Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Воронежской области

"Борисоглебский дорожный техникум"

Методические указания для практической

работы

На тему
:
« Нахождение производной сложной,

обратных функций».
1

Содержание.
Пояснительная записка………………………………………………………………………………….3 Понятие производной…………………………………………………………………………………..4 Производная сложной функции…………………………………………………………………….4 Производная обратной функции……………………………………………………………………5 Формулы дифференцирования……………………………………………………………………..5 Примеры………………………………………………………………………………………………………….6 Задания для практической работы…………………………………………………………………7 Литература…………………………………………………………………………………………………….17
Пояснительная записка.
2
Данная методическая разработка предназначена для преподавателей математики ведущих занятия по специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям), а также для студентов, обучающихся по данной специальности. Одной из ключевых тем изучения данного курса математики является « Дифференциальное исчисление». Понятие производной является одним из фундаментальных понятий математики. Многие задачи, как самой математики, так и естествознания, техники и экономики приводят к этому понятию, поэтому очень важно научиться находить производную различных функций, что бы потом использовать полученные навыки при решении других математических и экономических задач. В методической разработке приводятся понятия производной, производной сложной и обратных функций, таблица производных. Эта методическая разработка может быть использована как для подготовки к практической работе, так и для её выполнения. Показаны примеры решений. 3

Понятие производной.
Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х. Возьмём из этого промежутка фиксированное значение аргумента х и придадим ему приращение ∆х так, чтобы новое значение аргумента х+∆х принадлежало этому промежутку. Тогда значение функции f(x) заменится новым значением f(x)+ ∆y= f(x+∆x), т.е. функция получит приращение ∆y=f(x+∆x)-f(x). Предел отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента ∆х при стремлении ∆х к нулю, т. е. Ι ℑ ∆ y ∆ x = l ℑ f ( x + ∆ x ) − f ( x ) ∆ x , Называется производной функции y=f(x) по аргументу х в точке х. Производная обозначается одним из символов: y x ' , y ' , f ' ( x ) , ∆ y ∆ x . Операция нахождения производной называется дифференцированием. Если функция f(х) имеет производную в точке х, то она называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x)имеет производную в каждой точке промежутка Х, то говорят. Что эта функция дифференцируема на этом промежутке.


Производная сложной функции.
Пусть функция y=f(и),где u является не независимой переменной, а функцией независимой переменной х: u = φ (х).Таким образом, y=f( φ (x)). В этом случае функция y называется сложной функцией х, а переменная u - промежуточным аргументом. Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если y=f(x) и u = φ (х) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f( φ (x)) существует и равна произведению производной функции y по 4
промежуточному значению и на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной x: y x ' = y u ' u x ' . Эта теорема распространяется и на сложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.
Производная обратной функции.
Теорема. Если функция y=f(x) обратима на интервале (a;b) и имеет отличную от нуля производную в некоторой точке х ∈ (a;b), то её обратная функция х= φ (y) дифференцируемая в соответствующей точке y y x ' = 1 x y ' . Дадим аргументу y обратной функции х= φ (y) некоторое приращение △ y ≠ 0. Тогда функция х= φ (y) получит некоторое приращение Δ х , которое в силу обратимости функции φ (y) так же отлично от нуля. Поэтому можно записать ∆ x ∆ y = 1 ∆ y ∆ x . Перейдём в этом равенстве к пределу при Δ γ ⟶ 0. Учитывая, что обратная функция так же непрерывна, при ∆ χ ⟶ 0 так же и ∆ γ→ 0. Но при ∆ χ ⟶ 0 предел правой части последнего равенства и равен 1 γ . Следовательно, существует предел и левой части этого равенства, который равен x y ' . Таким образом, x y ' = 1 y x ' ,т.е. y x ' = 1 x y ' . 5

Формулы дифференцирования.
Во всех приведённых ниже формулах буквами u и v обозначены дифференцируемые функции независимой переменной x : u = u ( x ), v = v ( x ), а буквами a , c , n - постоянные: 1. c l =0. 2. x ' =1. 3 . ( u± v ) ' = u ' ± v ' . 4. ( uv ) ' = u ' v + uv ' . 5 . ( cu ) ' = cu ' . 6.( u v )= u ' v − uv ' v ₂ . 7 . ( x n ) ' = nx n − 1 . 8 . ( √ x ) ' = 1 2 √ x . 9. ( sin ⁡x ) ' = cos x 10. ( co s x ) ' =− sin x . 11. tgx ¿ ¿ ¿ = 1 cos 2 x . 12 . ( ctg x ) ' = − 1 sin x . 13 e . (¿ ¿ x ) ' ¿ = e x . 14.( l nx ¿ = 1 x . 6
15. ( log a x ) ' = 1 x l na . 16. ( a x ) ' = a x l na . 17. ( arc sin x ) ' = 1 √ 1 − x 2 . 18 . ( arc cos x ) ' =− 1 √ 1 − x 2 . 19. ( arct g x ) ' = 1 1 + x 2 . 20.( arcctgx ¿ =- 1 1 + x 2 .
Пример 1.
Найти производную функции y =( x 3 − 5 x + 7 ) 9 . Решение. Данная функция является сложной степенной функцией y = u 9 , где u = x 3 -5 x +7. Поэтому − 5 x + 7 ( x 3 ¿ 9 ) ¿ y ' =¿ = 9 ( x 3 − 5 x + 7 ) 8 ∙ ( x 3 - 5 x + 7 ¿ ¿ ' =9( x 3 - 5 x + 7 ¿¿ 8 ∙ (3 x 2 -5).
Пример 2.
Найти производную функции 5 + 3 x − 2 x 2 y = 3 √ (¿) 2 ¿ . Решение. Эта функция является сложной степенной функцией, а именно y = u 2 3 ,где u =5+3 x -2 x 2 .Поэтому 7
y ' = ( 5 + 3 x − 2 x 2 ) ¿ ¿ ¿ = 2 3 ( 5 + 3 x − 2 x 2 ) 1 3 ∙ (5 + 3 x − 2 x 2 ¿¿ ' = 2 ( 3 − 4 x ) 3 3 √ 5 + 3 x − 2 x 2 .
Пример 3.
Найти производную функции y = arc sin x 5 . Решение. Данная функция является сложной обратной тригонометрической функцией y = arc sin u , где u = x 5 . Поэтому имеем y ' =( arc sin x 5 ¿¿ ' = 1 √ 1 − x 10 ∙ ( x 5 ) ' = 5 x 4 √ 1 − x 10 .


Задания

для

практической

работы

.



Найти

производные



следующих

функций

:



Вариант

-1 .


1
.
y = 6 arc sin x 2. y = arctge x 3. 2 x 2 ¿ y = 1 2 cos 4 ¿ -3) 4. y = √ 2 x 3 − 3 x 2 + 7

5. y = e c ο s x ∙ sinx 6. y = 10 3 x + 1
Вариант

-2.
1. y = l arctg √ x 2. y = arcc ο s ( 1 − x ) 8
3. y = 6 arcc ο sx 4. y ¿( x 2 + x √ 7 ) 7 5. y = √ cosl x 6. y = l n 5 ( x − 2 ¿
Вариант – 3.


1. y = √ arctx 2. y = arcc ο s 2 x 3. y = l − 3 x 2 + 1 4. y = l n 3 x 5. y = 2 cos x 3 6. y = l 5 x ∙ x 7
Вариант-4.


1. y = arctg √ x √ x + 1 2. y = arcc sin 2 x 3. y = sin ⁡x 3 4. y =( x 9 + 1 ) 3 5. x 3 ¿ y = sin ¿ + 4 x ) 6. y = √ x 2 + 2 x + 2 9
Вариант -5. 1. y = arc sin √ 2 x 2. y = e arctg 2 x 3. y =( 1 + 3 x ) 8 4. y = l n cos x 5. y = 2 cos3 x 6. y = l tg 3 x
Вариант-6.
1. y = arctg 1 x 2. y = arc cos x 2 3 . y =( 7 x 3 − 3 x 7 ) 173 4. y = sin 3 x 5. y = √ x 3 − 3 x 6. y = l n x 2
Вариант-7.
1. y = 1 3 x 3 arctgx − 1 6 x 2 2. y = arc sin 1 x 3. y = l n 5 x 10
4. y =( 5 x 2 − 1 ) 8 5. y = l x 2 6. y = si n 3 x
Вариант-8.
1. y = arctg 3 x 2. arc sin x ¿ ¿ y =¿ 3. y = tg ( 4 x + 1 ) 4. y =( x 9 + 1 ) 3 5. y = x ∙ √ x + 1 6. y = 2 l nx
Вариант-9.
1. y = arc sin √ l x 2. y = l n l arc sin x 3. y =( x − 1 ) 100 4. y = l √ x 5. y = cos ( 4 x − 5 ) 6. y = 3 ∙ 5 x 2 − 1
Вариант-10.
1. y = arc sin x 2 11
2. y = x ∙ arctg 2 x 3. y =( 3 t − 2 ) 3 4. y = 2 x √ x − 1 5. y = sin ( 15 x − 3 ) 6. y = l x + l − x l x − l − x
Вариант-11.
1. y = arc sin √ 1 − x 2 2. y = arc cos ( 2 − x ) 3. x (¿¿ 2 − 1 ) 5 y =¿ 4. y = l n 2 x 5. y = l tg 2 x 6. y = cos l x
Вариант-12.
1. y = arc cos l x 2. y = arctg 2 1 x 3. y = 1 4 cos 8 x 4. y = √ 3 x 2 − 3 x 2 + 7 12
5. y = l cos x ∙ sin x 6. y = 7 3 x 2 + x + 1
Вариант-13.
1. y = l 15 x − 9 2. y = arc cos ( x − 1 ) 3. y = 6 4 x 4. y =( 21 x 3 − 1 ) 5 5. y = √ l x + 1 6. y = cos ( 2 x − 5 )
Вариант-14.
1. y = x ∙ arctg x 2 2. y = arc cos √ x + √ x 3. y = 6 sin x 4. y =( x 2 + x ) 7 5. y = √ cos l x 6. y = l n 5 ( x + 2 )
Вариант-15.
1. y = arctg √ 1 − x 1 + x 2. y =( √ x + 1 ) ∙ arc cos x 13
3. y = l 3 x 2 − x 4. y = l n 4 x 5. y = 2 sin x 6. y = l 4 x ∙ x 4
Вариант-16.
1. y = 5 arc sin x 2. y = arcctg l x 3. y = sin x 3 4. y =( 1 − x 9 ) 3 5. x 3 (¿ + 3 x ) y = cos ¿ 6. y = √ x 2 + 2 x + 2
Вариант-17.
1. y = l arctg √ x 2. y = arc cos ( 1 − x ) 3. y = 6 arc cos x 4. y ¿( 1 − 3 x ) 8 5. y = 2 cos2 x 6. y = tg l x
Вариант-18.
14
1. y = √ arctgx 2. y = arc cos 2 x 3. y ¿( 5 x − x 2 ) − 4 4. y = sin 5 x 5. y = √ x 2 − 2 x 6. y = l n x 3
Вариант-19.
1. y = arctg √ x √ x + 1 2. y = arc sin 2 x 3. y = ctg ( 4 x − 1 ) 4. y ¿( 1 − x 9 ) 3 5. y = x ∙ √ x − 1 6. y = 2 l nx
Вариант-20.
1. y = arc sin √ 2 x 2. y = l arctg 2 x 3. y = l n 3 x 4. y ¿( 1 − 5 x 2 ) 7 5. y = l x 3 15
6. y = cos 3 x
Вариант-21.
1. y = arctg 1 x 2. y = arc cos x 2 3. y ¿( 5 − 2 x ) 50 4. y = l − √ x 5. y = sin ( 4 x − 5 ) 6. y = 5 ∙ 3 x 2 − 1
Вариант-22.
1. y = arctg 3 x 2. y = arc sin 2 x 3. y ¿( 3 t − 2 ) 4 4. y = 3 x √ x − 1 5. y = cos ( 5 x − 3 ) 6. y = l − 3 x − 3 x
Вариант-23.
1. y = 1 3 x 3 ∙ arctgx − 2 2. y = arc sin x 3 16
3. y ¿( x 3 − 1 ) 6 4. y = l n2 x 5. y = l tgx 6. y = sin l x
Вариант-24.
1. y = arc sin √ l x 2. y = l n l arc sin x 3. y ¿( 16 − x 3 ) 4 4. y = 2 − 3 x 5. y = l t − 32 6. y = 6 3 x 2 − x − 1
Вариант-25.
1. y = arc sin x 2 2. y = x 4 arcstg 4 x 3. y = sin 2 ( 4 x − 5 ) 4. y = √ x 4 − 5 5. y = l − sin cos x 6. y = 2 2 x + x + 1
Вариант -26.
17
1. y = arc sin √ 1 − x 2 2. y = arc cos ( 1 − x 2 ) 3. y = 6 arctgx 4. y ¿( 1 − 2 x ) 3 5. y = √ sin x 6. y = l 1 − 5x
Вариант-27.
1. y = l narctgx 2. y = l cos 5 x 3. y = tg x 2 4. y = l n 3 x 5. y = 2 sin x 6. y = l − 3 x ∙ x 5
Вариант-28.
1. y = arc cosl x 2. y = arctg 2 x 3. y = cos x 2 4. 2 x x 7 −¿ ¿ y =¿ 5. y = cos ( 4 x − 4 x ) 18
6. y = √ x 2 − 2 x + 3
Вариант-29.
1. y = x 2 ∙ arc tgx 2. y = arc cos √ x + √ x + 1 3. y ¿( 1 + 3 x ) 7 4. y = l ntgx 5. y = 2 sin x 6. y = l x − 3
Вариант-30
1. y = arc sin √ 1 + x 1 − x 2. y =( √ x − 1 ) arc cos x 3. y = √ x 3 + 3 x 4. y = l n x 2 5. y =( x 2 − 1 ) 10 6. y = cos 5 x 19

Литература.
1.Красс М.С., Чупрунов Б.П. Основы математики и её приложения в экономическом образовании: Учебник.-3-е изд., испр.-М.: Дело,2002 2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-еизд., Перераб. и доп.-М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат. Лит.,1990. 3.Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: Учеб. пособие- А.В.Кузнецов, Д.С. Кузнецова,Е.И.Шилкина и др.-Мн.: Выш. Шк.,1994. 4. Соболь Б.В. Практикум по высшей математике-Б.В. Соболь, Н.Т.Мишняков, В.М.Поркшеян.- Изд.3-е.-Ростов н/Д: Феникс, 2006. 5. Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям (Н.Ш.Кремер и др.)под ред.проф. Н.Ш. Кремера.- 2-е изд., перераб.и доп.-М.:Юнита – Дана, 2007. 20
21