Методическая разработка

«Изучение темы:

«Пропорция» в 6 классе»

Преподаватель Мышкина М.Е.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………….3

Военный контекст в процессе преподавания …………………………..5

Решение задач ………………………………..…………………………..6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………..…………………………………………...13

ПРИЛОЖЕНИЕ……….…………………………………………………14

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………….………………………………22

2

ВВЕДЕНИЕ

Тема

«Отношения

и

пропорция»

служит

основой

для

решения

многих

задач

практического

характера,

задач

по

физике,

химии,

географии.

С

задачами,

решение

которых

сводится

к

составлению

пропорций, встречаются люди разных профессий. Прикладную роль темы

«Отношения и пропорция» следует раскрыть перед учащимися, решая

задачи из окружающей действительности.

Плохое знание темы «Пропорция» плохо сказывается на изучении

многих

тем

математики:

«Проценты»,

«Арифметические

действия

с

обыкновенными дробями», «Теорема Фалеса», «Подобие фигур», «Теорема

синусов» и др. Таким образом, трудными для изучения являются темы,

которые

базируются

на

идее

пропорциональности.

Поэтому

актуально

совершенствовать преподавание темы «Пропорция»

Операции с пропорциональными величинами: соответствие массы

купленного

товара

и

его

стоимости;

курс

рубля

к

доллару,

евро;

приготовление

раствора,

содержащего

определенное

количество

соли,

сахара и других веществ содержат каждодневные бытовые ситуации.

Немного истории:

Пропорциональные величины люди изучали давно. Еще в древности

было открыто золотое сечение. Пифагор символом своей школы, символом

здоровья и жизни считал пентаграмму (звездчатый

п я т и у г о л ь н и к ,

образованный

диагоналями

правильного

пятиугольника),

содержащую

разные пропорции. Евклид в своих «Началах» изложил полное учение

о

пропорциях.

Для

учащихся

данный

раздел

зачастую

становится

камнем

преткновения и довольно трудно поддается изучению. Основной причиной

данного явления считаются возрастные особенности организма детей 5-6

3

классов,

а

именно

слабо

развитое

пространственное

мышление,

для

активизации

которого,

активно

применяются

межпредметные

и

метапредметные знания. В частности связь с историей искусств. А именно,

сведения, касающиеся метода «золотого сечения», «чисел Фибоначчи» и

т.п.

Задачи, относящиеся к данной теме, решаются в пропедевтическом

плане

уже

в

начальной

школе.

Но,

несмотря

на

этот

факт,

учащиеся

средней

школы

не

овладевают

в

достаточной

степени

необходимыми

умениями для их решения.

Причин этому много:

-

недостаточная

работа

с

учащимися

по

раскрытию

связей

между

различными величинами,

-

отсутствие единого подхода к записи условия и решения задач на

уроках по разным предметам,

-

возрастные

особенности

организма

детей

5-6

классов,

а

именно

слабо

развитое

пространственное

мышление,

для

активизации

которого, активно применяются межпредметные и метапредметные

знания. В частности связь с историей искусств. А именно, сведения,

касающиеся метода «золотого сечения», «чисел Фибоначчи» и т.п.

Первичной задачей при изучении темы «Отношения и пропорции»

является

необходимость

научить

алгоритму

решения

задач

данного

раздела.

Глобальной

целью

данной

работы

является

использование

пропорций

для

последующего

изучения

курса

математики

и

других

дисциплин.

В

частности,

достаточное

внимание

должно

быть

уделено

решению с помощью пропорции задач на проценты.

4

«Как воздух математика нужна сегодня офицеру молодому…»

Задача

подготовки

защитников

Родины,

стоящая

перед

нами,

педагогами нахимовского училища, сложная и ответственная. Коллектив

педагогов

учитывает,

что

нахимовское

училище

является

средним

общеобразовательным учебным заведением и одновременно довузовским

учебным

заведением

Министерства

обороны

РФ.

Министр

обороны

требует

повысить

роль

военного

контекста

в

обучение

нахимовцев,

который был незаслуженно частично утерян в предыдущие годы. Поэтому

связь обучения по всем предметам, в частности по математике, с жизнью и

военным делом стала важным деловым профессиональным ориентиром

педагогов. Каждый преподаватель в училище должен пересмотреть как, с

помощью каких средств, методов и приемов привить каждому нахимовцу

чувство патриотизма, любовь к своей будущей профессии.

Так, например, я часто на своих уроках вместо задач из учебника,

предлагаю решать задачи, связанные с морской тематикой. Ниже приведу

примеры таких задач.

При

введении

понятия

«отношение»

рассматриваются

разные

способы

записи

и

чтения

отношений,

взаимно

обратные

отношения,

отношения одноименных величин и величин с разным наименованием.

Важно

зафиксировать,

что

при

нахождении

отношения

одноимённых

величин, величины должны быть выражены в одной и той же единице

измерения (№726)

№ 726.

Отношение a

к b

равно

2

7

. Найти обратное отношение.

Чему будет равно отношение m к n, если отношение n к m равно 1,25?

Решение: Отношение b к a равно 7 : 2=

7

2

=

3

1

2

= 3,5; отношение m к n

равно: 1 : 1,25=0,8.

Учащиеся

учатся

анализировать,

что

показывает

отношение.

Отношение

одноимённых

величин

есть

число,

которое

показывает

во

5

сколько раз первая величина больше второй величины, или какую часть

первая величина составляет от второй.

Например:

Задача

№1.Авианосец

имеет

две

палубы:

взлетную

и

технического обслуживания. Первая палуба имеет длину 90 м, вторая – 144

м. Найдите, какую часть обеих палуб составляет палуба технического

обслуживания; взлетная палуба. Какую часть длина технической палубы

составляет от длины взлетной?

Решение:

1)

90+144 =234(м) – длина двух палуб.

2)

90:234 =

90

234

=

5

13

(частей) – двух палуб составляет взлетная.

3)

1 4 4 :2 3 4

=

144

234

=

8

13

(частей)

–

двух

палуб

составляет

техническая.

4)

90:144 =

90

144

=

5

8

(частей) – составляет взлетная палуба от длины

технической палубы.

Ответ:

5

13

;

8

13

;

5

8

Задача №2

Кораблю надо перевезти груз из пункта А в пункт В.

Первую часть пути он уже прошел и она составляет

5

7

всего пути,

вторая – остальную часть. Во сколько раз часть пройденного пути больше,

чем оставшаяся?

Решение:

1)

1 -

5

7

=

2

7

(частей) – оставшаяся часть пути.

2)

5

7

:

2

7

= 2,5 (раз) – часть пройденного пути больше оставшейся

части.

6

Ответ: в 2,5 раза.

Умение

составлять

отношение

и

объяснять

его

смысл

готовит

учащихся к решению задач методом пропорций.

Например: Задача №1. На боевом корабле команда состоит из 360

человек. Из них 150 офицеров и мичманов, а остальные – матросы. Какую

часть команды составляют офицеры и мичманы, а какую – матросы? Чему

равно отношение числа матросов к числу офицеров и мичманов?

Решение:

1)

360 -150=210(уч.) – матросы.

2)

150 : 360 =

15

36

(частей) – офицеры и мичманы составляют от всей

команды.

3)

210 : 360 =

21

36

(частей) – составляют матросы от всей команды.

4)

210 : 150 =

21

15

=1

2

5

= 1,4 раза матросов больше, чем офицеров и

мичманов.

Ответ:

15

36

;

21

36

;

1,4.

Задача № 2.

Трем танкерам необходимо доставить для морских учений топливо.

В первый заправили 0,1 всего топлива, а во второй – 0,3 всего топлива, а в

третий – 0,6 всего топлива. Что показывает отношение:

а) 0,1 к 0,34 б) 0,1 к 0,6; в) 0,3 к 0,6; г) (0,3 + 0,1) к 0,6?

Решение:

а) В первом танкере топлива меньше в 3 раза, чем во втором;

б) в первом танкере топлива меньше в 6 раз, чем в третьем;

в) во втором танкере топлива меньше в 2 раза, чем в третьем;

г) в третьем танкере топлива больше в 1,5 раза, чем в первом

7

и втором танкерах вместе.

При нахождении отношения величин с разными наименованиями

образуется новая величина, единицей измерения её является дробь: км/ч;

м/с; руб./кг; кг/ дм

3

, узлы/час, мили/час.

Справочный материал (дается на уроке):

Единицей измерения расстояний на море является морская миля. Скорость

морского

судна

измеряют

узлами. Узел – единица измерения скорости,

равная

одной

морской

миле

в

час.

Применяется

в

мореходной

и

авиационной практике. 1узел = 1,852 км/ч (1 морская миля в час) или 0,514

м/с.

Историческая справка

Скорость, с которой корабль плывет по волнам, моряки определяют в

узлах. А почему она называется «узел»? Дело в том, что древние моряки,

для

измерения

скорости

движения

своего

корабля

пользовались

специальным приспособлением, которое они называли «лаг». Лаг в то

время представлял собой простое бревно с привязанной к нему веревкой.

По

всей

длине

этой

веревки

были

завязаны

узлы,

на

одинаковом

расстоянии друг от друга. Второй конец веревки был закреплен на борту

судна. Для измерения скорости, с которой плывет корабль, древний моряк

выбрасывал бревно-лаг за борт и считал, сколько узлов разматывающейся

веревки пройдет через его руки за определенный промежуток времени и по

их количеству определял скорость движения судна. А для ее обозначения

моряки в старину стали применять слово «узел», которое употребляется и

сегодня.

Например:

Что

показывает

отношение:

а)

пути,

пройденного

кораблем,

ко

времени

ее

движения;

б)

числа

обедов,

приготовленных

коком, ко времени его работы; в) объема прямоугольного параллелепипеда

к площади его основания?

Решение:

8

а) скорость корабля;

б) производительность труда кока;

в) высота параллелепипела.

Учащиеся учатся выражать отношение в процентах, т.е. находить

процентное отношение, понятие которого уточняется в следующих задачах.

№1. В роте 20 нахимовцев. Из них 4 нахимовца учатся на «5».

Сколько процентов нахимовцев роты составляют отличники?

Решение:

4 : 20 =

4

20

=

1

5

= 0,2= 20% - составляют отличники от всех нахимовцев

роты.

Ответ: 20%.

№2.

Из

70

подводных

лодок

флота

РФ

дизельных

–

21

штука.

Найдите, сколько процентов всех

лодок составляют остальные классы

подводных лодок.

Решение:

1)

70- 21 = 49(лод.) –остальных классов.

2)

49 : 70 =

49

70

=

0,7

=

70

- процентов подводные лодки остальных

классов.

Ответ: 70%.

Задача

№724

знакомит

учащихся

с

примерами

отношений

одноименных величин в геометрии и позволяет продолжить формировать

умение работать с определениями.

№724. Внутри угла АОС проведен луч ОВ так, что

¿

АОВ

=

56 °и

¿

ВОС

=

40° .

Какую часть угла АОС составляет угол АОВ; угол ВОС?

Выполните построение этих углов с помощью транспортира.

Решение:

9

1)

¿

АОС

=

56 °

+

40 °

=

96 °

2)

56 : 96 =

7

12

(часть) – составляет

¿

АОВ от

<

АОС

.

3)

40 : 96 =

5

12

(часть) – составляет

¿

ВОС от

<

АОС

.

Ответ:

7

12

,

5

12

.

На основе выведенного основного свойства пропорции учащиеся

формулируют

правила

нахождения

неизвестного

крайнего

члена

пропорции

и

неизвестного

среднего

члена

пропорции.

Эти

правила

позволяют решать быстрее многие уравнения, имеющие вид пропорции (в

том случае, если три члена пропорции известны) (№763).

№763. Решить уравнение:

у : 51,6 = 11,2 : 34,4

у =

51,6 ∙ 11,2

34,4

у =

516 ∙ 112

344

у = 16,8

Ответ: 16,8.

10

В данном курсе учащиеся знакомятся с преобразованием пропорций.

Наряду с простейшими ее преобразованиями (пропорция не нарушится,

если ее крайние (средние) члены поменять местами и др.) и комбинацией

преобразований,

с

учащимися

можно

рассмотреть

и

более

сложные

преобразования.

№765. Используя верное равенство 4

∙

9 = 0,2

∙

180, составьте

четыре верные пропорции.

Решение:

4 : 0,2 = 180 : 9; 0,2 : 4 = 9 : 180; 9 : 0,2 = 180 : 4; 0,2 : 9 = 4 : 180.

Сформированное

умение

преобразовывать

пропорции

готовит

учащихся

к

решению

задач

методом

пропорции

и

введению

понятий

прямой и обратной пропорциональной зависимости. Особое внимание при

решении таких задач уделяется «краткой записи», которая отражает умение

учащихся определять вид пропорциональной зависимости

(наличие

стрелочек),

а

так

же

помогает

записать

соответствующую

пропорцию.

Характерной чертой всех задач, относящихся к теме «Отношения и

пропорция» является то, что при их решении учащиеся руководствуются

дедуктивным

способом

мышления:

имеется

определенное

условие

взаимосвязи количественных соотношений двух величин и, исходя из этой

взаимосвязи, требуется определить другие количественные соотношения

тех же величин.

Приведу примеры:

1.Кок получил задание командира корабля сварить варенье из

малины, для которого надо взять 3 кг сахара на 4 кг ягод.

Сколько сахара потребуется коку, чтобы сварить 10 кг варенья?

Составляем таблицу:

Масса сахара (в кг)

Масса ягод (в кг)

11

3

х

4

10

Составляем пропорцию: 3:4=х:10, откуда х=

3∙ 10

4

, х=7,5.

Ответ: 7,5 кг.

Такая форма записи условия задачи и оформления ее решения доступна

всем учащимся, так как хорошо запоминается.

В процессе решения задач на пропорцию желательно рассмотреть и

такие задачи, для решения которых предварительно требуется найти

дополнительные данные.

1.

Долетит ли палубный вертолет авианосца, развивающий скорость

400 км/ч от корабля до сухопутной базы за 2ч?

Размышляя над этим вопросом, учащиеся обнаруживают, что в

условии не дано расстояние от корабля до сухопутной базы. Однако это

число (835 км) можно вычислить, пользуясь географической картой.

Составляем таблицу:

Время полета (в ч)

Расстояние (в км)

1

х

400

835

Составляем пропорцию: 1:400 = х:835, откуда , решая уравнение х

≈

2,09.

Ответ: 2,09 ч.

Применение пропорции упрощает ход решения многих задач.

Например, решая задачи на нахождение дроби от числа или числа по его

дроби, учащиеся нередко делают ошибки в выборе действия. Но если

научить их при решении таких задач применять пропорцию, то подобные

ошибки уже не появляются.

12

2.

Для приготовления ужина наряд матросов к 3ч дня начистил 60 кг

картофеля, что составляет

2

3

от нормы. Сколько картофеля они

должны были начистить по норме?

Составляем таблицу:

Число частей

Количество денег (в руб.)

2

3

60

х

Решение: 2: 60= 3:х, откуда х=90

Ответ: 90кг .

Можно

привести

много

задач,

при

решении

которых

применяется

пропорция. Это задачи на смеси, сплавы, растворы, коллективную работу,

расход зарплаты и т.д. Важно при этом не только уметь решать задачи с

готовым текстом, но и отвечать на практические вопросы с недостающими

данными. Подобные задачи развивают у учащихся логическое мышление,

приучают их пользоваться справочным материалом, заставляют глубже

изучать теоретический материал, превращают знания в

необходимый

элемент практической деятельности, а это важный компонент мотивации

учения.

Выполняя

такие

задания,

учащиеся

учатся

отвечать

на

возникающие

вопросы

с

помощью

знаний,

полученных

на

уроках

математики.

Таким

образом,

изучение

пропорциональности

величин

в

6

классе

является важнейшим условием для общего умственного развития ученика,

и для продолжения математического образования, и для изучения других

предметов,

и

для

подготовки

учащегося

к

повседневной

жизни

в

современных условиях.

13

Приложение

Приведем пример урока по теме: «Пропорция»

Тема: «Пропорции».

Тип урока: открытие новых знаний.

Цели урока:

1.

Ввести понятие «пропорция».

2.

Организовать

деятельность

учащихся

по

выведению

основного

свойства пропорции.

3.

Закрепить новые понятия.

4.

Формировать у учащихся умение применять свойство пропорции.

5.

Развивать

логическое

мышление

для

сознательного

восприятия

учебного материала.

6.

Развивать познавательный интерес к предмету.

7.

Прививать интерес к самостоятельной, активной деятельности.

Планируемые предметные результаты: учащиеся научатся записывать

пропорции,

проверять

полученные

пропорции,

определяя

отношения

чисел.

Формы работы учащихся: групповая – обсуждение и выведение правила:

что такое пропорция, как называют числа в пропорции, основное свойство

пропорции;

фронтальная

–

ответы

на

вопросы,

чтение

пропорции,

выделение

крайних

и

средних

членов

пропорции,

проверка

верности

пропорции;

индивидуальная

–

выполнение

заданий

№

1,

2,

3,

4,5

и

выполнение самостоятельной работы.

14

Современные

образовательные

технологии:

проблемное

обучение,

создание проблемной ситуации познавательного характера (теоретическое

мышление).

Ход урока.

I. Давайте вспомним, какая тема была на предыдущих уроках?

(Отношения)

Что такое отношение чисел?

(Частное двух чисел называют отношением этих чисел )

Приведите примеры отношения чисел.

(5 : 6 «отношение 5 к 6», …)

Сегодня мы продолжим работать с отношениями чисел и узнаем много

нового про них.

II. Устная работа (слайд 1).

1. Найдите отношение: а) 63 к 3; б) 4 к 20.

2. В роте 80 учащихся. Из них 10- отличники, остальные учатся на 3 и 4.

Какую часть нахимовцев составляют отличники, а какую, те,

которые учатся на 3 и 4?

3. Урок – 40 мин. Самостоятельная работа длилась 10 мин.

Какую часть урока заняла самостоятельная работа?

4.Развернутый угол разделили лучом на два угла в отношении 2 : 7.

Найдите эти углы.

III. Работа в тетрадях (работа в парах, помощь друг другу).

Выполнение заданий № 1, 2(слайд 2).

ЗАДАНИЕ № 1.

Саша и Дима бросали баскетбольный мяч в корзину. Саша из 26

бросков имел 13 попаданий, Дима из 30 бросков имел 15

попаданий.

Найдите

для

каждого

мальчика,

какую

часть

составляли

попадания от числа бросков и сравните их результаты.

Отношения равны, поэтому можно записать равенство:

15

13

26

=

15

30

или

13 : 26 = 15 : 30 (1)

ЗАДАНИЕ № 2.

Найдите отношения 10 сек к 2 мин и 2 ч к 1 суткам и сравните эти

отношения.

Отношения равны, поэтому можно записать равенство:

10

120

=

2

24

или 10 : 120 = 2 : 24 (2)

В этих двух заданиях мы получили равенство двух отношений.

Выполнение заданий №3

ЗАДАНИЕ № 3 (слайд 3).

Вычислите отношения и расшифруйте тему урока .

-Это новое понятие. Значит, какая у нас сегодня новая тема?

(пропорция)

-Запишите в тетрадь тему урока (слайд 4).

-Немного истории (слайды 5-6).

- Итак, равенства (1) и (2) – пропорции.

- В этих пропорциях участвуют числа.

- Попробуйте записать пропорцию с помощью букв а, b, с, d (слайд 8).

а : b = с : d или а = с

b d

- Прочитайте эти записи.

( «Отношение а к b равно отношению с к d»

или « а так относится к b, как с относится к d»)

Итак, в пропорции участвуют 4 числа.

Их принято называть членами пропорции.

16

- А в зависимости от их расположения в пропорции они могут быть

разбиты на две группы. Каким образом? Как бы вы назвали члены каждой

пары?

Вызвать

к

доске

4

чел.

(2

нахимовца

повыше,

2

нахимовца

пониже;

нахимовцы повыше – посередине, нахимовцы пониже – по краям).

- Как бы вы назвали расположение нахимовцев в ряду?

(нахимовцы повыше в середине, нахимовца пониже с краю)

- Вернёмся к пропорции. Как бы вы назвали члены каждой пары?

( Средние и крайние члены пропорции) (слайд 8)

- Назовите средние и крайние члены в (1) и (2) пропорциях(слайд 9).

Задание для 1 варианта: найдите произведение крайних членов

пропорций (1)

Задание для 2 варианта: найдите произведение крайних членов

пропорций (2)

- Сделайте вывод

(Произведение

крайних

членов

равно

произведению

средних

членов

пропорции. Равенства (1) и (2) – верные).

- Итак, мы можем сказать, что это верные пропорции.

- Сделаем вывод (слайд 10).

В

верной

пропорции

произведение

крайних

членов

равно

произведению средних членов.

-Верно ли равенство 20 : 2 = 40 : 8? (нет)

- Можно сказать, что эта пропорция не верна.

-Найдите

произведение

крайних

и

средних

членов.

Попробуйте

сформулировать утверждение:

«Если произведение …, то пропорция …» (слайд 10)

Выполнение заданий №4,5 (слайд 11,12)

ЗАДАНИЕ № 4.

Среди равенств найдите пропорции и назовите их средние и крайние

члены:

17

а) 25 + 13 = 8 + 30 г) 90 : 3 = 5 • 6

б) 33 : 11 = 6 : 2 д) 3 : 4 = 6 : 8

в) 5 + 15 = 50 – 30 е) 10 : 5 = 20 : 4

ЗАДАНИЕ № 5.

1) Составьте верную пропорцию из данных отношений:

8 : 24 ; 7 : 28 ; 2 : 6 .

2) Пользуясь основным свойством пропорции, проверьте, верна ли эта

пропорция.

3) Верна ли пропорция 7 : 28 = 2 : 6 ? Почему?

IV. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА по карточкам

-Заполните пропущенные места в карточке.

(Приложение 1 – карточки с самостоятельной работой)

По окончании самостоятельной работы учащиеся меняются своими

работами, проверяют по образцу, ставят оценки:

«5» - за 9-10 «+»

«4» - за 7-8 «+»

«3» - за 5-6 «+»

(Приложение 2 – карточки с правильными ответами)

V. Подведение итогов урока:

- Что нового вы узнали на уроке ?

- Как называются члены пропорции?

- в чем заключается основное свойство пропорции?

VI. Домашнее задание:

П. 21, №760,761,762(а, б)

18

Приложение 1

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

№ 1. Укажите средние и крайние члены пропорции,

вычислите их произведения: 21 : 42 = 2 : 4 .

Средние члены

_________________________________

Их произведение

________________________________

Крайние члены

_________________________________

Их произведение

_______________________________

+

−

+

−

+

−

+

−

№ 2. Из данных отношений выберите те, из которых

можно

составить верную пропорцию:

6 : 4 ; 10 : 4 ; 9 : 6 .

6 : 4 =

_______________________________________

10 : 4 =

_______________________________________

9 : 6 =

_______________________________________

Верная пропорция:

_____________________________

+

−

+

−

+

−

+

−

19

№ 3. Пользуясь основным свойством пропорции,

проверьте,

верна ли пропорция:

а) 52 : 208 = 2 : 8

Решение:

______________________________________

______________________________________

Ответ: пропорция ( верна или не верна)

____________

б) 8 : 3 = 13 : 5

Решение:

______________________________________

______________________________________

Ответ: пропорция ( верна или не верна)

____________

+

−

+

−

Приложение 2

ПРОВЕРКА

самостоятельной работы.

ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ:

№ 1. Средние члены 42 и 2

Их произведение 84

Крайние члены 21 и 4

Их произведение 84

№ 2. 6 : 4 = 6 = 3

4 2

10 : 4 = 10 = 5

4 2

9 : 6 = 9 = 3

6 2

Верная пропорция 6 : 4 = 9 : 6

20

№ 3. а) Решение: 52 · 8 = 416 , 208 · 2 = 416

Ответ: пропорция верна.

б) Решение: 8 · 5 = 40 , 3 · 13 = 39

Ответ: пропорция не верна.

Скриншоты презентации к уроку:

21

Использованная литература:

1.

Программа. Планирование учебного материала. Математика. 5-6 классы

/ авт.-сост. В.И. Жохов. М.: Мнемозина, 2009. -31с.

2.

Учебник. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /

Н.Я. Виленкин и др. – 21-е изд., - М.: Мнемозина, 2007.

3.

Чесноков А.С., Нешков К.И.. Дидактические материалы по математике

для 6 класс. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1999. – 144 с.

4.

Боженкова Л.И. Алгебра в схемах, таблицах, алгоритмах: Учебные

материалы. Изд. 2-е испр. и доп. –М., Калуга: КГУ им. К.Э.

Циолковского, 2012. -56с.

5.

Математика 6 класс. Задания для обучения и развития учащихся. /

Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. – М.: Интеллект-Центр, 2004 – 104с.

6.

Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в

основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для

учителя/под ред. А.Г. Асмолова. - М.: Просвещение, 2010. - 159 с.

7.

Данилюк А.Я., Кондаков А.М., Тишков В.А.. Концепция духовно-

нравственного развития и воспитания личности гражданина России. -

М.: Просвещение, 2009. - 24 с.

8.

Федеральный государственный образовательный стандарт общего

основного образования / М-во образования и науки Рос. Федерации. –

М.: Просвещение, 2011. – 48 с

22

9.

Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5-9

классы: проект. – 3-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2011. – 64с. –

(Стандарты второго поколения).

23