Пояснительная записка

Методические

указания

по

выполнению

самостоятельной

работы

составлены

в

с о о т в е т с т в и и

с Федеральным

государственным

образовательным

стандартом

(регистрационный № 346, от 18.04.14) по специальности среднего профессионального

образования (далее СПО) 15.02.04 Специальные машины и устройства, Положением о

самостоятельной

работе

Нижнетагильского

машиностроительного

техникума,

Методическими рекомендациями по организации самостоятельной работы НТМТ, рабочей

программой по учебной дисциплине «Математика».

Самостоятельная работа студентов является важным видом учебной деятельности

обучающегося.

Самостоятельная работа проводится с целью:



формирования общих и профессиональных компетенций обучающихся;



обобщения, систематизации, закрепления, углубления и расширения полученных

знаний и умений обучающихся;



формирования

умений

самостоятельного

поиска

и

использования

информации,

необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального

и личностного роста;



развития познавательных способностей и активности обучающихся: творческой

инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;



формирования самостоятельности профессионального мышления: способности к

профессиональному и личностному развитию, самообразованию и самореализации;



формирования

умений

использования

информационно-коммуникационных

технологий в профессиональной деятельности;



развития

культуры

межличностного

общения,

взаимодействия

между

людьми,

формирование умений работы в команде.

Самостоятельная работа обучающимися выполняется по заданию преподавателя, но

без

его

непосредственного

участия.

Обучающиеся,

не

выполнившие

программу

самостоятельной работы и не получившие отметку, считаются имеющими академическую

задолженность.

В

методических

указаниях

ко

всем

разделам

курса

представлены

задания

для

самостоятельной работы, порядок их выполнения, критерии оценки, список необходимой

литературы, перечень контрольных вопросов.

При возникновении затруднений в ходе выполнения заданий обучающиеся могут

получить консультацию в соответствии с графиком консультаций.

С целью формирования элементов соответствующих общих и профессиональных

компетенций обучающийся в ходе освоения учебной дисциплины должен

уметь:



решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и

интегрального исчислений

знать:



основные математические методы решения прикладных задач;



основные понятия и методы математического анализа;



основы интегрального и дифференциального исчисления;



роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных

дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.

Содержание задания:



ознакомление с теоретическим материалом по данной теме (при необходимости –

конспектирование);



решение упражнений и проверка правильности – согласование с ответами;



ответы на контрольные вопросы (там, где они имеются);



решение контрольных заданий.

Рекомендации по работе с математическим текстом

Любой математический текст является сложным, так как содержит определенное

количество научных терминов, изученных ранее или новых. В нем так же присутствуют

формулы,

их

выводы,

доказательства

утверждений

и

теорем,

что

является

наиболее

затруднительным в восприятии.

Начиная

самостоятельно

изучать

материал

какого-либо

математического

текста

необходимо:



прочитать весь текст, не задерживаясь на трудном материале;



при повторном чтении следует обдумывать смысл каждой фразы;



составить план конспекта;



вывод формул, определения, формулировки и доказательства теорем записывать в

тетрадь;



изучение закончить повторением материала, приводя примеры и объясняя их.

Материал

можно

считать

усвоенным,

если

при

его

повторении

не

возникает

необходимость заглянуть в источник или конспект.

Если при изучении теоретического материала обучаемый встречает затруднения,

которые

он

не

может

устранить

самостоятельно,

повторно

изучая

основную

и

дополнительную

литературу,

необходимо

обратиться

к

преподавателю

для

получения

устной или письменной консультации.

Рекомендации по конспектированию

Конспект — сложная запись содержания исходного текста, включающая в себя

заимствования

(цитаты)

наиболее

примечательных

мест

в

соответствии

с

планом

источника, а также сжатый анализ записанного материала и выводы по нему.

Общий порядок работы над конспектом:



определение структуры конспектируемого материала, при этом очень помога-

ет составление плана по ходу изучения текста;



отбор и последующая запись наиболее существенного содержания текста в

форме цитат, доказательств или близкого изложения без потерь смысла;



анализ записей и на его основе дополнение наиболее сложных элементов тек -

ста;



комментарии (располагать их можно на полях или в виде сносок);



завершение формулирования и запись выводов по каждой из частей текста, а

также общих выводов в заключении.

Самостоятельная работа по теме

«Предел последовательности и функции»

Содержание

Предел последовательности

Предел функции

Первый и второй замечательные пределы

Непрерывность функции

Односторонние пределы функции

Точки разрыва и их классификация

Цель:

ф орми рова н и е

н а в ы ков

в ы ч и с ле н и я

п ред е лов

ч и с л о в ы х

последовательностей и функций

Формируемые

умения:



решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и

интегрального исчислений

знания:



основные математические методы решения прикладных задач;



основные понятия и методы математического анализа

Предел последовательности

Определение предела последовательности

Определение.

Если

по

некоторому

закону

каждому

натуральному

числу n

поставлено в соответствие вполне определенное число а

п

, то говорят, что задана

числовая последовательность

(

a

п

)

:a

1

, a

2

, .. . , a

п

, .. .

Т.е. числовая последовательность – это функция натурального аргумента:

a

n

=

f

(

n

)

.

Числа а

1

,

а

2

,…,а

п

называются

членами

последовательности,

а

число а

п

– общим или п – м членом последовательности.

Определение.

Последовательность (a

n

) называется ограниченной,

если

существуют

числа M

и m

такие,

что

для

любого n выполняется

неравенство: m

£

(a

n

)

£

M.

В

противном

случае

она

называется

неограниченной.

Определение. Число А называется пределом последовательности (а

n

), если для

каждого

положительного

числа

e

найдется

такое

натуральное

число N, что для

любого n > N

справедливо

неравенство:

|

a

n

−

A

|<

ε

.

В

этом

случае

пишут

a

n

→

A

при

n

→∞

или

lim

n

→∞

a

n

=

A

Определение.

Последовательность (a

n

),

имеющая

предел А,

называется

сходящейся

к

числу А,

не

имеющая

предела

последовательность

называется

расходящейся.

Геометрический смысл сходимости можно выявить, преобразовав выражение

|

a

n

−

F

|<

ε

:

−

ε

<

a

n

−

A

<

ε

⇔

A

−

ε

<

a

n

<

A

+

ε

Таким образом, все члены последовательности (a

n

), сходящейся к числу А,

имеющие порядковые номера

п

>

N

лежат в интервале (А–

e

; А +

e

), который

называется

e

-окрестностью точки А.

Этот раздел отводится для упражнений, связанных с определением понятия предела

последовательности.

Величина

a

n

может стремиться к своему пределу различными способами:

1) оставаясь меньше своего предела, 2) оставаясь больше своего предела, 3) колеблясь

около своего предела и 4) принимая значения, равные своему пределу.

Выбор числа ε произволен, но после того, как оно выбрано, никаким изменениям в

дальнейшем оно не должно подвергаться.

Пример. Докажем, что последовательность с общим членом

x

n

=

n

n

+

1

имеет

предел, равный 1.

Решение. Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него

можно

определить

такое

натуральное

число N,

что

для

всех

номеров п

>

N

будет

выполняться

неравенство,

рассмотренное

выше,

в

котором

надо

взять А = 1,

т.

е.

неравенство

|

1

−

n

n

+

1

|<

ε

После приведения в скобках к общему знаменателю получим

|

n

+

1

−

n

n

+

1

|<

ε

или

|

1

n

+

1

|<

ε

Но если

|

1

n

+

1

|<

ε

то и

1

n

+

1

<

ε

.

Из последнего неравенства следует, что

n

+

1

>

1

ε

, а

n

>

1

ε

−

1

.

Значит,

если

номер N

больше,

чем

1

ε

−

1

,

то

неравенство

|

1

−

n

n

+

1

|<

ε

будет

выполняться.

Теперь надо решить вопрос о числе N, о котором идет речь в определении. За число

N можно принять наибольшее целое число, содержащееся в числе

1

ε

−

1

. Наибольшее

целое число, содержащееся в числе х,

обозначается

знаком Е

(х). На основании этого

наибольшее

целое

число,

содержащееся в числе

1

ε

−

1

надо

обозначить

так:

E

(

1

ε

−

1

)

Итак,

можно

принять

N

=

E

(

1

ε

−

1

)

(предполагается,

что

E

(

1

ε

−

1

)

>

0

,

иначе N не будет натуральным и его надо брать равным 1).

Таким образом, по произвольно заданному положительному числу

ε

мы нашли

такое

натуральное

число N,

что

для

всех

номеров n>N

неравенство

|

1

−

n

n

+

1

|<

ε

действительно

выполняется,

а

этим

и

доказано,

что

1

является

пределом

последовательности с общим членом

x

n

=

n

n

+

1

.

Теперь проведенные вычисления проиллюстрируем числовым примером.

Пусть, например,

ε

=

1

100

. Тогда при

ε

=

1

100

получаем из

N

=

E

(

1

ε

−

1

)

следующее значение:

N

=

E

(

100

−

1

)

или

N

=

99

Таким

образом,

для

членов

последовательности

с

номером

большим,

чем

99,

выполняется неравенство:

|

1

−

x

n

|<

1

100

.

Пусть п = 97; тогда, так как

x

n

=

n

n

+

1

,

x

97

=

97

98

, то

|

1

−

97

98

|=

1

98

, а

1

98

>

1

100

если п = 98, то

x

98

=

98

99

и

|

1

−

98

99

|=

1

99

, а

1

99

>

1

100

Из этих расчетов видно, что когда номер п члена последовательности меньше 99

неравенство

|

1

−

n

n

+

1

|<

ε

не

выполняется,

т.е.

|

1

−

x

п

|>

1

100

.

Если

взять

номер,

превышающий

99,

например, п

=

101,

то

получим

x

101

=

101

102

и

|

1

−

101

102

|=

1

102

, а

1

102

<

1

100

.

если п = 98, то

x

98

=

98

99

и

|

1

−

98

99

|=

1

99

, а

1

99

>

1

100

Полученный результат можно записать так:

lim

n

→∞

n

n

+

1

=

1

. Иначе можно сказать,

что последовательность

(

x

n

)

=

n

n

+

1

сходится к 1.

Мы

употребили

запись

n

→∞

,

которую

следует

понимать

так:

переменная величина п становится все большей и большей и не существует

предела

для

ее

возрастания.

Какое

бы

большое

число

мы

ни

задали, п в

процессе

своего

возрастания

его

превзойдет.

Для

того

чтобы

коротко

описать этот характер изменения п, принято говорить «эн стремится к

бесконечности» и записывать это так:

n

→∞

. Символ

∞

произносится

«бесконечность»

и

применяется

для

сокращенной

записи

сл ова

«бесконечность».

Символ

∞

ни в коем случае не может рассматриваться как число, а

потому бессмысленной является запись

n

=∞

, так как п может равняться

числу и не может быть равно символу, введенному только для сокращенной

записи и сокращенного произношения фразы, которой заранее был придан

определенный, указанный выше, смысл.

Очевидно, что последовательность

(

x

n

)

=

n

n

+

1

может быть записана таким образом:

1

2

,

2

3

,

3

4

, .. . ,

99

100

, . . . ,

n

n

+

1

, . ..

и легко видеть, что она стремится к своему пределу 1, возрастая и оставаясь меньше 1.

Пример Докажем, что последовательность 3, З

2

, 3

3

,3

4

,..., 3" ... не имеет предела.

Решение. Мы докажем требуемое, если установим, что общий член этой

последовательности

x

n

=

3

n

превзойдет любое наперед заданное число.

Пусть А такое число. Возьмем

n

>

A

−

1

.

Тогда

n

+

1

>

A , 3

n

=

(

1

+

2

)

n

≥

1

+

2 n ,

и

подавно

3

n

>

n

+

1

, или 3

п

> А . Тем

самым показано, что 3

п

может превзойти любое число А.

Если бы существовал предел

переменной

x

n

=

3

n

, и был бы равен А, то для любого

ε

> 0 можно было бы подобрать

такое N,

что при номерах п > N выполнялись бы неравенства a

a

−

ε

<

x

n

<

a

+

ε

, т. е.

a

−

ε

<

3

n

<

a

+

ε

, а это противоречит доказанному, так как 3

п

при

n

>

A

−

1

превзойдет

любое число А,

а тем самым и число a +

ε

, меньше которого оно должно оставаться.

Это противоречие и доказывает, что данная последовательность предела не имеет. Этот

пример иллюстрирует утверждение: не всякая последовательность имеет предел.

Свойства пределов последовательностей

Если две последовательности

(

x

п

)

и

(

y

п

)

имеют пределы, равные

соответственно А и В, то:

1)

Последовательность

(

x

п

±

y

п

)

имеет предел, равный

A

±

B

:

lim

n

→∞

(

x

п

±

y

п

)

=

A

±

B .

Это

свойство

распространяется

на

случай

любого

фиксированного

числа

слагаемых,

2)

Последовательность

(

x

п

y

п

)

имеет предел, равный

A

⋅

B

, т. е.

lim

n

→∞

(

x

п

y

п

)

=

A

⋅

B .

Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа

сомножителей.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

lim

n

→∞

kx

n

=

k lim

n

→∞

. x

n

при любом постоянном k.

3)

Последовательность

(

x

п

y

п

)

имеет предел, равный

A

B

, т. е.

lim

n

→∞

x

п

y

п

=

lim

n

→∞

x

n

lim

n

→∞

y

n

=

A

B

.

при условии, что все у

п

не равны нулю и

lim

n

→∞

y

n

=

B

≠

0

.

Пример. Найдем предел последовательности:

x

п

=

1

+

3 n

+

2 n

2

1

−

n

2

.

Решение.

Очевидно,

что

числитель

и

знаменатель

данной

дроби

имеют

бесконечные пределы, т. е. представляют собой расходящиеся последовательности. Для

разрешения

проблемы

произведем

тождественное

преобразование

дроби,

почленно

разделив ее на наибольшую из степеней п (в данном случае, на

п

2

). Предел полученной

дроби найдем, определив значение предела каждого слагаемого в отдельности и учитывая,

что

lim

n

→∞

c

n

k

=

0

при условии, что с и k – постоянные, причем k больше 1. Помните, что

предел постоянной величины есть сама величина, поскольку последовательность, все

члены которой равны, имеет предел, равный ее общему члену. После этих подробных

рассуждений укажем, как следует расположить записи:

lim

n

→∞

1

+

3 n

+

2n

2

1

−

n

2

=

lim

n

→∞

1

n

2

+

3

n

+

2

1

n

2

−

1

=

lim

n

→∞

1

n

2

+

lim

n

→∞

3

n

+

lim

n

→∞

2

lim

n

→∞

1

n

2

−

lim

n

→∞

1

=

0

+

0

+

2

0

−

1

=−

2.

Здесь применена теорема о пределе дроби.

Ответ.–2.

Такие

подробные

записи

в

последующем,

когда

выработается

определенный

навык, можно сократить.

нул

Пример. Найдем

lim

n

→∞

7 n

2

+

2 n

−

3

5 n

2

−

4 n

+

4

.

Решение.

lim

n

→∞

7 n

2

+

2 n

−

3

5 n

2

−

4 n

+

4

=

lim

n

→∞

7

+

2

n

−

3

n

2

5

−

4

n

+

4

n

2

=

lim

n

→ ∞

7

+

lim

n

→∞

2

n

−

lim

n

→∞

3

n

2

lim

n

→ ∞

5

−

lim

n

→∞

4

n

+

lim

n

→∞

4

n

2

=

7

+

0

−

0

5

−

0

+

0

=

7

5

.

Ответ.

7

5

.

Предел функции

Определение предела функции в точке

Сформулируем определение предела функции в точке.

Определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки

а, кроме, может быть, самой точки а, Число В называется пределом функции f(x) в

точке а (или при х, стремящемся к а), если для любой последовательности значений

аргумента х

п

¹

а,

п

Î

N,

сходящейся

к а, последовательность соответствующих

значений функции f(x

п

), п

Î

N, сходится к числу В.

В этом случае пишут:

lim

x

→

a

f

(

x

)

=

B

или

f

(

x

)

→

B

при

x

→

a

.

Если же для некоторой последовательности значений аргумента, сходящейся к а,

соответствующая

последовательность

значений

функции

не

является

сходящейся,

то

функция в данной точке не имеет предела. То же заключение можно сделать, если для двух

различных

последовательностей

значений

аргумента

по следовательно сти

соответствующих значений функции имеют различные пределы.

Очевидно, число В является пределом функции

f

(

x

)

при

x

→

a

тогда и только

тогда, когда

f

(

x

)

можно представить в виде:

f

(

x

)

= В +

α

(

x

)

, где

α

(

x

)

→

0

при

x

→

a

.

Отметим, что точка а, в которой рассматривается предел функции

f

(

x

)

,

может принадлежать области определения функции

f

(

x

)

, а может и не

принадлежать. При нахождении предела функции в точке не рассматривается значение

функции в этой точке.

Пример. Докажем справедливость следующих равенств:

1)

lim

x

→

a

f

(

x

)

=

с

, при

f

(

x

)

= с; 2)

lim

x

→

a

f

(

x

)

=

а

при

f

(

x

)

=

х

.

Решение.

1)

Пусть

f

(

x

)

= с для всех х из некоторого интервала, содержащего точку а. Тогда для

любой последовательности (х

n

) такой, что х

n

®

а при n

®

¥

, имеем

f

(

x

n

)

= с и

lim

n

→∞

f

(

x

n

)

=

с

.

Следовательно

lim

x

→

a

f

(

x

)

=

lim

x

→

a

с

=

c

.

2)

Для любой последовательности (х

n

) такой, что х

n

®

а при n

®

¥

, имеем

lim

n

→∞

f

(

x

n

)

=

lim

n

→∞

x

n

=

a

.

Следовательно, согласно определению предела

lim

x

→

a

x

=

а

.

Свойства пределов функций

Основные свойства пределов функций аналогичны теоремам о пределах числовых

последовательностей:

1) Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если

последние существуют:

lim

x

→

a

(

f

(

x

)

±

g

(

x

)

)

=

lim

x

→

a

f

(

x

)

±

lim

x

→

a

g

(

x

)

.

2)

Предел

произведения

функций

равен

произведению

их

пределов,

если

последние существуют:

lim

x

→

a

(

f

(

x

)

⋅

g

(

x

)

)

=

lim

x

→

a

f

(

x

)

⋅

lim

x

→

a

g

(

x

)

.

Следствие.

Постоянный

множитель

можно

выносить

за

знак

предела:

lim

x

→

a

(

cf

(

x

)

)

=

с lim

x

→

a

f

(

x

)

, если

lim

x

→

a

f

(

x

)

существует.

3) Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние

существуют и предел делителя отличен от нуля:

lim

x

→

a

f

(

x

)

g

(

x

)

=

lim

x

→

a

f

(

x

)

lim

x

→

a

g

(

x

)

, если

lim

x

→

a

g

(

x

)

≠

0

.

При

изучении

пределов

функций

иногда

полезно

использовать

следующую

«теорему о пределе промежуточной функции».

Теорема. Если

lim

x

→

a

g

(

x

)

=

В

,

lim

x

→

a

h

(

x

)

=

В

и в некоторой окрестности точки а,

кроме,

быть

может,

самой

точки а,

выполняются

неравенства

g

(

x

)

≤

f

(

x

)

≤

h

(

x

)

, то

lim

x

→

a

f

(

x

)

=

B

.

Пример.

Вычислим

пределы:

1)

lim

x

→

1

(

9 x

2

−

6 x

+

8

)

;

2)

lim

x

→

2

x

2

−

5 x

+

6

x

−

2

;

3)

lim

x

→

1

x

−

1

√

x

−

1

.

Решение.

1)

lim

x

→

1

(

9 x

2

−

6 x

+

8

)

=

9

⋅

(

lim

x

→

1

x

)

⋅

(

lim

x

→

1

x

)

−

6 lim

x

→

1

x

+

lim

x

→

1

8

=

9

−

6

+

8

=

11 ;

2)

Поскольку предел знаменателя равен 0, то воспользоваться теоремой о пределе частно-

го невозможно. Поэтому первоначально сократим дробь, разложив числитель на мно-

жители:

lim

x

→

2

x

2

−

5 x

+

6

x

−

2

=

lim

x

→

2

(

x

−

2

) (

x

−

3

)

x

−

2

=

lim

x

→

2

(

x

−

3

)

=−

1 ;

3)

lim

x

→

1

x

−

1

√

x

−

1

=

lim

x

→

1

(

√

x

−

1

) (

√

x

+

1

)

√

x

−

1

=

lim

x

→∞

(

√

x

+

1

)

=

2 .

Ответ. 1) 11, 2) –1, 3) 2

Определение предела функции на бесконечности

При изучении свойств функции приходится рассматривать предел функции в

бесконечности, бесконечный предел функции в точке, а также бесконечный предел в

бесконечности.

Рассмотрим более подробно предел функции в бесконечности, т.е. при

x

→+∞

и при

x

→−∞

.

Определение. Пусть функция f(x) определена на всей числовой прямой. Число

В называется пределом f(x) при

x

→+ ∞

, если

lim

x

→∞

f

(

x

n

)

=

B

для любой

последовательности (х

п

) такой, что

lim

n

→∞

x

n

=+

∞

.

В этих случаях пишут, что

lim

x

→+∞

f

(

x

)

=

B

. Аналогично,

lim

x

→−∞

f

(

x

)

=

С

, если

lim

x

→∞

f

(

x

n

)

=

С

для любой последовательности (х

п

) такой, что

lim

n

→∞

x

n

=− ∞

.

Пример. Докажем, что

lim

x

→∞

x

2

−

1

x

2

+

3

=

1

Решение.

Рассмотрим произвольную последовательность (х

п

) такую, что

lim

n

→∞

x

n

=+

∞

.

Так

как

последовательность

f

(

x

n

)

=

x

n

2

−

1

x

n

2

+

3

=

(

x

n

2

+

3

)

−

4

x

n

2

+

3

1

−

4

x

n

2

+

3

,

г д е n

Î

N,

сходится

к

1,

то

согласно

определению

lim

x

→∞

x

2

−

1

x

2

+

3

=

1

.

Легко

видеть,

что

и

lim

x

→ −∞

x

2

−

1

x

2

+

3

=

1

.

Кроме рассмотренного случая конечного предела функции f(x) при х

®

∞ (или иначе х

®

±

¥

)

используется

понятие

бесконечного

предела.

Например,

функция

f

(

x

)

=

1

x

2

,

определенная для всех х

¹

0, принимает сколь угодно большие значения при х

®

0. В этом

случае говорят, что функция в точке х = 0 имеет своим пределом бесконечность, и пишут

lim

x

→

0

1

x

2

=∞

.

Определение.

Если для любой последовательности значений аргумента (х

п

)

такой, что

х

п

¹

0 и

lim

n

→∞

x

n

=

а

, имеет место

lim

n

→∞

f

(

x

n

)

=∞

, то говорят, что предел

функции f(x) в точке а есть бесконечность, и пишут

lim

n

→∞

f

(

x

)

=∞

.

Пример. Найдем пределы

1)

lim

x

→ +∞

3 x

3

+

х

+

4

14

−

x

2

−

х

3

; 2)

lim

x

→+∞

(

√

x

2

+

1

−

x

)

.

Решение.

При

определении

значений

предела

функции

на

бесконечности

воспользуемся тем же приемом, что и в случае последовательности:

1)

lim

x

→ +∞

3 x

3

+

х

+

4

14

−

x

2

−

х

3

=

lim

x

→+∞

3

+

1

x

2

+

4

x

3

14

x

3

−

1

x

2

−

1

=−

3;

2)

lim

x

→+∞

(

√

x

2

+

1

−

x

)

.

=

lim

x

→+∞

(

√

x

2

+

1

−

x

) (

√

x

2

+

1

+

x

)

√

x

2

+

1

+

x

=

lim

x

→+∞

1

√

x

2

+

1

+

x

=

0 .

Ответ. 1) -3, 2) 0.

Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел.

Вывод первого замечательного предела представляет

интерес с точки зрения приложения теории пределов, и

поэтому мы предлагаем Вам его практически целиком.

Рассмотрим

поведение

функции

f

(

x

)

=

sin x

x

п р и

x

→

0

.

Для

этого

рассмотрим

окружность

радиуса

1;

обозначим

центральный

угол

МОВ

через х,

при

этом

0

<

x

<

π

2

.

Тогда явно площадь

D

МОА < площадь сектора МОА < площадь

D

СОА.

S

D

МОА

=

1

2

ОА

⋅

МВ

=

1

2

⋅

1

⋅

sin x

=

sin x

2

;

S

МОА

=

1

2

⋅

OA

⋅

AM

¿

=

1

2

⋅

1

⋅

x

=

x

2

;

S

D

CОА

=

1

2

⋅

1

⋅

tg x

=

tg x

2

.

Вернувшись к упомянутому неравенству и удвоив его, получим:

sin x < x < tg x.

После почленного деления на sin x:

1

<

x

sin x

<

1

cos x

или

1

>

sin x

x

>

cos x .

Поскольку

lim

x

→

0

cos x

=

lim

x

→

0

1

=

1

,

то

переменная

sin x

x

заключена между двумя

величинами, имеющими один и тот же предел, т.е. , на основании теоремы о пределе

промежуточной функции предыдущего пункта имеем:

lim

x

→

0

sin x

x

=

1 .

первый замечательный предел

Пример. Вычислим пределы:

1)

lim

x

→

0

tg x

x

; 2)

lim

x

→

0

1

−

cos x

x

; 3)

lim

x

→

0

sin αx

sin βx

.

Решение.

1)

Разложим

tg x

как отношение

sin x

cos x

и объединим множители по выше-

указанной схеме:

lim

x

→

0

tg x

x

=

lim

x

→

0

(

sin x

x

⋅

1

cos x

)

=

lim

x

→

0

sin x

x

⋅

lim

x

→

0

1

cos x

=

1

⋅

1

1

=

1 ;

2)

Применяя

формулу

1

−

cos x

=

2 sin

2

x

2

, произведем подстановку и полу-

чим:

lim

x

→

0

1

−

cos x

x

=

lim

x

→

0

2 sin

2

x

2

x

=

lim

x

→

0

(

sin

x

2

x

2

⋅

sin

x

2

)

=

lim

x

2

→

0

sin

x

2

x

2

⋅

lim

x

→

0

sin

x

2

=

1

⋅

0

=

0;

3)

Разделим числитель и знаменатель дроби на х, затем выровняем сложные ар-

гументы, компенсируя преобразование добавочным коэффициентом

α

β

и

получим:

lim

x

→

0

sin αx

sin βx

=

lim

x

→

0

(

α

β

⋅

sin αx

αx

sin βx

βx

)

=

α

β

⋅

lim

x

→

0

sin αx

αx

lim

x

→

0

sin βx

βx

=

α

β

⋅

1

1

=

α

β

.

Ответ. 1) 1, 2) 0, 3)

α

β

.

Второй замечательный предел.

Для вывода второго замечательного предела введем определение числа е:

Определение. Предел переменной величины

(

1

+

1

n

)

n

при

n

→∞

называется числом е:

lim

n

→∞

(

1

+

1

n

)

n

=

e .

Число е – иррациональное число. Его значение с десятью верными знаками после

запятой обычно округляют до одного верного знака после запятой: e = 2,7182818284…

»

2,7.

Теорема. Функция

(

1

+

1

х

)

х

при х, стремящемся к бесконечности, стремится к

пределу е:

lim

х

→∞

(

1

+

1

х

)

х

=

e .

Пример. Вычислим пределы:

1)

lim

x

→+∞

(

1

+

1

x

)

3 x

;

2)

lim

x

→∞

(

1

+

2

x

)

x

; 3)

lim

x

→∞

(

x

+

3

x

−

1

)

x

+

3

.

Решение.

1)

Согласно свойствам пределов, предел степени равен степени предела, т. е.:

lim

x

→+∞

(

1

+

1

x

)

3 x

=

lim

x

→+∞

(

(

1

+

1

x

)

x

)

3

=

lim

x

→+∞

(

1

+

1

x

)

x

⋅

lim

x

→+∞

(

1

+

1

x

)

x

⋅

lim

x

→+∞

(

1

+

1

x

)

x

=

e

3

;

2)

Введем новую переменную с целью свести предел ко второму замечательному пре-

делу:

2

x

=

1

y

, отсюда

x

=

2 y

. При

x

→∞

имеем

2 y

→∞

, т. е.

y

→∞

.

lim

x

→∞

(

1

+

2

x

)

x

=

lim

y

→∞

(

1

+

1

y

)

2 y

=

e

2

;

Кроме того, аналогичным образом можно доказать, что

lim

x

→∞

(

1

+

k

x

)

x

=

e

k

;

3)

Разложив числитель данной дроби на слагаемые, добьемся выделения 1, а затем при -

мем

y

=

x

−

1

и используем упомянутое выше утверждение:

lim

x

→∞

(

x

+

3

x

−

1

)

x

+

3

=

lim

x

→ ∞

(

x

−

1

+

4

x

−

1

)

x

+

3

=

lim

x

→ ∞

(

1

+

4

x

−

1

)

(

x

−

1

)

+

4

=

lim

y

→∞

(

1

+

4

y

)

y

+

4

=

=

lim

y

→∞

(

1

+

4

y

)

y

⋅

lim

y

→∞

(

1

+

4

y

)

4

=

e

4

⋅

1

=

e

4

.

Ответ. 1) е

3

, 2) е

2

, 3) е

4

.

Непрерывность функции

Непрерывность функции в точке

Определение. Функция f(x), x

Î

(a; b) называется непрерывной в точке x

о

Î

(a;

b), если предел функции f(x) в точке х

о

существует и равен значению функции в этой

точке:

lim

x

→

x

0

f

(

x

)

=

f

(

x

0

)

.

Согласно данному определению, непрерывность функции f(x) в точке х

о

означает

выполнимость следующих условий:

1)

функция f(x) должна быть определена в точке х

о

;

2)

у функции f(x) должен существовать предел в точке х

о

;

3)

предел функции f(x) в точке х

о

должен совпадать со значением функции в этой точке.

Пример.

Функция f(x)

= x

2

определена на всей числовой прямой и непрерывна в точке х = 1

поскольку f(1) = 1 и

lim

x

→

1

x

2

=

1.

Непрерывность функции на множестве

Определение. Функция f(x), называется непрерывной на интервале (a; b), если

она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Если функция непрерывна в некоторой точке, то эта точка называется точкой

непрерывности данной функции. В тех случаях, когда предел функции в данной точке не

существует или его значение не совпадает со значением функции в данной точке, то

функция называется разрывной в этой точке, а сама точка – точкой разрыва функции f(x).

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма конечного числа функций, непрерывных в точке а, есть функция, непрерывная в

этой точке.

2)

Произведение

конечного

числа

функций,

непрерывных

в

точке а,

есть

функция,

непрерывная в этой точке.

3)

Отношение

конечного

числа

функций,

непрерывных

в

точке а,

есть

функция,

непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от

нуля в точке а.

Пример.

1)

Функция f(x) = x

п

, где n

Î

N, непрерывна на всей числовой прямой. Доказать этот факт

можно, используя свойство 2 и непрерывность функции f(x) = x.

2)

Функция f(x) = сx

п

(с – константа) непрерывна на всей числовой прямой, исходя из

свойства 2 и примера 1.

Теорема 1. Многочлен есть функция, непрерывная на всей числовой

прямой.

Теорема 2.

Любая дробно-рациональная функция непрерывна

в

каждой точке своей области определения.

Пример.

1)

Функция

f

(

x

)

=

3

−

x

4 x

+

7

непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки

x

=−

7

4

,

в которой знаменатель дроби обращается в нуль.

2)

Функция

f

(

x

)

=

3 x

9

−

x

7

+

5 x

3

−

2

x

2

+

x

+

7

непрерывна всюду на R, т.к. знаменатель нигде не

обращается в нуль.

Ознакомимся с другими определениями непрерывности функции в точке.

Определение Функция f(x) называется непрерывной в точке х = а, если в этой

точке

ее

приращение

Δy

стремится к нулю, когда приращение аргумента

Δx

стремится к нулю, или иначе: функция f (х) называется непрерывной в точке х = а ,

если

в

этой

точке

бесконечно

малому

приращению

аргумента

соответствует

бесконечно малое приращение функции, т. е. если

lim

Δx

→

0

Δy

=

0.

Односторонние пределы функции

Левосторонний предел функции. Если

отыскивается

предел

функции f(x) при

условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые меньше а,

то этот предел, если он существует, называется левосторонним пределом функции f (х)

(или левым пределом функции).

Для того чтобы показать, что х стремится к а, оставаясь меньше а, употребляется

запись:

x

→

a

−

0

,

а

левосторонний

предел

функции

обозначается

символом:

lim

x

→

a

−

0

f

(

x

)

.

Правосторонний предел функции. Если отыскивается предел функции f(x) при

условии, что х, стремясь к а, может принимать только такие значения, которые больше а,

то этот предел, если он существует, называется правосторонним пределом функции f(x)

(или правым пределом функции).

То,

что х,

стремясь

к а,

остается

больше а,

обозначается

так:

x

→

a

+

0

,

а

правосторонний предел функции обозначается символом:

lim

x

→

a

+

0

f

(

x

)

.

Очевидно,

что

предел

функции

при

x

→

a

существует

только

тогда,

когда

существуют и равны между собой ее левосторонний и правосторонний пределы, т. е. когда

lim

x

→

a

−

0

f

(

x

)

=

lim

x

→

a

+

0

f

(

x

)

.

Определение

Функция f(x)

называется

непрерывной

при х

=

а,

если

ее

левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны

значению функции в этой точке, т. е. f(a). То есть:

lim

x

→

a

−

0

f

(

x

)

=

lim

x

→

a

+

0

f

(

x

)

=

f

(

a

)

.

Точки разрыва и их классификация

Если

равенство

lim

x

→

a

−

0

f

(

x

)

=

lim

x

→

a

+

0

f

(

x

)

=

f

(

a

)

в

какой-либо

его

части

не

выполняется, то о точке

x

=

a

говорят, что она является точкой разрыва.

Точка разрыва первого рода

Определение.

Если

левосторонний

предел

функции

и

ее

правосторонний

п реде л

существуют, но не равны, между собой, т. е. если

lim

x

→

a

−

0

f

(

x

)

=

A ,

lim

x

→

a

+

0

f

(

x

)

=

B ,

A

≠

B ,

то точка а называется точкой разрыва первого

рода

Точка разрыва второго рода

а) б)

Определение.

Если

в

точке х

=

а

не

существует

конечный

левосторонний

или

правосторонний

предел

функции

или

оба

одновременно,

то

эта

точка

называется

точкой

разрыва

второго

рода.

На

рис., а

отсутствует

левосторонний

предел

функции;

на

рис.

3, б –

нет

правостороннего предела функции.

На

рис.

представлен

график

функции,

которая не имеет в точке х = а ни левостороннего,

ни правостороннего предела. Во всех этих случаях

говорят, что функция в точке х = а терпит разрыв

второго рода (иначе: точка х = а — точка разрыва

второго рода).

Устранимый разрыв

Определение.

Если

в

точке

х

=

а

функция f(x)

имеет

левосторонний

и

правосторонний пределы и эти пределы между собой равны, но их значения не

совпадают со значением функции в точке а, т. е. со значением f(a), то точка х = а

называется точкой устранимого» разрыва.

Так им

образом,

в

э том

с л у ч а е

lim

x

→

a

−

0

f

(

x

)

=

lim

x

→

a

+

0

f

(

x

)

≠

f

(

a

)

.

Разрыв

«устраняется» тем, что полагают

lim

x

→

a

−

0

f

(

x

)

=

lim

x

→

a

+

0

f

(

x

)

=

f

(

a

)

, т. е. принимают, что

lim

x

→

a

f

(

x

)

=

f

(

a

)

.

Пример.

Пользуясь

определением

непрерывности

функции

через

предел

lim

Δx

→

0

Δy

=

0

, докажем, что функция

f

(

x

)

=

5 x

2

−

6 x

+

2

непрерывна в произвольной

точке.

Решение. Выразим приращение функции при произвольном приращении аргумента

в некоторой точке х:

f

(

x

+

Δx

)

=

5

(

x

+

Δx

)

2

−

6

(

x

+

Δx

)

+

2; f

(

x

)

=

5 x

2

−

6 x

+

2;

Подставим

полученные

выражения

в

формулу

приращения

функции,

и

после

упрощения получим:

Δy

=

f

(

x

+

Δx

)

−

f

(

x

)

=

10 xΔx

−

6 Δx

+

5 Δx

2

.

Найдем предел приращения функции при приращении аргумента, стремящемся к 0:

lim

Δx

→

0

Δy

=

lim

Δx

→

0

(

10 xΔx

−

6 Δx

+

5 Δx

2

)

=

0.

В итоге получаем, что при любом значении х предел приращения функции равен

нулю, что доказывает ее непрерывность при любом значении х.

Пример. Исследуем на непрерывность при х = 1 следующую функцию:

f

(

x

)

=

2

+

1

1

+

2

1

1

−

x

.

Решение. Так как знаменатель

1

−

x

дроби равен нулю при

x

=

1

, то функция

разрывна

при

x

=

1

.

Установим

характер

этой

точки

разрыва.

Найдем

сначала

левосторонний предел функции:

Если

x

→

1

−

0

, то можно представить

x

=

1

−

α

,

(

α

>

0

)

и считать, что

α

,

оставаясь положительной, стремится к нулю. Заменяя х на

1

−

α

, получим:

lim

x

→

a

−

0

f

(

x

)

=

lim

x

→

a

−

0

(

2

+

1

1

+

2

1

1

−

x

)

=

lim

α

→+

0

(

2

+

1

1

+

2

1

1

−

(

1

−

α

)

)

=

lim

α

→+

0

(

2

+

1

1

+

2

1

α

)

=

2,

так как при

α

→+

0

величина

1

α

бесконечно большая,

2

1

α

также бесконечно

вел ика,

1

+

2

1

α

–

бесконечно

большая

величина,

обратная

ей

величина

1

1

+

2

1

α

бесконечно мала:

lim

α

→+

0

1

1

+

2

1

α

=

0

, а потому

lim

α

→+

0

(

2

+

1

1

+

2

1

α

)

=

2.

Теперь

определим

правосторонний

предел

функции.

Если х

→1

+

0,

можно

положить х = 1 + α (α > 0) и считать, что α, оставаясь положительной, стремится к нулю.

Тогда, заменяя х на 1 + α, получим:

lim

x

→

1

+

0

f

(

x

)

=

lim

α

→+

0

(

2

+

1

1

+

2

1

1

−

(

1

+

α

)

)

=

lim

α

→+

0

(

2

+

1

1

+

2

−

1

α

)

=

3

,

так как при

α

→+

0

величина

1

α

бесконечно большая,

2

1

α

также бесконечно

велика,

2

−

1

α

– величина бесконечно малая, т.е. ее предел будет равен 0.

Итак, у функции существуют и левосторонний предел, равный 2, и правосторонний

предел, равный 3, но между собой они не равны. Из этого мы заключаем, что точка

x

=

1

является для заданной функции точкой разрыва первого рода.

.)

Пример.

Построим

графики

и

определим,

какого

рода

разрыв

имеет

функция

в

данной

точке

(если

точка

не

указана,

определим

точки

разрыва

самостоятельно):

1)

y

=

1

x

−

3

,

x

=

3 ;

2)

y

=

1

x

2

,

x

=

0;

3)

y

=

1

x

2

−

1

.

Решение.

1)

в точке

x

=

3

функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точ-

ке ни одного конечного предела (см. рис., а).

2)

в точке

x

=

0

функция имеет разрыв второго рода, поскольку не имеет в этой точ-

ке ни одного конечного предела (см. рис., в).

3)

функция имеет точки разрыва

x

=

1

и

x

=−

1

. В обеих точках функция имеет

разрыв второго рода (см. рис., б).

а)

б)

в)

Пример. Исследуем на непрерывность функцию

f

(

x

)

=

x

3

−

8

x

−

2

в точке х = 2.

Решение. Так как при х = 2 функция не существует и тем самым нарушено первое

условие непрерывности, то в этой точке функция терпит разрыв. Найдем левосторонний и

правосторонний пределы функции:

lim

x

→

2

−

0

x

3

−

8

x

−

2

=

lim

x

→

2

−

0

(

x

2

+

2 x

+

4

)

=

12 ;

lim

x

→

2

+

0

x

3

−

8

x

−

2

=

lim

x

→

2

+

0

(

x

2

+

2 x

+

4

)

=

12 ;

Таким

образом,

существуют

равные

односторонние пределы данной функции в точке х =

2.

Разрыв

можно

«устранить»,

если

значение

функции в этой точке принять равным 12, т. е. если

условиться, что

f

(

2

)

=

lim

x

→

2

x

3

−

8

x

−

2

=

12 .

То ч к а х

= 2

—

точка

«устранимого»

разрыва. Графиком функции является парабола, на

которой нет точки с абсциссой х = 2 (см. рис.).

На графике эта точка обозначена кружком и к ней направлены стрелки. Сплошной

ход кривой в этой точке оборвался. Слева и справа от точки х = 2 график функции —

непрерывная линия.

Задание 1. Доказать, что последовательность с общим членом

x

n

=

4 n

2 n

+

1

имеет

предел, равный 2.

Задание 2. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что:

1)

lim

n

→∞

n

−

1

2 n

+

1

=

1

2

2)

lim

n

→∞

n

2 n

−

1

=

1

2

3)

lim

n

→∞

n

2

−

1

n

2

+

n

+

1

=

1

4)

lim

n

→∞

5 n

2 n

+

1

=

5

2

5)

lim

n

→∞

3 n

+

1

2 n

2

−

1

=

0

6)

lim

n

→∞

n

2

−

n

−

1

2 n

2

+

n

−

1

=

1

2

Задание 3. Найти:

1)

lim

n

→∞

5 n

+

7

3

−

4 n

2)

lim

n

→∞

n

3

+

1

n

2

−

1

3)

lim

n

→∞

n

2

−

n

+

1

3 n

2

+

5n

+

2

4)

lim

n

→∞

n

+

5

n

2

+

n

−

1

(Ответ 1)

−

5

4

, 2) 2, 3)

1

3

, 4) 0.)

Задание 4. Вычислите пределы:

1)

lim

x

→

4

(

x

3

−

2 x

+

5

)

; 2)

lim

x

→

1

x

2

+

x

−

2

x

−

1

; 3)

lim

x

→

36

x

−

36

√

x

−

6

.

(Ответ. 1) 61, 2) 3, 3) 12.)

Задание 5. Найдите пределы 1)

lim

x

→ +∞

3 x

2

−

5 х

−

6

19

+

7 x

2

+

8 х

; 2)

lim

x

→+∞

(

√

x

2

−

3

−

x

)

.

(Ответ. 1)

3

7

,

2) 0.)

Задание 6. Вычислите пределы: 1)

lim

x

→

0

sin 18 x

x

;

2)

lim

x

→

0

sin

2

x

3

x

2

;

3)

lim

x

→∞

(

x

+

3

x

+

1

)

x

+

1

.

(Подсказка. В третьем задании разложите

x

+

3

x

+

1

=

x

+

1

+

2

x

+

1

=

x

+

1

x

+

1

+

2

x

+

1

=

1

+

2

x

+

1

и

введите новую переменную

2

x

+

1

=

1

y

. Ответ. 1) 18, 2) 9, 3) е

2

.)

Задание 7. Исследуйте на непрерывность функции:

1)

f

(

x

)

=

3 x

2

+

x

+

5

x

2

−

6 x

+

8

;

2)

f

(

x

)

=

2

x

.

(Ответ. 1) функция непрерывна всюду, кроме значений

x

=

2

и

x

=

4

, 2) функция

непрерывна всюду, кроме

x

=

0 .

)

Задание 8. Пользуясь вторым определением непрерывной функции, доказать, что

следующие функции непрерывны при любом значении х:

1)

f

(

x

)

=

1

+

x

1

+

x

2

; 2)

f

(

x

)

=

√

x

2

+

x

+

1.

Задание 9. Испытать на непрерывность функции:

1)

f

(

x

)

=

2

3

+

5

1

x

−

2

при х = 2; 2)

f

(

x

)

=

1

3

+

5

1

x

при х = 0.

3) Какого рода разрыв имеет функция

f

(

x

)

=

3

1

x

в точке х = 0. Начертить график.

(Ответ. 1) точка х = 2 – точка разрыва первого рода, т.к. левосторонний и правосторонний

пределы соответственно равны

2

3

и 0; 2) х = 0 – точка разрыва первого рода; 3) разрыв

второго рода.)

Задание 10. Исследовать на непрерывность функцию

f

(

x

)

=

x

2

−

9

x

+

3

и начертить

график функции. Чему должно быть равно

f

(

−

3

)

, чтобы пополненная этим значением

функция была непрерывна при х = –3?

(Ответ. Точка х = –3 – точка «устранимого» разрыва. Следует взять

f

(

−

3

)

=−

6 .

.)

Вопросы для самоконтроля

1.

Дайте определение предела последовательности.

2.

Дайте определение предела функции.

3.

Сформулируйте теоремы о пределе функции.

4.

Дайте определения бесконечно малых и бесконечно больших функций.

5.

Назовите основные неопределенности при вычислении пределов функции.

6.

Объясните основные методы раскрытия неопределенностей.

7.

Дайте определение непрерывной функции.

8.

Дайте определение точек разрыва функции 1 и 2 рода.

Контрольные задания

Вариант 1.

1.

Пользуясь

определением

предела

последовательности,

доказать,

что

lim

n

→∞

4 n

−

3

n

+

2

=

4

.

2.

Найти: 1)

lim

n

→∞

n

2

+

5 n

−

4

n

2

+

n

−

1

;

2)

lim

x

→

2

x

2

−

3 x

+

2

2

−

x

;

3)

lim

x

→+∞

(

√

4 x

2

+

2

−

2 x

)

.

3.

Вычислите

при

помощи

первого

или

второго

замечательных

пределов:

1)

lim

x

→

0

sin 2 x

11 x

;

2)

lim

x

→∞

(

x

+

2

x

)

x

.

4.

Исследуйте на непрерывность и определите, какого рода разрыв имеет функция:

1)

y

=

1

x

+

5

; 2)

f

(

x

)

=

x

2

−

9

x

−

3

.

Вариант 2.

1.

Пользуясь

определением

предела

последовательности,

доказать,

что

lim

n

→∞

3 n

−

1

n

−

5

=

3 .

.

2.

Найти: 1)

lim

n

→∞

n

3

+

2 n

2

−

4 n

n

2

+

5

;

2)

lim

x

→−

4

x

2

+

3 x

−

4

4

+

x

;

3)

lim

x

→+∞

(

√

x

2

+

6

−

x

)

.

3.

Вычислите

при

помощи

первого

или

второго

замечательных

пределов:

1)

lim

x

→

0

sin

2

x

3 x

2

;

2)

lim

x

→∞

(

x

−

3

x

)

x

.

4.

Исследуйте на непрерывность и определите, какого рода разрыв имеет функция:

1)

y

=

1

x

3

; 2)

f

(

x

)

=

x

2

−

x

−

2

x

+

2

.

Вариант 3.

1.

Пользуясь

определением

предела

последовательности,

доказать,

что

lim

n

→∞

n

+

4

2 n

−

3

=

1

2

.

.

2.

Найти: 1)

lim

n

→∞

n

4

+

n

3

+

5

n

5

+

2 n

;

2)

lim

x

→

4

√

x

−

2

x

−

4

;

3)

lim

x

→+∞

(

√

x

2

−

8

−

x

)

.

3.

Вычислите

при

помощи

первого

или

второго

замечательных

пределов:

1)

lim

x

→

0

tg x

4 x

;

2)

lim

x

→∞

(

1

+

4

x

)

x

.

4.

Исследуйте на непрерывность и определите, какого рода разрыв имеет функция:

1)

y

=

1

x

+

7

; 2)

f

(

x

)

=

x

2

+

x

−

6

x

+

3

.

Сроки выполнения задания: при изучении данной темы, в течение семестра.

Критерии оценки задания: для получения зачёта за самостоятельную работу по данной

теме необходимо выполнить все задания любого из трёх предложенных вариантов, решая

задания нужно делать ссылки на используемый теоретический материал. Оформляется

работа в тетради для самостоятельных работ.