Кривые второго порядка

Аннотация:

в

статье

предлагаются

материалы,

которые

можно

использовать

для

организации

учебно-исследовательской

деятельности

студентов при изучении кривых второго порядка. Приводятся примеры.

Ключевые

слова:

исследовательская

деятельность,

кривые

второго

порядка, эллипс, теорема, гипербола, парабола.

В современных условиях в обучение все активнее внедряется проектная

деятельность, поощряется участие студентов в исследовательских конкурсах.

Содержание математических дисциплин отлично подходит для приобщения

студентов

к

элементам

исследовательской

деятельности,

а

постоянно

развивающиеся

системы

компьютерной

математики

позволяют

оптимизировать процесс исследования.

Впервые

кривые

второго

порядка

изучались

одним

из

учеников

Платона.

Его

работа

заключалась

в

следующем:

если

взять

две

пересекающиеся

прямые

и

вращать

их

вокруг

биссектрисы

угла,

ими

образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту

поверхность

плоскостью,

то

в

сечении

получаются

различные

геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и

несколько вырожденных фигур.

Кривая второго порядка является прямой в плоскости. В некоторых

декартовых координатах эта линия определяется уравнением.ax2 + 2bxy + cy2

+ 2dx + 2ey + f = 0

где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ≠ 0 .

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Используя

квадратичную

форму

характеристики,

соответствующей

уравнению кривой, можно изучить многие важные свойства кривой второго

порядка:

Так,

например,

невырожденная

кривая

оказывается

вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в

зависимости

от

того,

будет

ли

Положительно

определенная,

отрицательно

определенная,

неопределенная

или

полуопределенная

квадратичная форма, являющаяся корнем характеристического уравнения:

Или

λ2 − Iλ + D = 0.

Корнем этого уравнения является собственное значение вещественной

симметричной матрицы, поэтому оно всегда верно:

Кривые второго порядка делятся на невырожденные кривые и кривые

вырожденные.

Доказано, что кривая второго порядка, определяемая этим уравнением,

принадлежит одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара

прямых

(пересекающихся,

параллельных

или

совпадающих),

точечных

и

пустых множеств.

Другими словами, для кривой второго порядка (для каждого уравнения)

существует система координат, в которой уравнение кривой имеет вид:

Эллипс

Эллипсом является место плоской точки. Сумма расстояний между

двумя неподвижными точками этой плоскости называется фокусом эллипса и

является постоянным значением. Линейный сегмент, соединяющий точку

эллипса

и

фокус,

называется

фокусным

радиусом

точки.

Если

эллипс

описывается каноническим уравнением

Если a> 0, b> 0 и a> b> 0 - малая ось эллипса, то фокус эллипса

находится

по

оси

абсцисс

и

имеет

координаты

(-c,

0)

и

(c,

0),

где

Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса.

Определяя

эллипс

r1

+

r2

=

2a,

r1

и

r2

являются

радиусами

ф о к у с и р о в к и ,

а

и х

д л и н а

о п р е д е л я е т с я

п о

ф о р м у л е

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.

Гипербола

Гипербола - кривая второго порядка, которая в некоторых декартовых

системах координат описывается уравнением

где a > 0, b > 0 — параметры гиперболы.

Это

уравнение

называется

каноническим

уравнением

гиперболы,

а

система координат, где гипербола описывается каноническим уравнением,

называется канонической.

В

системе

спецификации

координатная

ось

является

осью

гиперболической

симметрии,

а

началом

координат

является

ее

центр

симметрии.

Пересечение

гиперболы

с

осью

ОХ

(±

а,

0)

называется

вершиной

гиперболы.

С осью OY гиперболы не пересекаются.

Сегменты

a

и

b

называются

гиперболическими

поло сями

Рис.1

Прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0 — Асимптотика гиперболы, когда

точка

гиперболы

удалена

до

бесконечности,

соответствующая

ветвь

гиперболы приближается к одной из асимптот.

Формула описывает гиперболу с вершиной на оси OY в точках (0, ± b)

Рис.2

Эта

гипербола

называется

гиперболической

асимптотической

сопряженной - те линии ay-bx = 0 и ay + bx = 0. Мы говорим о паре

сопряженных гипербола.

Парабола

Парабола

-

кривая

второго

порядка,

описываемая

уравнениями

в

некоторых декартовых координатах y2 = 2 px

где p > 0 — параметр параболы.

Это

уравнение

называется

каноническим

параболическим

уравнением,

а

параболическая система координат, описываемая каноническим уравнением,

называется спецификацией.

В канонической системе абсцисса является осью симметрии параболы, а

начало координат - вершиной.

Рис.3

В той же стандартной системе координат уравнения y2 = -2 px, x2 = 2

py и x2 = -2 py, p> 0 также описывают параболу:

Теоремы, связанные с кривыми второго порядка

Теорема

Паскаля

является

теоремой

проективной

геометрии.

Говорится:

Если

шестиугольник

выгравирован

по

кругу

или

любому

другому

участку

коники

(эллипс,

парабола,

гипербола

или

даже

пара

линий),

то

пересечение

трех

пар

противоположных

сторон

находится

по

прямой.

Теорема Паскаля и теорема Брайанхона двойственны.

Теорема Брайанхона - классическая теорема проективной геометрии.

Он сформулирован следующим образом:

Если вокруг конуса описывается шестиугольник, три диагональные

линии, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, проходят

через одну точку.

Особенно в случае деградации:

Если две стороны шестиугольника проходят попеременно через эти две

точки,

три

диагональные

линии,

соединяющие

их

противоположные

вершины, пройдут через одну точку.

Теорема

Брайана

и

теорема

Паскаля

двукратны,

и

их

вырождение

согласуется с теоремой Паппа.

Литература:

1.

Корн

Г.,

Корн

Т.

Кривая

второго

порядка

(коническая

кривая)

//

Математическое руководство. - 4-е издание. - М .: Наука, 1978. - С. 64-69.

2.

Корн

Г.,

Корн

Т.

2.4-5.

Функция

Квадратичное

и

характеристическое

уравнение // Математическое руководство. - 4-е издание. - М .: Наука, 1978. -

С. 64.

3. В.А. Ильин Е.Г. Позняк. Аналитическая геометрия, гл. 6. Москва: «Наука»,

1988.