Использование таблиц при решении задач на проценты.

Голикова Татьяна Евгеньевна

При решении задач необходимо научиться вычленять в текстах такие понятия как

объект, предмет, явление, процесс, его величина, численное значение величины, единица

величины.

Например, математическое содержание предложения «Тетрадь стоит 20 рублей»

можно описать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как

тетрадь, и величина характеризующая объект – цена (стоимость); для определения цены

использовали

единицу

стоимости

–

рубль;

в

результате

имеем

число

20

-численное

значение величины стоимости данной тетради при единице стоимости – рубль.

Особое значение в задачах отводится понятию величины. Длина, площадь, масса,

время, объём, стоимость – величины. Первоначальное знакомство с ними происходит в

начальной школе, где величина наряду с числом является ведущим понятием.

Величина – это особое свойство реальных объектов или явлений, и особенность

заключается

в

том,

что

это

свойство

можно

измерить,

то

есть

назвать

количество

величины.

Поставить

в

соответствие

указанной

величине

ее

числовое

значение.

Величины,

которые

выражают

одно

и

то

же

свойство

объектов,

называются

ве-

личинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и длина

комнаты

–

это

однородные

величины.

Величины

–

длина,

площадь,

масса

и

другие

обладают рядом свойств.

Операциям

с

величинами

соответствуют

операции

с

числовыми

значениями

величин.

Иногда бывает удобным сравнивать две величины не по разности их значений, а в

процентах. Например, цену двух товаров сравнивать не в рублях, а оценивать, насколько

цена одного товара больше или меньше цены другого в процентах. Если сравнение по

разности вполне однозначно, то есть всегда можно найти, насколько одна величина больше

или меньше другой, то для сравнения в процентах нужно указывать, относительно какой

величины вычисляется процент.

Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь. В жизни редко что-

то можно сравнивать целиком, чаще приходится сравнивать разные части чего-то целого.

Поэтому мы используем такие понятия, как половина (1/2), треть (1/3), четверть (1/4).

Самое очевидное определение: процент – это десятичная дробь.

Все задачи по математике на проценты вертятся вокруг сравнения частей одного

целого, определения, какую долю составляет часть от целого, нахождения целого исходя

из величины его части и т.п.

Проценты

можно

записать

со

знакомым

всем

значком

процента:

1%.

Можно

представить

в

виде

десятичной

дроби

(или

натурального

числа).

Для

этого

нужно

разделить на 100: 0,01. Можно наоборот: выразить число в процентах. Тогда его следует

умножить на 100%.

Предлагаемый

табличный

метод

решения

задач

на

проценты

позволяет

досконально разобраться в задаче и перевести ее в математический язык уравнений.

Задачи на проценты предлагаю решать следующим образом:

Делается таблица

Величина

Число,

соответствующее

данной величине

A=К*С

Процентная

составляюща

я числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%

B=С*100

Доля этого

числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%.

С=В/100=A/K

Отношение

числа

к доле этого

числа

К=A/С

1

A1

B1

С1

A/С

2

A2

B2

С2

3

A3

В3

С3

В первой строке описывается величина, которая является целой величиной (доля ее

равна 1);

В остальных строках описываются другие указанные в задаче величины;

Вводятся данные об этих величинах полученные из условия задачи;

Отношение числа «A» соответствующего данной величине к доле «С» этого числа

для всех строк одинаковое: A/С=A1/С1=A2/С2=A3/С3…

Задачи на проценты бывают следующих видов:

Нахождение процента от числа;

Нахождение числа по его проценту;

Нахождение процентного отношения двух чисел;

Увеличение числа на процент;

Уменьшение числа на процент;

Задачи на простые проценты;

Задачи на сложные проценты.

Пример 1.

За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов

не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?

Решаем задачу, используя указанный алгоритм.

Нарисуем таблицу к задаче и занесем данные задачи в таблицу. Из условия задачи

необходимо правильно увидеть, какая величина принимается за 100%, а какая состоит из

части. Неизвестные числа или доли обозначаем буквами X или Y.

Величина

Число,

соответствующее

данной величине

A=К*С

Процентная

составляюща

я числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%

B=С*100

Доля этого

числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%.

С=В/100=A/K

Отношение

числа

к доле этого

числа

К=A/С

Количество

приборов,

изготовленных

за месяц

500

100

1

500

Количество

приборов не

прошедшие

контроль

X

20

0,2

Отсюда X=К*С=500*0,2=100

Ответ: 100.

Пример 2.

Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что

составляет 25% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом

пособии для самоподготовки?

Величина

Число,

соответствующее

данной величине

A=К*С

Процентная

составляюща

я числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%

B=С*100

Доля этого

числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%.

С=В/100=A/K

Отношение

числа

к доле этого

числа

К=A/С

Количество

всех задач в

пособии

X

100

1

152=38/0,25

Количество

задач из

пособия для

самоподготовки

38

25

0,25

Отсюда X=К*С= 152

Ответ: 152.

Пример 3.

В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Величина

Число,

соответствующее

данной величине

A=К*С

Процентная

составляющая

числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%

B=С*100

Доля этого

числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%.

С=В/100=A/K

Отношение

числа

к доле этого

числа

К=A/С

Количество

учеников в

классе

30

100

1

30

Количество

девочек в

классе

14

X

X/100

Отсюда X=C*100=A/K*100=14/30*100= 47%

Ответ: 47.

Пример 4.

. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В

этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за

экзамен по математике в этом году?

Величина

Число,

соответствующее

данной величине

A=К*С

Процентная

составляюща

я числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%

B=С*100

Доля этого

числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%.

С=В/100=A/K

Отношение

числа

к доле

этого числа

К=A/С

Количество

старшеклассников,

получивших

пятерки

впрошлом году

140

100

1

140

Количество

старшеклассников,

получивших

пятерки

вэтом году

X

100+15=115

1,15

Отсюда X=K*C=1,15*140=161

Ответ: 161.

Пример 5.

Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько

выпускников в этом году?

Величина

Число,

соответствующее

данной величине

A=К*С

Процентная

составляюща

я числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%

B=С*100

Доля этого

числа

относительно

числа,

величина

которого

принята за

100%.

С=В/100=A/K

Отношение

числа

к доле

этого числа

К=A/С

Количество ребят,

закончивших

школу

впрошлом году

100

100

1

100

Количество

старшеклассников,

получивших

пятерки

вэтом году

X

100-25=75

0,75

Отсюда X=K*C=0,75*100=75

Ответ: 161.

Пример 6.

Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно от

первоначальной суммы. Сколько денег они заплатят банку через год?

Величина

Число,

соответствующее

данной величине

A=К*С

Процентная

составляющая числа

относительно числа,

величина которого

принята за 100%

B=С*100

Доля этого числа

относительно

числа, величина

которого принята

за 100%.

С=В/100=A/K

Отношение

числа

к доле

этого числа

К=A/С

Кредит, взятый

в банке

5000

100

1

5000

Задолженность

через месяц

К*1,15

100+15

1,15

Задолженность

через N

месяцев.

К*(1+N*0,15)

100+N*15

1+N*0,15

Задолженность

через год

X

100+12*15

1+12*0,15

Отсюда X=5000*(1+12*0,15)=14000

Ответ: 14000.

Пример 6.

На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% от суммы на конец

месяца сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по

истечении срока кредита.

Величина

Число,

соответствующее

данной величине

A=К*С

Процентная

составляющая числа

относительно числа,

величина которого

принята за 100%

B=С*100

Доля этого числа

относительно

числа, величина

которого принята

за 100%.

С=В/100=A/K

Отношение

числа

к доле

этого числа

К=A/С

Кредит, взятый в

банке

25000

100

1

25000

Задолженность

через месяц

К*1,15

100+15

1,15

Задолженность

через 2 месяца

К*1,15

2

100*1,15

2

1,15

2

Задолженность

через N месяцев

К*1,15

N

100*1,15

N

1,15

N

Задолженность

через 3 месяца

X

100*1,15

3

1,15

3

Отсюда X=25000*1,15

3

=38021,875

Ответ: 38021,875.