Калинина Надежда Анатольевна

учитель математики

МБОУ «Карамышевская СШ № 25

имени Героя Советского Союза А.А. Колоскова»

Щекинского района

Краткое описание и целевая

аудитория



Контрольные измерительные материалы ЕГЭ содержат три

геометрические задачи. Одна стереометрическая задача

высокого уровня сложности включена в часть 3 и требует

записи развернутого ответа. В задачах в основном

необходимо вычислить значение одной из геометрических

величин: расстояния, градусной меры угла

(тригонометрической функции угла),площади

планиметрической фигуры или поверхности тела, объема

тела.



Данный материал предназначен для учителей

общеобразовательных школ,



Учащихся 10-11 классов школ для подготовки к экзамену по

математике в форме ЕГЭ.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ:



Рассмотреть стереометрические

задачи для подготовки к ЕГЭ, оказать

помощь выпускникам в подготовке к

сдаче экзаменов за курс

общеобразовательной школы,

показать учащимся основные приемы

решений стереометрических задач,

решений задач, нестандартных по

формулировке.

Расстояние от точки до прямой

2

Пример 1.Ребра правильной четырехугольной призмы равны 1,4 и 4.Найдите

расстояние от вершины до центра основания призмы, не содержащего эту

вершину.

Р е ш е н и

е.Данная четырехугольная призма правильная, значит ,

ее основание- правильный четырехугольник, то есть квадрат.

Поэтому все стороны основания равны 4,

а боковое ребро призмы равно 1.

Центр основания –точка пересечения диагоналей

Квадрата, значит, искомое расстояние равно длине

стороны A

1

О треугольник A

1

АО).

Так как призма правильная, то боковое ребро перпендикулярно плоскости основания,

значит АА

1

перпендикулярна АО.

В прямоугольном треугольнике АА

1

О стороны А

1

А=1, АО=0, 5АС=0,5*4 =

,по теореме Пифагора получим: А

1

О=

Ответ:3.

22

22

1(22)183

+=+=

Расстояние между

параллельными прямыми



Пример 2.Каждое ребро четырехугольной пирамиды MABCD равно

11. Найдите расстояние между прямой AD и прямой , проходящей

через середину ребра BM параллельно прямой BC.

Расстояние от точки до

плоскости



Пример 3. Боковое ребро MA пирамиды MABC перпендикулярно

плоскости основания и равно 13, угол BAC равен 90, AB=39 и

AC=52. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCM.

Расстояние между прямой

параллельной ей плоскостью



Пример 4. Через точку А, лежащую на окружности основания

цилиндра, проведены образующая AD и наклонная, пересекающая

окружность второго основания в точке C. Радиус цилиндра равен

5, высота равна 8, AC=10. Найдите расстояние от оси цилиндра до

плоскости, проходящей через наклонную AC и образующую AD.

Расстояние между двумя

параллельными плоскостями



Пример 5. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 3. Найдите расстояние

между плоскостями AB1D1 и BDC1.

Расстояние между

скрещивающимися прямыми



Пример 6. Точка О – середина бокового ребра АА1 прямой призмы

, АА1=30, АВ=ВС=20, АС=32. Найдите синус угла между прямыми

АС1 и В1О.

Угол между прямой и

плоскостью



Пример 7. Основание правильной призмы ABCA1B1C1 –

треугольник АВС, в котором АВ=4, а точка Т – середина стороны

АВ. Боковое ребро призмы равно 3. Найдите синус угла между

прямой В1Т и плоскостью боковой грани ВСС1В1.

Сечения многогранников



Пример 7. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно

a.

Секущая плоскость

проходит через середины ребер АВ, АА1 и A1D1. Найдите площадь

сечения.

Комбинация тел и

многогранников



В кубе ABCDABCD площадь круга, описанного вокруг каждой грани, равна 288.На

ребрах AB,AD,CC заданы соответственно точки M,N,L, причем AM:MB=1:3,

CL:LC=7:9.



В куб вписан шар. Определите площадь круга- сечение шара плоскостью,

проходящей через точки M,N,L.



Решение. В задании проверяется умение решать стереометрическую задачу на

комбинацию геометрических тел.



Пусть сторона куба равна a , тогда радиус шара, вписанного в куб, равен

r=0,5a.Площадь круга, описанного вокруг каждой грани, равна =288, так

как радиус этого круга равен .



Если p- расстояние от центра куба О до секущей плоскости, то радиус круга-

сечение шара плоскостью r2 определяется по теореме Пифагора :

.Значит для решения задачи нам необходимо вычислить величину p.



Рассмотрим прямоугольник AACC. Пусть точка Р- середина отрезка MN ,тогда Р-

точка на AC и AP= .Величина p равна длине перпендикуляра, опущенного из

центра прямоугольника и куба О на отрезок PL.



Тангенс угла OPC равен , тангенс угла LPC равен , значит , тангенс

разности этих углов, тангенс угла LPO равен , соответственно его синус

равен .PO= . Отсюда p= . И искомая площадь равна 94.



Ответ:94.

2

/2

a

p

/2

а

22

21

rrp

=-

2/8

a

22/3

1/22

5/317

5/82

5/122

a

17/32

a

5/122

a

Литература:



Журнал «Математика для

школьников» №4, 2015 г.



ЕГЭ – 2017 «Математика»