Решение заданий ЕГЭ уровня С4 Решение заданий ЕГЭ уровня С4 2013 года 2013 года (2 часть) (2 часть) МБОУ СОШ БАГАЕВСКАЯ СРЕДНЯЯ МБОУ СОШ БАГАЕВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1 ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1 Автор: Автор: АЛИМОВА НАДЕЖДА ИВАНОВНА АЛИМОВА НАДЕЖДА ИВАНОВНА

С4.

В

равнобедренную

трапецию,

периметр

которой

равен 136, вписана окружность. Точка касания с боковой

стороной делит её в отношении 9:25. Через вершину и

центр вписанной окружности проведена прямая. Найти

отношение

площади

отсекаемого

треугольника

к

площади данной трапеции.
Задача №1 Задача №1
Дано:

ABCD –равнобедренная

трапеция,
136  ABCD Р
впис. окр.(О;r); F, M, G и

N – точки касания;

FB : AF = 9 :

25

A

B

C

D
О M N L H F G
Найти
ABL ABCD S S 1 случай

A

B

C

D
О M N L H F G Решение
F, M, G и N – точки касания;

значит BF=BM; BM=MC;

MC=CG, откуда

FB=BM=MC=CG=9x;

аналогично

AF=AN=ND=DG=25x.
Так как 136  ABCD Р то 9х+9х+9х+9х+25х+25х+25х+25х=136; 136х=136, х=1. FB=BM=MC=CG=9; AF=AN=ND=DG=25; BC=18; AD=50; AH=(50-18):2=16; ; 30 16 34 2 2    ВH h=MN=30; MN – диаметр; r =15.

A

B

C

D
О M N L H F G S тр.=(50+18):2 ٠ 30=1020. ) ; 90 ( 0 общий уголL ONL уголBHL    Пусть NL=y; тогда ~ ∆ NOL ∆ BHL NL HL ON BH  ; 9 15 30 y y   30y=135+15y; y = 9. . 510 30 34 2 1 2 1       h AL S ABL ; 2 1 1020 510   ABCD ABL S S
2 случай ; 850 225 625 15 25 2 2      AO ∆AON=∆AFO (AN=AF, FO=ON, AO- общая). Пусть /FAO=α; / NDO= α; / NDG=2α; в ∆ APD: угол APD=
A

B

C

D
О M N F G I  3 180 0  Из ∆ AON: 34 3 34 9 850 225 850 15 sin      ; 17 15 34 3 34 5 2 2 sin ; 34 5 34 25 34 9 1 sin 1 cos ; cos sin 2 2 sin sin 2                    ADC

A

B

C

D
О M N F G I sinAPD=sin(180-3 α)=sin 3 α= = sin(α+2 α) = sin α cos 2 α + +sin 2 α cos α= 34 17 99 Пусть IG = z; тогда ID = 25 +z; по т. синусов в ∆ AID : ; 33 25 sin 25 3 sin 50    z z   . 1122 625 11220 6250 1 1020 : 11 6250 ; 11 6250 17 15 33 850 50 2 1 ; 33 850 33 25 25             ABCD AID AID S S S GD Ответ. 1122 625 2 1 или
Задача №2 Задача №2 Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 18, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 5. найти радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух его сторон. 1 случай А В С о Н М N F K L S D G Дано: ∆АВС- равнобедренный; АС=СВ; СН – высота; СН=18; впис. окр.(О;r); r=5; вневпис. Окр.(L;R); Н-точка касания. Найти R.
Решение 1. ОН=5; СО=13; СМ= = . 12 144 25 169    СМО  ~ АСН  значит 5 , 7 2 15 12 90 ; 5 12 18     АН АН А В С о Н М N F K L S D G 2. 3. АО – биссектриса   САВ; АL - – биссектриса DAB;  ОАL = 90   ; ∆OAL – прямоугольный; ; 5 , 7 5 ; 5     R R OH R AH
 А В С о Н М N F K L S D G . 25 , 11 5 5 , 7 ; 5 , 7 5 2 2    R R
D C G B A O L F K  M ; 13 ;   CO CH CM CA СO H ; 18 12 13 ; 12 144 5 13 2 2      CA СM
CA=19,5; AH=7,5; ) (доказано ный прямоуголь OAL   ; 5 , 7 ) 5 ( ; 5 , 7 ; ) 5 ( 2 2 2 2          R R R R AL R R AL R = 11,25. Ответ. R=11,25
Работа выполнена на основе заданий открытого банка ЕГЭ – 2013 29.03.2013 года