Арифметическая и геометрическая прогрессии

на уроке в 9 классе

«Сделать учебную работу настолько возможно интересной для ребенка и не

превратить эту работу в забаву- одна из труднейших и важнейших задач

дидактики.» К.Д Ушинский.

Создание заинтересованного отношения к учению – проблема, проходящая

через всю историю школы, не потерявшая актуальность и сегодня.

Известно, как неодинаков бывает уровень знаний и умений учеников,

которых учит один и тот же педагог. Речь идет о нормальных в психическом

развитии школьниках. Но они воспринимают и усваивают одни и те же

объяснения учителя, один и тот же материал по–разному, что приводит к

неодинаковым успехам. Наблюдения педагогов и психологов показывают, что

результаты учебной деятельности во многом зависят от того, что побуждает

эту деятельность, т.е. зависят от мотивов. От того, как удается развить

мотивацию учения у школьников, вызвать потребность в знаниях, научить

учиться, во многом зависит успешность обучения.

Организационный момент урока по алгебре на тему «Арифметическая и

геометрическая прогрессии». Девизом урока могут быть слова: хочу, могу,

умею, делаю. (На доске в столбик записаны слова: хочу, могу, умею, делаю)

учитель, показывая на каждое из этих слов, даёт расшифровку. ХОЧУ: я хочу

пожелать вам, ребята, увеличить объём своих знаний в 1,5 раза. МОГУ:

сообщаю, что на уроке можно ошибаться, сомневаться, консультироваться.

УМЕЮ: мы умеем применять с вами рациональные способы для решения

задач. ДЕЛАЮ: делаем каждый себе установку «Понять и быть тем первым,

который увидит ход решения». Вместе с вами сегодня мы движемся только

вперед, т.к. слово «Прогрессио» в переводе с греческого языка обозначает

движение вперёд.

Для ввода в тему и мотивации учащихся можно использовать следующие

задачи:

Задача 1. Курс солнечных ванн начинают с 15 минут в первый день и

увеличивают время каждый день на 7 минут. Сколько будет загорать наш

герой на 10-ый день курса? Cколько дней потребуется принимать воздушные

ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной

продолжительности 1 ч 45 мин?

Вопрос: О каком математическом понятии идет речь в данной задаче?

Задача 2. .Имеется радиоактивное вещество массой 256г, масса которого за

сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На

третьи? На пятые? (256; 128;64; 32; 16;…)

Как получается второй член последовательности? ( Умножением

предыдущего на 1,05.)

Систематизировать пройденный теоретический материал в таблицу

Прогрессии

Арифметическая

прогрессия

Геометрическая

прогрессия

1. Определение

a

n+1

= a

n

+d

b

n+1

= b

n

*q (q≠0, q≠1)

2. Формула n-первых

членов прогрессии

a

n

=a

1

+ d(n-1)

b

n

= b

1

*q

n-1

3. Сумма n-первых членов

прогрессии

4. Свойства

,n

¿

l

a

n

+

a

k

=

a

n

−

l

+

a

k

+

l

, n

¿

l

d=

a

n

−

a

k

n

−

k

, n

¿

k

Интересно,

если

учитель

использует

не

только

материал

учебника,

по

которому занимаются дети, но и занимательный материал, значимый для

ученика.

О

том,

как

давно

была

известна

геометрическая

прогрессия,

свидетельствуют

папирусы

Ахмеса.

Например,

можно

встретить

такую

задачу: Задача 3. "В доме было 7 кошек. Каждая кошка съедает 7 мышей.

Каждая мышь съедает 7 колосьев.Каждый колос дает 7 растений.

На каждом растении вырастает 7 мер зерна. Сколько всех вместе?"

Ответ: 19607.

Задача 4. Легенда о шахматах:

Перенесемся в прошлое, а именно в начало нашей эры, в Индию.

Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахмат, своего

подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку…

Сценка: участвуют двое учащихся, один играет роль царя Шерама, второй роль

Сеты.

Шерам: «Сета, Сета поди ко мне. Я буду с тобой говорить!»

Сета (испуганно): «О, великий царь Шерам, чем прогневал я Вас, что Вы так

грозно со мной? О, царь!»

Шерам: «Сета, не казнить желаю, а наградить тебя хочу, чем пожелаешь за твое

остроумное изобретение! Я царь, я всемогущ, проси!»

Сета: «О, великий царь, боюсь я, что даже ты не сможешь выполнить мою

просьбу. В награду за свое изобретение я прошу столько зерен пшеницы,

сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить 1

зерно, на вторую в 2 раза больше, т.е. 2 зерна, на третью опять в 2 раза больше,

т.е. 4 зерна и т.д. до 64-й клетки»

Шерам (смеясь): «Какая скромная награда!»

А мудрый Сета только улыбнулся хитро в ответ.

Число зерен, о которых идет речь, является суммой 64 членов геометрической

прогрессии, в которой b1 = 1, q = 2. Чему же будет равна сумма? Решение

задачи.

18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 биллиона

(миллиарда) 709 миллионов 551 тысяча 615.Вот столько зерен пшеницы

запросил хитрый Сета. Это больше триллиона тонн, что превосходит

количество пшеницы собранной человечеством до настоящего времени или это

весь урожай планеты, поверхность которой в 2000 раз больше всей

поверхности Земли.

Развить представления учащихся об использовании прогрессии в окружающей

их жизни.

Задача 5. Продавец киоска обратил внимание на то, что каждый год в

последние 7 дней перед 8 марта количество продаваемых в день

поздравительных открыток увеличивается в одно и тоже число раз по

сравнению с предыдущим днём. Начав торговать открытками за 7 дней перед

праздником, он подсчитал, что в третий день было продано 48 открыток, а в

пятый день – 192 открытки. Сколько всего открыток будет продано за 7 дней

торговли, если замеченная продавцом закономерность сохраняется?

Ответ:1524

Задача 6. Ребенок заболеет ветрянкой, если в его организме окажется не менее

27000 вирусов ветряной оспы. Если заранее не сделана прививка от ветрянки,

то каждый день число попавших в организм вирусов утраивается. Если в

течении 6 дней после попадания инфекции болезнь не наступает, организм

начинает вырабатывать антитела, прекращающие размножение вирусов. Какое

минимальное количество вирусов должно попасть в организм, чтобы ребенок,

которому не сделали прививку, заболел?

Эта задача является примером геометрической прогрессии, где S

n

=27000, а

найти надо b

1,

при п =6, и q =3; 27000= b

1

(3

6

-1):(3-1); b

1

≈ 75.

Задача 7.Вкладчик 10 января 2012 г. внес в сберегательный банк 3000руб.

Какова будет сумма его вклада на 10 января 2015 г., если сбербанк начисляет

ежегодно 26 % годовых ?

Задача 8. При подготовке к экзаменам ученик каждый день с 1 по 8 июня

включительно увеличивал количество решенных задач на одно и тоже число. С

1 июня по 4 июня включительно он решил 24 задачи, а со 2 по 6 июня – 45

задач. Сколько задач ученик решил 8 июня? Ответ: 17 задач

Задача 9. Хозяин магазина заметил, что из года в год в последние 7 дней

декабря число продаваемых в день новогодних наборов увеличивается в 4 раза

по сравнению с предыдущим днём. Начав торговлю наборами за 7 дней перед

Новым годом, он подсчитал, что за первые два дня было продано всего 10

наборов. Сколько наборов будет продано за первые 6 дней, если замеченная

хозяином закономерность сохраняется? Ответ: 273

Учебный труд, как и всякий другой, интересен тогда, когда он разнообразен.

Однообразная информация и однообразные способы действий очень быстро

вызывают скуку. Для появления интереса к изучаемому предмету необходимо

понимание нужности, важности, целесообразности изучения данного предмета

в целом и отдельных его разделов. Педагог должен понимать, что какими

знаниями он ни обладал, какими методиками не владел, без положительной

мотивации, без создания ситуации успеха на уроке, такой урок обречен на

провал, он пройдет мимо сознания учащихся, не оставив следа в нем