Автор: Афонина Лариса Владимировна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "Средняя школа №20"
Населённый пункт: город Щекино, Тульская область
Наименование материала: урок в виде презентации
Тема: "Решение тригонометрических уравнений"
Раздел: полное образование
Решение
тригонометрических
уравнений
Урок-практикум по алгебре
10 класс
Цели урока
Продолжить работу над формированием навыков
решения тригонометрических уравнений;
рассмотреть более сложные случаи решения
тригонометрических уравнений, используя
формулы двойного угла и формулы понижения
степени;
повторить решение простых тригонометрических
уравнений и частные случаи;
повторить тригонометрические формулы и
свойства тригонометрических функций.
Ход урока
Устная работа.
Решение уравнений.
Презентация, выполненная
учащимися.
Задания для самостоятельного
решения.
Итог урока и домашнее задание.
А.Эйнштейн говорил так : «Мне приходится делить
время между политикой и уравнениями. Однако
уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика
существует только для данного момента, а
уравнения будут существовать вечно».
Вот мы и займемся решением уравнений. Для
решения уравнений нам необходимо вспомнить
формулы двойного угла и формулы понижения
степени.
Устная работа
Для решения уравнений давайте вспомним
формулы корней простейших
тригонометрических уравнений и частные
случаи.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
sin
x
Z
n
n
x
,
1
cos
x
Z
n
n
x
,
2
m
x
sin
Z
n
n
m
x
n
,
arcsin
)
1
(
2
1
sin
x
Z
n
n
x
n
,
6
)
1
(
2
2
sin
x
Z
n
n
x
n
,
4
)
1
(
1
m
x
cos
Z
n
n
m
x
,
2
arccos
2
2
cos
x
Z
n
n
x
,
2
4
2
3
cos
x
Z
n
n
x
,
2
6
5
m
tgx
Z
n
n
arctgm
x
,
1
sin
x
Z
n
n
x
,
2
2
Формулы двойного угла и формулы
понижения степени
2
2
cos
1
sin
.
7
2
2
cos
1
cos
.
6
1
2
2
.
5
sin
2
1
2
cos
.
4
1
cos
2
2
cos
.
3
sin
cos
2
cos
.
2
cos
sin
2
2
sin
.
1
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
tg
tgx
x
tg
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Решение на доске и в тетради
Мы вспомнили с вами все, что необходимо
для того чтобы продолжить решать
различные виды тригонометрических
уравнений. Вы уже умеете решать некоторые
из них, сегодня мы будем решать уравнения с
применением формул двойного угла и
формул понижения степени.
I. Решите уравнение:
2
1
sin
)
2
sin
2
(cos
2
2
2
2
x
x
x
Решение I уравнения:
n
n
x
n
n
x
n
n
x
x
x
x
x
x
x
,
3
,
2
3
2
2
,
2
)
2
1
arccos(
2
2
1
2
cos
2
1
sin
cos
2
1
sin
)
2
sin
2
(cos
2
2
2
2
2
2
Ответ :
n
n,
3
II.Найдите сумму наименьшего
положительного и наибольшего
отрицательного корней уравнения (в
градусах)
2
1
cos
sin
x
x
Решение II уравнения:
Z
n
n
x
Z
n
n
x
x
x
x
x
x
,
180
45
,
2
2
2
1
2
sin
1
cos
sin
2
2
1
cos
sin
0
0
1
n
0
45
x
Если
, то
- наибольший отрицательный корень
Если
, то
0
n
0
135
x
- наименьший положительный корень
0
0
0
90
135
45
0
90
Ответ:
2
III. Решите уравнение.
4
7
cos
4
cos
4
2
x
x
Решение III уравнения
4
7
cos
)
1
2
cos
2
(
4
4
7
cos
4
cos
4
2
2
2
x
x
x
x
t
x
2
cos
2
2
2
cos
t
x
2
1
cos
,
2
2
cos
1
cos
.
.
2
2
t
x
то
x
x
к
Т
7
)
1
(
2
)
1
2
(
16
4
7
2
1
)
1
2
(
4
2
2
t
t
t
t
4
Пусть ,
, тогда
0
7
2
2
16
32
2
t
t
0
7
2
32
2
t
t
1
1
t
0
900
7
32
4
4
D
D
64
30
2
2
,
1
t
(2 различных действительных корня)
2
1
1
t
16
7
64
28
2
t
2
1
2
cos
x
16
7
2
cos
x
n
x
2
)
2
1
arccos
(
2
n
x
2
)
16
7
(arccos
2
n
n
x
,
2
3
2
2
n
n
x
,
16
7
arccos
2
1
n
n
x
,
3
Ответ:
;
,
3
n
n
.
,
16
7
arccos
2
1
n
n
Упражнения для глаз, зрительная гимнастика
Выполнять сидя или стоя, с максимальной амплитудой
глаз.
Упражнение 1.
Закрыть глаза, не напрягая глазные мышцы, широко
раскрыть глаза и посмотреть вдаль.
Упражнение 2.
Не поворачивая головы (голова прямо), делать медленно
круговые движения глазами вверх-вправо-вниз-влево и в
обратную сторону: вверх-влево-вниз-вправо. Затем
посмотреть вдаль.
Упражнение 3.
Голову держать прямо. Поморгать, не напрягая глазные
мышцы.
Презентация, выполненная учащи
мися (из истории)
Решение тригонометрических уравнений:
1.Графический способ решения.
2.Решение однородного уравнения второй
степени.
3.Решение уравнения с двумя переменными.
Обучающая самостоятельная
работа
Герберт Спенсер, английский
философ, говорил: «Дороги не те
знания, которые откладываются в
мозгу, как жир, дороги те, которые
превращаются в умственные
мышцы».
Сегодня на уроке мы вспомнили
тригонометрические формулы, решения
простых тригонометрических уравнений,
рассмотрели более сложные уравнения с
применением формул двойного угла и формул
понижения степени, а также вспомнили
тригонометрические уравнения, которые мы
умеем решать. В оставшееся время мы
проведем обучающую самостоятельную
работу. Вы решаете два уравнения до черты,
остальные три уравнения пойдут на дом.
Самостоятельная работа
0
2
sin
4
sin
)
5
0
cos
3
cos
sin
2
sin
)
4
0
1
2
3
)
3
4
3
cos
sin
)
2
2
2
2
sin
2
1
)
1
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
tgx
x
tg
x
x
x
I вариант
II вариант
0
3
sin
6
sin
)
5
0
cos
3
cos
sin
4
sin
)
4
0
3
2
)
3
4
2
cos
sin
)
2
2
1
2
sin
2
cos
)
1
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
tgx
x
tg
x
x
x
x
Найти наименьший положительный корень
уравнения:
Найти наибольший отрицательный корень
уравнения:
Z
n
n
Ответ
Z
n
n
x
Z
n
n
x
x
x
,
2
16
:
,
2
16
,
2
4
4
2
2
4
cos
2
2
2
sin
2
1
2
.
,
2
12
:
,
2
12
,
2
3
4
2
1
4
cos
2
1
2
sin
2
cos
2
2
Z
n
n
Ответ
Z
n
n
x
Z
n
n
x
x
x
x