Разработка контрольной работы по теме «Введение в теорию

вероятностей» в 9-х классах средних общеобразовательных школах.

Автор: Учитель математики МБОУ Гимназия г. Обнинска Наумова Татьяна Михайловна

Пояснительная записка: Введение в теорию вероятностей – относительно новая тема,

обязательная для изучения в 9-х классах средних школ. В ОГЭ и ЕГЭ включены задания на

нахождение вероятностей случайных событий. Преподавание данной темы вызывает затруднение

в связи с недостаточным количеством методического материала, отсутствием готовых

самостоятельных и контрольных работ. Так, например, часто используемый учителями сборник

А.И.Ершовой, В.В.Голобородько вообще не содержит заданий по данной теме. Данная разработка

представляет итоговую контрольную работу по теме «Введение в теорию вероятностей» для 9-х

классов. В разработке представлены задачи, охватывающие все подтемы данной темы, а именно:

«Перестановки», «Размещения», «Сочетания», «Формула вероятности случайного события»,

«Умножение вероятностей», «Сложение вероятностей». Работа состоит из 10-ти задач и

рассчитана на 1 урок (45мин.) Также предлагаются комментарии и решения задач.

Цель работы: Проверка умения учащихся распознавать и применять основные формулы

комбинаторики, а также умения использовать классическую формулу определения вероятности.

Контрольная работа по теме: «Начальные сведения из теории вероятностей». 1 вариант.

1.

По пустыне идёт караван из девяти верблюдов. Сколькими способами можно сформировать этот

караван. Чтобы в середине всегда шёл один и тот же верблюд?

2.

Сколькими способами можно пять различных предметов разложить в три ящика, если в каждом

ящике может лежать не более одного предмета?

3.

Сколькими способами можно разложить 27 одинаковых слив в две вазы так, чтобы в одной

оказалось на 3 больше, чем в другой, если все сливы одинаковы по форме и размеру?

4.

Из 28-ми костей домино берут наугад две. Какова вероятность, что одна из них будет дублем, а

вторая – нет?

5.

Из натуральных чисел, не превосходящих 30, выбрали наугад одно число. Какова вероятность, что

это число окажется а) простым; б) кратным трём или одиннадцати?

6.

В коробке 5 белых шаров и 4 красных. Шары вытаскивают из коробки наугад. Какова вероятность

того, что все шары будут вытаскивать из коробки, чередуя цвета?

7.

В турнире участвуют 6 школьников и 8 студентов. Сколькими способами могут распределиться

места, занятые школьниками, если никто не набрал одинакового количества баллов?

8.

Игральный кубик бросают три раза. Какова вероятность того, что при первом выбрасывании

выпадет чётное число очков, при втором – кратное трём, а при третьем – пятёрка?

9.

В коробке 10 шоколадных конфет, четыре из которых с белой начинкой. Какова вероятность того,

что среди семи выбранных конфет три окажутся с белой начинкой?

10.

При стрельбе по мишени на полигоне вероятность попадания одного из двух орудий равна 0,8, а

другого – 0,75. Оба орудия выстрелили одновременно по одному разу. Какова вероятность, что

мишень будет поражена?

Контрольная работа по теме: «Начальные сведения из теории вероятностей». 2 вариант

1.

По реке плывёт 11 байдарок. Сколькими способами можно сформировать эту цепочку, чтобы

третьей всегда шла одна и та же байдарка?

2.

Сколькими способами можно 6 различных предметов разложить в 4 ящика, если в каждом

ящике может лежать не более одного предмета?

3.

Сколькими способами можно разложить 23 абсолютно одинаковые груши в две вазы, чтобы в

одной вазе оказалось на 5 груш больше, чем в другой?

4.

Из 40-ка ручек, 10из которых красного цвета, берут наугад две. Какова вероятность, что одна из

них будет красной?

5.

Из натуральных чисел, не превосходящих 27, выбирают наугад одно число. Какова вероятность

того, что а) это число окажется составным; б) кратным 4-м ил 13-ти?

6.

В ящике 4 белых и 5 красных шаров. Шары вытаскивают по очереди, не глядя в ящик. Какова

вероятность того, что не все шары вытащат, чередуя цвета?

7.

В турнире участвуют 7 мужчин и 4 женщины. Сколькими способами могут распределиться

места, занятые женщинами, если никто не набрал одинакового количества очков?

8.

Игральный кубик бросают 3 раза. Какова вероятность того, что при первом бросании выпадет

нечётное число очков, при втором – большее трёх, а при третьем - не 4?

9.

В вазе 11 гвоздик, из которых 4 красные. В темноте наугад вынимают 3 гвоздики. Какова

вероятность того, что хотя бы одна из них будет красной?

10.

При стрельбе по мишени на полигоне вероятность попадания одного из двух орудий равна 0,85,

а другого – 0,6. Оба орудия выстрелили одновременно по одному разу. Какова вероятность, что

мишень будет поражена?

Решения и комментарии:

1вариант.

1.

Один верблюд идёт на своём месте. Остальные выбираются 8! способами.

2.

Если предметы различны, то для первого мы можем выбрать 3 ящика, для второго – тоже 3,

и для третьего, и для четвёртого, и для пятого тоже 3 ящика. Итого,

3

5

=243.

3.

27 одинаковых слив в две вазы можно разложить только двумя способами(

12и15 или 15и12)

4.

Вероятность складывается из двух случаев: первая дубль, а вторая – нет и наоборот.

Понимая, что дублей 7, имеем:

7

28

∗

21

27

+

21

28

∗

7

27

=

7

∗

21

∗

2

27

∗

28

=

7

18

5.

Простых

чисел

10

(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29),

то

есть,

р=

1

3

,

кратных

трём

или

одиннадцати – 12. То есть, р = 0,4

6.

Чередуя цвета, шары можно вытащить только в том случае, если первым вытащить белый.

Тогда искомая вероятность равна

5

∗

4

∗

4

∗

3

∗

3

∗

2

∗

2

∗

1

∗

1

9

∗

8

∗

7

∗

6

∗

5

∗

4

∗

3

∗

2

∗

1

=

1

/

136

7.

Ищем количество размещений из 14 по 6, то есть,

14 !

8!

= 14*13*12*11*10*9

8.

Р=

1

∗

1

∗

1

2

∗

3

∗

6

=

1

/

36

9.

Нам требуется взять конфеты так, чтобы из четырёх с белой начинкой попались ровно 3, а

из шести не с белой начинкой попались остальные четыре. Итого, р=

С

3

4

∗

С

4

6

С

7

10

10.

Вероятность промахов обоих орудий равна 0,2*0,25=0,05. Тогда вероятность попадания

равна 1-0,05=0,95

2 вариант:

1.

Одна байдарка идёт на своём месте. Остальные выбираются 10! способами.

2.

Если предметы различны, то для первого мы можем выбрать 4 ящика, для второго –

тоже 4,…., и для шестого тоже 4 ящика. Итого, 4^6=4096.

3.

23 груши в две вазы можно разложить только двумя способами (12 и 11 или 11 и 12)

4.

Вероятность складывается из двух случаев: первая ручка красная, а вторая – нет и

наоборот.

Понимая,

что

красных

ручек

10,

имеем:

10/40*30/39

+

30/40*10/39

=

(10*30*2)/(39*40) = 5/13

5.

Составных

чисел

17

(4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27),

то

есть,

р=17/27,

кратных четырём или тринадцати – 8. То есть, р = 8/27

6.

Чередуя цвета, шары можно вытащить только в том случае, если первым вытащить

к р а с н ы й .

То г д а

и с к о м а я

в е р о я т н о с т ь

р а в н а

¿

¿

5*4*4*3*3*2*2*1*1)/

(9*8*7*6*5*4*3*2*1)=1/136. Тогда ответ 1-1/136=135/136

7.

Если никто не набрал одинакового количества очков, то у всех разный номер места.

Таким образом, количество вариантов равно количеству размещений из 11 по 4, то есть,

11!/7! = 11*10*9*8

8.

Р=(1*1*5)/(2*2*6)=5/24

9.

Нам требуется взять 3 гвоздики из 11 так, чтобы из четырёх красных попалась ровно 1, а

из семи не красных попались ровно две. Итого, р=(С

1

4

*С

2

7

)/(С

3

11

)

10.

Проще вычислить вероятность промахов обоих орудий. Она равна 0,15*0,4=0,06. Тогда

вероятность попадания равна 1-0,06=0,94.

Обнинск, 2018г