Использование таблиц при решении задач

на части или доли

.

Голикова Татьяна Евгеньевна

При решении задач необходимо научиться вычленять в текстах такие понятия как

объект, предмет, явление, процесс, его величина, численное значение величины, единица

величины.

Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок»

можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как

яблоки, и величина характеризующая объект – масса; для измерения массы использовали

единицу массы – килограмм; в результате измерения получили число 3 -численное

значение величины данной массы яблок при единице массы – килограмм.

Особое значение в задачах отводится понятию величины. Длина, площадь, масса,

время, объём – величины. Первоначальное знакомство с ними происходит в начальной

школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием.

Величина – это особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность

заключается в том, что это свойство можно измерить, то есть назвать количество

величины. Поставить в соответствие указанной величине ее числовое значение.

Величины, которые выражают одно и то же свойство объектов, называются ве-

личинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и дли на

комнаты – это однородные величины. Величины – длина, площадь, масса и другие

обладают рядом свойств.

Операциям с величинами соответствуют операции с числовыми значениями

величин.

Предлагаемый табличный метод решения задач на дроби позволяет досконально

разобраться в задаче и перевести ее в математический язык уравнений.

Задачи на дроби или доли предлагаю решать следующим образом:

Делается таблица

Величина

Число

соответствующее

данной величине

A

Доля этого числа

относительно

числа, величина

которого принята за

целое.

B

Отношение числа

к доле этого числа

A/B

1

A1

B1

A/B

2

A2

B2

3

A3

D3

В первой строке описывается величина, которая является целой величиной (доля ее

равна 1);

В остальных строках описываются другие указанные в задаче величины;

Вводятся данные об этих величинах полученные из условия задачи;

Отношение числа «A» соответствующего данной величине к доле «B» этого числа

для всех строк одинаковое: A/B=A1/B1=A2/B2=A3/B3….

Задачи на части и доли бывают следующих видов:

На отыскание указанной части (дроби) данного числа;

На отыскание числа, если известна часть (дробь) этого числа;

На отыскание части (дроби), которую составляет одно число от другого.

Пример 1.

Найдём 3/8 от 72 метров.

Решение.

Решаем задачу, используя указанный алгоритм.

Нарисуем таблицу к задаче и занесем данные задачи в таблицу. Из условия нужно

правильно увидеть, какая величина принимается за целую величину (Доля равна 1), а

какая состоит из части. Неизвестные числа или доли обозначаем буквами X или Y.

Величина (длина в

метрах)

Число

соответствующее

данной величине

A

Доля этого числа

относительно числа,

величина которого

принята за целое.

B

Отношение числа

к доле этого числа

A/B

Длина, принятая за

целую величину

72

1

72

Длина искомого

отрезка

X

3/8

Отношение числа к доле соответствующей этому числу величина одинаковая для

любых долей этого числа. Отсюда X/(3/8)=72. Тогда X=72*(3/8).

Ответ: 27 м.

Пример 2.

Найдём число, если 11/7 этого числа равны 77.

Решение.

Нарисуем таблицу к задаче и занесем данные задачи в таблицу. Из условия задачи

нужно правильно увидеть, какая величина принимается за целую величину (Доля равна 1)

а какая состоит из целой части. Неизвестные числа или доли обозначаем буквами X, Y

Величина (Значение

числа)

Число

соответствующее

данной величине

A

Доля этого числа

относительно числа,

величина которого

принята за целое.

B

Отношение числа

к доле этого числа

A/B

Число, принятое за

целую величину

X

1

49

Известное число

77

11/7

Отношение числа к доле соответствующей этому числу величина одинаковая для

любых долей этого числа. Отсюда X/(1)=49 или X=49.

Ответ: 49.

Пример 3.

Купили провод длиной 23 метра. Израсходовали 20 метров. Какая часть купленного

провода израсходована?

Решение.

Нарисуем таблицу к задаче и занесем данные задачи в таблицу. Из условия задачи

нужно правильно увидеть, какая величина принимается за целую величину (Доля равна 1)

а какая состоит из целой части. Неизвестные числа или доли обозначаем буквами X, Y

Величина (длина в

метрах)

Число

соответствующее

данной величине

A

Доля этого числа

относительно числа,

величина которого

принята за целое.

B

Отношение числа

к доле этого числа

A/B

Длина провода

принятая за целую

величину

23

1

23

Длина

израсходованной

части провода

20

X

Отношение числа к доле соответствующей этому числу величина одинаковая для любых

долей этого числа. Отсюда 20/X=23. Тогда X=20/23.

Ответ: 20/23.

Пример 4.

Задача из 7 задания ОГЭ.

Перед представлением в цирк для продажи было заготовлено некоторое количество

шариков. Перед началом представления было продано 2/3 всех воздушных шариков, а в

антракте – еще 12 штук. После этого осталась половина всех шариков. Сколько шариков

было первоначально?

Нарисуем таблицу к задаче и занесем данные задачи в таблицу. Из условия задачи

нужно правильно увидеть, какая величина принимается за целую величину (Доля равна 1)

а какая состоит из целой части. Неизвестные числа или доли обозначаем буквами X или

Y. .

При уменьшении или увеличении числа в N раз доля полученного числа равна

уменьшенной или увеличенной в N раз доли первоначального числа.

Величина (число)

Число

соответствующее

данной величине

A

Доля этого числа

относительно числа,

величина которого

принята за целое.

B

Отношение числа

к доле этого числа

A/B

Число шариков

первоначально.

X

1

120

Число шариков

проданных

первоначально.

Y

2/5

Число шариков

проданных в

антракте.

12

1-2/5-1/2=1/10

Число оставшихся

шариков

первоначально.

X/2

1/2

Ответ: 120.

Пример 5.

Задача из 7 задания ОГЭ.

Площадь

земель

крестьянского

хозяйства,

отведённая

под

по с адку

сельскохозяйственных культур, составляет 24 га и распределена между зерновыми и

овощными культурами в отношении 5:3. Сколько гектаров занимают овощные культуры?

Величина (площадь

в гектарах)

Число

соответствующее

данной величине

A

Доля этого числа

относительно числа,

величина которого

принята за целое.

B

Отношение числа

к доле этого числа

A/B

Площадь земельного

участка

24

5+3=8

24/8=3

Площадь овощных

культур

X

3

Площадь зерновых

культур

Y

5

X=3*3=9

Ответ: 120.

После освоения данного метода решение задачи можно свести к заполнению

упрощенной таблицы вида:

A

B

A/B

24

5+3=8

24/8=3

X

3

Y

5