Автор: Жук Вера Владимировна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ "СОШ № 1 им. Созонова Ю.Г."
Населённый пункт: г. Ханты-Мансийск, ХМАО - Югра
Наименование материала: методическая разработка
Тема: Подготовка к ОГЭ. Решение задач № 26
Раздел: среднее образование
Подготовка к ОГЭ. Решение задач высокого уровня сложности по геометрии № 26 из пособия Высоцкого И.Р. ОГЭ
2018. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ. Под ред. И.В. Ященко. – М.:
Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2018.
Повторить:
Свойство хорд
Свойство секущих, проведённых из одной точки
Касательная к окружности
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Вписанные углы
Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры
Свойство медианы, проведённой из прямого угла треугольника
Признаки подобия треугольников
Средняя линия трапеции
Сумма углов в треугольнике
Задача № 26, вариант № 2
На
стороне
ВС
остроугольного
треугольника
АВС
как на диаметре построена полуокружность,
пересекающая
высоту
АD
в
точке
М
,
АD
=
80 , МD
=
64
,
Н
- точка пересечения
высот
треугольника
АВС
. Найдите
АН
.
1)
Полуокружность пересекает
АС
в точке
Е
. Соединим
ВЕ
,
∠
ВЕС
опирается на диаметр
ВС
, значит,
∠
ВЕС
= 90˚,
ВЕ
– высота
Δ АВС
.
2)
Достроим до окружности и продлим
АD
за точку
D
.
АD
пересекает окружность в точке
F
.
3)
АС
и
АF
– секущие;
АЕ
⋅
АС
=
АМ
⋅
АF
4)
АD
⊥
ВС
,
ВС
– диаметр,
МF
– хорда.
ВС
делит хорду
МF
пополам,
DF
=
МD
=
64
.
5)
Δ АЕН
~
Δ АDС
(по двум углам)
АН
АС
=
АЕ
АD
;
АН
⋅
АD
=
АС
⋅
АЕ
6)
Из п.п. 3 и 5, получим,
АМ
⋅
АF
=
AH
⋅
AD
16
⋅
144
=
х
⋅
80
х
=
16
⋅
144
80
х
=
28 ,8
Ответ: 28,8
Похожие задачи в вариантах № 1; № 7; № 8; № 14.
Задача № 26, вариант № 5
Углы
при
одном
из
оснований
трапеции
равны
80˚
и
10˚,
а
отрезки,
соединяющие
середины
противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.
1)
Продолжим боковые стороны
АВ
и
СD
до пересечения.
АВ
∩
СD
=
F
;
Δ АFD
-
прямоугольный.
2)
Пусть
ВС
=
2 х
,
АD
=
2 у
;
KE
- средняя линия трапеции
АВСD
,
KE
=
2 х
+
2 у
2
=
х
+
у
,
х
+
у
=
20.
3)
Δ ВFС
−
прямоугольный,
FP
- медиана,
FP
=
1
2
ВС
(по свойству),
FP
=
х
.
4)
Δ АFD
- прямоугольный,
FN
- медиана,
FN
=
1
2
АD
(по свойству),
FN
=
у
.
5)
PN
=
FN
−
FP
=
у
−
х
,
у
−
х
=
17 .
6)
х
+
у
=
20;
у
−
х
=
17
¿
{
¿ ¿ ¿
¿
2 х
=
3
;
2 у
=
37
Ответ: 37 и 3
Похожие задачи в вариантах № 4; № 6.
Задача № 26, вариант № 3
Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки
С
и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между
прямыми АВ и СD.
1)
АВ
⊥
ОО
1
;
СD
⊥
ОО
1
, значит,
АВ
||
СD
2)
ОО
1
=
25
+
100
=
125
3)
Проведём
АF
||
ОО
1
;
AFO
1
O
- параллелограмм;
Δ АСF
- прямоугольный,
АС
=
√
АF
2
−
СF
2
АС
=
√
125
2
−
75
2
=
√
(
125
−
75
)
(
125
+
75
)=
√
50
⋅
200
=
100
;
АF
∩
СD
=
М
;
АМ
- искомое
расстояние;
4)
Δ АСF
~
Δ АМС
(по двум углам)
АС
АМ
=
АF
АС
;
100
АМ
=
125
100
;
АМ
=
100
⋅
100
125
=
80
Ответ: 80
Похожие задачи в вариантах № 10; № 11; № 12; № 13.