Автор: Глезденева Светлана Александровна
Должность: преподаватель математики
Учебное заведение: ГБПОУ Чайковский индустриальный колледж
Населённый пункт: г. Чайковский, Пермский край
Наименование материала: Учебное пособие для старшеклассников и студентов
Тема: "ОУД Математика"
Раздел: полное образование
ГБПОУ « Чайковский индустриальный колледж»
Учебное пособие
для студентов, обучающихся
по программе ОУД 04 Математика
( Алгебра и начала анализа)
и старшеклассников
Составитель:
Глезденева
Светлана
Александровна,
преподаватель математики
г. Чайковский
2017.
Пояснительная записка.
Учебное
пособие разработано
в
соответствии
с
требованиями
Федеральных
государственных
образовательных
стандартов
по
общеобразовательной
учебной
дисциплине «Математика» ( Алгебра и начала анализа).
Пособие включает следующие разделы:
1. Преобразование алгебраических выражений
2. Основы тригонометрии
3. Функции и их графики
4. Производная
5. Первообразная и интеграл
6. Уравнения и неравенства
7. Векторы в пространстве
8. Комбинаторика и теория вероятностей.
Данное
пособие
раскрывает
теоретический
материал
основных
тем
рабочей
программы
учебной
дисциплины,
демонстрирует
практические
возможности
использования
учебного
материала.
Все
теоретические
понятия
подкреплены
практическими заданиями.
Учебное пособие обеспечивает самостоятельную работу студентов в освоении
образовательных результатов (знаний и умений) по дисциплине, развивает умение
самостоятельно приобретать и применять знания, учит наблюдать, сопоставлять,
анализировать.
Данное пособие может быть использовано студентами, учащимися, которые
изучают математику как базового так и профильного уровня, может быть
рекомендовано студентам, которые обучаются по индивидуальным
образовательным программам.
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел 1 Преобразование алгебраических выражений стр
Тема 1. Корень n-ой степени…………………………………………………..4
Тема 2. Степень с рациональным показателем……………………………….5
Тема 3. Логарифмы……………………………………………………………..7
Раздел 2. Основы тригонометрии…………………………………………………..8
Раздел 3. Функции и их графики.
Тема 1. Общие свойства функций…………………………………………….11
Тема 2. Степенная функция………………………………………………… 13
Тема 3. Показательная функция……………………………………………….15
Тема 4. Логарифмическая функция……………………………………………16
Тема 5. Тригонометрические функции……………………………………… 17
Тема 6. Преобразование графиков……………………………………………...18
Раздел 4. Производная………………………………………………………………..20
Раздел 5. Первообразная и интеграл……………………………………………….23
Раздел 6. Уравнения и неравенства
Тема 1. Решение уравнений……………………………………………………..25
Тема 2. Решение систем уравнений…………………………………………….28
Тема 3. Решение неравенств и их систем……………………………………….29
Раздел 7. Векторы в пространстве…………………………………………………..32
Раздел 8. Комбинаторика и теория вероятностей.
Тема 1. Комбинаторные задачи………………………………………………….34
Тема 2 Теория вероятностей……………………………………………………..35
Раздел 1 . Преобразование алгебраических выражений
Тема 1. Корень n-ой степени
2
,
,
n
a
b
b
a
n
n
n – показатель корня, b – значение корня, a – подкоренное выражение
Например: а)
2
16
4
, ( т.к.
16
2
4
) б)
3
729
6
, ( т.к.
729
3
6
)
б)
5
125
3
, (т.к.
125
5
3
) в)
4
16
- не имеет смысла, т.к. корень чётной
степени
Свойства (
N
k
N
m
N
n
,
,
)
Пример
1
n
n
n
b
a
b
a
А)
27
3
9
9
81
9
81
729
Б)
2
8
4
2
4
2
3
3
3
3
2
n
n
n
b
a
b
a
А)
3
2
81
16
81
16
4
4
4
б)
2
1
8
1
16
2
16
2
3
3
3
3
3
n
m
m
n
a
a
)
(
a
a
n
n
)
(
А)
3
3
4
4
3
16
2
)
2
(
Б)
3
)
3
(
5
5
4
nm
n
m
a
a
А)
12
3
4
2
2
б)
8
4
3
3
5
n
m
nk
mk
a
a
А)
4
16
16
2
6
3
б)
4
2
2
2
4
8
6
a
a
n
m
2
2
5
)
5
(
4
4
x
x
Образцы решения
1. Вычислить:
а)
19
2
9
8
64
3
2
64
3
2
64
3
2
6
2
3
3
2
4
8
4
12
3
4
8
12
Б)
1
2
3
5
,
0
4
3
125
,
0
4
27
3
3
В)
2
2
2
2
2
4
2
4
9
9
9
7
2
9
7
9
9
7
3
3
Г)
18
25
7
5
7
5
)
7
(
2
2
2
4
8
5
10
2
2. Упростите: а)
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
2
4
4
8
4
6
3
2
4
6
4
3
2
2
16
8
2
8
2
Б)
2
2
2
2
6
12
2
6
2
10
8
16
6
2
6
10
4
8
4
6
2
3
10
2
)
(
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
В)
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
y
x
2
4
4
8
4
6
3
2
4
6
4
3
2
2
16
8
2
8
:
2
3. Вычислите с точностью ….(выполняется с помощью калькулятора)
А) до сотых:
97
,
2
968
,
2
1
732
,
1
236
,
2
1
3
5
Б) до десятых:
2
,
1
231
,
1
414
,
1
645
,
2
2
7
4. Решите уравнение:
А)
48
3
4
x
б)
0
250
2
3
x
в)
68
4
6
x
3
:
48
4
x
250
2
3
x
4
68
6
x
16
4
x
2
:
250
3
x
64
6
x
4
16
x
125
3
x
корней нет, т.к. х
2
x
3
125
x
в чётной степени
х = - 5
Тема 2. Степень с рациональным показателем
0
,
,
,
a
N
n
Z
m
a
a
n
m
n
m
Например: а)
8
2
16
16
3
4
3
4
3
или
8
2
)
2
(
16
3
4
3
4
4
3
б)
125
5
25
25
25
3
2
3
2
3
5
,
1
или
125
5
)
5
(
25
3
5
,
1
2
5
,
1
Свойства ( а >0, b>0)
Пример
1
y
x
y
x
a
a
a
64
4
4
4
4
4
3
5
15
5
12
5
3
5
12
5
3
2
y
x
y
x
a
a
a
:
4
16
16
16
16
16
:
16
16
:
16
2
1
6
3
6
1
6
4
6
1
6
4
6
1
3
2
3
xy
y
x
a
a
)
(
16
4
4
4
4
2
3
6
6
3
1
6
3
1
4
x
x
x
b
a
ab
А)
108
27
4
3
2
3
2
3
2
3
2
6
2
1
6
3
1
6
2
1
3
1
Б)
4
2
2
32
8
4
8
4
2
5
2
5
5
2
5
2
5
2
5
2
5
x
x
x
b
a
b
a
8
1
1
8
:
9
2
:
3
2
:
3
2
:
3
3
2
6
2
1
6
3
1
6
2
1
3
1
6
k
m
nk
mk
a
a
9
3
27
27
27
2
3
2
3
2
6
4
7
n
m
n
m
a
a
1
8
1
2
1
16
1
16
1
16
3
4
3
4
3
4
3
8
1
0
a
1
345
0
Образцы решения
1. Найдите значение выражения:
3
1
2
5
,
1
8
5
1
49
=
320
2
25
343
2
5
7
)
2
(
5
)
7
(
1
2
3
3
1
3
2
5
,
1
2
2. Упростите и найдите значение выражения:
3
5
3
5
2
b
a
b
a
=
3
2
3
2
5
5
3
1
1
5
3
5
2
3
1
5
3
5
2
ab
b
a
b
a
b
a
b
a
Если а = 6, b = 8, то 6
24
4
6
2
6
)
2
(
6
8
2
3
2
3
3
2
3. Сократите дробь:
25
30
6
2
1
4
1
a
a
=
5
6
)
5
)(
5
(
)
5
(
6
5
)
(
)
5
(
6
4
1
4
1
4
1
4
1
2
2
4
1
4
1
a
a
a
a
a
a
4. Вычислить:
а)
2
3
2
3
2
3
3
2
3
5
,
1
2
3
2
5
,
1
5
10
2
10
10
5
10
2
5
,
0
2
,
0
)
5
,
0
(
)
2
,
0
(
)
125
,
0
(
)
04
,
0
(
=
121
4
125
2
5
2
3
б)
7
2
5
2
5
2
5
2
2
5
:
5
5
5
9
9
5
2
5
3
9
4
9
13
5
2
5
3
9
4
9
13
Тема 3. Логарифмы.
1
,
0
,
0
,
,
log
a
a
b
b
a
x
b
x
a
Например: а)
5
125
log
3
, (т.к.
125
3
5
) б)
3
8
1
log
2
, (т.к.
8
1
2
3
)
в)
2
16
1
log
4
1
, (т.к.
16
1
4
1
2
)
b
a
b
a
log
Основное логарифмическое тождество.
Например: а)
7
5
7
log
5
, б)
16
4
3
9
2
4
log
2
4
log
3
3
Свойство
Пример
1
0
1
log
a
0
1
log
8
, т.к.
1
8
0
2
1
log
a
a
1
8
log
8
, т.к.
8
8
1
3
c
b
c
b
a
a
a
log
log
)
(
log
А)
7
4
3
81
log
27
log
)
81
27
(
log
3
3
3
Б)
1
6
log
)
2
3
(
log
2
log
3
log
6
6
6
6
4
c
b
c
b
a
a
a
log
log
log
1
6
log
)
2
:
12
(
log
2
log
12
log
6
6
6
6
5
b
n
b
a
n
a
log
log
А)
4
1
1
4
1
3
log
4
1
3
log
3
log
3
4
1
3
4
3
Б)
1
4
log
)
4
(
log
4
log
5
4
5
5
4
5
4
6
b
n
b
a
a
n
log
1
log
5
,
1
2
3
3
2
1
125
log
2
1
125
log
125
log
5
5
25
2
7
a
b
b
c
c
a
log
log
log
Переход к новому основанию
5
,
1
2
3
25
log
125
log
125
log
5
5
25
8
a
b
b
a
log
1
log
3
1
8
log
1
2
log
2
8
Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается
lg
Например: а)
2
100
lg
,т.к.
100
10
2
б)
3
001
,
0
lg
, т.к.
001
,
0
1000
1
10
3
Логарифм по основанию е
2,7 называется натуральным и обозначается
ln
Образцы решения:
1. Вычислить
: а)
18
log
5
5
2
lg
50
lg
=
16
18
2
18
100
lg
18
)
2
50
lg(
Б)
9
1
log
2
log
32
log
3
4
4
=
0
2
2
2
16
log
)
2
(
)
2
:
32
(
log
4
4
в)
8
log
3
1
8
8
log
2
5
log
4
2
=
5
,
127
1
125
5
,
1
1
5
2
3
3
3
1
2
4
log
8
log
3
5
log
3
2
2
2
2. Решите уравнение: а)
4
)
8
2
(
log
3
x
б)
2
)
3
(
log
4
x
Решение: Решение:
ОДЗ:
0
8
2
x
ОДЗ:
0
3
x
4
x
3
x
4
3
8
2
x
2
4
3
x
8
81
2
x
3
16
x
2
:
73
x
13
x
4
5
,
36
x
3
13
x
Ответ: 36,5 Ответ: -13
Раздел 2. Основы тригонометрии
Основные тождества
Формулы сложения
Форм. отрицательных
углов
1)
1
cos
sin
2
2
1)
sin
cos
cos
sin
)
sin(
1)
sin
)
sin(
1а)
2
2
cos
1
sin
1б)
2
2
sin
1
cos
2)
sin
sin
cos
cos
)
cos(
2)
cos
)
cos(
2)
cos
sin
tg
3)
tg
tg
tg
tg
tg
1
)
(
3)
tg
tg
)
(
3)
sin
cos
ctg
Формулы суммы и разности
4)
ctg
ctg
)
(
4)
1
ctg
tg
1)
2
cos
2
sin
2
sin
sin
Формулы двойного угла
5)
2
2
cos
1
1
tg
2)
2
cos
2
cos
2
cos
cos
cos
sin
2
2
sin
6)
2
2
sin
1
1
ctg
3)
2
sin
2
sin
2
cos
cos
2
2
sin
cos
2
cos
Простейшие тригонометрические уравнения
1
,
sin
a
a
x
,
1
,
cos
a
a
x
R
a
a
tgx
,
Z
n
n
a
x
n
,
arcsin
)
1
(
Z
n
n
a
x
,
2
arccos
Z
n
n
arctga
x
,
, рад
0
6
4
3
2
2
3
2
, град
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
180
0
270
0
360
0
sin
0
2
1
2
2
2
1
2
3
1
0
-1
0
cos
1
2
3
2
2
2
1
2
1
0
-1
0
1
tg
0
3
3
3
1
1
3
-
0
-
0
ctg
-
3
1
3
3
3
1
0
-
0
-
Частные случаи:
Частные случаи:
arctga
a
arctg
)
(
1)
0
sin
x
,
Z
n
n
x
,
1)
0
cos
x
,
Z
n
n
x
,
2
2)
1
sin
x
,
Z
n
n
x
,
2
2
2)
1
cos
x
,
Z
n
n
x
,
2
R
a
a
ctgx
,
3)
1
sin
x
Z
n
n
x
,
2
2
3)
1
cos
x
,
Z
n
n
x
,
2
Z
n
n
arcctga
x
,
a
a
arcsin
)
arcsin(
a
a
arccos
)
arccos(
arcctga
a
arcctg
)
(
Образцы решения.
- IV - III
1. Определите знак выражения:
6
7
cos
3
5
sin
=
0
210
cos
300
sin
o
o
2. Упростите : ( по основным тождествам и формулам отрицательных углов) а)
)
(
)
cos(
)
sin(
)
(
tg
ctg
=
sin
cos
cos
sin
cos
sin
sin
cos
)
(
cos
)
sin
(
tg
ctg
Б)
2
2
2
cos
)
sin
1
(
tg
=
1
cos
sin
cos
cos
sin
cos
2
2
2
2
2
2
3. Вычислите:
o
240
cos
=
2
1
2
3
0
2
1
1
60
sin
180
sin
60
cos
180
cos
)
60
180
cos(
o
o
o
o
o
o
(по формулам сложения)
4. Найдите значение выражения:
2
3
arccos
3
1
arctg
=
6
6
=
3
6
2
5.
Найдите:
)
(
ctg
, если
2
3
,
13
5
cos
( III ч)
Решение:
)
(
ctg
=
ctg
=
sin
cos
. Найдём значение синуса:
13
12
169
144
sin
169
144
169
25
169
169
169
25
1
)
13
5
(
1
cos
1
sin
2
2
2
.
Так как
III
четверти, то
13
12
sin
.
)
(
ctg
=
ctg
=
sin
cos
= -
12
5
12
13
13
5
)
13
12
(
:
)
13
5
(
. Ответ:
)
(
ctg
=
12
5
6. Найдите:
2
sin
, если
6
,
0
sin
,
2
( IIч).
Решение:
2
sin
=
cos
sin
2
= 2
96
,
0
8
,
0
6
,
0
Найдём значение косинуса:
8
,
0
64
,
0
cos
64
,
0
36
,
0
1
)
6
,
0
(
1
sin
1
cos
2
2
2
.
Так как
II
четверти, то
8
,
0
cos
. Ответ:
2
sin
= - 0,96
7. Решите уравнения: а)
2
1
cos
x
б)
2
2
sin
x
в)
1
3
cos
x
n
x
2
)
2
1
arccos(
n
x
n
2
2
arcsin
)
1
(
это
частный случай
n
x
2
)
3
(
Z
n
n
x
n
,
4
)
1
(
n
x
2
3
Z
n
n
x
,
2
3
2
Z
n
n
x
,
3
2
8. Решите неравенство
: а)
2
1
cos
x
б)
2
2
sin
x
А:
3
2
1
arccos
=
o
60
В:
3
. А:
o
45
4
2
2
arcsin
В:
4
5
4
Ответ:
Z
n
n
n
),
2
3
;
2
3
(
Ответ:
Z
n
n
n
,
2
4
;
2
4
5
Раздел 3. Функции и их свойства.
Тема1. Общие свойства функций.
Функция – зависимость у от переменной х, при которой каждому значению х
соответствует единственное значение у.
Х – независимая переменная ( аргумент), у – зависимая переменная ( функция).
Свойства функций.
1)Д(у) - область определения функции: все допустимые значения х
2) Е(у) – множество значений функции: все значения у.
3) Чётность
функция
По формуле
По графику
чётная
)
(
)
(
x
f
x
f
Симметрия
относительно оси У
нечётная
)
(
)
(
x
f
x
f
Симметрия относительно
начала координат
А
В
А
В
Общего вида ( ни чётная,
ни нечётная)
Равенство не выполняется
Симметрии нет
4) Монотонность – промежутки возрастания и убывания
А) функция возрастает, если
2
1
2
1
y
y
x
x
Б) функция убывает, если
2
1
2
1
y
y
x
x
5) Промежутки знакопостоянства - это промежутки, на которых функция
положительна ( y > 0), и отрицательна ( y < 0 ).
Образцы решения.
1. Определите свойства функции по графику:
1) Д(у) =
7
;
4
- определяется по оси х ( крайние левая и правая точки)
2) Е(у) =
3
;
3
- определяется по оси у ( самая нижняя точка и самая верхняя
точка)
3) функция общего вида, т.к. у графика нет симметрии
4) функция возрастает :
3
;
4
,
2
;
2
,
6
;
4
- определяется по оси х
Функция убывает:
2
;
3
,
4
;
2
,
7
;
6
5) y > 0 ( график выше оси х) : (1; 3),
7
;
5
, y < 0 ( ниже оси х) :
1
;
4
, (3; 5).
2. Определите чётность функции:
А)
x
x
y
sin
3
. Решение:
x
x
x
x
x
x
x
y
sin
)
sin
(
)
sin(
)
(
)
(
3
3
3
,
Функция чётная, так как не изменилась.
Б)
x
x
y
cos
2
. Решение:
x
x
x
x
x
y
cos
)
cos(
)
(
)
(
2
2
,
функция чётная, так как все знаки сохранились.
В)
tgx
x
y
4
Решение:
tgx
x
tgx
x
x
tg
x
x
y
4
4
4
)
(
)
(
)
(
)
(
,
Функция нечётная, так изменился знак.
г)
x
x
y
sin
5
Решение:
x
x
x
x
x
y
sin
)
sin(
)
(
)
(
5
5
,
функция нечётная, так как все знаки изменились.
3. Найдите область определения функции:
А)
6
4
x
x
y
. Решение: Д(у) :
6
0
6
x
x
Б)
8
x
y
. Решение: Д(у) :
8
0
8
x
x
В)
7
4
x
y
. Решение: Д(у) :
7
0
7
x
x
Г)
4
5
2
x
y
. Решение: Д(у) :
2
0
4
2
x
x
Д)
3
8
2
x
y
. Решение: Д(у) : х – любые числа, т. е R
Е)
5
2
2
x
x
y
. Решение: Д(у) : х – любые числа, т. е R
4. Не выполняя построения графика, определите монотонность функции
А)
x
у
2
8
. Решение:
х
0
1
у
8
6
Т.к 0 < 1
8 > 6, то функция убывающая.
Б)
x
y
2
. Решение:
Т.к 0 < 1
1 < 2, то
функция возрастающая.
Тема 2. Степенная функция.
•
Функция вида
n
x
y
называется степенной
х
0
1
у
1
2
показатель
вид
график
пример
D(y)
Е(у)
1) Чётный
положительный
n
x
y
2
6
x
y
R
;
0
2) Чётный
отрицательный
n
x
y
2
4
x
y
0
x
;
0
3) Нечётный
положительный
1
2
n
x
y
5
x
y
R
R
4) Нечётный
отрицательный
)
1
2
(
n
x
y
3
x
y
0
x
0
y
5а) Положит.
правильная
дробь
n
m
x
y
(m<n)
3
,
0
x
y
;
0
;
0
5б) Положит.
неправильная
дробь
n
m
x
y
(m>n)
3
x
y
;
0
;
0
Сравнение степеней с одинаковыми показателями.
положительный показатель отрицательный показатель
то выражение больше, у которого то выражение больше, у которого
основание больше основание меньше
Например:
3
,
0
3
,
0
3
5
3
,
0
3
,
0
3
5
Образцы решения.
1. Изобразите схематично график функции а)
x
y
, б)
6
x
y
Решение: а)
- положительная неправильная дробь (
3,14 >1)
график № 5б
Б) – 6 – целый отрицательный, чётный показатель
график № 2.
2. Сравните : А)
3
9
,
0
и
3
3
,
0
б)
8
и
5
в)
8
7
и
1
, г)
6
,
0
4
и
1
.
Решение: а)
3
9
,
0
>
3
3
,
0
( т.к.
0
3
) б)
8
<
5
(т.к.
)
0
В)
8
7
<
8
1
( т.к.
0
8
) г)
6
,
0
4
>
6
,
0
1
(т.к 0,6>0).
Тема 3. Показательная функция.
Функции вида
x
a
y
называется показательной. (
0
,
1
a
a
).
x
y
2
(a>1)
x
y
2
1
( 0 < a <1)
4
1
2
1
2
2
2
,
2
1
2
1
=0,5 ,
1
2
0
4
2
2
1
2
2
,
2
2
1
1
,
1
2
1
0
х
-2
-1
0
1
2
у
3
,
0
5
,
0
1
2
4
х
-2
-1
0
1
2
у
4
2
1
0,5
0,3
Если основание степени больше 1, то функция возрастающая.( при
сравнении знак не меняется)
Если основание степени меньше 1, то функция убывающая ( при сравнении
знак меняется)
Образцы решения.
1. Сравните: а)
5
3
и
7
3
б)
5
6
,
0
и
3
6
,
0
в)
4
и
2
, г)
4
3
1
и
2
3
1
Решение: а)
5
3
<
7
3
( 3>1, функция возрастающая,
7
5
)
Б)
5
6
,
0
<
3
6
,
0
( 0,6 <1, функция убывающая, 5 > - 3)
В)
4
>
2
(
1
, функция возрастающая, 4 >2)
Г)
4
3
1
>
2
3
1
(
1
3
1
, функция убывающая, - 4 < - 2).
Тема 4. Логарифмическая функция.
Функция вида
x
y
a
log
называется логарифмической. (
0
,
1
a
a
, x > 0).
x
y
2
log
, (a>1)
x
y
2
1
log
( 0 < a <1)
2
4
1
log
2
(т.к.
4
1
2
2
)
2
4
1
log
2
1
( т.к.
4
1
2
1
2
)
1
2
1
log
2
(т.к.
2
1
2
1
)
1
2
1
log
2
1
,
0
1
log
2
1
,
1
2
log
2
1
0
1
log
2
(т.к.
1
2
0
),
1
2
log
2
х
3
,
0
4
1
5
,
0
2
1
1
2
4
у
-2
-1
0
1
2
х
3
,
0
4
1
5
,
0
2
1
1
2
4
у
2
1
0
-1
-2
Если основание логарифма больше 1, то функция возрастающая
( при сравнении знак не меняется)
Если основание логарифма меньше 1, то функция убывающая
( при сравнении знак меняется)
Образцы решения.
1. Сравните: а)
35
ln
и
42
ln
б)
7
log
2
и
9
log
2
в)
3
log
5
,
0
и
7
log
5
,
0
Решение: а)
35
ln
<
42
ln
(
1
7
,
2
e
, функция возрастающая, 35 < 42).
7
log
2
<
9
log
2
( 2 > 1,
функция возрастающая, 7 < 9 )
в)
3
log
5
,
0
>
7
log
5
,
0
( 0,5 < 1,
функция убывающая,
7
3
)
2. Найдите область определения функции:
)
6
2
(
log
6
x
y
Решение: Д(у) : 2 х + 6 >0
2х > - 6
х > - 3. Ответ:
)
;
3
(
.
3. Решите уравнение:
4
)
12
3
(
log
3
x
Решение: ОДЗ: 3х – 12 > 0
3х > 12
х > 4.
3х – 12
=
4
3
3х – 12 = 81
3х = 81 + 12
3х = 93
х = 93 : 3
х = 31 >4 . Ответ: 31.
Тема 5. Тригонометрические функции.
Свойства
функции
Д(у)
Е(у)
чётность
период
Возрастает
Убывает
x
sin
R
1
;
1
нечётная
2
n
n
2
2
;
2
2
n
n
2
2
3
;
2
2
x
cos
R
1
;
1
чётная
2
n
n
2
2
;
2
n
n
2
;
2
0
tgx
n
x
2
R
нечётная
На области
определения
-
ctgx
n
x
R
нечётная
-
На области
определения
Образцы решения.
1. Найдите область определения функции: а)
x
y
3
sin
б)
x
y
cos
7
в)
x
tg
y
3
Решение: а) Д(у):
0
x
б)
Z
n
n
x
x
,
2
0
cos
в)
3
6
2
3
n
x
n
x
2. Найдите множество значений функции: а)
1
sin
2
x
y
б)
x
y
cos
4
2
Решение: а)
1
sin
1
x
б)
1
cos
1
x
2
sin
2
2
x
4
cos
4
4
x
1
2
1
sin
2
1
2
x
2
4
cos
4
2
2
4
x
1
3
y
6
2
y
Е(у) =
1
;
3
Е(у) =
6
;
2
3. Определите чётность функции:
А)
x
x
y
sin
3
. Решение:
x
x
x
x
x
x
x
y
sin
)
sin
(
)
sin(
)
(
)
(
3
3
3
,
Функция чётная, так как не изменилась.
Б)
x
x
y
cos
2
. Решение:
x
x
x
x
x
y
cos
)
cos(
)
(
)
(
2
2
,
функция чётная, так как все знаки сохранились.
4. Найдите наименьший период функции:
А)
x
y
5
2
cos
б)
x
ctg
y
3
Решение: Наименьший период находим по формуле
k
T
T
f
:
min
, где к – коэффициент
при х. а) Т
min
=
5
2
5
2
5
2
:
2
б) Т
min
=
3
5. Сравните: а)
50
sin
и
20
sin
б)
80
cos
и
6
cos
в)
135
tg
и
200
tg
г)
20
ctg
и
70
ctg
Решение: а)
2
;
2
50
-функция возрастает,
2
;
2
20
- функция возрастает,
20
sin
50
sin
20
50
.
Б)
;
0
80
- функция убывает,
;
0
30
6
- функция убывает,
6
cos
80
cos
30
80
.
В) Функция
tgx
y
всегда возрастающая,
200
135
200
135
tg
tg
.
Г) Функция
ctgx
y
всегда убывающая,
70
20
70
20
ctg
ctg
.
Тема 6. Преобразование графиков.
1)
b
x
f
y
)
(
. Сдвиг графика функции
)
(x
f
y
вдоль оси У
вверх ( b > 0) вниз (b < 0)
2)
)
(
a
x
f
y
. Сдвиг графика функции
)
(x
f
y
вдоль оси Х
влево (a > 0) вправо( a <0)
3)
)
(x
f
k
y
Изменения графика функции
)
(x
f
y
вдоль оси У
растяжение (
1
k
) сжатие (
1
0
k
)
4)
)
(
x
k
f
y
Изменения графика функции
)
(x
f
y
вдоль оси Х
сжатие (
1
k
) растяжение (
1
0
k
)
Раздел 4. Производная
Операция по нахождению производной называется дифференцированием.
Таблица производных
Функция (у =…)
Производная (
...
y
)
Функция (у =…)
Производная (
...
y
)
1
С ( постоянная)
0
8
tgx
x
2
cos
1
2
n
x
(
1
n
)
1
n
x
n
9
ctgx
x
2
sin
1
3
x
1
2
1
x
10
x
a
a
a
x
ln
4
3)
x
x
2
1
11
x
e
x
e
5
х
1
12
x
ln
x
1
6
x
sin
x
cos
13
x
a
log
a
x ln
1
7
x
cos
-
x
sin
Правило
дифференцирования
Пример
1)
b
a
b
a
4
sin
4
)
4
cos
(
3
4
x
x
x
x
x
2)
b
a
b
a
b
a
)
sin
(
cos
3
cos
cos
cos
3
2
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3)
2
b
b
a
b
a
b
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
3
2
2
3
3
3
sin
cos
sin
3
)
(sin
)
(sin
sin
)
(
)
sin
(
4)
)
(
)
)
(
(
x
f
c
x
f
c
, где с –
постоянный множитель
x
x
x
2
2
1
4
)
4
(
5) сложная функция
)
(
)
(
))
(
(
x
f
f
y
x
f
y
x
x
x
x
6
cos
6
)
6
(
6
cos
)
6
(sin
Физический смысл производной
)
(
)
(
t
S
t
v
;
)
(
)
(
t
v
t
a
( v - скорость , S – расстояние, t -время)
Геометрический смысл производной:
)
(
0
x
f
R
;
)
(
0
x
f
tg
( R- угловой коэффициент касательной,
- угол между
касательной и положительным направлением оси Х)
)
)(
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
y
-
уравнение касательной
Условие
Свойство
0
)
(
0
x
f
х
0
- стационарная точка
0
)
(
0
x
f
Функция возрастает
0
)
(
0
x
f
Функция убывает
х
0
х
0
- точка максимума
х
0
- точка минимума
+
-
+
-
х
0
Алгоритм исследования функции и построения графика
N
Исследование
Комментарии
1
Д(у) – область
определения
Допустимые значения х
2
Чётность
)
(
)
(
x
f
x
f
- функция чётная ( симметрия
относительно ОУ)
)
(
)
(
x
f
x
f
- функция нечётная ( симметрия
относительно нач.координат)
)
(
)
(
x
f
x
f
- функция общего вида (симметрии нет)
3
Пересечение с осями
координат
А) с осью Х: у = 0, х = ?
Б) с осью У: х = 0, у = ?
4
Производная
Вычисление по таблице и правилам
5
Стационарные точки.
0
)
(
x
y
( найти корни уравнения, отметить их на
прямой, разбить на промежутки)
6
Промежутки
монотонности
Точки экстремума
1) определить знак производной в каждом
интервале(подставить удобное число в производную)
2) вывод
7
Дополнительные точки
1)В таблицу вносят все стационарные точки и
ближайшие к ним; точки пересечения с осями;
2) вычислить значения у ( подставить х в начальную
функцию)
8
График
Поставить на координатной плоскости точки и
соединить их, учитывая результаты исследования
Образцы решения.
1.Найдите производную:
А)
4
5
5x
x
б)
x
x
2
3
)
3
(
в)
8
7
7
7
1
x
x
x
Г)
2
3
3
x
x
д)
8
14
12
4
8
7
4
2
2
3
x
x
x
x
x
Е)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
)
5
2
(
2
1
)
5
2
(
)
5
2
(
)
(
)
)
5
2
(
(
Ж)
6
2
3
2
3
3
3
3
3
sin
cos
)
(
)
(
sin
)
(sin
)
sin
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в данной
точке:
8
5
6
2
)
(
2
3
x
x
x
x
f
, х
0
= 1
Решение:
)
(
0
x
f
R
кас
5
12
6
)
(
2
x
x
x
f
,
1
5
1
12
1
6
)
1
(
2
f
Ответ: Rкас = -1.
3. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику
функции
8
5
6
2
)
(
2
3
x
x
x
x
f
в точке х
0
= 2
Решение:
)
(
0
x
f
tg
5
12
6
)
(
2
x
x
x
f
,
5
5
2
12
2
6
)
2
(
2
f
Ответ: tg
= 5
4. Найдите уравнение касательной к графику функции
8
5
6
2
)
(
2
3
x
x
x
x
f
в
точке х
0
= 0
Решение:
)
)(
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
y
- уравнение касательной
8
8
0
5
0
6
0
2
)
0
(
)
(
2
3
0
f
x
f
5
12
6
)
(
2
x
x
x
f
5
5
0
12
0
6
)
0
(
)
(
2
0
f
x
f
x
x
y
5
8
)
0
(
5
8
. Ответ: у = 5х – 8
5. Тело движется прямолинейно по закону
5
3
4
)
(
2
3
t
t
t
S
. Найдите скорость и
ускорение в момент времени
c
t
2
.
Решение:
t
t
t
t
t
S
t
v
6
12
)
5
3
4
(
)
(
)
(
2
2
3
.
с
м
v
\
36
2
6
2
12
)
2
(
2
6
24
)
6
12
(
)
(
)
(
2
t
t
t
t
v
t
а
2
\
42
6
2
24
)
2
(
с
м
a
.
6. Исследуйте функцию
2
3
)
(
2
3
x
x
x
f
(найдите стационарные точки,
промежутки монотонности, точки экстремума) и постройте график.
Решение: 1) Д(f) = R, 2)
2
3
2
)
(
3
)
(
)
(
2
3
2
3
x
x
x
x
x
f
)
(x
f
функция
общего вида ( симметрии нет)
3) а)
0
2
3
2
3
x
x
- ? б)
2
2
0
3
0
)
0
(
2
3
f
(0; 2) – точка пересечения с ОУ.
4)
x
x
x
x
x
f
6
3
)
2
3
(
)
(
2
2
3
. 5)
0
6
3
2
x
x
3х ( х – 2) = 0
3х = 0 или х – 2 = 0.
х = 0, х = 2 - стационарные точки
+ 0 - 2 +
6)
0
1
24
1
12
)
1
(
2
f
Х max = 0, Х min = 2. – точки экстремума
Функция возрастает на
;
2
;
0
;
, функция убывает на
2
;
0
7)
x
-1
0
1
2
3
y
-2
2
0
-2
2
max
min
7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
7
6
)
(
2
3
x
x
x
f
на отрезке
3
;
1
Решение:
x
x
x
x
x
f
12
3
)
7
6
(
)
(
2
2
3
.
0
12
3
2
x
x
. 3х(х – 4) = 0
3х = 0 или х – 4 = 0
Х = 0
3
;
1
3
;
1
4
x
7
7
0
6
0
)
0
(
2
3
f
;
0
7
)
1
(
6
)
1
(
)
1
(
2
3
f
;
20
7
3
6
3
)
3
(
2
3
f
Ответ:
f
наиб
= 7,
f
наим
= - 20
Раздел 5. Первообразная и интеграл.
Функция F(x) является первообразной для f(x), если выполняется равенство
)
(
)
(
x
f
x
F
.
Например: Для функции
4
x
y
первообразной является функция
5
)
(
5
x
x
F
, т.к.
4
4
5
5
5
5
x
x
x
.
Для функции f(x) существует множество первообразных, которые отличаются
постоянным числом.
C
x
F
)
(
- общий вид всех первообразных ( С – const)/
Операция по нахождению первообразной называется интегрированием.
Таблица первообразных
Функция f(x) =)
Первообразна
F(x)=…
Функция f(x) =)
Первообразна
F(x)=…
1
С ( постоянная)
Сx + С
7
x
cos
C
x
sin
2
n
x
(
1
n
)
C
n
x
n
1
1
8
x
sin
C
x
cos
3
x
1
C
x
ln
9
x
2
cos
1
C
tgx
4
2
1
x
c
x
1
10
x
2
sin
1
C
ctgx
5
x
C
x
3
2
3
11
x
e
C
e
x
6
x
2
1
C
x
12
x
a
C
x
a
x
ln
b
a
b
a
a
F
b
F
x
F
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
- формула Ньютона-Лейбница
Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная графиком функции у = f(x),
отрезком
b
a;
и прямыми х = a, x = b. S кр.тр =
b
a
dx
x
f
)
(
Образцы решения
1.
Найдите одну из первообразных функции:
А)
4
cos
6
)
(
5
x
x
x
f
Решение:
x
x
x
x
F
4
sin
6
6
)
(
6
Б)
3
1
2
7
)
(
2
x
x
x
f
Решение :
x
x
x
x
F
3
1
7
)
(
2. Найдите первообразную, проходящую через точку
x
x
x
f
3
)
(
, А(1;2)
Решение:
C
x
x
x
F
2
4
)
(
2
4
. Подставим координаты точки в первообразную:
C
2
1
4
1
2
2
4
2
1
4
1
2
C
4
1
1
Ответ:
4
1
1
2
4
)
(
2
4
x
x
x
F
3. Вычислите:
3
1
2
)
2
(
dx
x
=
3
1
3
2
3
x
x
=
3
2
12
)
2
3
1
(
)
6
9
(
)
1
2
3
1
(
)
3
2
3
3
(
3
3
4. Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную линиями:
1
)
(
2
x
x
f
, х = 0, х = 1, у = 0. Найдите площадь получившейся фигуры.
Решение
:
Построим график функции
1
)
(
2
x
x
f
3
2
3
3
3
1
0
1
3
1
)
0
1
3
0
(
)
3
1
3
1
(
1
3
)
1
(
3
3
1
0
1
0
3
2
x
x
dx
x
S
.
Ответ:
3
2
кв.ед.
Раздел 6. Уравнения и неравенства.
Тема1. Решение уравнений.
Уравнение – это равенство с переменной.
Решить уравнение – значит найти его корни или доказать что их нет.
Корень уравнения – это значение переменной , при подстановки которого уравнение
обращается в верное равенство.
Уравнения, имеющие одно и тоже множество корней называются равносильными
.
Вид уравнения
Алгоритм
решения
Пример
Линейное
1) Перенос
слагаемых из одной
части уравнения в
другую.
2) нахождение
неизвестного
компонента
3х – 7 = 5х + 5
Решение:
3х – 5х = 5 + 7
-2х = 12
х = 12 : (-2)
х = -6.
Ответ: - 6.
Дробное
1) Найти ОДЗ
2) Найти общий
знаменатель
3) Найти
дополнительный
множитель к
каждой дроби
4) «Отбросить»
знаменатель и
1
4
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
Решение: ОДЗ:
1
0
1
0
1
x
x
x
1
4
1
2
1
2
1
(
1
(
1
(
x
x
x
x
x
x
x
x
х
-2
-1
0
1
2
у
3
0
-1
0
3
y
-2
-1
01
,1
2
3
3
3,5
4
4,5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
решить
получившееся
уравнение
5) Выполнить
проверку
x
x
x
x
x
4
2
2
2
2
0
3
3
2
x
x
0
3
0
)
1
(
3
x
x
x
или
0
1
x
х = 0 или х = 1 – посторонний
корень (см ОДЗ).
Ответ: х = 0.
Квадратное
0
2
c
bx
ax
ac
b
D
4
2
, (
0
D
)
a
D
b
x
2
1
a
D
b
x
2
2
0
5
4
2
x
x
.
Решение:
36
)
5
(
1
4
)
4
(
2
D
5
2
10
1
2
36
4
1
x
1
2
2
2
6
4
2
36
4
2
x
Ответ: 5 и -1.
Неполное
квадратное
( если с = 0)
0
2
bx
ax
0
)
(
b
ax
x
0
x
или
0
b
ax
a
b
x
0
3
6
2
x
x
.
Решение:
0
)
1
2
(
3
x
x
3х = 0 или 2х – 1 = 0
х = 0 или 2х = 1
5
,
0
2
1
x
.
Ответ: 0 и 0,5.
Неполное
квадратное
( если b = 0)
0
2
c
ax
c
ax
2
a
c
x
2
a
c
x
0
1
4
2
x
Решение:
1
4
2
x
4
1
2
x
2
1
4
1
x
Ответ:
2
1
Иррациональное
)
(
)
(
x
g
x
f
n
1) Возвести обе
части уравнения в n-
ую степень.
2) Решить
получившееся
уравнение
3) Если n – чётно,
то выполнить
проверку
1
1
x
x
Решение:
2
2
)
1
(
)
1
(
x
x
1
2
1
2
x
x
x
0
1
1
2
2
x
x
x
0
3
2
x
x
0
0
)
3
(
x
x
x
или
0
3
x
х = -3.
Проверка: х = 0 :
1
0
0
1
1 = 1
х = 0 является корнем уравнения
х = -3:
1
3
)
3
(
1
2
- 2
х = -3 – посторонний корень.
Ответ: х = 0.
Показательное
b
x
a
a
Основные методы:
1) Сведение к
1)
1
2
4
x
Решение:
0
2
2
2
2
x
2
0
2
2
2
0
2
x
x
x
.
одному основанию
2) Введение новой
переменной
3) Вынесение за
скобки
Ответ: х = -2.
_____________________________
2)
0
3
3
4
9
x
x
Решение:
0
3
3
4
3
2
x
x
.
Пусть
t
x
3
, тогда
1
,
3
,
4
0
3
4
2
1
2
t
t
D
t
t
.
3
3
x
или
1
3
x
х = 1 х = 0.
Ответ: 1 и 0.
____________________________
3)
40
2
2
3
1
x
x
Решение:
40
2
2
2
2
3
1
x
x
40
)
2
2
(
2
3
1
x
40
10
2
x
10
:
40
2
x
2
4
2
x
x
Ответ: х = 2.
Логарифмическое
Найти ОДЗ!
Выполнить
проверку корней!
Основные методы:
1) Сведение к
одному основанию,
применяя свойства
логарифмов.
2) Введение новой
переменной
1)
3
)
3
(
log
)
1
(
log
2
2
x
x
Решение: ОДЗ:
3
1
0
3
0
1
x
x
x
x
8
log
)
3
)(
1
(
log
2
2
x
x
( т.к.
8
2
3
)
8
3
3
2
x
x
x
5
,
1
,
36
0
5
4
2
1
2
x
x
D
x
x
П
роверка:
х
1
= 1:
3
1
1
1
верно
х
1
= 1
является корнем
х
2
= -5:
3
5
1
5
не верно
х
2
= -5 посторонний корень.
Ответ: х = 1.
_____________________________
2)
0
5
log
4
log
3
3
2
x
x
.
Решение : ОДЗ :
0
x
Пусть
t
x
3
log
, тогда
0
5
4
2
t
t
1
,
5
,
36
2
1
t
t
D
.
5
log
3
x
или
1
log
3
x
243
3
5
x
3
1
3
1
x
.
Проверка:
0
3
1
,
0
243
.
Ответ: 243 и
3
1
Тригонометричес-
кое
Основные методы:
1) Сведение к
простейшему виду
по формулам
тригонометрии
2) Сведение к
квадратному
уравнению
3) Деление обеих
частей уравнение на
x
cos
или
x
sin
Решение простейших
тригонометрических уравнений
смотрите в разделе « Основы
тригонометрии»
1)
0
cos
sin
4
1
x
x
.
Решение:
0
cos
sin
2
2
1
x
x
0
2
sin
2
1
x
2
1
2
sin
1
2
sin
2
x
x
n
x
n
2
1
arcsin
)
1
(
2
n
x
n
6
)
1
(
2
Ответ:
Z
n
n
x
n
,
2
12
)
1
(
_____________________________
2)
0
1
sin
5
cos
2
2
x
x
Решение:
0
1
sin
5
)
sin
1
(
2
2
x
x
0
1
sin
5
sin
2
2
2
x
x
0
3
sin
5
sin
2
2
x
x
0
3
sin
5
sin
2
2
x
x
.
Пусть
t
x
sin
, тогда
0
3
5
2
2
t
t
2
1
,
3
,
49
2
1
t
t
D
.
3
sin
x
или
2
1
sin
x
корней нет ,
Z
n
n
x
n
,
6
)
1
(
Ответ:
Z
n
n
x
n
,
6
)
1
(
_____________________________
3)
0
cos
3
sin
2
x
x
Решение:
0
cos
cos
3
cos
sin
2
x
x
x
x
2
3
0
3
2
tgx
tgx
n
arctg
x
2
3
.
( однородные
уравнения)
Ответ:
n
arctg
x
2
3
,
Z
n
Тема 2. Решение систем уравнения
Метод сложения:
2
4
2
5
5
4
2
25
5
4
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
. Сложим первое и второе уравнения, получим:
2
0
2
2
2
2
2
6
3
2
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
.
Ответ: (2; 0).
Метод подстановки:
2
4
2
5
5
4
2
25
5
4
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
. Выразим у из второго уравнения и подставим в
первое, получим:
0
2
2
2
2
2
6
3
2
4
2
2
2
4
)
2
(
2
y
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
y
x
x
. Ответ: (2; 0).
Графический метод:
x
y
y
x
2
1
2
.
Решение: 1) Построим график функции
x
y
2
- показательная функция
2) Построим график функции у = 1 – 2х – линейная функция
Решением системы является точка пересечения графиков.
Ответ: (0; 1).
Тема 3. Решение неравенств.
неравенства
знаки
Точка
Скобки
строгие
< или >
( )
нестрогие
или
Вид неравенства
Алгоритм
решения
Пример
Линейное
Перенос слагаемых
из одной части
неравенства в
другую
6
3
5
2
x
x
Решение:
5
6
3
2
x
x
11
x
11
x
. Знак неравенства меняется при
делении на отрицательное число!
-11
Ответ:
)
;
11
(
Дробное
Квадратное
Метод
интервалов:
1)Найти ОДЗ
2)ввести функцию
1)
0
1
3
2
2
x
x
Решение: ОДЗ: R.
Рассмотрим функцию
1
3
2
2
x
x
y
1
2
2
1
3
,
1
0
1
3
2
1
2
x
D
x
x
,
5
,
0
2
x
х
-2
-1
0
1
2
у
3
,
0
5
,
0
1
2
4
х
0
1
у
1
-1
-2
-1
01
,1
2
3
3
3,5
4
-
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
знак
штриховка
больше
вправо
меньше
влево
у = f(x)
3)f(x)=0
4)корни уравнения
и точки
исключения ( см.
ОДЗ) отметить на
прямой и разбить
на интервалы
5)Найти знак в
каждом интервале
( подставить
удобное число в
функцию)
6)Выбрать
« нужные»
промежутки ( см.
знак интервала)
0,5 1
0
1
1
0
3
0
2
)
0
(
2
y
Ответ:
;
1
5
.
0
;
2)
0
4
8
x
Решение: ОДЗ :
0
x
0
4
8
x
x
. Функция:
x
x
y
4
8
,
0
4
8
x
x
0
2
0
8
4
0
0
4
8
x
x
x
x
x
x
-2 0
Ответ: (-2; 0)
Показательное
1) Привести
степени к одному
основанию
2) «Отбросить»
одинаковые
основания и
решить
получившееся
неравенство
( если функция
убывающая, то
знак неравенства
меняется)
1)
1
2
4
x
Решение:
0
2
2
2
2
x
0
2
2
2
x
.
2>1, значит функция возрастающая
2 + х <0
х <-2
- 2
Ответ:
)
2
;
(
2)
25
1
5
1
x
Решение:
2
5
1
5
1
x
.
1
5
1
, значит функция убывающая
x
2.
Ответ:
+
-
+
+
-
+
2
2
;
Логарифмическое
1) Найти ОДЗ
2) Привести к
одному основанию
3) «Отбросить»
логарифмы и
решить
получившееся
неравенство
( если функция
убывающая, то
знак неравенства
меняется)
4) Найти общее
решение, учитывая
ОДЗ
1)
4
)
2
(
log
3
x
Решение: ОДЗ:
2
0
2
x
x
81
log
)
2
(
log
3
3
x
, (т.к.
81
3
4
)
3 >1 , значит функция возрастающая
х + 2 < 81
x < 79.
Общее решение:
-2 79
Ответ: (-2; 79)
2)
1
)
1
(
log
5
,
0
x
Решение: ОДЗ :
1
0
1
x
x
5
,
0
log
)
1
(
log
5
,
0
5
,
0
x
( т.к
5
,
0
5
,
0
1
).
0,5 < 1, значит функция убывающая
х - 1
0,5
х
1,5.
Общее решение:
1 1,5
Ответ:
5
,
1
;
1
Решение систем неравенств.
Решить каждое неравенство отдельно
Найти общее решение неравенств ( на одном рисунке)
Пример: Решить систему неравенств
:
0
1
3
2
6
3x
5
2
2
x
x
x
Решение: 1)
6
3
5
2
x
x
5
6
3
2
x
x
11
x
11
x
2)
0
1
3
2
2
x
x
ОДЗ: R. Рассмотрим функцию
1
3
2
2
x
x
y
1
2
2
1
3
,
1
0
1
3
2
1
2
x
D
x
x
,
5
,
0
2
x
.
0
1
1
0
3
0
2
)
0
(
2
y
;
1
5
.
0
;
0,5 1
Общее решение: -11 0,5 1
+
-
+
Ответ:
;
1
5
,
0
;
11
Раздел. 7. Векторы в пространстве.
Вектор – направленный отрезок.
a
А В,
B
A
или
a
. ( А – начало, В – конец).
Векторы коллинеарные, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых
( координаты пропорциональны).
ОХ – ось абсцисс , ОУ – ось ординат, ОZ- ось аппликат
k
j
i
;
;
-
единичные ( базовые) векторы,
k
z
j
y
i
x
z
y
x
a
;
;
Точка лежит
На оси В плоскости
ОХ ОУ ОZ ОXY OXZ OYZ
(х; 0; 0) (0; у; 0) (0; 0; z) (х; у; 0) ( х; 0; z) (0; у; z)
Дано
Найти
Решение
Пример
1
1
1
;
;
z
y
x
a
2
2
2
;
;
z
y
x
b
Сумму или
разность
векторов
2
1
2
1
2
1
;
;
z
z
y
y
x
x
b
a
0
;
2
;
3
a
2
;
4
;
1
b
2
0
;
4
2
);
1
(
3
b
a
=
=
2
;
2
;
2
2
0
;
4
2
);
1
(
3
b
a
=
=
2
;
6
;
4
z
y
x
a
;
;
Умножение
вектора на
число
z
y
x
a
;
;
zm
ym
xm
m
;
;
0
;
2
;
3
a
0
;
4
;
6
2
a
А(х
1
; у
1
; z
1
)
В(х
2
; у
2
; z
2
)
Координаты
вектора АВ
Из координат конца
вычесть координаты
начала
1
2
1
2
1
2
;
;
z
z
y
y
x
x
B
A
А(2; -3; 4), В( 3; 1; 5).
4
5
);
3
(
1
;
2
3
B
A
=
=
1
;
4
;
1
А(х
1
; у
1
; z
1
)
В(х
2
; у
2
; z
2
)
О- середина
АВ
Координаты
середины
отрезка
О
2
;
2
;
2
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
А(2; -3; 4), В( 4; 1; 5).
2
5
4
;
2
1
3
;
2
4
2
O
=(3; -1; 4,5).
z
y
x
a
;
;
Длину
вектора
2
2
2
z
y
x
a
3
;
2
;
1
B
A
14
3
)
2
(
1
2
2
2
B
A
1
1
1
;
;
z
y
x
a
2
2
2
;
;
z
y
x
b
Скалярное
произведение
векторов
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
b
a
Если
0
b
a
, то
b
a
0
;
2
;
3
a
2
;
4
;
1
b
2
0
4
)
2
(
)
1
(
3
b
a
=
= -3+(-8)+0 = - 11
1
1
1
;
;
z
y
x
a
2
2
2
;
;
z
y
x
b
Угол между
векторами
b
a
b
a
b
a
)
cos(
0
b
a
угол острый
0
b
a
угол тупой
0
b
a
угол прямой
Смотри образцы
Образцы решения
1.Дано: А(-5; 7; 12), В(4; -8; 3), С(13; -23; -6). Лежат ли точки на одной прямой?
Решение: если векторы АВ и АС коллинеарные, то точки лежат на одной прямой.
Векторы коллинеарные, если их координаты пропорциональны. Найдём координаты
векторов:
9
;
15
;
9
12
3
;
7
8
);
5
(
4
B
A
,
18
;
30
;
18
12
6
;
7
23
);
5
(
13
C
A
2
1
18
9
30
15
18
9
точки лежат на одной прямой.
2.Дано:
0
;
2
;
3
a
,
2
;
4
;
1
b
. Найти:
b
a
3
2
Решение:
0
;
4
;
6
2
a
,
6
;
12
;
3
3
b
.
6
;
8
;
3
6
0
;
12
4
);
3
(
6
3
2
b
a
.
b
a
3
2
=
109
6
8
3
2
2
2
. Ответ:
109
.
3. Дан
ABC
, А(0;1;-1), В(2;-3;2), С(4; 3;0). Найдите:
А)
C
cos
и определите вид угла С (острый, тупой, прямой)
Б) длину медианы АМ
В) Найдите на оси У координаты точки
D
, чтобы
D
B
C
A
.
Решение:
В А)
B
C
A
C
C
B
C
A
C
B
C
A
C
C
cos
М
1
;
2
;
4
0
1
;
3
1
;
4
0
A
C
2
;
6
;
2
0
2
;
3
3
;
4
2
B
C
18
2
12
8
2
1
)
6
(
)
2
(
)
2
(
4
B
C
A
C
А С
21
)
1
(
)
2
(
)
4
(
2
2
2
A
C
11
2
11
4
44
2
)
6
(
)
2
(
2
2
2
B
C
.
231
2
11
2
21
B
C
A
C
.
0
231
9
231
2
18
cos C
угол С острый
Б)Так как АМ – медиана, то М – середина ВС,
)
1
;
0
;
3
(
2
0
2
;
2
3
3
;
2
4
2
M
2
;
1
;
3
)
1
(
1
;
1
0
;
0
3
M
A
,
14
2
)
1
(
3
2
2
2
M
A
В) Так как
D
B
C
A
, то
0
D
B
C
A
. Так как точка лежит на оси У, то D(0; у; 0).
1
;
2
;
4
)
1
(
0
;
1
3
;
0
4
C
A
,
2
;
3
;
2
2
0
);
3
(
;
2
0
y
y
D
B
4
2
2
6
2
8
)
2
(
1
)
3
(
2
)
2
(
4
y
y
y
D
B
C
A
.
2у – 4 = 0
у = 2. Значит D(0; 2; 0).
Ответ: а)
231
18
б)
14
в) D(0; 2; 0).
Раздел 8. Комбинаторика и теория вероятностей.
Тема 1. Комбинаторные задачи.
Комбинаторные задачи – это задачи, в которых необходимо осуществить перебор
всевозможных вариантов или посчитать их количество.
Вид
комбинаторной
задачи
Формула
Пример
Размещение с
повторением
m
m
n
n
A
~
n- количество данных
элементов,
m- количество взятых
элементов
Сколько двузначных чисел можно
составить, используя цифры 7, 4и
5 ( цифры могут повторяться)?.
Решение: n = 3, m= 2.
9
3
~
2
2
3
A
чисел можно составить
Ответ: 9.
Размещение без
повторений
( для
размещения
важен порядок
элементов)
m
m
n
n
n
n
A
)...
2
)(
1
(
Сколько трёхзначных чисел
можно составить, используя
цифры 2, 4, 6, 8, 9, если цифры не
повторяются.
Решение: n = 5, m= 3.
60
3
4
5
)
2
5
)(
1
5
(
5
3
5
A
Ответ: можно составить 60
чисел.
Перестановка
n
P
n
!
! – факториал,
n! =
n
...
3
2
1
Сколькими способами можно
расставить 5 различных книг на
полке?
Решение: 5! =
120
5
4
3
2
1
Ответ: 120 способов.
Сочетание.
( для сочетания
не важен
порядок
элементов)
!
m
A
C
m
n
m
n
!
)!
(
!
m
m
n
n
C
m
n
Сколькими способами можно
выбрать 4 краски из 10?
Решение:
210
4
3
2
1
7
8
9
10
!
4
4
10
4
10
A
С
Ответ: 210 способов.
Образцы решения.
1. Сколькими способами из 9 претендентов можно выбрать 5 участников
конференции?
Решение: Выбор участников не важен
задача на сочетание.
126
5
4
3
2
1
5
6
7
8
9
!
5
С
5
9
5
9
A
способов выбора участников конференции.
Ответ: 126 способов.
2. На пять сотрудников выделены три путёвки в санаторий. Сколькими способами их
можно распределить, если а) все путёвки различны
б) все путёвки одинаковые?
Решение: а) Так как все путёвки различны, то важно их распределение
задача на размещение без повторений.
60
3
4
5
)
2
5
)(
1
5
(
5
3
5
A
способов распределения путёвок, если они различны
б) Так как все путёвки одинаковые, то не важно их распределение
задача на сочетание.
10
3
2
1
3
4
5
!
3
3
5
3
5
A
C
способов распределения путёвок, если они
одинаковые.
Ответ: а) 120 способов, б) 10 способов.
3. Сколько различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосами можно
составить?
Решение: Задача на перестановку из трёх элементов.
6
3
2
1
!
3
3
P
вариантов составления флагов.
Ответ: 6 вариантов.
4. Сколько существует шестизначных телефонных номеров, у которых возможны
любые цифры.
Решение: Так как возможны любые цифры, то задача на размещение с повторением.
6
6
10
10
~
A
1 млн номеров возможно, НО первая цифра не может быть «0»
100000
10
~
5
5
10
A
номеров с первой цифрой «0».
1 000 000-100 000 = 900 000 телефонных номеров существует
Ответ: 900 000 номеров.
Тема 2. Теория вероятностей.
Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности случайных событий.
Случайные события – это события, которые при определённых условиях могут
произойти , а могут не произойти.( Обозначаются: А, В, С...)
Вероятностью события А называют отношение благоприятствующих событий к
общему числу равновозможных событий.
n
m
A
P
)
(
, где m – « удачные» события, n- общее число событий.
Образцы решения.
1. В корзине 3 белых , 6 чёрных и 5 красных шаров. Из корзины наугад вынимают
один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется чёрным?
Решение: n = 3 + 6 + 5 = 14 шаров всего, m = 6 ( количество чёрных шаров).
Р =
%
43
7
3
14
6
вероятность вынуть чёрный шар.
Ответ: 43 %
2. Участники жеребьёвки вытягивают жетоны с № 1- № 30. Какова вероятность того,
что вынутый жетон содержит цифру 2?
Решение: n = 30 жетонов всего, m =
29
;
28
;
27
;
26
;
25
;
24
;
23
;
22
;
21
;
20
;
12
;
2
= 12
жетонов содержат цифру «2».
%
40
5
2
30
12
P
вероятность вынуть жетон с цифрой
«2». Ответ: 40%.
3. Подбрасывают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что на них в
сумме выпадет 6 очков.
Решение: n – количество всевозможных вариантов выпадения очков.
Так как очки на кубиках могут повторяться, то это задача на размещение с
повторением.
36
6
~
2
2
6
A
n
.
m =
5
)
1
;
5
(
);
2
;
4
(
);
3
;
3
(
);
4
;
2
(
);
5
;
1
(
- удачных вариантов.
%
14
36
5
P
вероятность выпадения 6 очков
Ответ: 14 %.
4. Набирая номер телефона, состоящего из 10 цифр, абонент забыл две последние
цифры, но помня, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность
того, что номер набран верно?
Решение: n – количество всевозможных вариантов размещения последних двух
цифр из 10. Так как цифры различны, то задача на размещение без повторений.
90
9
10
2
10
A
n
всевозможных вариантов.
m = 1( один удачный вариант).
%
1
90
1
P
вероятность набрать номер верно.
Ответ: 1%.
5. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что
студент знает предложенные ему два вопроса в билете.
Решение: n – количество всевозможных билетов по два вопроса в каждом.
Так как не важен выбор вопросов в билете, то задача на
сочетание.
300
!
2
24
25
2
25
C
n
способов составления билетов.
m = количество « удачных» билетов, в которых студент знает ответ на два вопроса.
190
2
1
19
20
2
20
C
m
способов составления « удачных» билетов.
%
63
300
190
P
вероятность вынуть « удачный» билет.
Ответ: 63%.