревна диаметром в а см.
Решение
Первый этап. Составление математической модели. Пусть
AD = х
см. – ширина балки, тогда СD = √ AC 2 − AD 2 = √ a 2 − x 2 (см)- высота балки. Прочность балки пропорциональна произведению S = AD ⋅ CD 2 = x ⋅( а 2 − х 2 ) . По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0< x <а, то есть принадлежит интервалу (0; а). Второй этап. Работа с составленной моделью. Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции S ( х )= x ⋅( а 2 − х 2 ) . на интервале (0; a). Будем искать наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0; a], а потом сделаем выводы для решаемой нами задачи. Находим критические точки функции: S ' ( x )=( x ⋅( а 2 − х 2 ) ' =( а 2 х − х 3 ) ' = а 2 − 3 х 2 . а 2 − 3 х 2 = 0; 3 х 2 = а 2 ; х = а √ 3 ; х = а √ 3 3 ; 0 < а √ 3 3 < a . S ( a √ 3 3 ) = a √ 3 3 ( a 2 − a 2 3 ) = а 3 √ 3 3 ( 1 − 1 3 ) = 2 а 3 √ 3 9 . 13 В С aa a А D Х
Так как S ( 0 )= 0 и S ( а )= 0, то своего наибольшего на отрезке [0; а] значения функция S достигает при х = а √ 3 3 , то есть S max = S ( а √ 3 3 ) = 2а 3 √ 3 9 . Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; а], следовательно, и внутри интервала (0; а). Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Остается вспомнить, что х - ширина балки и при х = а √ 3 3 прочность балки наибольшая. Высота балки равна √ а 2 − а 2 3 = √ 2а 2 3 = а √ 6 3 .
Ответ:
балка размерами 3 3 а и 6 3 а будет наиболее прочна.
Задача 4.
Для балки, лежащей на двух опорах, с равномерно распределенной нагрузкой по всей длине
l
момент изгиба в какой-либо точке А балки определяется из равенства: М= 2 1 1 2 2 qlxqx - . Где х-расстояние точки А от одной из опор, а q- нагрузка на единицу длины балки. Показать, что максимальный изгибающий момент находится в центре балки. Определить величину максимального изгибающего момента. А Ответ: Максимальный изгибающий момент находится в центре балки; Величина максимального изгибающего момента 2 1 8 l q .
Задача 5.
Две шкурки ценного меха общей стоимостью в 225 тыс. руб. были проданы на международном аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки отдельно, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй 50%? 14
Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть первая шкурка стоит
х
тыс.руб., тогда
(225-х)
тыс.руб.- стоимость второй шкурки. Прибыли получено
225·0,4
тыс.руб. или
0,25х+ (225-х)·0,5
тыс.руб. Тогда математической моделью задачи служит линейное уравнение:
225·0,4
=
0,25х+ (225-х)·0,5.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
0,25х+112,5-0,5х=90; -0,25х=90-112,5; х=90.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи. Итак, стоимость первой шкурки 90 тыс.руб., а (225-90)=135(тыс.руб.) – стоимость второй шкурки. Ответ: 90 и 135 тыс.руб.
Задача 6
. Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар обычно содержит 70% воды, а полученный из него мед содержит только 17% воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 1 кг меда? Ответ: 2,77 кг.
Задача 7.
Три тракториста вспахивают поле. Чтобы вспахать все поле, первому трактору требуется времени на 1 ч больше, чем второму, и на 2 ч меньше, чем третьему. Первый и третий тракторы при совместной работе вспашут все поле за 2 ч 24 мин. Сколько времени уйдет на вспашку поля при совместной работе трех трактористов? Решение. Первый этап. Составление математической модели. Объем работы примем за 1, а части работы выразим в долях единицы. Пусть х ч, у ч, z ч – время, необходимое первому, второму и третьему трактору соответственно, чтобы вспахать поле в одиночку, причем х>0, y>0, z>0. 15
Тогда 1 х ; 1 у ; 1 z − часть поля, которую вспашет первый, второй и третий трактор соответственно за 1 ч. По условию задачи х – у = 1, z – x = 2. Работая вместе, первый и третий тракторы вспахали все поле за 2ч 24мин, то есть за 12 5 ч . Это значит, что 12 5 ⋅ ( 1 х + 1 z ) = 1 или 1 x + 1 z = 5 12 . В итоге получаем систему из трех уравнений с тремя переменными: { х − у = 1, z − x = 2, 1 х + 1 z = 5 12 . Второй этап. Работа с составленной моделью. Воспользуемся методом подстановки. Выразим z через х из второго уравнения системы: z = x + 2 . Подставим выражение x + 2 вместо z в третье рациональное уравнение системы: 1 x + 1 x + 2 = 5 12 |⋅ 12 x ( x − 2 )≠ 0; 12 x + 24 + 12 x = 5 x 2 + 10 x ; 5 x 2 − 14 x − 24 = 0 ; x 1 = 4, x 2 =− 6 5 . Оба найденных значения удовлетворяют условиям неравенства нулю общего знаменателя: 12 х ( х − 2 )≠ 0, − то есть являются корнями рационального уравнения. Так как х>0, y>0, z>0, то х=4. Из первого и второго уравнения составленной системы находим значения у и z. 16
Если х=4, то из этих уравнений находим: у=3, z=6. Итак, составленная система имеет одно положительное решение: (4; 3; 6). Третий этап. Ответ на вопрос задачи. За один час первый трактор вспашет 1 4 часть поля, второй - 1 3 , третий - 1 6 . Значит, при совместной работе они вспашут за один час ( 1 4 + 1 3 + 1 6 ) часть поля, а за t часов – соответственно t ⋅ ( 1 4 + 1 3 + 1 6 ) = 3 t 4 . Если они вспашут все поле, то 3 t 4 = 1, откуда t = 4 3 . 4 3 ч = 1ч 20 мин . Ответ: 1ч 20 мин уйдет на вспашку поля при совместной работе трех тракторов.
Задача 8.
Две бригады, работая вместе, закончили ремонт участка пути за 6 дней. Одной первой бригаде для выполнения 40% всей работы потребовалось бы на 2 дня больше, чем одной второй бригаде для выполнения 13 1 3 всей работы. Определите, за сколько дней каждая бригада могла бы, работая отдельно, отремонтировать весь участок. Ответ: 10 и 15 часов. Таким образом, математика своими специфическими средствами способствует решению целого комплекса гуманитарных задач и имеет большое значение в жизни общества. Нет сомнений, что математика и математический стиль мышления совершают сейчас триумфальный марш как в науке, так и в ее применениях. Учащиеся, студенты должны в какой-то мере почувствовать это и относиться к математике с большим интересом, увлечением и пониманием необходимости 17
математических знаний, как для будущей их деятельности, так и для жизни человеческого общества. В настоящее время, как никогда, нужны творческие инициативные люди. Хороший специалист должен уметь вдумчиво подходить к производственным проблемам, вносить рационализаторские предложения, получать наибольшую выгоду с минимальными затратами. Знание математических способов и умение их применить на практике, необходимы. В человечестве наряду со способностью к конкретному (образному) мышлению заложена способность (и потребность) к абстрактному мышлению, и математика является наивысшей формой удовлетворения данной потребности, что и предает ей самостоятельную, независимую от каких-либо практических приложений ценность.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ «ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ»(титульный лист реферата) Министерство образования Нижегородской области государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Нижегородский политехнический колледж имени Героя Советского Союза Руднева А.П. » 18
РЕФЕРАТ ПО ТЕМЕ:
«ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ»
Выполнил: Ф. И. О. учащегося, курс, группа Научный руководитель: Ф.И.О. преподавателя 2016
Самостоятельная работа № 2

Тема:

«ДЕЙСТВИЯ С ПРОЦЕНТАМИ»

Цели работы:
1.Повторение школьного курса по теме «Проценты». 2.Овладение дополнительными знаниями по процентным исчислениям и их практическое применение.
Задания:
19
1.Повторить три основных типа задач на проценты. Привести примеры задач на каждый тип. 2.Изучить дополнительный теоретический материал по теме « Простые и сложные проценты». 3.Решить задачи.
Задачи:
1. Ссуда, размером 5млн руб выдана на 2года под 35% годовых. Найти величину выплат к концу срока ссуды? 2. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 20000руб на вклад, годовой доход по которому составляет 12% и в течение трех лет не брал процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете в конце срока? 3. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000 рублей. Какая сумма будет на его счету через 5 лет? 4. Вкладчик открыл счет в банке и положил на него 150 000руб сроком на 5 лет под простые проценты по ставке 19% в год. Какой будет сумма, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 5лет? 5. Какую сумму положили в банк под простые проценты по ставке 22% годовых, если через 5 лет вклад достиг величины 94500руб.? На сколько вырос вклад за 5 лет?
Последовательность выполнения работы:
1. Изучить теоретический материал. 2. Выполнить задания. 3. Написать вывод.
Время выполнения: 2 часа.

Учебная литература:
1. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10класс – М.,2005. 2. Алгебра 9 класс ГИА. Тематические задания с образцами решений. Саратов. Издательство «Лицей». Стр.83-90, 163-172. 3. Практикум. Проценты на все случаи жизни. И.Н. Петрова. Челябинск. Южно-Уральское книжное издательство. 20

Краткие теоретические сведения:

ПРОЦЕНТ. ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
В математике процент – это сотая часть числа. На проценты решаются три основные задачи.
Задача №1
. Сколько процентов число m составляет от числа n? Решение: p = m n ⋅ 100
Задача №2.
Найти p% от числа n. Решение: m = p ⋅ n 100
Задача №3
. Найти число, p% которого составляет m. Решение: n = m ⋅ 100 p В экономике процент – это доход на капитал или цена капитала, в финансовых расчетах – это величина дохода от предоставления денег в долг в любой форме: выдача ссуды, помещение денег на сберегательный счет, покупка депозитного сертификата, акций и облигаций, продажа в рассрочку и т. д. Рассмотрим задачу о начислении процентов. Пусть первоначальный вклад в банке составит K о денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно p% годовых. Необходимо найти размер вклада ежегодного вклада K t через t лет. Очевидно, при p% годовых, размер вклада ежегодно будет увеличиваться в ( 1 + p 100 ) раз. Обозначим p 100 = i , тогда ежегодное увеличение в (1+ i) раз. Вклад положен под простые проценты K t = K + K ⋅ t ⋅ i = K ( 1 + t ⋅ i ) Вклад положен под сложные проценты.
K
- начальный вклад K 1 = K ( 1 + i ) K 2 = K 1 ( 1 + i ) = K ( 1 + i ) ⋅ ( 1 + i ) = K ( 1 + i ) 2 K 3 = K 2 ( 1 + i ) = K ( 1 + i ) 2 ⋅ ( 1 + 1 ) = K ( 1 + i ) 3 21
……………………………………… K t = K t ⋅ 1 ( 1 + i ) = K ⋅ ( 1 + i ) t = K ⋅ r t , где ( 1 + i ) = r . Вычисление накопления, если процент добавляется n раз в году K t = K ⋅ ( 1 + i n ) nt Непрерывное начисление процента K t = lim n →∞ [ K ⋅ ( 1 + i n ) nt ] = K ⋅ ( lim n →∞ ( 1 + i n ) n t ) it = K ⋅ e it Вычисление количества лет при сложных процентах K t = K ⋅ r t , lg K t = lg K + t lg r
Самостоятельная работа №3

Тема: «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ»

Цели работы:
1. Изучение геометрического метода решения задач по теме «Линейное программирование». 2. Применение линейной алгебры в экономических расчетах для оптимального планирования работы, каких либо экономических объектов. 22

Задания:
1. Изучить теоретический материал по теме. 2. Решить задачи. 3. Подготовить презентацию на тему: «Применение векторной алгебры в экономических расчетах».
Задачи:
1. Найти максимум (минимум) линейной формы F при заданных ограничениях: F = x 1 + 2 x 2 x 1 + x 2 ≥ 1 − 2 x 1 + x 2 ≤ 2 x 1 + x 2 ≤ 4 x 1 ≤ 3 x 1 ≥ 0 ; x 2 ≥ 0 ¿ ¿ { ¿ { ¿ { ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿
2.Решить технологическую задачу:
Для производства двух видов продукции (А и В) предприятие должно использовать оборудование трех видов (1,2,3), имеющееся в количестве соответственно 7,4,8 единиц. По техническим условиям для производства 1шт продукции А требуется 1ед оборудования 1 вида, 0ед – 2вида, 2ед – 3вида, а для производства 1шт продукции В – 1, 1, 1 единиц соответствующих видов оборудования. Известно, что от реализации 1шт продукции А, предприятие получит 2ден. единицы прибыли, от 1шт В – 1ден. единицу. Сколько единиц продукции каждого вида должно выпустить предприятие, чтобы получить наибольшую прибыль?
Последовательность выполнения самостоятельной работы:
1. Изучить теоретический материал. 2. Решить предлагаемые задачи. 3. Выполнить презентацию по данной теме.
Содержание презентации:
1.Вводный слайд (название работы, кто выполнил, научный руководитель). 2.Тема работы. Цели работы. Введение. 3.Краткая теоретическая часть. 4.Выполнение задач (2-3 задачи). 23
5.Выводы. Заключение.
Время выполнения работы: 4 часа.

Учебная литература:
- Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. Глава 3. § 16. Стр.55-57.
Краткие теоретические сведения:

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Линейное программирование один из разделов математического программирования, которое наиболее разработано и широко применяется при отыскании оптимума (максимума или минимума) заданной линейной функцией при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств. Методы линейного программирования могут быть использованы для оптимального планирования работы, каких либо экономических объектов. Задача планирования сводиться к выбору набора числовых характеристик плана, обеспечивающего эффективную работу объекта с точки зрения выбранного критерия, а именно, достижения оптимального значения некоторой числовой характеристики – функции цели, линейно зависящей от принятого плана, при учете реально существующих ограничений, которые также функционально линейно зависят от принятого плана работы. Для решения задач экономики нужно выразить экономическое содержание задачи через определенные математические зависимости, т.е. составить экономико- математическую модель задачи. Экономико-математическая модель задачи в общем виде выглядит так: X = ( x 1 ; x 2 ; x 3 ; . . . ; x n ) - план F ( x ) = ∑ j = 1 n c j x j → ( max, min ) - функция цели (линейная функция) ∑ j n a ij x j ≤ b j , где i = ( 1,2, . . . , m ) - ограничения на реализацию плана. x j ≥ 0 , где j = ( 1,2, . . . , n ) - естественные ограничения на план. Пусть дана задача об оптимальном использовании ресурсов. Предположим, что предприятие выпускает n различных изделий. Для их производства требуется m различных видов ресурсов (разных видов сырья, 24
вспомогательных материалов, людских ресурсов и т.д.). Эти ресурсы ограничены и составляют в планируемый период соответственно b 1 , b 2 , . . . , b m условных единиц. Известны так же технологические коэффициенты a ij , которые показывают, сколько единиц i -го ресурса требуется для производства единицы j -го вида изделий ( i = ( 1,2, . . . , m ) ; j = ( 1,2, . . . , n ) ) . Пусть прибыль, получаемая предприятием при реализации единицы изделия j -го вида, равна c j . В планируемый период все показатели a ij , c j и b i предполагаются постоянными. Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации ее была бы наибольшей.
Данные условия удобно свести в таблицу.
Виды ресурсо в Запасы ресурсо в Технологические коэффициенты. 1 2 … j … n 1 в 1 а 11 а 12 … а 1j … а 1n 2 в 2 а 21 а 22 … а 2j а 2n … … … … … … … … i в i а i1 а i2 … а ij а in … … … … … … … … m в m а m1 а m2 … а mj … а mn Прибыль С 1 С 2 … С j … С n Составим Э.Э.М. задачи, т.е. запишем экономическое содержание задачи с помощью математических зависимостей. 1.План работы предприятия x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) , где x 1 единицы изделий первого вида, x 2 единицы изделий второго вида, …., x n единицы изделий n-го вида. 2.Целевая функция, функция оптимального планирования (линейная форма). F ( x ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c j x j + . . . + c n x n = ∑ 1 n c j x j 25
3.Составляем систему ограничений на реализацию плена: a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n ≤ b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n ≤ b 2 . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + . . . + a mn x n ≤ b m ¿ { ¿ { ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ 4.Естественные ограничения на план x j ≥ 0, j = 1,2, . . . n Решение: x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) при котором функция F образуется в оптимуме (минимум или максимум), называется
оптимальным решением.
В отыскании этого оптимального решения и состоит задача линейного программирования. Формулируя общую задачу линейного программирования, исходим из того, что оптимальное решение – единственное, хотя на практике могут встретиться задачи, где эта единственность оптимального решения нарушается (это частные случаи). Задача линейного программирования, система ограничений которой задана в виде системы уравнений, носит название
канонической.
Однако любую систему ограничений в виде неравенств можно привести к системе уравнений. Для этого достаточно к левой части каждого неравенства прибавить (отнять) добавочную переменную, чтобы каждое неравенство обратилось в уравнение. Полученная система m линейных уравнений с n переменными может быть как совместной, так и несовместной, а уравнения системы – как зависимыми, так и независимыми. Несовместность системы приводит, что решений нет, и задача линейного программирования не имеет решений. При условии m < n находят допустимые базисные решения, так как компоненты оптимального решения задачи линейного программирования не могут быть отрицательными.
Основные теоремы линейного программирования (без доказательства).

Теорема 1.
Множество всех допустимых решений, системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым. Множество решений задач линейного программирования определяется конечной совокупностью линейных ограничений, поэтому такое множество геометрически представляет собой выпуклый многогранник или неограниченную многогранную область, за исключением, когда система ограничений несовместна. Выпуклый многогранник имеет конечное число угловых точек, не превышающих C n m . 26

Теорема 2.
Если существует, и притом единственное, оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одной из угловых точек множества допустимых решений.
Теорема 3.
Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений системы ограничений.
Теорема 4 (Обратная).
Каждый угловой точке множества допустимых решений системы ограничений соответствует допустимое базисное решение 27

Самостоятельная работа №4

Тема: «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»

Цели работы:

1.
Развитие понятия числа.
2.
Овладение навыками выполнения действий над комплексными числами.
3.
Применение комплексных чисел для решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
Задания:

1
.Повторить теоретический материал по теме.
2.
Решить задания: 1) Выполнить действия над комплексными числами ( z 1 + z 2 , z 1 − z 2 , z 1 ⋅ z 2 , z 1 z 2 . ) и для всех чисел найти модуль и аргумент, если z 1 = 5 − 3i , z 2 = 6 − i . 2) Изобразить комплексные числа на координатной плоскости: z 1 = 3 + 2 i , z 2 =− 3 + 4 i , z 3 = 2 − 2 i
.
3) Решите уравнения: х 2 =− 16 ; 3 х 2 =− 5; х 2 − 2 х + 5 = 0; 5 х 2 − 4 х + 8 = 0 . 4) Составьте квадратное уравнение по его корням: х 1 = 3 + 2i ; х 2 = 3 − 2 i .
Последовательность выполнения самостоятельной работы:
1. Изучить теоретический материал. 2. Решить предлагаемые задания. 3. Подвести итоги, написать вывод.
Время выполнения работы: 2 часа.
28

Учебная литература:
1. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы. О. Н. Афанасьева, Я. С. Бродский и др. Москва «Наука» (Глава 1, §3, стр. 21-35). 2. - Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. Глава 14. §§ 1,2,3. Стр.229-235. 3.
Краткая теоретическая информация:

Определение:
Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi , где а - вещественная часть комплексного числа, b - мнимая часть комплексного числа. (a, b- действ. числа) z = a + bi - алгебраическая форма комплексного числа
Д Е Й С Т В И Я

Н А Д

К О М П Л Е К С Н Ы М И

Ч И С Л А М И

В

АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
1) Сложение двух комплексных чисел. z 1 + z 2 =( a 1 + b 1 i )+( a 2 + b 2 i )=( a 1 + a 2 )+( b 1 + b 2 ) i 2) Разность двух комплексных чисел z 1 − z 2 =( a 1 + b 1 i )−( a 2 + b 2 i )=( a 1 − a 2 )+( b 1 − b 2 ) i 3) Произведение двух комплексных чисел Выполняется по правилу умножения многочлена на многочлен z 1 ⋅ z 2 =( a 1 + b 1 i )⋅( a 2 + b 2 i )= a 1 a 2 + a 1 b 1 i + a 2 b 1 i + b 1 b 2 i 2 = ¿ ( a 1 a 2 − b 1 b 2 )+( a 1 b 2 + b 1 a 2 ) i 4) Деление двух комплексных чисел При делении двух комплексных чисел z 1 z 2 пользуются правилом, по которому делитель и делимое умножают на число, сопряженное знаменателю z 1 z 2 = z 1 ⋅ ¯ z 2 z 2 ⋅ ¯ z 2 29

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМЫ

КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Определение:
Модулем комплексного числа называется длина вектора ОМ → , т. е. | OM → |= r = √ a 2 + b 2
Определение:
ϕ - аргумент комплексного числа z –это угол между положительным направлением действительной оси и вектором ОМ → , причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным, если отсчет ведется по часовой стрелке. Обозначается ϕ = arg z = arg ( a + bi ) Действительная и мнимая части комплексного числа z = a + bi выражаются через модуль и аргумент: { a = r ⋅ cos ϕ b = r ⋅ sin ϕ Тогда комплексное число запишется следующим образом: z = r ⋅ ( cos ϕ + i ⋅ sin ϕ ) (1)
Формула (1) –тригонометрическая форма записи комплексного числа
, где r -модуль комплексного числа, ϕ -один из его аргументов. Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа z = a + bi к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов: { | z |= r = √ a 2 + b 2 ϕ = arctg a b (2) 30 z = r ⋅ e iϕ

Формула (2) –показательная форма записи комплексного числа
, где r - модуль комплексного числа, ϕ -один из его аргументов, e -величина постоянная
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ

ДИСКРИМИНАНТОМ
Корни любого квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 с действительными коэффициентами и дискриминантом D = b 2 − 4 ac находятся по известной формуле x 1,2 = − b ± √ D 2a , где √ D = i √ | D | , если D < 0.
Самостоятельная работа №5

Тема: «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Цели работы:
1. Изучение основных понятий теории вероятностей. 2. Применение классического определения вероятности для решения задач. 3. Знакомство с формулой Бернулли.
Задания:
1. Изучить теоретический материал по теме. 2. Решить задачи. 3. Подвести итоги, написать вывод. Задачи для решения: 31
1. В урне находятся 4 белых и 6 черных шаров. Вынимают наугад один шар. Какова вероятность того, что шар окажется черным? 2. В урне находятся 7 белых и 5 черных шаров. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется черным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся черными. 3. В ящике с деталями оказалось 300 деталей 1сорта, 200 деталей 2сорта и 50 деталей 3сорта. Чему равна вероятность вынуть деталь 1сорта, 2сорта, 3сорта? 4. Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил? 5. Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами. Какова вероятность того, что два выбранных наугад велосипеда, будут без дефектов? 6. Группа туристов, в которой 7 юношей и 4 девушки, выбирает по жребию четырех дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 юношей и 2 девушки?
Время выполнения работы 2 часа.

Учебная литература:
- Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. Глава 16. Стр.257-267. -Сборник задач по математике для техникумов. О.Н. Афанасьева, Я.С. Бродский, и др. Москва «Наука» (глава 6 стр.159-174).
Краткая теоретическая часть.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое событие, которое при осуществлении этого опыта происходит или не происходит. Изучать случайное событие можно только тогда, когда есть хотя бы принципиальная возможность повторить опыт многократно, и каждый раз фиксировать осуществление (или неосуществление) рассматриваемого события. 32
При выполнении этого условия можно ввести понятие о частоте случайного события. Пусть при n-кратном осуществлении опыта событие наступило k раз, тогда отношение k n даст частоту случайного события.
Пример
: Французский естествоиспытатель Бюффон при изучении закона больших чисел провел опыт с подбрасыванием монеты 4040 раз. Герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота события «выпадение герба» в данном эксперименте равна 2048 4040 ≈ 0,507 ≈ 0,5 Данный эксперимент повторялся неоднократно и всякий раз, когда число проводимых опытов было достаточно велико, частота события оказывалась близкой к 0,5. Описанное явление называется статистической устойчивостью частоты события. События, обладающие свойством статистической устойчивости частоты, являются предметом изучения специальной математической дисциплины – теории вероятностей. В теории вероятности случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита А, B, C и т. д., а иногда снабжая их индексами, например A 1 ; A m . Прилагательные «случайные» для краткости опускают и говорят просто «события». Событие, всегда осуществляющееся при проведении опыта, называют достоверным событием. В том случае, когда событие заведомо не может произойти в результате опыта, его называют невозможным. Достоверные события обозначают буквой U, невозможные – буквой V. События А и B называются равносильными (равными), если А происходит тогда и только тогда, когда происходит В. Равносильные события соединяют знаком равенства и пишут А=В. Для каждого события А можно рассматривать событие, заключающееся в том, что событие А не произошло. Его называют противоположным к А и обозначают ¯ A . Для достоверного и невозможного событий полагают ¯ U = V , ¯ V = U . Для событий вводятся операции сложения и умножения.
Определение1
: Суммой (объединением) событий А 1 и А 2 называется событие А, которое осуществляется в том случае, когда происходит хотя бы одно из событий А 1 или А 2 . В этом случае пишут: A = A 1 ∪ A 2 33

Пример
: Пусть опыт заключается в том, что из колоды вынимается наудачу одна карта, и пусть событие А 1 состоит в том, что карта оказалась дамой, а событие А 2 – в том, что выбранная карта пиковой масти. Тогда событие A = A 1 ∪ A 2 состоит в том, что выбрана дама или пиковой масти.
Определение2
: Произведением (пересечением) событий А 1 и А 2 называется событие А, осуществляющееся только в том случае, когда события А 1 и А 2 происходят одновременно. В этом случае пишут: A = A 1 ∩ A 2 . Исходя из примера1, А – это событие, заключающееся в том, что из колоды выбрана дама пик.
Определение3
: События А 1 и А 2 называют несовместными, если A 1 ∩ A 2 = V События А 1 , А 2 ,…, А m называют попарно несовместными, если любые два из них несовместны.
Определение4
: События А 1 , А 2 ,…, А m образуют полную систему событий, если их сумма является достоверным событием, т. е. A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A m = U Задачи для самостоятельного решения: 1. По мишени произведено три выстрела. Пусть событие А i состоит в том, что i-ый выстрел удачный. В чем заключаются следующие события: a ) A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ; b ) A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 2. По мишени производится два выстрела. Образуют ли события А(мишень поражена) и В(по крайней мере один выстрел был неудачным) полную систему событий? 34

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятностью события А, называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е. P ( A ) = m n ( 1 ) Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 . Невозможному событию соответствует вероятность P ( A ) = 0 , а достоверному – вероятность P ( A ) = 1 . Задачи:
1.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный? Решение: Общее число различных исходов n=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. По формуле (1) получим P ( A ) = 200 1000 = 0,5 Ответ: 0,5
2.
Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным? Решение: А – событие, состоящее в появлении черного шара. Общее число случаев n=5+3=8. Число случаев m, благоприятствующих появлению события А равно 3. По формуле (1) получим P ( A ) = m n = 3 8 = 0,375 Ответ: 0,375
3.
Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? Решение: А – событие, состоящее в появлении двух черных шаров. Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов по два: С 20 2 = 20 ! 2 ! ( 20 − 2 ) ! = 20 ⋅ 19 2 = 190 35
Число случаев m, благоприятствующих событию А, составляет С 8 2 = 8 ⋅ 7 2 = 28 По формуле (1) находим вероятность появления двух черных шаров: P ( A ) = m n = 28 190 = 14 95 = 0,147 Ответ: 0,147
4.
В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными. Решение: Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5, т.е. С 18 5 = 18 ! 5 ! ( 18 − 5 ) ! = 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ 14 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 8568 Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2: С 4 2 = 4 ⋅ 3 2 = 6 Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно: С 14 3 = 14 ⋅ 13 ⋅ 12 2 ⋅ 3 = 364 Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет m = C 4 2 ⋅ C 14 3 = 6 ⋅ 364 = 2184 Искомая вероятность события А равна: P ( A ) = m n = 2184 8568 = 0,255 Ответ: 0,255 Задачи для самостоятельного решения: 1.В урне находятся 4 белых и 6 черных шаров. Вынимают наугад один шар. Какова вероятность того, что шар окажется черным? 36
2.В урне находятся 7 белых и 5 черных шаров. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется черным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся черными. 3.В ящике с деталями оказалось 300 деталей 1сорта, 200 деталей 2сорта и 50 деталей 3сорта. Чему равна вероятность вынуть деталь 1сорта, 2сорта, 3сорта? 4.Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил? 5.Из 16 собранных велосипедов 4 оказались с дефектами. Какова вероятность, что два выбранных наугад велосипеда будут без дефектов? 6.Группа туристов, в которой 7 юношей и 4 девушки, выбирает по жребию четырех дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 юношей и 2 девушки?
СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) ( 2 ) P ( A 1 + A 2 + . . . + A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + . . . + P ( A n ) ( 3 )
Теорема сложения вероятностей совместных событий:
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( AB ) ( 4 ) Для трех совместных событий имеет место формула: P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( AB ) − P ( BC ) − P ( AC ) − P ( ABC ) ( 5 ) 37
Событие, противоположное событию А (т. е. не наступление события А ), обозначают ¯ А . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P ( A ) + P ( ¯ A ) = 1 ( 6 ) Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью события А при условии В и обозначается P B ( A ) или P ( A B ) . Если А и В – независимые события, то P ( B ) − P A ( B ) = P ¯ A ( B ) ( 7 ) События А, В, С, … - называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или не наступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации. Задачи: 1.В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наугад три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной (событие А). Решение: События А (хотя бы одна из трех взятых деталей оказалась стандартной) и ¯ A (ни одна из взятых деталей не оказалась стандартной) являются противоположными; поэтому P ( A ) + P ( ¯ A ) = 1 ; P ( A ) = 1 − P ( ¯ A ) Вероятность появления события ¯ A составляет P ( ¯ A ) = C 15 3 C 20 3 = 15 ⋅ 14 ⋅ 13 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 20 ⋅ 19 ⋅ 18 = 91 228 Следовательно, искомая вероятность есть P ( A ) = 1 − 91 228 = 137 228 = 0,601 2.В ящик в случайном порядке положили 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной. (Ответ: 5 6 ). 38

Теорема умножения вероятностей независимых событий:
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P ( AB ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) ( 8 ) Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле: P ( A 1 A 2 . . . A n ) = P ( A 1 ) ⋅ P ( A 2 ) . . . P ( A n ) ( 9 )
Теорема умножения вероятностей зависимых событий:
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго: P ( AB ) = P ( A ) ⋅ P A ( B ) = P ( B ) ⋅ P B ( A ) ( 10 ) Задачи: 1.В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Решение: Пусть событие А – появление белого шара из первой урны, В - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события А и В независимы. P ( A ) = 4 12 = 1 3 ; P ( B ) = 3 12 = 1 4 . По формуле (8) получим: P ( AB ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) = 1 3 ⋅ 1 4 = 1 12 = 0, 083 Ответ: 0,083 2.В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными. Решение: А – первая взятая деталь стандартная; В – вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет 39
P ( A ) = 8 12 = 2 3 . Вероятность того, что вторая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события В, равна P A ( B ) = 7 11 . Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий: P ( AB ) = P ( A ) ⋅ P A ( B ) = 2 3 ⋅ 7 11 = 14 33 = 0, 424 Ответ: 0,424 Задачи для самостоятельного решения: 1. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми. 2. В урне находятся 10белых и 6 черных шаров. Вычислите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными.
ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

Теорема.
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p, а вероятность его не появления равна q=1-p, то вероятность того, что событие А произойдет m раз определяется по формуле Бернулли: Р n ( m )= C n m ⋅ p m ⋅ q n − m , где C n m = n ! m! ( n − m ) ! Задачи: Производится три независимых выстрела по цели. Вероятность попадания при разных выстрелах одинаковы и равны p=0,9. Какова вероятность: а) промаха; б) одного попадания; в) двух попаданий; г) трех попаданий? Решение: В данном случае n=3, p=0,9, q=0,1. Пользуясь формулой Бернулли, находим: а) P 3 ( 0 )= C 3 0 ⋅ 0,9 0 ⋅ 0,1 3 = 0, 001 − вероятность трех промахов. б) P 3 ( 1 )= C 3 1 ⋅ 0,9 1 ⋅ 0,1 2 = 3 ⋅ 0,9 ⋅ 0, 01 = 0, 027 − вероятность одного попадания. 40
в) P 3 ( 2 )= C 3 2 ⋅ 0,9 2 ⋅ 0,1 1 = 3 ⋅ 0, 81 ⋅ 0,1 = 0, 243 − вероятность двух попаданий. г) P 3 ( 3 )= C 3 3 ⋅ 0,9 3 ⋅ 0,1 0 = 0,9 3 = 0, 729 − вероятность трех попаданий. Задачи для самостоятельного решения: 1.Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет 0,8. Найдите вероятность трех попаданий при четырех выстрелах. 2.Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдет три?
Самостоятельная работа № 6

Тема: «ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ»

Цели:
1.Изучение понятий непрерывности и точек разрыва функции. 2.Исследование функций на непрерывность. 3.Вычисление пределов функций. 41

Задания:
1.Изучить теоретический материал по теме. 2.Решить задачи. 3.Подвести итоги, написать вывод.
Задачи:
1.Исследовать на непрерывность функцию y = x − 3 x 2 ; 2.Исследовать на непрерывность функцию у = х 3 − 5 в точке х=1; 3.Найдите точки разрыва и исследуйте их характер для функций: a ) y = 5 2 x − 1 ; b ) y = x − 1 x 2 − 3 x − 10 . 4.Вычислите пределы: a ) lim x → 5 x 2 − 8 x + 15 x 2 − 25 ; b ) lim x →∞ 2 x 3 − 3 x 2 + 1 x 3 + 4 x 2 + 2 x ; c ) lim x → π sin 2 x 1 + cos x . 5.Вычислите пределы по правилу Лопиталя: a ) lim x →∞ x 3 − 3 x 2 + 11 x 2 − 1 + 3 x 3 ; b ) lim x → 0 x − sin x x 3 . 6.Вычислите замечательные пределы: a ) lim x →∞ ( 1 + 7 8 x ) 3 x ; b ) lim x → 0 sin8x x ; c ) lim x → 0 sin 4 2 x x 4 .
Время выполнения: 2 часа.

Учебная литература:
42
- Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. Глава 6. Стр.75-83, глава 9 §23, стр.169-171. -Сборник задач по математике для техникумов. О.Н. Афанасьева, Я.С. Бродский, и др. Москва «Наука». (глава 3, §2 стр.81-89).
Краткая теоретическая часть

Определение:
Функция f(x) называется непрерывной в точке x=a, если предел функции при x → a равен значению функции при х=а, т.е. lim x → a f ( x )= f ( a ) .
Определение:
Функция f(x) называется непрерывной в точке x=a, если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. lim Δx → 0 Δy = 0
ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

1.Первый замечательный предел:
lim x →0 sinx x = 1

или

lim x →0 x sinx = 1
2.Второй замечательный предел:
lim x →∞ ( 1 + 1 x ) x = e

или

lim x →0 ( 1 + x ) 1 x = e
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ ДЛЯ РАСКРЫТИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ВИДА
0 0 или ∞ ∞ Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х=а. Если существует lim x → a f ' ( x ) g ' ( x ) , то lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ' ( x ) g ' ( x ) . 43

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
Функция f(x) называется бесконечно малой при х → а , если lim x → a f ( x )= 0 . Функция f(x) называется бесконечно большой при х → а , если lim x → a f ( x )=∞ . Если функция f(x)-бесконечно малая при х → а , то функция 1 f ( x ) - бесконечно большая и наоборот, если при х → а , функция f(x)-бесконечно большая при х → а , то функция 1 f ( x ) -бесконечно малая. 44

Самостоятельная работа № 7

Тема: «ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ»

Цели:
1. Изучение понятия производной и дифференциала. 2. Применение основных правил дифференцирования сложных функций. 3. Решение задач прикладного характера с помощью производной и дифференциала.
Задания:
1. Изучить теоретический материал по теме. 2. Решить задачи. 3. Подвести итоги, написать вывод.
Задачи:
1. Найти производные функций: а) y = 20 x 4 − e x ; б) y = 8 x − 3 sin x ; в) y = x 5 ⋅ cos x ; г) y = 2 x − 7 5 − 3 x . 2. Найти значение производной функции
f(x)
в заданной точке, если: а) f ( x )= 1 √ x − 2 x 3 + 8, {f ' ( 1 )= ? ¿ ; б) f ( x )= lncos x , { f ' ( π 4 )= ? ¿ . 3. Решите задачи: а) Разбить число 10 на два положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшая; б) Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 4. Найти дифференциал функции первого порядка: а) y= cos2 x+ ln x − 7 4x + 5 ; б) y=e 3x +tgx+sin4 x − 7 . 45
5. Найти приближенное значение функции в указанной точке: y= 2 х 3 +x 2 − 3 х+ 4 , x= 3,02 . 6. Найти приближенные значения: а) ( 1,01 ) 7 ; б) √ 24 , 84 ; в) 1 1,992 .
Время выполнения: 4 часа.

Учебная литература:
- Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. Глава 7. Стр.95-99; Глава 8, стр.105-112; Глава 10, стр.180-184. -Сборник задач по математике для техникумов. О.Н. Афанасьева, Я.С. Бродский, и др. Москва «Наука». (глава 3, §§ 3,4 стр.90-111).
Краткая теоретическая часть:

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Обозначения:
С - постоянная; х - аргумент; и, v, w-функции от х, имеющие производные.
●
Производная алгебраической суммы функций: (u+v-w)'=u' +v' -w'
●
Производная произведения двух функций: (uv)' = u'v + v'u.
●
Производная произведения постоянной на функцию: (Си)'=Си'.
●
Производная частного (дроби): ( u v ) ′ = u ' v − v ' u v 2 . Производные степенной функции Сложная функция При условии u = ϕ ( x ) Простая функция При условии u = x C ' = 0 46
( u n ) ′ = nu n − 1 u '
,
где n- любое действительное число x ' = 1 ( x n ) ′ = nx n − 1 , где n-любое действительное число ( 1 u ) ′ =− u ' u 2 ( 1 x ) ′ =− 1 x 2 ( √ u ) ′ = u ' 2 √ u ( √ x ) ′ = 1 2 √ x Производные логарифмических функций Сложная функция При условии u = ϕ ( x ) Простая функция При условии u = x ( ln u ) ′ = u ' u ( ln x ) ′ = 1 x ( lg u ) ′ = 0,4343 {u ' u ¿ ( lg x ) ′ = 0, 4343 x ( log a u ) ′ = u ' x ⋅ ln a ( log a x ) ′ = 1 x ⋅ ln a Производные показательных функций Сложная функция При условии u = ϕ ( x ) Простая функция При условии u = x ( a u ) ′ = a u ln a ⋅ u ' ( a x ) ′ = a x ln a ( e u ) ′ = e u u ' ( e x ) ′ = e x Производные тригонометрических функций 47
Сложная функция При условии u = ϕ ( x ) Простая функция При условии u = x ( sin u ) ′ = cos u ⋅ u ' ( sin x ) ′ = cos x ( cos u ) ′ =− sin u ⋅ u ' ( cos x ) ′ =− sin x ( tg u ) ′ = u ' cos 2 u ( tg x ) ′ = 1 cos 2 x ( ctg u ) ′ =− u ' sin 2 u ( ctg x ) ′ =− 1 sin 2 x Производные обратных тригонометрических функций: Сложная функция При условии u = ϕ ( x ) Простая функция При условии u = x ( arcsin u ) ′ = u ' √ 1 − u 2 , | u |< 1 ( arcsin x ) ′ = 1 √ 1 − x 2 , | x |< 1 ( arccos u ) ′ =− u ' √ 1 − u 2 , | u |< 1 ( arccos x ) ′ =− 1 √ 1 − x 2 , | x |< 1 ( arctgu ) ′ = u ' 1 + u 2 ( arctgx ) ′ = 1 1 + x 2 ( arcctgu ) ′ =− u ' 1 + u 2 ( arcctgx ) ′ =− 1 1 + x 2 48

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ НА

ПРОМЕЖУТКЕ. ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ

1.Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
На практике часто приходится решать задачи, в которых требуется найти наибольшее или наименьшее значение из всех значений, которое функция принимает на промежутке. Для нахождения наибольшего или наименьшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо: 1) найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значение функции в этих точках. 2) найти значение функции на концах промежутка. 3) из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее
Пример 1.
Найти наименьшее и наибольшее значение функции: f x x x ( )  -  2 4 3 на промежутке 0 3   x Решение:   - f x x ( ) 2 4
;
2 4 0 x -  x  2 - критическая точка, принадлежащая промежутку 0 3   x f ( 2 )= 2 2 − 4 ⋅ 2=+ 3 =− 1 ; f ( ) 0 3  ; f ( ) 3 9 12 3 0  -   Ответ: наибольшее значение функции равно 3; наименьшее -1
Пример 2.
Найти наименьшее и наибольшее значение функции f x x x ( )   3 3 на промежутке 1 2 2   x Решение:   -  - f x x x x x ( ) 3 3 3 3 2 2 4 2 ; 3 3 0 4 2 x x -  , x  0 ; 3 3 0 4 x   x 1 = 1; x 2 =− 1 ; x 3 = 0 - критические точки, но только 1 1 2 2        ; 49
f ( ) 1 4  ; f ( 1 2 )= 6 1 8 ; f ( 2 )= 9 1 2 Ответ: наибольшее значение функции равно 9 1 2 ; наименьшее 4.
Пример 3.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y x x  - - ( ) 2 2  на отрезке   0 5 ; Решение.   - - -  - - - - - - f x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 4 2      f x ( ) 0 , откуда критические точки x 1 =2 и x 2 =4 Значение функции в критических точках f f ( ) , ( ) 2 0 4 4 4    и на концах отрезка f ( 0 )= 4 ; f ( 5 )= 9 ℓ 5 . Ответ: f f f f наиб наим     ( ) , ( ) 0 4 2 0 В практических задачах обычно функция f x ( ) имеет только одну критическую точку: либо точку максимум, либо точку минимум. В этих случаях в точке максимум функция f x ( ) принимает наибольшее значение на данном интервале, а в точке минимум - наименьшее значение на данном интервале.
2.Задачи на максимум и минимум

Задача 1.
Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая. 50
Решение: Пусть первый множитель x ; тогда второй 36 x сумма y x x   36 . По условию x - положительное число, т.е. x  0 таким образом нужно найти такое значение x , при котором функция f x x x ( )   36 принимает наименьшее значение на интервале x  0 .   -   - f x x x x x ( ) ( )( ) 1 36 6 6 2 2 . ( )( ) x x x  -  6 6 0 2 ;  x x x    - 0 6 6 - критические точки, но подходит только x  6 x  6 - точка минимум f ( ) 6 12  Ответ: 36=6·6
Задача 2.
Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого площадь наибольшая. Решение: Пусть P - периметр, P АВ АD AD P x    - 2 2 2 2 , AB CD x   ; AD P x  - 2 S f x x P x P x x   -  - ( ) ( ) 2 2 2 , 0 2         х Р   - f x P x ( ) 2 ; 51
P x х Р 2 0 4 -    ;    -    f x х Р ( ) 2 0 4 - точка максимум. Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Ответ: квадрат.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциалом функции y = f ( x ) (или дифференциалом первого порядка) называется произведение производной этой функции f ' ( x ) на произвольное приращение аргумента Δx . dy = f ' ( x ) Δx (1) Дифференциал аргумента равен приращению аргумента: dx = Δx . Поэтому дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента. dy = f ' ( x ) dx (
2
)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка: d 2 y = f ' ' ( x ) dx 2 (
3
) т.е. дифференциал второго порядка функции y = f ( x ) равен произведению второй производной этой функции на квадрат дифференциала аргумента. 52
f ( x + Δx ) ≈ f ( x ) + f ' ( x ) dx (
4
) Применение этой формулы дает значительное упрощение вычисления числового значения функции: геометрически это соответствует замене участка кривой отрезком касательной.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Применяя формулу (4) легко получить различные формулы для нахождения приближенных числовых значений. Рассмотрим формулы, имеющие практическое значение в приближенных вычислениях.
Формула для приближенного вычисления степеней
( x + Δx ) n ≈ x n + n ⋅ x n − 1 ⋅ Δx (
5
)
Частные случаи формулы (5)
1 ) n = 2, ( x + Δx ) 2 ≈ x 2 + 2 xΔx 2 ) n = 3, ( x + Δx ) 3 ≈ x 3 + 3 x 2 Δx 3 ) x = 1 ; ( 1 + Δx ) n = 1 + n ⋅ Δx
Формула для приближенного вычисления корней
n √ x + Δx ≈ n √ x + Δx n ⋅ n √ x n − 1 ( 6 )
Частные случаи формулы (6)
1 ) n = 2 ; √ x + Δx ≈ √ x + Δx 2 √ x ; 2 ) n = 3 ; 3 √ x + Δx ≈ 3 √ x + Δx 3 ⋅ 3 √ x 2 ; 3 ) x = 1 ; n √ 1 + Δx ≈ 1 + Δx n
Формула для приближенного вычисления обратных величин
53
1 x + Δx ≈ 1 x − Δx x 2 ( 7 )
Частные случаи формулы (7)
1 ) Δx < 0, 1 x − Δx ≈ 1 x + Δx x 2 ; 2 ) x = 1, 1 1 + Δx ≈ 1 − Δx ; 3 ) x = 1 и Δx < 0 ; 1 1 − Δx ≈ 1 + Δx Примеры 1.Найти приближенные значения: a ) ( 4,012 ) 2 ; b ) √ 1, 006 ; c ) 1 1, 004 Решение: а) Полагая в формуле (5) x = 4 ; Δx = 0,012 , получим ( 4,012 ) 2 = ( 4 + 0,012 ) 2 ≈ 4 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ 0. 012 = 16 , 096 ≈ 16 . 1 в) Полагая в соотношении (6) x = 1 ; Δx = 0, 006 получим √ 1, 006 = √ 1 + 0,006 ≈ 1 + 0, 006 2 = 1,003 с) Полагая в соотношении (7) x = 1 ; Δx = 0, 004 получим 1 ( 1 + 0, 004 ) = 1 − 0,004 = 0,996 54

Самостоятельная работа №8

Тема:
«
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ».

Цели:
1.Изучение понятия интеграла. 2.Применение определенного интеграла для вычисления геометрических, механических и физических величин с помощью определенного интеграла.
Задания:
1. Изучить теоретический материал по теме. 2. Решить задачи. 3. Подвести итоги, написать вывод.
Задачи:
1. Найти неопределенные интегралы: а) ∫ ( 5 x 4 − 6 x + 8 ) dx ; 55
б) ∫ ( 3 x 2 − sin x ) dx ; в) ∫ cos xdx 4 + sin x . 2. Найти определенные интегралы: а) ∫ 0 1 ( 2 x + 4 x 3 − 7 ) dx ; б) ∫ 1 2 2 xdx 3 + x 2 ; в) ∫ − π 2 π ( 3 − cos x ) 3 sin xdx . 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 + 1 ; y = 0 ; x = 0 ; x = 2 . 4. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: y = x − 2 ; y = 0 ; x = 0 ; x = 2 . 5. Скорость движения точки v =( 6 t 2 + 4 ) м / c . Найдите путь, пройденный точкой за 5с от начала движения. 6. Скорость движения точки v =( 18 t − 3 t 2 ) м / c . Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки. 7. Какую работу надо затратить на сжатие пружины на 4см, если известно, что сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см?
Время выполнения: 4 часа.

Учебная литература:
- Практические занятия по математике. Н.В. Богомолов. Главы 11, 12, 13. Стр.188-229. -Сборник задач по математике для техникумов. О.Н. Афанасьева, Я.С. Бродский, и др. Москва «Наука». (глава 4, стр.113-140). 56

Краткая теоретическая часть

ПЕРВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО

СВОЙСТВА

ПЕРВООБРАЗНАЯ

Определение.
Функция
F(x)
называется
первообразной
для функции
f(x)
в промежутке a ≤ x ≤ b , если в любой точке этого промежутка её производная равна
f(x):
F ' ( x ) = f ( x ) Отыскание первообразной функции по заданной её производной f ( x ) или по дифференциалу f ( x ) ⋅ dx есть действие, обратное дифференцированию –
интегрирование.

Определение. Совокупность первообразных
для функции f ( x ) или для дифференциала f ( x ) ⋅ dx называется
неопределенным интегралом
и обозначается символом: ∫ f ( x ) ⋅ dx Таким образом: ∫ f ( x ) ⋅ dx = F ( x ) + C
,
где f ( x ) - подынтегральная функция, f ( x ) ⋅ dx - подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная. 57

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Свойство

1.
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d ∫ f ( x ) ⋅ dx = f ( x ) dx .
Свойство 2.
Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной: ∫ dF ( x ) = F ( x ) + C
Свойство 3.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫ А ⋅ f ( x ) ⋅ dx = А ⋅ ∫ f ( x ) ⋅ dx .
Свойство

4.
Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых: ∫ ( f 1 ( x ) + f 2 ( x ) − f 3 ( x ) ) ⋅ dx = ∫ f 1 ( x ) dx + ∫ f 2 ( x ) dx − ∫ f 3 ( x ) dx .
Основные формулы интегрирования (табличные интегралы)

1.
∫ dx = x + C
,

2.
∫ x n dx = x n + 1 n + 1 + C
,
где: n ¿ -1,
3.
∫ dx x = ln | x |+ C
,

4.
∫ a x dx = a x ln a + C
,
где:

a − const , a > 0
,

5.
∫ e x dx = e x + C
,
58

6.
∫ sin xdx =− cos x + C
,

7.
∫ cos xdx = sin x + C
,

8.
∫ dx cos 2 x = tg x + C
,

9.
∫ dx sin 2 x =− ctg x + C
,

10.
∫ dx x 2 − a 2 = 1 2a ln | x − a x + a |+ C
,

11.
∫ dx √ x 2 ± a 2 = ln | x + √ x 2 ± a 2 |+ C
,

12.
∫ dx √ a 2 − x 2 = arcsin x a + C
,

13.
∫ dx x 2 + a 2 = 1 a arctg x a + C
.

ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ
Если заданный интеграл простейшими преобразованиями трудно (или совсем нельзя) привести к табличному, то для его нахождения применяются особые приемы. Рассмотрим один из них, называемый
методом замены переменной
(или способом подстановки). Суть метода заключается в том, чтобы заданный интеграл «свести» к одному из табличных интегралов. Рассмотрим несколько примеров. 59

Пример 1.
Найти интеграл ∫ x 2 dx 1 + x 3 dx . Решение: Если бы выражение, стоящее в знаменателе являлось степенью с показателем отличным от единицы, тогда можно было бы избавиться от дробности (поднять степень в числитель, например - ∫ x 2 dx ( 1 + x 3 ) 2 = ∫ ( 1 + x 3 ) − 2 x 2 dx ) и выполнять сведение интеграла к степенной функции. Но! В данном случае, степень знаменателя равна единице, и, следовательно,
формула 2
использована быть не может (на ноль делить нельзя). Поэтому, для данного примера, подходит
формула 3
(интеграл от обратной величины). Теперь за промежуточную переменную следует принять знаменатель дроби. | t = 1 + x 3 , | dt = d ( 1 + x 3 ) , | dt = ( 1 + x 3 ) ′ dx , | dt = 3 x 2 dx | ¿ ¿ 3 | dt 3 = x 2 dx или 1 3 dt = x 2 dx .  ∫ x 2 dx 1 + x 3 dx = 1 3 ∫ dt t = 1 3 ln | t | + C = 1 3 ln | 1 + x 3 | + C .
Пример 2.
Найти интеграл ∫ sin 2 x ⋅ cos x ⋅ dx . Решение: 60
| t = sin x , | dt = cos x dx  ∫ sin 2 x ⋅ cos x ⋅ dx = ∫ t 2 dx = t 3 3 + C = sin 3 x 3 + C .
Пример 3.
Найти интеграл ∫ sin x dx √ 1 − cos x dx . Решение: ∫ sin x dx √ 1 − cos x dx = ∫ ( 1 − cos x ) − 1 2 ⋅ sin x dx = | t = 1 − cos x , | dt = sin x dx  = ∫ t − 1 2 dt = t 1 2 1 2 + C = 2 ( 1 − cos x ) 1 2 1 + C = 2 √ 1 − cos x + C
Пример 4.
Найти интеграл ∫ 2 е x dx ( 1 − e x ) 2 . Решение: ∫ 2 е x dx ( 1 − e x ) 2 = ∫ ( 1 − e x ) − 2 ⋅ 2е x dx = 61 =− 2 ∫ t − 2 dt =− 2 t − 1 − 1 + C = = 2 ( 1 − e x ) − 1 + C = ¿ 2 1 − e x + C .
| t = 1 − e x , | dt =− e x dx |⋅ ( − 2 ) , | − 2 dt = 2 e x dx 
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно, не производя подробного решения методом подстановки, как мы делали это в предыдущих примерах, использовать соответствующие формулы, приведенные ниже.
1.
∫ a kx dx = 1 k a kx ln a + C , где a − const , a > 0
,

2.
∫ e kx dx = 1 k e kx + C
,

3.
∫ sin kxdx =− 1 k cos kx + C
,

4.
∫ cos kxdx = 1 k sin kx + C
,

5.
∫ dx cos 2 kx = 1 k tg kx + C
,

6.
∫ dx sin 2 kx =− 1 k ctg kx + C
,
62

7.
∫ dx √ k 2 − n 2 x 2 = 1 n arcsin n k x + C
,

8.
∫ dx k 2 + n 2 x 2 = 1 nk arctg n k x + C
,
где n и k - const.
Пример 1.
Найти интеграл ∫ sin 5 x dx . Решение: По формуле
3
можно сразу записать ответ. ∫ sin 5 x dx =− 1 5 cos 5 x + C .
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
Формула Ньютона – Лейбница Для вычисления определенного интеграла служит формула Ньютона-Лейбница: ∫ a b f ( x ) dx = F ( x ) | a b = F ( b ) − F ( a )
определенный интеграл
равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Вычислить следующие определенные интегралы:
1 . ∫ 0 1 x dx = x 2 2 | 0 1 = 1 2 ⋅ ( 1 2 − 0 2 ) = 1 2 , 63
2 . ∫ 2 3 ( x 2 + 1 ) dx = ( x 3 3 + x ) | 2 3 = ( 3 3 3 + 3 ) − ( 2 3 3 + 2 ) = 12 − 14 3 = = 12 − 4 2 3 = 7 1 3 , 3 . ∫ π 3 π 2 4 ⋅ cos x dx = 4 sin x | π 3 π 2 = 4 ⋅ ( sin π 2 − sin π 3 ) = 4 ⋅ ( 1 − √ 3 2 ) = = 4 − 2 √ 3 , 4 . ∫ 1 √ 3 dx 1 + x 2 = arctg x | 1 √ 3 = arctg √ 3 − arctg 1 = π 3 − π 4 = π 12 .
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Геометрически определенный интеграл

∫ a b f ( x ) dx равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс - Ох
,
частью графика функции f ( x ) , и прямыми линиями x = a и x = b. 64
S aABb = ∫ a b f ( x ) dx
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА К ВЫЧИСЛЕНИЮ

ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
На практике геометрический смысл определенного интеграла применяют при вычислении площадей различных плоских фигур. Рассмотрим четыре случая вычисления площадей. 1.Искомая площадь расположена
выше оси Ох.


См. рис. 1
.
Площадь вычисляют по формуле: S aABb = ∫ a b f ( x ) dx (1) 2.Искомая площадь расположена
ниже оси Ох.
Рисунок вида: 65
y = 0

0
Рис.1
y

x
y = f ( x )
x = a

x = b

В

А

b

a

Площадь вычисляют по формуле: S aABb =| ∫ a b f ( x ) dx | (2)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ФИГУР ВРАЩЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ

ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1.
Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси
Ох
криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f ( x ) , ( a ≤ x ≤ b ) , осью Ох и прямыми x = a и x = b , вычисляется по формуле: V = π ⋅ ∫ a b y 2 dx 66 y = f ( x )
x

y

y = 0

В

А

a

b

x = b

x = a

0

y
y = f ( x ) 0 ¿ ¿ ¿
y = 0

a
0
b

x
0

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ
Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью v = f ( t )≥ 0 за промежуток времени от t 1 до t 2 , вычисляется по формуле: s = ∫ t 1 t 2 f ( t ) dt .
Задача
. Скорость движения точки изменяется по закону v =( 3 t 2 + 2 t + 1 ) м / c . Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения. Решение: f ( t )= 3 t 2 + 2 t + 1, t 1 = 0, t 2 = 10 . s = ∫ 0 10 ( 3 t 2 + 2 t + 1 ) dt =( t 3 + t 2 + t ) | 0 10 = 10 3 + 10 2 + 10 = 1110 ( м ) . Ответ: 1110 м.
Задача.
Скорость движения точки изменяется по закону v =( 12 t − 3 t 2 ) м / c . Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки. Решение: Скорость точки равна нулю в момент начала движения и в момент остановки. Определим, в какой момент точка остановится; для этого решим уравнение 12 t − 3 t 2 = 0, откуда t 1 = 0, t 2 = 4 . s = ∫ 0 4 ( 12 t − 3 t 2 ) dt =( 6 t 2 − t 3 ) | 0 4 = 32 ( м ) . Ответ: 32 м.
РАБОТА ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ
67
x = a

x = b

Работа, произведенная переменной силой f(x) при перемещении по оси Ох материальной точки от х=а до х=b, находится по формуле: А = ∫ а b f ( x ) dx . При решении задач на вычисление работы силы используется закон Гука:
F=kx,
где F - сила (Н); х - абсолютное удлинение пружины (м), вызванное силой F, а k - коэффициент пропорциональности (Н/м).
Задача.
Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см? Решение: По закону Гука сила F, растягивающая пружину на величину х, вычисляется по формуле F=kx.Из условий задачи следует, что 3 = k ⋅ 0, 05 . Следовательно, k = 60 и сила F=60x, отсюда А = ∫ 0 0, 05 60 xdx = 30 х 2 | 0 0, 05 = 0,075 Дж. Ответ: 0,075 Дж. 68