Тема:

«

Принцип Кавальери и объем шара

».

Цели урока:

1.

вывести формулу для вычисления объема шара с помощью принципа

Кавальери;

2.

развивать умение анализировать, проводить аналогию, формировать

исследовательские навыки;

3.

способствовать повышению интереса учащихся к нестандартным

ситуациям, формированию положительного мотива учения.

Тип урока

:

лекция.

Ход урока:

I. Мотивационная беседа.

Отмечается, что для тел вращения, как и для многогранников, такая численная

характеристика, как объем является очень важной. Существуют различные способы

вывода формулы для его вычисления. Сегодня на уроке будет рассмотрен один из

нестандартных приемов вывода формулы для вычисления объема шара.

II. Актуализация опорных знаний.

(Слайд 2 открыт частично, только рисунок, без текста). Обсуждаются с учащимися:

вопросы:

что изображает рисунок слайда?

1

какой фрагмент рисунка позволяет увидеть здесь демонстрацию принципа

Кавальери?

что можно сказать о телах, к которым этот принцип применяется (равны они,

равновелики или равносоставленны)?

Появляется текст на слайде (формулировка принципа Кавальери).

Какие условия для тел должны быть выполнены, чтобы к ним можно было

применить принцип Кавальери, какой вывод при этом можно сделать?

III. Изучение нового материала.

До сих пор вы применяли принцип Кавальери к многогранникам. Сейчас рассмотрим его

применение для тел вращения. Рассмотрим цилиндр, осевым сечением которого является

квадрат со стороной 2R, и удалим из него 2 конуса с общей вершиной в центре цилиндра

и основаниями, совпадающими с основаниями цилиндра (слайд 3).

2

Докажем, что получившееся тело имеет тот же объем , что и шар радиуса R.

Возьмем такой шар и расположим его так, что он касается плоскостей, содержащих

основания цилиндра (слайд 4)

.

Плоскость, параллельная основаниям цилиндра и удаленная на расстояние

r.

от центров

шара и цилиндра пересечет шар по кругу радиуса





2

2

r

R



. Площадь сечения



2

=



(R

2

-r

2

)

Cечением плоскостью оставшейся части цилиндра будет кольцо с внешним радиусом R и

внутренним – r. Слайд 4

.

Площадь кольца равна разности площадей кругов с радиусами R и r. Итак, площади

сечений этих тел равны, следовательно, в соответствии с принципом Кавальери равны и

объемы. Таким образом, получена формула для вычисления объема шара:

V =2



R

3

-2/3



R

3

=4/3



R

3.

IV Закрепление изученного.

В ходе фронтальной работы составляется алгоритм приведенного выше

доказательства.

1.

Рассматриваются два тела: исследуемое и вспомогательное - объем которого

известен.

3

2.

Тела располагаются в пространстве.

3.

Рассматриваются их сечения плоскостью, параллельной данной.

4.

Устанавливается выполнение условий принципа Кавальери.

5.

Делается вывод.

Создается проблемная ситуация: возможно ли обобщение принципа Кавальери?

Результатом

рассуждений

становится

следующее

утверждение-

обобщение

принципа

Кавальери:

Если два тела можно расположить в пространстве так, что любая плоскость,

параллельная заданной, пересекает эти тела по фигурам, отношение площадей которых

постоянно, то таким же будет отношение объемов этих тел

V. Постановка домашнего задания.

1. Вывести формулу для вычисления объема частей шара: шарового сегмента и шарового

сектора

2. Решить задачи: № 3.457, 3.459.

VI. Подведение итогов урока.

Отмечается, что на этом уроке рассмотрен еще один подход к выводу формулы для

вычисления объема шара. И намечен путь вывода формулы для вычисления объема

частей шара.

VII. Резервные задания.

1.

Установить, результатом вращения каких фигур являются рассмотренные тела.

Дополнительный материал

Принцип Кавальери

Бонавентура Кавальери, итальянский математик, – монах ордена иеронимитов. С 1629

год а ,

п о

р е ком е н д а ц и и

Г.

Га л и л е я ,

з а н и ма л

ка ф ед ру

мат е мат и к и

в

Болонскомуниверситете.

Развил новый метод определения площадей и объемов, так

называемый "метод неделимых". Неделимыми Кавальери называл параллельные между

собой хорды плоской фигуры или параллельные плоские сечения тела. Ввел понятие

"суммы всех" неделимых, проведенных внутри контура фигуры. Отношение двух "сумм

всех

неделимых"

явилось

зародышевой

формой

отношения

двух

определенных

интегралов

Вывод объема призмы.

Найдем объем наклонной призмы с основанием F площади S высотой h. Для этого

рассмотрим прямую призму с таким же основанием и высотой. Расположим эти призмы

4

так, чтобы плоскости их оснований были параллельны.

Тогда сечения этих призм

плоскостями,

параллельными

основаниям,

дадут

многоугольники,

равные

F.

Следовательно, эти сечения имеют равные площади. По принципу Кавальери следует

равенство объемов этих призм. А значит, объем наклонной призмы равен Sh.

5