Задание 1 (1 балл)

С помощью пяти двоек и знаков действия представьте число 7.

Ответ. 7=2

⋅

2+2+2:2. Возможны другие варианты.

Задача 2. (2 балла)

Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он за-

платит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько

денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?

Решение.

Последовательность цен за метр — арифметическая прогрессия с первым членом, равным 4200 и разностью

1300. Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: S

n

=

2 a

1

+

(

n

−

1

)

d

2

n. В

нашем случае имеем: S

11

=

2· 4200

+

10 · 1300

2

·11=117700

За работу хозяин заплатит 117 700 рублей.

Ответ: 117 700

Задача 3. (2 балла)

Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т.д. Может ли за некоторое

число разрезаний получиться 2018 листков бумаги?

Решение.

Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем пять, т. е. число листков увеличивается на 4.

Следовательно, из исходного листа может получиться число листков вида 1 + 4n, где n € N,

т. е. это число при делении на 4 дает остаток 1. Но 2018 = 4•504 + 2.

Следовательно, 2018 листков получиться не может.

Задание 4 № 26852 (2 балла)

Найдите значение выражения

log

7

13

log

49

13

Решение.

Выполним преобразования:

log

7

13

log

49

13

=

log

7

13

1

2

log

7

13

=2

Ответ: 2.

Задание 5. (3 балла)

В инструкции некоторого прибора для нагревательного элемента указана зависимость температуры (в кельвинах)

от времени работы: T(t)=T

0

+b·t+a·t

2

, где t – время в минутах, T

0

=1350 К, а= -7,5 К/мин

2

, b=105 К/мин . Известно,

что при температуре нагревателя свыше 1650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.

Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в

минутах.

Решение.

Найдем, в какой момент времени после начала работы температура станет равной

К. Задача сводится к

решению уравнения T(t)=1650 при заданных значениях параметров a и b:

1350+105t-7.5· t

2

=1650

⬄

t

2

-14 t+40=0

⬄

t

1

=4, t

2

=10

Через 4 минуты после включения прибор нагреется до 1650 К, и при дальнейшем нагревании может

испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через 4 минуты.

О т в е т: 4.

Задание 6 № 99568 (3 балла)

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход

семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%.

Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение.

Условие «если бы зарплата отца увеличилась вдвое, доход семьи вырос бы на 67%» означает, что зарплата отца

составляет 67% дохода семьи. Условие «если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, доход семьи сократился

бы на 4%», означает, что 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, то есть вся стипендия дочери составляет 6%

дохода семьи. Таким образом, доход матери составляет 27 % дохода семьи. (Можно принять стипендию дочери за

х, доход матери за у и составить два уравнения 67+х+у=100, 67+

1

3

х+у=96, вычитаем из первого уравнения

второе,

2

3

х=4, х=6.)

Ответ: 27.

Задание 7 (3 балла и можно добавить балл за оригинальность)

Между городами А и В протекает широкая река. Надо построить самую короткую дорогу от города А в город В

и мост через реку. Мост должен проходить перпендикулярно к берегам, а вот где его построить, надо решить вам.

Ответ можно изобразить на схеме.

А

В

Решение. 1 способ. Проведем отрезок АВ. Для этого согнем лист бумаги так, чтобы

берега реки совпали.

2 способ.

А

2

В

х

7-х

3

В

Обозначим х расстояние АС, тогда (7-х) расстояние МВ.

АС+ МВ =

√

2

2

+

х

2

+

х

7

−¿

¿

3

2

+¿

√

¿

. Найдем наименьшее значение.

Производная

1

2

· 2 х·

1

√

4

+

х

2

+

1

2

· 2

(

7

−

х

)

·

(−

1

)

1

√

9

+(

7

−

х

)

2

=

х

√

4

+

х

2

+

х

−

7

√

9

+(

7

−

х

)

2

.

Решим уравнение

х

√

4

+

х

2

+

х

−

7

√

9

+(

7

−

х

)

2

=0

х

√

4

+

х

2

=

7

−

х

√

9

+(

7

−

х

)

2

х

·

√

9

+(

7

−

х

)

2

=(

7

−

х

¿

√

4

+

х

2

х

2

(9+(7-х)

2

)= (7-х)

2

(4+х

2

)

9х

2

+ х

2

(7-х)

2

=(7-х)

2

·4+ х

2

(7-х)

2

9х

2

=(7-х)

2

·4

9х

2

-4х

2

+56х-196=0

5х

2

+56х-196=0 х

1,2

=

−

56 ±84

10

условию задачи удовлетворяет только

х=

−

56

+

84

10

=2,8

3 способ.

х

−

х

1

х

2

−

х

1

=

у

−

у

1

у

2

−

у

1

Составим уравнение прямой. А(0;2), В(7;-3).

х

−

0

7

−

0

=

у

−

2

−

3

−

2

х

7

=

у

−

2

−

5

, у=

5 х

−

14

−

7

. Точка пересечения с осью ОХ

5 х

−

14

−

7

.=0, х=

14

5

=2,8

В