МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«МЕГИНО-АЛДАНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

им. П.Е. Неймохова»

МО Томпонский район, Республика Саха (Якутия)

678725 Томпонский район, с. Мегино-Алдан, ул. Алданская, 12, тел. 27-174, факс 27-139 E-mail:

megaldanschool@yandex.

ru

Развитие интереса к математике путем применения логических

задач на уроках математики в 5-6 классах и методы их решения

Охлопкова О.А.

учитель математики

Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся

зависит в большей степени от того, насколько умело будет построена учебная

работа.

Нужно создать благоприятные условия для того, чтобы каждый ученик

работал увлеченно и активно, и использовать это как отправную точку для

возникновения

и

развития

любознательности,

глубокого

познавательного

интереса.

Это

особенно

важно

в

подростковом

возрасте,

когда

ещё

формируются,

а

иногда

только

определяются

постоянные

интересы

и

склонности

к

тому

или

иному

предмету.

Именно

в

этот

период

нужно

стремиться раскрыть притягательные стороны математики.

Логические

задачи

способствует

воспитанию

интереса

учащихся

к

математике и развитию их математических способностей. Вызывая интерес

учащихся

к

предмету,

они

способствуют

развитию

математического

кругозора,

творческих

способностей

учащихся,

привитию

навыков

самостоятельной работы и тем самым повышению качества математической

подготовки учащихся.

Основная

цель

обучения

–

развитие

учащегося,

а

под

развитием

понимается в основном именно умственное развитие.

В педагогической психологии принято выделить три вида мышления

ребенка:

1.

Наглядно-действенное

мышление.

Его

основная

особенность

заключается

в

том,

что

объектом

непосредственных

мысленных

преобразований служит реальная ситуация. Эта форма мышления является

основной и первой ступенью для развития других форм мышления.

2.

Наглядно-образное

мышление.

Это

вторая

ступень

развития

мышления. Оно характеризуется способностью манипулировать образами без

практических действий. В процессе решения задачи роль преобразуемого

объекта играет образ проблемной ситуации, который складывается в процессе

планомерно

осуществляющийся

ориентировочно-исследовательской

персептивной

деятельности

(то

есть

в

процессе

целенаправленного

2

осматривания, ощупывания, слушания и т. п.).

3.

Логическое

мышление.

Последняя

ступень

развития

мышления,

характеризующаяся

оперированием

абстрактными

понятиями

при

помощи

суждений.

Развитие

логического

мышления

не

означает,

что

наглядно-

действенное и образное мышление не способны к дальнейшему развитию.

Рассмотрим

основные

моменты,

способствующие

формированию

некоторых

характерных

черт

математического

мышления,

у

большинства

учащихся при изучении математики.

1. Четкость формулировки проблемы, задачи, задания.

Хорошо

известно

высказывание

о

том,

что

правильно

поставленный

вопрос уже наполовину решенный.

Постановка

вопроса

в

процессе

обучения

математике

очень

ответственный

момент.

Прежде

всего,

должно

быть

совершенно

ясно

содержание вопроса. Кроме того, вопрос следует вставить так, чтобы он

подсказывал, в каком направлении следует искать ответ.

2. Понимание математического материала, предлагаемого учащимся.

Математический

объект

не

может

быть

правильно

понят,

если

рассматривать его в изолированном виде, вне его связи с другими объектами.

Очень важно научить ученика выводить некоторые следствия из изучаемого

факта. Именно процесс получения таких следствий обеспечивает понимание

самого факта.

3. Уровень строгости изложения материала.

С математической точки зрения для решения этой проблемы желательна

максимальная логическая строгость изложения материала. С другой стороны,

этот

уровень

зависит

от

соответствующего

уровня

математического

мышления учащихся.

Логика

(от

греч. logos- мысль, слово, закономерность) - философская

наука

о

законах

и

формах

правильного

мышления.

Термин

«логика»

употребляется в трех значениях:

1)

Как наука о правилах рассуждения и тех формах, в которых оно

3

осуществляется;

2)

В

качестве

совокупности

правил,

которым

подчиняется

процесс

мышления, отражающий действительность;

3) Обозначает закономерности объективного мира (например, «логика

событий», «логика действий» и др.).

Логическая задача - это один из видов нестандартных задач. Решение

логических задач развивает такие важные качества человека как гибкость

ума, умение абстрагировать и логически рассуждать.

Целью

логических

задач

является

развитие

интереса

учащихся

к

математике, привлечение учащихся решать задачи, подбирать подходящие

методы для решения задач, дисциплинированно рассуждать. Часто в условии

логической задачи имеется такое обилие фактов, что удерживать их все в

памяти нелегко. Тогда прибегают к составлению схем, таблиц, чертежей,

выполнению рисунков.

Использование логических задач целесообразно:

1.

Когда есть опасность непринятия учащимися какого – либо учебного

задания;

2.

При прохождении сложных тем или просто при постановке трудных

дидактических задач урока;

3.

При

выработке

умений

и

навыков

учащихся,

когда

требуется

выполнить значительное количество однотипных упражнений;

4.

При изучении материала, подлежащего прочному запоминанию.

При отборе логических задач можно руководствоваться следующими

требованиями:



Задачи должны иметь занимательный характер, быть доступными

учащимися,

по

возможности

опирающимися

на

программный

материал, отличаться от обычных задач, имеющихся в учебнике

мате5матики;

4



Операции,

заложенные

в

структуре

решения

задачи,

должны

соответствовать

природе

диагностируемых

параметров

математических способностей учащихся;



Задачи должны быть сгруппированы по типам рассуждений.

Использование

логических

задач

на

уроке

математики

должно

проводиться систематически, а не от случая к случаю. На самих занятиях

постоянно

должны

возникать

маленькие

и

доступные

для

понимания

учащихся вопросы, загадки, создаваться атмосфера, возбуждающая активную

мысль учащихся. Учитель всегда может выявить силу возникшего интереса к

математике,

желание

работать

на

уроке.

Она

выражается

в

той

настойчивости, которую проявляют ученики в процессе решения логических

задач,

выполнения

различных

заданий,

связанных

с

решением

математических проблем.

Методы решения. При решении логических задач используются ряд

различных

методов.

Рассмотрим

несколько

основных

методов

решения

логических задач:

1. Метод поиска родственных задач.

Если задача трудна, то надо попытаться найти и решить более простую

«родственную задачу». Это дает ключ к решению исходной задачи. При этом

полезно:

- рассмотреть частный (более простой) случай, а затем обобщить идею

решения;

- разбить задачу на подзадачи;

- обобщить задачу (например, заменить конкретное число переменной);

- свести задачу к более простой.

2. Метод «доказательства от противного».

Рассуждают примерно так: «Допустим, исходное утверждение неверно.

Если из этого получили противоречие, то исходное утверждение верно».

5

3. Метод «четно - нечетно».

Многие задачи легко решаются, если заменить, что некоторая величина

имеет определенную четность. Из этого следует, что ситуации, в которых

данная величина имеет другую четность, невозможны. Иногда эту величину

надо

«сконструировать»,

например,

рассмотреть

четность

суммы

или

произведения, разбить объекты на пары, заметить чередование состояний,

раскрасить объекты в два цвета и т.д.

4. Метод «причесывания задач».

Можно

решать

задачу,

как

придется,

а

можно

предварительно

преобразовать ее к удобному для решения виду: переформулировать условие

на более удобном языке (например, на чертеже), отбросить простые случаи,

свести общий случай к частному. Такие преобразования сопровождаются

фразами: «в силу четности», «для определенности», «не нарушая общности».

5. Метод рассуждений.

В методе рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие

записи, умение выбирать информации и пользоваться правилом перебора.

6. Метод круги Эйлера.

Круги

Эйлера

с

успехом

применяются

в

логических

задачах

для

изображения

множеств

истинности

высказываний

и

во

многих

других

случаях. Изображения условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило,

упрощает и облегчает путь и ее решению.

Эвристические приемы решения логических задач.

При

решении

логических

задач

используют

и

ряд

эвристических

приемов, которые могут быть сформированы у школьников V — VI классов

на уроках математики.

7. Прием конкретизации задачи.

Прием конкретизации состоит в нахождении частных случаев общей

задачи

путем

введения

дополнительных

видовых

свойств

явлений.

6

Рассмотрим этот прием на задаче, содержащей ложные высказывания.

8. Прием переструктурирования задачи.

Переструктурирование

заключается

в

изменении

расположения

уже

имеющихся

элементов

задачи

путем

их

перестановки

или

перегруппировки.

9. Прием разбиения задачи на части.

Если

в

задаче

можно

выделить

самостоятельные

части,

то

целесообразно сформулировать их отдельно по очереди.

10. Приемы моделирования.

Моделью

некоторого

объекта А

называется

объект В,

в

каком-то

отношении подобный оригиналу А, но не совпадающий с ним. Все обучение

математике связано с изучением различных математических моделей: число,

функция,

уравнение,

геометрические

фигуры

и

т.д.

Однако,

работая

с

моделями,

изучая

их,

учащиеся

не

осознают

свою

деятельность

в

этом

аспекте.

А

школьники

должны

научиться

изучать

какие-то

явления

с

помощью моделирования. Это существенно изменит отношение школьников

к учебных занятиям.

В

пятых

-

шестых

классах

мы

предлагаем

обучать

приемам

моделирования на таких доступных школьникам примерах, как таблицы,

схемы,

графы

и

т.п.

Эти

примеры

имеют,

быть

может,

не

столько

математическое,

сколько

общеинтеллектуальное,

эвристическое

значение.

Рассмотрим различные приемы моделирования на конкретных задачах.

1) Прием моделирования на полупрямой.

Если в задаче имеется множество объектов и требуется установить

взаимоотношение

между

элементами

этого

множества,

то

задачу

можно

решать на полупрямой.

Помогать ученику - одна из наиболее важных обязанностей учителя.

Учитель должен помогать, но не слишком много и не слишком мало, если

помощь учителя чрезмерна, то на долю ученика ничего не остается, но если

7

он оставлен наедине с задачей, без помощи или помощь недостаточна, то это

не приведет никакой пользы ученику. Кроме того, учитель должен подобрать

такие задачи, чтобы она вызвала у детей интерес и желание заниматься

математикой. Поэтому задачи для 5-6 классов целесообразно подбирать по

тематике более близкие к программному материалу. В задачах должен быть

элемент

занимательности,

новизны,

оригинальности

и

своеобразности.

Прежде

чем

решать

логические

задачи,

надо

научить

учащихся

анализировать, сравнивать, синтезировать и обобщать.

Для решения задачи требуется 3 этапа:

1. Понимание постановки задачи. Нужно ясно понять условие задачи.

•

Что

известно?

Что

дано?

Возможно

ли

удовлетворить

условию?

Достаточно ли условие для определения неизвестного или недостаточно?

Сделайте схему (чертеж). Введите обозначения. Разделите условие на части.

2. Составление плана решения

Нужно найти связь между данными и неизвестными. Если не удается

обнаружить

эту

связь,

то

надо

рассмотреть

вспомогательные

задачи.

В

конечном счете необходимо прийти к плану решения задачи.

•

Известна

ли

вам

какая-нибудь

родственная

задача?

Рассмотрите

неизвестное.

И

постарайтесь

вспомнить

знакомую

задачу

с

тем

же

или

подобным неизвестным. Допустим, у вас есть родственная задача и уже

решенная. Можно ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод

ее

решения?

Можно

ли

ввести

вспомогательный

элемент,

чтобы

стало

возможно воспользоваться прежней задачей?

Если не удается решить эту задачу, попытайтесь ее сначала решить

исходную.

Нельзя

ли

придумать

более

доступную

сходную

задачу?

Аналогичную задачу? Нельзя ли решить часть задачи? Сохраните только

часть условия, отбросив остальную часть: насколько определенным окажется

тогда неизвестное. Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя

ли изменить неизвестное, или данные, или и то и другое так, чтобы новое

неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?

8

Все ли данные вами использованы? Все ли условия?

3. Осуществление плана

Нужно осуществить план решения задачи.

• Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли

всем, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он

правилен?

4.

Взгляд

назад

(Изучение

полученного

решения). Нужно

изучить

найденное решение.

• Нельзя ли проверить ход решения и результат? Нельзя ли получить

тот же результат иначе? Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать

полученный результат или метод решения?

Логические задачи можно применить на уроках математики при смены видов

деятельности, при изучении любой темы на этапе закрепления пройденного

материала

или

на

этапе

ознакомления

с

новым

материалом,

для

снятия

усталости или как дополнительное задание и самостоятельной и домашней

работах.

В данной статье приведены несколько примеров, где можно использовать

логические задачи на уроках математики в 5 и 6 классах.

Тема «Порядок выполнения действий» 5 класс

Эти

задачи

можно

включить

на

этапе

ознакомления

с

новым

материалом для мотивации изучения новой темы.

Задача: Олег, Игорь и Коля учатся в одном классе, среди них есть

лучший математик, лучший художник и лучший пловец в классе. Известно,

что:

1 . Лучший художник не рисовал своего портрета, но рисовал портрет

Игоря;

2. Коля никогда не уступал мальчикам в плавании.

Решение:

1) Понимание постановки задачи. Нам известны имена трех учащихся и

9

их номинации. Надо определить кто лучший математик, художник и

пловец.

2)

Составление

плана

решения.

Мы

будем

решать

эту

задачу

двумя

методами. Методом рассуждений и методом таблиц.

а) Метод рассуждений.

Из первого условия следует, что Игорь не художник. Значит Игорь либо

математик, либо пловец, а художником могут быть Олег и Коля. Из второго

условия известно, что Коля - пловец. Значит Игорь математик, а Олег -

художник.

б) Метод таблиц. Рисуем таблицу 4х4:

Имена

Художник

Математик

Пловец

Олег

+

-

-

Игорь

-

+

-

Коля

-

-

+

Из первого условия мы знаем, что Игорь не художник. На пересечении

столбца «художник» и строки «Игорь» ставим « - ».

Из

второго

условия

известно,

что

Коля

спринтер.

Ставим

на

пересечении строки «Коля» и столбца «Пловец» « + », а в остальных клетках

строки «Коля» « - », « - ». Из таблицы видно, что художником может быть

только Олег, а математиком - Игорь. Ставим «+».

4. Изучение полученного решения. Мы решили эту задачу двумя методами.

Какой метод вам понравился? Решите следующую задачу методом, который

вам понравился?

Задача: Три клоуна Бим, Бом и Бам вышли на арену в красной, зеленой

и синей рубашках. Их туфли тех же трех цветов. У Бима цвета рубашки и

туфель совпали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в

зеленых туфлях, но в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

10

Тема «Сложение натуральных чисел» 5 класс

Эта задача дается для снятия усталости в середине урока.

Задача: 5 мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое

из них нашли грибов поровну.

1. Анализ условия задачи. Нам известно, что пять мальчиков собрали

девять грибов.

2.

Составление

плана

решения.

Докажем

методом

«доказательств

от

противного».

3. Осуществление плана. Пусть все мальчики нашли разные количество

грибов. Тогда I мальчик нашел 1 гриб, второй - 2, третий - 3, четвертый

-4, пятый ничего не нашел. Сложим все грибы 1+2+3+4+0=10. А это

противоречит

условию

задачи.

Значит,

хотя

бы

двое

из

мальчиков

нашли грибов поровну.

Тема «Уравнение» 5 класс.

Эта задача дается для закрепления поденного материала.

5 винтиков, 2 шпунтика и 3 гаечки весят столько же, сколько весят один

винтик, семь шпунтиков и 4четыре гаечки. Что тяжелее: винтик или

шпунтик?

Решение:

массу

одного

винтика,

одного

шпунтика

и

одной

гаечки

обозначим

В,

Ш

и

Г.

тогда

верно

равенство

5В+2Ш+3Г=В+7Ш+4Г,

из

которого следует, что верно равенство 4В=5Ш+Г. это означает, что 4В>5Ш,

но тогда 4В>4Ш, то есть В>Ш. Итак, винтик тяжелее шпунтика.

Тема «Умножение натуральных чисел» 5 класс.

Эта задача дается для закрепления пройденного материала.

Задача: В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли в этой школе такой

класс, в котором не менее 35 учеников.

Решение: Если предположить, что в каждом классе меньше, чем 35

учеников,

то

всех

учеников

в

школе

было

бы

не

более

34х33=1122.

В

11

действительности же в школе 1150 учеников. Значит, сделанное допущение

неверно: есть классы, в котором не меньше 35 учеников.

Тема «Сложение и вычитание чисел с разными знаками» 6 класс.

Эти задачи можно включить на этапе закрепления пройденного материала.

Задача 1: Решить числовой ребус

АААА-ВВВ+СС-Д=1АЗА.

(одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными разные).

Ответ: 2222 - 999 + 11 - 0 - 1234

Задача 2: Самым рациональным способом найдите значение выражения.

б(2в-3с)+7(9а-4в)-9(в-2с)+11(-3в+8а)+171с при а=2 в=19 с=3 Ответ: 0.

Тема «Признаки делимости» 6 класс.

1. Ознакомление с новым материалом.

Задача. Коля принес несколько коробок с яйцами по 10 яиц в каждой коробке.

Может ли быть так, что он принес 32 яйца. 43, 50? Учащиеся устно отвечают

на вопросы и сами выявляют признак делимости числа на 10.

2. Закрепление пройденного материала.

Задача 2. Найти число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении

на 3-2, при делении на 4-3, при делении на 5-4.

Решение:

1)

Анализ

условия

задачи:

Нам

известны

признаки

делимости

чисел на 2, 3, 4 и 5. Надо найти такое число, которое удовлетворяет всем

условиям

задачи.

2)

Составление

плана

решения.

Решение

методом

рассуждений.

3)

Осуществление

плана.

Из

первого

условия

известно,

что

это

число

нечетное. Из четвертого условия следует, что это число оканчивается цифрой

1 или 9. Нам надо подобрать такое число, которое оканчивается цифрой 1 или

9 и при делении на 3 дало остаток 2, при делении на 4-3.

Рассмотрим числа, которые при делении на 4 дают в остатке: 3: 7,11, 15, 19,

23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59 и т.д. Выберем из этих чисел такие,

которые оканчиваются цифрой 1 и 9: 11, 19, 31, 39, 51 и т.д. Из выбранных

12

чисел ищем такое число, которое при делении на 3 дает в остатке число 2.

Это число 59.

4) Изучение полученного результата.

59=2х29+1 59=3х19+2

59 = 4 х 14 + 3 59 = 5 х 11 + 4. Ответ верный. Первое условие «при

делении на 2 дает в остатке I», лишнее, т.к. из последнего условия видно, что

это число нечетное.

Тема «Обыкновенные дроби» 6 класс.

Эта задача дается для закрепления пройденного материала.

Задача. Как, не пользуясь измерительными инструментами, от шнура длиной

2/3 м отрезать 1/2 м?

Решение: шнур надо перегнуть пополам. Половину перегнуть пополам и

отрезать четверть шнура. Длина этой четверти шнура равна 1/4*2/3=1/6 м.

после отрезания этой части шнура длина оставшейся части составляет 2/3-

1/6=1/2 м .

Тема «Решение уравнений» 6 класс

Эта задача дается при повторении для того, чтобы вызвать интерес учащихся

к данной теме.

Задача. Если припишем к двузначному числу цифру 7 сначала слева, а потом

справа,

то

разность

получившихся

трехзначных

чисел

будет

равно

351.

Найдите двузначное число.

Решение: Пусть х – данное двузначное число. Если припишем к нему цифру

7 слева, то получим число 700+х. если припишем к нему цифру 7 справа, то

получим

число

10х+7.

По

условию

задачи

разность

получившихся

трехзначных чисел равна 351.

Рассмотрим два случая и составим уравнение.

700+х-(10х+7)=351 и 10х+7-(700+х)=351

Решив первое уравнение, получим х=38, а корень второго уравнения

-

13

трехзначное число 116. Так как искомое число двузначное, то второй случай

невозможен. Итак, искомое число 38.

Таким образом, для развития интереса учащихся к математике необходимо

включить в процессе обучения решение логических задач. Кроме того, с их

помощью

дети

учатся

анализировать

условие

и

решение

каждой

задачи,

подобрать подходящий метод для их решения.

Они включаются на уроках

математики

при

ознакомлении

с

новыми

материалами

для

мотивации

познавательной

деятельности

учащихся,

при

закреплении

для

повышения

интереса к изучению данной темы и при снятии усталости в середине урока.

Логические задачи являются частью нашей жизни, т.к. с их помощью человек

учится правильно мыслить и рассуждать. Если учащиеся без труда решают

логические задачи, то они вполне могут справиться с любыми текстовыми и

другими задачами.

14