Методическая разработка по математике.

По теме: Методологические основы построения содержания

школьного курса математики 10-11 классов.

Кулиняк Оксана Николаевна,

учитель математики

МКОУ Манушкинской СОШ

Чеховский городской округ

Московской области

2017г

Содержание

.

1)

Примеры предметных результатов по теме: Параллельность прямых и

плоскостей (из ПООП СОО).

2)

Логико-математический анализ понятий и теорем темы: Параллельность

прямых и плоскостей.

3)

Примеры исправления ошибок.

1)

Примеры предметных результатов по теме: Параллельность прямых

и плоскостей.

Предметные результаты освоения основной образовательной программы

устанавливаются для учебных предметов на базовом и углубленном уровнях.

Предметные результаты освоения основной образовательной программы для

учебных предметов на базовом уровне ориентированы на обеспечение

преимущественно общеобразовательной и общекультурной подготовки.

Предметные результаты освоения основной образовательной программы для

учебных предметов на углубленном уровне ориентированы преимущественно на

подготовку к последующему профессиональному образованию, развитие

индивидуальных способностей обучающихся путем более глубокого, чем это

предусматривается базовым курсом, освоением основ наук, систематических

знаний и способов действий, присущих данному учебному предмету.

Предметные результаты освоения интегрированных учебных предметов

ориентированы на формирование целостных представлений о мире и общей

культуры обучающихся путем освоения систематических научных знаний и

способов действий на метапредметной основе.

Предметные результаты освоения основной образовательной программы должны

обеспечивать возможность дальнейшего успешного профессионального обучения

или профессиональной деятельности. Предметные результаты изучения

предметной области «Математика и информатика» включают предметные

результаты изучения учебных предметов:

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» (базовый

уровень) – требования к предметным результатам освоения базового курса

математики должны отражать:

1) сформированность представлений о математике как части мировой культуры и

о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на

математическом языке явлений реального мира;

2) сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших

математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и

явления; понимание возможности аксиоматического построения математических

теорий;

3) владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять,

проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

4) владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных,

показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их

систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска

пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

5) сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах

математического анализа;

6) владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических

фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на

чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение

изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических

задач и задач с практическим содержанием;

7) сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих

вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об

основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и

оценивать вероятности наступления событий в простейших практических

ситуациях и основные характеристики случайных величин;

8) владение навыками использования готовых компьютерных программ при

решении задач

Геометрия



Оперировать на базовом уровне

понятиями: точка, прямая,

плоскость в пространстве,

параллельность и

перпендикулярность прямых и

плоскостей;



распознавать основные виды



Оперировать

понятиями: точка,

прямая, плоскость

в пространстве,

параллельность и

перпендикулярност

ь прямых и



Владеть геометрическими понятиями

при решении задач и проведении

математических рассуждений;



самостоятельно формулировать

определения геометрических фигур,

выдвигать гипотезы о новых свойствах и

признаках геометрических фигур и

многогранников (призма,

пирамида, прямоугольный

параллелепипед, куб);



изображать изучаемые фигуры

от руки и с применением

простых чертежных

инструментов;



делать (выносные) плоские

чертежи из рисунков простых

объемных фигур: вид сверху,

сбоку, снизу;



извлекать информацию о

пространственных

геометрических фигурах,

представленную на чертежах и

рисунках;



применять теорему Пифагора

при вычислении элементов

стереометрических фигур;



находить объемы и площади

поверхностей простейших

многогранников с применением

формул;



распознавать основные виды

тел вращения (конус, цилиндр,

сфера и шар);



находить объемы и площади

поверхностей простейших

многогранников и тел вращения

с применением формул.

В повседневной жизни и при

изучении других предметов:



соотносить абстрактные

геометрические понятия и

факты с реальными

жизненными объектами и

ситуациями;



использовать свойства

пространственных

геометрических фигур для

решения типовых задач

практического содержания;



соотносить площади

поверхностей тел одинаковой

формы различного размера;



соотносить объемы сосудов

одинаковой формы различного

размера;



оценивать форму правильного

многогранника после спилов,

срезов и т.п. (определять

количество вершин, ребер и

граней полученных

многогранников)

плоскостей;



применять для

решения задач

геометрические

факты, если

условия

применения заданы

в явной форме;



решать задачи на

нахождение

геометрических

величин по

образцам или

алгоритмам;



делать (выносные)

плоские чертежи из

рисунков объемных

фигур, в том числе

рисовать вид

сверху, сбоку,

строить сечения

многогранников;



извлекать,

интерпретировать

и преобразовывать

информацию о

геометрических

фигурах,

представленную на

чертежах;



применять

геометрические

факты для решения

задач, в том числе

предполагающих

несколько шагов

решения;



описывать

взаимное

расположение

прямых и

плоскостей в

пространстве;



формулировать

свойства и

признаки фигур;



доказывать

геометрические

утверждения;



владеть

стандартной

классификацией

пространственных

фигур (пирамиды,

призмы,

параллелепипеды);



находить объемы и

площади

поверхностей

геометрических тел

с применением

формул;

обосновывать или опровергать их,

обобщать или конкретизировать

результаты на новых классах фигур,

проводить в несложных случаях

классификацию фигур по различным

основаниям;



исследовать чертежи, включая

комбинации фигур, извлекать,

интерпретировать и преобразовывать

информацию, представленную на

чертежах;



решать задачи геометрического

содержания, в том числе в ситуациях,

когда алгоритм решения не следует явно

из условия, выполнять необходимые для

решения задачи дополнительные

построения, исследовать возможность

применения теорем и формул для

решения задач;



уметь формулировать и доказывать

геометрические утверждения;



владеть понятиями стереометрии:

призма, параллелепипед, пирамида,

тетраэдр;



иметь представления об аксиомах

стереометрии и следствиях из них и

уметь применять их при решении задач;



уметь строить сечения многогранников с

использованием различных методов, в

том числе и метода следов;



иметь представление о скрещивающихся

прямых в пространстве и уметь находить

угол и расстояние между ними;



применять теоремы о параллельности

прямых и плоскостей в пространстве при

решении задач;



уметь применять параллельное

проектирование для изображения фигур;



уметь применять перпендикулярности

прямой и плоскости при решении задач;



владеть понятиями ортогональное

проектирование, наклонные и их

проекции, уметь применять теорему о

трех перпендикулярах при решении

задач;



владеть понятиями расстояние между

фигурами в пространстве, общий

перпендикуляр двух скрещивающихся

прямых и уметь применять их при

решении задач;



владеть понятием угол между прямой и

плоскостью и уметь применять его при

решении задач;



владеть понятиями двугранный угол,

угол между плоскостями,

перпендикулярные плоскости и уметь

применять их при решении задач;



владеть понятиями призма,

параллелепипед и применять свойства

параллелепипеда при решении задач;



владеть понятием прямоугольный

параллелепипед и применять его при



вычислять

расстояния и углы

в пространстве.

В повседневной жизни

и при изучении

других предметов:



использовать

свойства

геометрических

фигур для решения

задач

практического

характера и задач

из других областей

знаний

решении задач;



владеть понятиями пирамида, виды

пирамид, элементы правильной

пирамиды и уметь применять их при

решении задач;



иметь представление о теореме Эйлера,

правильных многогранниках;



владеть понятием площади поверхностей

многогранников и уметь применять его

при решении задач;



владеть понятиями тела вращения

(цилиндр, конус, шар и сфера), их

сечения и уметь применять их при

решении задач;



владеть понятиями касательные прямые

и плоскости и уметь применять из при

решении задач;



иметь представления о вписанных и

описанных сферах и уметь применять их

при решении задач;



владеть понятиями объем, объемы

многогранников, тел вращения и

применять их при решении задач;



иметь представление о развертке

цилиндра и конуса, площади

поверхности цилиндра и конуса, уметь

применять их при решении задач;



иметь представление о площади сферы и

уметь применять его при решении задач;



уметь решать задачи на комбинации

многогранников и тел вращения;



иметь представление о подобии в

пространстве и уметь решать задачи на

отношение объемов и площадей

поверхностей подобных фигур.



2)

Логико-математический анализ понятий и теорем темы: Параллельность

прямых и плоскостй. Общий анализ содержания теоретического

материала.

Параллельность прямых и плоскостей.

Параллельность прямых, прямой и

плоскости.

Параллельные прямые в пространстве.

Параллельность трех

прямых.

Параллельность прямой и плоскости.

Взаимное расположение

прямых в пространстве. Угол

между двумя прямыми.

Углы с сонаправленными сторонами.

Скрещивающиеся прямые

Угол между прямыми.

Параллельность плоскостей.

Параллельные плоскости.

Свойства параллельных плоскостей.

Задачи на построение сечений.

Тетраэдр.

Параллелепипед.

Тетраэдр и параллелепипед.

Блок-схема по последовательности предъявления теории темы в

учебнике.

Логический анализ:

Понятийный аппарат:

1.

Параллельные прямые;

2.

Параллельность прямой и плоскости;

3.

Скрещивающиеся прямые;

4.

Параллельные плоскости.

Утверждения темы:

1.

Теорема единственности существования параллельной прямой;

2.

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми;

3.

Теорема о параллельности двух прямых относительно третьей;

4.

Теорема о параллельности прямой и плоскости;

5.

Теорема о скрещивающихся прямых;

6.

Теорема

единственности

прохождения

плоскости

через

каждую

из

двух

скрещивающихся прямых;

7.

Теорема равенства углов сонаправленных сторон;

8.

Теорема параллельности плоскостей относительно пересекающихся прямых.

Правила и алгоритмы: будут введены в разработанной далее методике.

Анализ понятийного аппарата темы

Формулиров

ка

определения

Две прямые в

пространстве

называются

параллельными,

если они лежат в

одной плоскости

и не

пересекаются.

Прямая и

плоскость

называются

параллельными

, если они не

имеют общих

точек.

Две прямые

называются

скрещивающимися

, если они не лежат

в одной плоскости.

Две плоскости

называются

параллельными,

если они не

пересекаются.

Термин

Параллельные

прямые.

Параллельнос

ть прямой и

плоскости.

Скрещивающиес

я прямые.

Параллельные

прямые.

Видовые

отличия

Лежат в одной

плоскости и

пересекаются.

Прямая не

лежит в

плоскости.

Прямые не лежат

в одной плоскости

и не пересекаются.

Плоскости не

пересекаются.

Род

Прямые.

Прямая,

плоскость.

Прямые.

Плоскость.

Логические

связи между

видовыми

отличиями

Конъюнктивна

я

Дизъюнктивна

я

Конъюнктивная

Дизъюнктивна

я

Подведение

под понятие

Две различные

прямые,

лежащие в

плоскости могут

пересекаться в

одной точке,

либо не

пересекаться

Прямая может

пересекать

плоскость, либо

быть ей

параллельна

Расположение

прямых в

пространстве

Следствия из

определения

Через любую

точку

пространства, не

лежащую на

данной прямой

проходит

прямая,

параллельная

данной, и

притом только

одна.

Если прямая,

не лежащая в

данной

плоскости,

параллельна

какой-нибудь

прямой,

лежащей в этой

плоскости, то

она

параллельна

данной

плоскости.

1.Через каждую

из двух

скрещивающихся

прямых проходит

плоскость,

параллельная

другой прямой, и

при том только

одна.

2.Если одна из

двух прямых лежит

в некоторой

плоскости, а другая

прямая пересекает

эту плоскость в

точке, не лежащей

на первой прямой,

то эти прямые

скрещивающиеся.

Если две

пересекающиес

я прямые одной

плоскости

соответственно

параллельны

двум прямым

другой

плоскости, то

эти плоскости

параллельны.

Опорные

знания

Прямая,

плоскость.

Прямая,

плоскость.

Прямая,

плоскость.

Прямая,

плоскость.

Возможные

ошибки

Забывают

выделять, что

прямые

рассматриваютс

я в

пространстве,

также, что

прямые не

пересекаются.

Изображение

прямой к

плоскости под

небольшим

углом.

Изображение

прямых в одной

плоскости.

Изображение

плоскостей под

небольшим

углом

относительно

друг друга.

Эквивалентн

ые

определения

Нет.

Нет.

Нет.

Нет.

Рассмотрено

4

понятия

темы.

Все

понятия

темы

определены

формально-

логически, эквивалентных определений нет, опорными знаниями является понятия

плоскости и прямой.

Анализ утверждений темы

1.Формулировка

теоремы,

следствия

Через любую

точку в

пространстве, не

лежащую на

данной прямой,

проходит

прямая,

параллельная

данной, и при

том только одна.

Если одна из

двух

параллельных

пересекает

данную

плоскость, то и

другая прямая

пересекает эту

плоскость

Если две прямые

параллельны

третьей прямой,

то они

параллельны.

Если прямая,

не лежащая в

данной

плоскости,

параллельна

какой - нибудь

прямой,

лежащей в

этой

плоскости, то

она

параллельна

данной

плоскости.

2.структура

теоремы

2.1 разъясни-

тельная часть

Прямая и точка,

не лежащая в

пространстве.

Две прямые и

плоскость в

пространстве.

Три прямые в

пространстве.

Две прямые и

плоскость в

пространстве.

2.2 условие

Через любую

точку проходит

прямая.

Прямые

параллельны.

Две прямые

параллельны

третьей.

Одна прямая

не лежит в

плоскости,

другая прямая

лежит в

плоскости.

2.3 заключение

Прямая

параллельна

данной.

Прямые

пересекают

плоскость.

Прямые

параллельны.

Прямые

параллельны.

3.форма

утверждения.

Категоричная.

Импликативная.

Импликативная.

Категоричная.

4.вид теоремы

Сложная.

Сложная.

Сложная.

Сложная.

5.Достаточное

или

необходимое

условие

Достаточное.

Необходимое.

Необходимое.

Необходимое.

6.опорные

знания

Параллельные

прямые,

пересекающиес

я прямые в

пространстве.

Параллельные

прямые,

пересекающиеся

прямые в

пространстве.

Параллельные

прямые.

Параллельные

прямые,

прямая

параллельная

плоскости.

7.

Возможные

ошибки

Забывают при

формулировке

теоремы

выделить, что

«точка не лежит

на данной

прямой», «при

том только

одна»

Упускают при

формулировке

выделить, что

прямые

параллельны.

Упускают при

формулировке

выделить, что

«две прямые»

Пропускают

слово

«плоскость»,

что меняет

смысл

теоремы

Продолжение таблицы.

1.Формулировк

а

т е о р е м ы ,

следствия

Если одна из двух

прямых лежит в

некоторой

Через каждую из

двух

скрещивающихся

Е с л и

с т о р о н ы

д в у х

у г л о в

соответственно

Е с л и

д в е

пересекающихся

прямые

одной

плоскости, а другая

прямая пересекает

эту плоскость в

точке, не лежащей

на первой прямой,

то эти прямые

скрещивающиеся.

прямых проходит

плоскость,

параллельная

другой прямой, и

при том только

одна.

сонаправлены, то

такие углы равны

плоскости

соответственно

параллельны

двум

прямым

другой

плоскости, то эти

плоскости

параллельны.

2.структура

теоремы

2.1 разъясни-

тельная часть

Две прямые и

плоскость в

пространстве.

Две

скрещивающиес

я прямые и

плоскость в

пространстве.

Углы

и

стороны

углов.

Четыре

прямые

и две плоскости.

2.2 условие

Прямая лежит в

плоскости, прямая

пересекает

плоскость, прямые

не пересекаются.

Плоскость

проходит через

прямую.

Соответственные

сонаправленные

стороны.

Прямые

попарно

пересекаются в

плоскости и

соответственно

параллельны.

2.3 заключение

Прямые

скрещивающиеся.

Плоскость

параллельна

прямой.

Углы равны.

Плоскости

параллельны.

3.форма

утверждения.

Импликативная.

Категоричная.

Импликативная.

Импликативная.

4.вид теоремы

Сложная.

Простая.

Сложная.

Сложная.

5.Достаточное

или

необходимое

условие

Необходимое.

Достаточное.

Необходимое.

Необходимое.

6.опорные

знания

Прямая,

плоскость,

прямая

пересекает

плоскость,

скрещивающиеся

прямые.

Скрещивающиес

я

п р я м ы е ,

плоскость

параллельная

прямой.

Соноправленные

стороны, углы.

Пересекающиес

я

п р я м ы е ,

параллельные

прямые,

параллельные

плоскости.

7.

Возможные

ошибки

Забывают

проговаривать: «в

точке, не лежащей

на первой

Не выделяют

единственность

прямой,

забывают

Забывают слово

«соответственно

», пропускают,

что

Забывают

выделить. Что

прямые

пересекающиеся

прямой», путают

название

«скрещивающиеся

».

выделять, что

прямые

скрещивающиес

я.

рассматриваются

стороны двух

углов.

, так же, что

стороны

соответственные,

что меняет

смысл теоремы.

В данной теме рассмотрено 7 теорем и одна лемма; все утверждения приведены с

доказательством; две теоремы доказаны методом от противного. Две теоремы в

теме рассматриваются как признаки подобия треугольников, выражают

достаточные условия, а остальные как свойства и рассмотрены как необходимые

условия. Эти теоремы являются основой при обучении учащихся теме «

Параллельность прямых и плоскостей».

Анализ алгоритмов и правил темы.

Алгоритмы.

Параллельность прямой и плоскости.

Да

Нет

Да

Нет

а и α

Имеют хотя бы

одну общую

точку

Имеют более

одной общей

точки

Опорные знания: определения взаиморасположение прямой и плоскости в

пространстве.

Скрещивающиеся прямые.

Две прямые

Лежат в одной плоскости

Не лежат в одной плоскости

Имеют общие Не имеют

точки общих точек

Скрещивающиеся

Пересекающи- Параллельные

еся

Опорные знания:

определения взаиморасположение прямых в пространстве.

а

∈

α

а

∩

α

а

||

α

3) Примеры исправления ошибок.

Задание 8. На распознавание геометрических фигур (тел) и нахождение объёма

части призмы (пирамиды) для участников оказалось достаточно сложным

процент выполнения около 50 %. Ниже приведён пример такого задания.

Пример 6.

Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

, площадь

основания которой равна 6, а боковое ребро равно 7. Найдите объём мно-

гогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A

1

,B

1.

Выполнение около 40 %. Около 5 % не дали никакого ответа. Больше 10 %

учеников в ответе указали объём призмы, почти 20 % посчитали, что объём

пирамиды составляет половину от объёма призмы. Возможно, понадеялись, что

проведена диагональная плоскость.

Задание важное, показательное, так как оно проверяет сформированность

пространственных представлений. Более половины выпускников

продемонстрировали его отсутствие.

Разумеется, при отсутствии базовых пространственных представлений сложно

ожидать высокого процента выполнения стереометрического задания с полным

решением. Следует также отметить, что процент выполнения данного задания

существенно ниже, чем, например, формально гораздо более сложного задания с

полным решением уравнения и осуществления отбора корней. Это означает, что

низкий процент выполнения заданий по стереометрии вызван именно

существенными проблемами в преподавании стереометрии, зачастую

формальному характеру уроков, уклоном в вычислительные задачи, а в

некоторых школах, и существенному перекосу акцентов в сторону алгебры и

начал анализа. Следует подчеркнуть важность наличия геометрических знаний

для дальнейшего успешного обучения в инженерных вузах. В преподавании

геометрии очень важным является не только умение решать вычислительные

задачи с геометрическим содержанием (по формулам), но и формирование

геометрических представлений о фигурах (телах).

Геометрические задания повышенного уровня

К заданиям повышенного уровня относились задания 14 второй части

(стереометрия)

и 16 (планиметрия) с развёрнутым ответом. Задания проверяли умение выполнять

дейст-

вия с геометрическими фигурами. Оба задания содержали два пункта. В первом

пункте —

задание доказать, а во втором пункте — вычислить.

Пример 11.

В правильной треугольной призме ABCA1 B1 C1 сторона AB основания равна 6, а

боковое ребро AA1равно 3. На рёбрах AB и B1 C1 отмечены точки K и L

соответственно, причём AK=B1 L =2. Точка M середина ребра A1C1. Плоскость γ

параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой точка M, а основание — сечение

данной призмы плоскостью

�

.

Максимальный балл за верное выполнение этого задания 2 балла, который

получили около 5 % участников экзамена, правильно выполнили задание одного из

пунктов более 5 %. Наибольшие затруднения участники испытывали при

оформлении доказательства.

Самая распространённая ошибка заключалась в неверном применении признака

перпендикулярности прямой и плоскости. При выполнении второго пункта было

допущено большое количество вычислительных ошибок. Низкая успешность

выполнения этого задания свидетельствует о несформированности

пространственных представлений у выпускников.

1.

Подготовить опорный конспект по теме: Многогранники. Для отработки

теории по данной теме, подготовить карточки с пропущенными словами в

тексте и элементами в формулах.

Опорный конспект. Многогранники

Призма

Призмой называется многогранник, две грани которого n-угольники, а

остальные n граней — параллелограммы. Боковые ребра

призмы равны и параллельны.

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного

основания к плоскости другого основания, называется

высотой призмы. Отрезок, соединяющий две вершины призмы,

не принадлежащие одной грани, называется

диагональю призмы. Поверхность призмы состоит

из оснований и боковой поверхности призмы. Боковая

поверхность призмы состоит из параллелограммов.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой. В

противном случае призма называется наклонной.

У прямой призмы боковые грани – прямоугольники.

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если она прямая, и ее основания — правильные

многоугольники

Площадь поверхности и объём призмы

Пусть H — высота призмы,

— боковое ребро призмы,

— периметр основания

призмы,

площадь основания призмы,

— площадь боковой поверхности призмы,

— площадь полной поверхности призмы,

- объем призмы,

— периметр

перпендикулярного сечения призмы,

— площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда

имеют место следующие соотношения:

Для прямой призмы, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, площадь

боковой поверхности и объем даются формулами:

Параллелепипед

Параллелепипедом называется призма, основанием которой

является параллелограмм.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед,

называются его гранями, их стороны — ребрами, а вершины

параллелограммов — вершинами параллелепипеда. У

параллелепипеда все грани — параллелограммы.

Параллелепипеды, как и всякие призмы, могут быть

прямые и наклонные.

Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а

остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не

принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами.

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие

общих ребер — противоположными.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю

параллелепипеда.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется

прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани —

прямоугольники.

Длины не параллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными

размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три линейных размера.

Свойства параллелепипеда:

Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.



Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой

пополам.



Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.



Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его

измерений.



Пирамида

Пирамидой называется многогранник одна из граней которого является произвольным

многоугольником, а остальные грани — треугольники,

имеющие общую вершину.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к

плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Тетраэдр — это пирамида, в основании которой лежит

треугольник.

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его

гранями, их стороны — ребрами, а вершины — вершинами

тетраэдра. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин,

называются противоположными. Обычно выделяют одну из

граней тетраэдра и называют ее основанием, а остальные грани

называют боковыми гранями.

Правильным тетраэдром называют тетраэдр, у которого все ребра равны.

Правильной пирамидой называется такая пирамида, основание которой— правильный

многоугольник, а основание высоты пирамиды совпадает с центром этого многоугольника.

Прямая, содержащая высоту правильной пирамиды, называется ее осью.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Свойства правильной пирамиды:

1.

Боковые ребра пирамиды равны.

2.

Боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию пирамиды.

3.

Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания

пирамиды.

4.

Высоты всех боковых граней пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны, а

высота пирамиды лежит внутри пирамиды.

5.

Все двугранные углы при основании пирамиды равны.

6.

Вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание

пирамиды.

7.

В правильной треугольной пирамиде противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Замечание:

1.

Если боковые ребра пирамиды равны между собой, то в основании лежит

правильный многоугольник, вокруг которого можно описать окружность, а

вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.

2.

Если двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то в

основании пирамиды лежит многоугольник, в который можно вписать окружность,

а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.

Площадь поверхности и объём пирамиды

Пусть

— высота пирамиды,

— периметр основания пирамиды,

— площадь

основания пирамиды,

— площадь боковой поверхности пирамиды,

— площадь

полной поверхности пирамиды,

— объем пирамиды. Тогда имеют место следующие

соотношения:

Если все двугранные углы при основании пирамиды равны

, а высоты всех боковых граней

пирамиды, проведенные из вершины пирамиды, равны

, то

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные

многоугольники, и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны, все двугранные углы правильного многогранника

равны, все многогранные углы правильного многогранника равны. Существует ровно пять

выпуклых правильных многогранников:

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными

многоугольниками с одним и тем же числом сторон, и в каждой вершине многогранника

сходится одно и то же число ребер.

Все ребра правильного многогранника равны друг другу. Равны также все его двугранные углы,

содержащие две грани с общим ребром.

Грани правильного многогранника могут быть либо равносторонними треугольниками, либо

квадратами, либо правильными пятиугольниками. Действительно, угол правильного

-угольника

при

не меньше

. С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть

не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у

которого грани – правильные n-угольники при

, то сумма плоских углов при каждой

вершине такого многогранника была бы не меньше чем

. Но это невозможно, так

как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше

.

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо

трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех

правильных пятиугольников. Других возможностей нет.



Правильный тетраэдр (четырехгранник) — многогранник, составленный из четырех

правильных треугольников (рис.1а).



Правильный гексаэдр (шестигранник) или куб — многогранник, составленный из шести

правильных четырехугольников (квадратов) (рис. 1б).



Правильный октаэдр (восьмигранник) — многогранник, составленный из восьми

правильных треугольников (рис. 1в).



Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) — многогранник, составленный из

двенадцати правильных пятиугольников (рис. 1г).



Правильный икосаэдр (двадцатигранник) — многогранник, составленный из двадцати

правильных треугольников (рис. 1д).

2.

По рисунку определить вид многогранника.

3.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1

(2 балла)

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O- центр основания, S- верши-

на, SO=4, SC=5. Найдите длину отрезка AC.

Задание 2

(2 балла)

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S вершина, SO =

54, AC = 144. Найдите боковое ребро SA.

Задание 3

(2 балла)

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

известно, что BB

1

=16, A

1

B

1

=2, A

1

D

1

=8.

Найдите длину диагонали AC

1

.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе «Я

класс», школьный портал.