Автор: Ширинова Тамара Арифовна
Должность: студентка бакалавриата
Учебное заведение: Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики
Населённый пункт: г. Самары
Наименование материала: научная статья
Тема: ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЩЕЛЕВОЙ ЛИНИИ
Раздел: полное образование
УДК 535.645.646 Ширинова Т.А.
студентка бакалавриата
Солдатов А.А., кандидат физ.-мат. наук
научный руководитель, доцент
Поволжский государственный университет
телекоммуникаций и информатики
Россия, г. Самара
ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЩЕЛЕВОЙ ЛИНИИ
В
предлагаемой
статье
рассматривается
щелевая
линия
в
прямоугольном
волноводе,
расположенная
в
прямоугольном
волноводе.
Получено дисперсионное уравнение, которое было решено в среде Matcad.
Проведено моделирование щелевой линии в среде Microwave Studio.
Ключевые
слова:
щелевая
линия
передачи,
адмит анс,
несимметричная интегральное уравнение, дисперсионное уравнение.
1
UDC 535.645.646 Shirinova T.A.
graduate student
Soldatov AA, PhD in Physics and Mathematics. science
supervisor, associate professor
Povolzhsky State University
telecommunications and informatics
Russia, Samara
DESIGN OF THE SLOTHEAD LINE
In
this
article,
a
slit
line
in
a
rectangular
waveguide
located
in
a
rectangular waveguide is considered. The dispersion equation was obtained,
which was solved in the Matcad environment. Slit line modeling was performed
in Microwave Studio.
Keywords:
slot line, admittance, asymmetric integral equation, dispersion
equation.
2
1 Расчет параметров щелевой линии передачи
1.1 Адмитанс для щелевой линии
Схематическое изображение симметричной щелевой линии передачи
показано на рис.1.
Рис.1.
Щелевая
линия
шириной
∆
W= W2-W1,
в
прямоугольном
волноводе с широкой стенкой а и узкой у2.
Будем считать, что Ex >>Ez, то есть Ez ≈ 0.
Представим основные составляющие в виде разложения в ряд Фурье
по х.
0
xmx
m
mx
e(x,y)e(y)cos
a
p
�
=
=
�
,
0
zmz
m
mx
h(x,y)h(y)cos
a
p
�
=
=
�
,
где эти две составляющих электромагнитного поля связаны через
адмитанс
()i
Y
следующей формулой
)
(
)
(
)
(
i
mx
i
m
i
mz
e
Y
h
=
,
где m
–
номер
гармоники, i = 1,2 – номер области
волновода (рис.1)
Волновое уравнение запишется в виде
3
ε
(2)
ε
(1)
1
2
0
y
a
W
2
W
1
y
1
y
2
x
22
2
22
0
cmz
mx
khsin
xya
p
��
��
++=
��
��
�
, (1)
где
2
2
2
h
k
k
c
=
,
p
2
=
k
- волновое число, h – искомая постоянная
распространения.
Найдем адмитанс в первой области под щелью.
Уравнение (1) запишется в виде:
0
2
2
2
2
=
+
+
mz
c
h
k
y
a
m
p
.
0
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
2
=
+
mz
mz
mz
h
r
y
h
. (2)
Перепишем разложение электромагнитного поля в ряды Фурье в
виде:
0
ihz
xmx
m
mx
E(x,y,z)e(y)cose
a
p
�
=
=
�
�
,
0
ihz
zmz
m
mx
H(x,y,z)h(y)cose
a
p
�
=
=
�
�
,
введем обозначение -
.
m
m
a
p
b
=
Уравнение
Гельмгольца
для
магнитной
с о с т а вл я ю щ е й
электромагнитного аналогично (2) поля перепишется в виде:
.
0
2
2
=
+
z
z
H
k
H
Дифференцирование по z дает
2
2
2
z
z
H
hH
z
�
=
�
.
Или, разворачивая оператор Гамильтона
2
�
, получим
4
22
2
22
0
cz
kH
xy
��
��
++=
��
��
�
. (3)
Для каждой m составляющей
mz
h
, уравнение (3) для первой области
примет вид
2
12
2
0
()
mz
mmz
dh
rh
dy
+=
,
где введено обозначение
2
2
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
=
a
m
h
k
r
m
p
.
Решение этого уравнения запишется в следующем виде:
111
12
()()()
mzmm
hAcosryAsinry
=+
,
.Запишем граничные условия (ГУ) на стенках волновода для первой
области
0
0
2
0
=
=
=
A
y
h
y
mz
.
Откуда
11
1
()()
mzm
hAcosry
=
.
По формулам перехода
11
111
1
1212
()()
()()()
mz
mxmm
()()
cc
ikhik
eArsinry
[k]y[k]
�
==
�
.
)
(
)
(
)
(
i
mx
i
i
mz
e
Y
h
=
[при y=y
1
].
Где для адмитанса в первой области получим следующее выражение
5
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
]
[
y
ctgr
r
ik
k
e
h
Y
m
m
c
mx
mz
m
=
=
.
Аналогично для второй области:
222
12
()()()
mzmm
hBcosryBsinry
=+
.
ГУ для второй области перепишется в виде
2
0
)
2
(
y
y
mz
y
h
=
=
, откуда можно записать
22
1222
0
()()
mm
BsinryBcosry
+=
.
Выразим из последнего равенства одну постоянную через другую
2
2
12
2
2
()
m
()
m
cosry
BB
sinry
=
.
Подставляя
вместо В
1
его
выражение
через В
2
, окончательно для
второй области получим
222222
2
222
2
2
()()()()()()
mzmmmmm
( )
m
B
hcosrycosrysinrysinryBcosr(yy)
sinry
��
=+
�
=
��
.
По формулам перехода
(
)
222
222
21
2222
()()()
()()()
mz
mxmm
()()
cc
ikhik
ersinryy
[k]y[k]
�
==
�
.
Адмитанс при y=y
1
)
1
2
)
2
(
)
2
(
)
2
(
2
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
]
[
y
y
ctgr
r
ik
k
e
h
Y
m
m
c
mx
mz
m
=
=
.
)
1
2
)
2
(
)
2
(
)
2
(
2
)
2
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
2
(
)
1
(
]
[
]
[
y
y
ctgr
r
ik
k
y
ctgr
r
ik
k
Y
Y
Y
m
m
c
m
m
c
m
m
m
+
=
=
1.2 Интегральное уравнение для щелевой линии
Запишем ГУ для магнитной составляющей поля в области щели
6
(2)(1)
12
0,[,].
zz
HH
приxWW
=
�
(4)
Для Фурье составляющих магнитного поля уравнение (4) запишется
в виде
(1)(2)
0
()cos0.
mzmzm
m
hhx
b
�
=
=
�
(5)
Магнитные
составляющие
поля
связаны
с
электрическими
составляющими через адмитанс
(1)(1)(2)(2)
12
,.
mzmmxmzmmx
hYehYe
==
(6)
Здесь учтено , что электрические составляющие поля в области щели
равны для первой и второй области.
Подставим (2.6) в (2.5), получим
12
12
0
0
()()
mmmxm
m
(YY)ecosx,
b
�
=
=
�
или , если ввести обозначение
(1)(2)
12
.
mmm
YYY
=
0
0
mmxm
m
Yecosx.
b
�
=
=
�
(7)
Для преобразования Фурье верно следующее равенство:
a
mxxm
0
m0
1
eE(x)cosxdx
a(1)
b
d
���
=
+
�
,
где δ
m0
=1 при m =0 и нулю в ином случае.
Подставим
последнее
равенство
в
уравнение
(7)
и
получим
интегральное
уравнение
для
нахождения
электрической
составляющей
электромагнитного поля в щелевой линии.
2
1
0
0
0
1
W
m
xmm
m
m
W
Y
E(x)cosxcosxdx.
()
bb
d
�
=
���
=
+
�
�
(8)
В уравнении (8) обозначено
1
()(,).
xx
ExExyy
��
==
7
Зная поле Е и адмитанс в области щели, можно вычислить поле Н.
Уравнение (2.8) можно переписать в тензорном виде
2
1
11
(,)()0.
W
x
W
KxxExdx
��
=
�
(9)
Где тензор
11
(,)
Kxx
�
находится по формуле
11
0
0
1
m
mm
m
m
Y
K(x,x)cosxcosx
()
bb
d
�
=
��
=
+
�
и называется ядром интегрального уравнения (9).
3 Дисперсионное уравнение для щелевой линии
Дисперсионное
уравнение
для
щелевой
линии
выводится
из
уравнения (9) в нулевом приближении и имеет вид:
3
0
0
2
tlnS
Y
=
. (10)
В уравнении (10) введены обозначения
(
)
(
)
2121
22
wwww
Ssinsin
aa
pp
+
=
,
)
+
=
=
=
1
2
)
2
(
0
)
2
(
0
)
2
(
2
)
2
(
1
)
1
(
0
)
1
(
0
)
1
(
2
)
1
(
0
]
[
]
[
1
)
0
(
y
y
ctgr
r
k
y
ctgr
r
k
ik
m
при
Y
Y
c
c
m
.
Так как
)
(
)
(
0
i
c
i
k
r
=
)
2
,
1
=
i
, то имеем
)
+
=
1
2
)
2
(
0
)
2
(
)
2
(
1
)
1
(
0
)
1
(
)
1
(
0
1
y
y
ctgr
k
y
ctgr
k
ik
Y
c
c
,
m
m
mY
t
=
lim
3
.
Учитывая, что
a
m
i
r
m
m
p
=
lim
и
i
ctgr
m
m
=
lim
, получим
+
=
+
=
)
2
(
2
)
2
(
)
1
(
2
)
1
(
)
2
(
2
)
2
(
)
1
(
2
)
1
(
3
]
[
]
[
)
(
]
[
)
(
]
[
p
p
p
c
c
c
c
k
k
i
a
a
m
i
ik
i
k
m
a
m
i
ik
i
k
m
t
.
8
Окончательно дисперсионное уравнение запишется в виде:
(
)
121222
12
121
1212
0
2
()()()()
()()
cccc
cc
()()()()
kka[k][k]lnS
ctgkyctgkyy
p
����
++=
����
����
.
Для симметричной щели:
2
W
Ssin
a
pD
=
, где
21
WWW
D
=
.
Выражая
дисперсионное
уравнение
через
отношение h/k
и y/a
,получим следующее расчетное дисперсионное уравнение
22
(1)(1)
1
22
(2)(2)
21
22
(1)(2)
hyh
ctg(ak)
kak
hyyh
ctg(ak)
kak
akhhlns
0
kk2
p
��
������
��
+
������
��
������
��
��
������
��
++
������
��
������
��
��
����
����
������
++=
��
����
������
������
����
��
��
��
(11)
Решая
уравнение
(11)
для
различных
частот
можно
найти
зависимость постоянной распространения h от частоты.
4 Составляющие электромагнитного поля в щелевой линии
Учтем , что в уравнении (10) можно сделать замену
m1
cosmucosmv
ln2uv
m
�
=
=
�
.
Тогда второй член уравнения можно переписать в виде
9
x
m1
0
dcosmucosmv
E()dv0
dvm
p
j
j
�
=
=
�
�
.
Меняя в последнем уравнении знак интегрирования и суммирования
местами, получим
x
m1
0
dcosmucosmv
E()dv0
dvm
p
j
j
�
=
=
�
�
. (12)
Уравнение (12) является уравнением типа
m
m1
Dcosmu0
�
=
=
�
,
Последнее равенство выполняется при условии
m
D0
=
.
Учитывая это, получаем
x
0
d
E()cosmvdv0
dv
p
j
j
=
�
.
Чтобы последнее равенство всегда выполнялось, необходимо, чтобы
сомножитель перед
cosmv
был равен некоторой постоянной величиной.
x0
d
E()C
dv
j
j
=
,
где
0
C
- некоторая постоянная.
Отсюда найдем
x
0
E()dv
Cd
j
j
=
, (13)
т.к. по определению
cosc
varccos
s
j
��
=
��
��
,
взяв в уравнении (13) производную по
j
, находим с точностью до
постоянной
10
(
)
x
2
2
sin
E()
sccos
j
j
j
=
. (14)
Рис.
2.
Зависимость
составляющей
поля E
x
о т φ
(φ=πx/a)
для
симметричной щелевой линии ( рассчитанная по формуле (2.14) при
ΔW =4 мм; частота равна 10 ГГц
5 Расчет постоянной распространения
Постоянная распространения для симметричной и несимметричной
щелевой линии (точнее отношение h/k) рассчитывалась в среде MathCad .
Кривые расчета для симметричной линии приведены на рис.3-5
для
разных параметров линии.
11
0
0.35
0.7
1.05
1.4
1.75
2.1
2.45
2.8
3.15
3.5
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
Ex
(
)
x0
3
a
4
=
Рис.
3.
Зависимость h/k
от
частоты:
сплошная
линия ΔW =1 мм;
штриховая линия ΔW = 3 мм; штрихпунктирная линия ΔW = 6 мм; ε
1
=10; ε
2
=1; а =23 мм; y
2
= a/2; y
1
= a/4
8
9
10
11
12
13
0
1
2
3
fits2 x
(
)
fits3 x
(
)
x
Рис.4.
Зависимость h/k
от
частоты:
сплошная
линия ΔW
=1
мм;
штриховая линия ΔW = 6мм; ε
1
=10; ε
2
=3; а =23 мм; y
2
= a/2; y
1
= a/4
12
h/k
h/k
f, ГГц
Рис.5. Зависимость h/k от размеров щели ΔW (мм) на частоте 10 ГГц,
ε
1
=10; ε
2
=1; а =23 мм; y
2
= a/2; y
1
= a/4
На рис.6 приведены кривые расчета для несимметричной щелевой
линии.
13
f, ГГц
f, ГГц
h/k
Рис.
6.
Зависимость h/k от частоты для несимметричной щелевой
линии; ΔW =1 мм: сплошная линия 1-я гармоника; штриховая линия
2-я гармоника; ε
1
=10; ε
2
=1; а =23 мм; W
1
= 3a/4; y
2
= a/2; y
1
= a/4
2 Моделирование щелевой линии в средеCST Microwave Studio
Проведем моделирование щелевой линии в среде CST Microwave
Studio
. Смоделированная
щелевая
линия
в
прямоугольном
волноводе
показана на рис.7.
14
Рис. 7. Волновод 23×10 мм из серебра с диэлектриком с
ε
r
=10 и
вакуумом в верхней половине и щелевой линией шириной ΔW= 1 мм
Результаты
проектирования
экранированной
щелевой
линии
приведены ниже
Рис.8. Зависимость параметра S
11
от частоты для щели шириной ΔW
=1мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
15
f, ГГц
Рис.9. Зависимость параметра S
21
от частоты для щели шириной ΔW
=1мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
16
f, ГГц
Рис.10. Силовые линии модуля Е-поля на частоте 10 ГГц, ΔW =1мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
Рис.11. Силовые линии модуля Н-поля на частоте 10 ГГц, ΔW =1мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
17
Рис.12. Составляющая поля Е
x
вдоль оси x на частоте 10 ГГц, ΔW
=1 мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
Рис.13. Составляющая поля Н
z
вдоль оси x на частоте 10 ГГц, ΔW
=1 мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
Все ниже приведенные кривые рассчитаны на частоте 10 ГГц.
18
Рис.14. Зависимость КСВН (VSWR) от частоты (Frequency) в ГГц
для щели шириной ΔW =1мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
Рис.15. Распределение модуля Е-поля вдоль оси y для щели шириной
ΔW =1мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
19
Рис.16.
Распределение
модуля
Н-поля
вдоль
оси y
для
щели
шириной ΔW =1мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
Рис.17. Силовые линии модуля Е-поля на частоте 10 ГГц, ΔW =4мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
20
Рис.18. Распределение модуля Е-поля вдоль оси
x
для щели шириной
ΔW =4 мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
Рис.19 . Составляющая поля Е
x
вдоль оси x на частоте 10 ГГц, ΔW =4
мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
21
Рис.20. Распределение модуля Е-поля вдоль оси y для щели шириной
ΔW =4 мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
Рис.21
–Распределение
модуля
Н-поля
вдоль
оси
x
для
щели
шириной ΔW =4 мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
22
Рис.22 Зависимость КСВН (VSWR) от частоты (Frequency) в ГГц для
щели шириной ΔW =4 мм,
ε
1
=10,
ε
2
=1
Приведенные
выше
результаты
хорошо
описывают
такие
электродинамические
характеристики
электромагнитного
поля
в
экранированной
щелевой
линии
как
элементы
матрицы
рассеяния,
структура электромагнитного поля в поперечном сечении линии передачи,
распределение коэффициента стоячей волны (КСВН) по частоте. Кривые
приведены на частоте 10 ГГц. Но расчеты показали , что в полосе 8-12 ГГц
результаты отличаются незначительно. Приведены кривые для узкой 1 мм
и широкой 4 мм щели. Эпюры составляющей E
x
– поля, рассчитанные и
полученные в результате проектирования, достаточно хорошо совпадают.
23