Интегрированный урок (геометрия, литература, искусство, архитектура)

по теме "Золотое сечение"

Мясникова Т.Л., учитель математики, МБОУ гимназия №2,

ХМАО, г.Сургут

Золотое

сечение

это

универсальное

проявление

структурной

гармонии.

Оно

встречается в природе, науке, искусстве – во всем, с чем может соприкоснуться человек.

Однажды познакомившись с золотым правилом, человечество больше ему не изменяло.

Источник: Золотое сечение: что делает мир красивым

Цели:

Обучающая: приобретение знаний по математике, литературе, искусству, осознание

разнообразия применения математики в реальной жизни. Развивающая: развитие личности

старшеклассников:

способность

понимать

гармонию

окружающего

мира;

развитие

интереса к творческой, исследовательской работе.

Воспитывающая:

воспитание

у

учащихся

стремления

к

целенаправленному

преодолению трудностей на пути познания.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, тематическая литература

(выставка), исследовательские работы учащихся, геометрические инструменты, тексты

литературных произведений.

План занятия:

1.

Введение. Понятие золотого сечения.

2.

История золотого сечения

3.

.Сообщения групп учащихся: №1-8

4.

Исследование числа Ф.

5.

Построение "золотого прямоугольника".

6.

Золотые пропорции в литературе. Поэзия и золотое сечение.

7.

Итог занятия (обобщающая беседа).

1. Введение. Понятие золотого сечения

Математика и литература, что общего между ними… Какие точки соприкосновения

этих

дисциплин

можем

мы

найти?...

Самой

яркой

такой точкой является “золотое

сечение”.

В мире существует уникальная пропорция, которую называют “формулой красоты”.

К

этой

пропорции

применяют эпитеты

“золотая”,

“божественная”,

“золотое

сечение”,

последний эпитет наиболее распространен. Понятие “золотое сечение” ввел Леонардо да

Винчи.

Суть золотой пропорции заключается в следующем:

Если целое разделить на две части, то отношение большей части к меньшей равно

отношению целого к большей части.<Рисунок 1>

СООБЩЕНИЯ ГРУПП ПО СЛЕДУЮЩИМ ТЕМАМ:

ГРУППА №1 Золотое сечение — гармоническая пропорция

В математике пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d.  

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:  

— на две равные части — АВ : АС = АВ : ВС;  

— 

на

две

неравные

части

в

любом

отношении

(такие

части

пропорции

не

образуют);  

— таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.  

Последнее и есть золотое деление.  

Золотое

сечение —

это

такое

пропорциональное

деление

отрезка

на

неравные

части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть

относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему,

как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.  

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в

золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка

С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС,

заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при

этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной дробью AE = 0.618... если

АВ

принять

за

единицу,

ВЕ

=

0.382...

Для

практических

целей

часто

используют

приближенные значения 0.62 и 0.38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая

часть отрезка равна 62, а меньшая 38 частям.

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому

сечению BC = 1/2 AB; CD = BC

Свойства

золотого

сечения

создали

вокруг

этого

числа

романтический

ореол

таинственности и чуть ли не мистического поколения.  

К

примеру,

в

правильной

пятиконечной

звезде,

каждый

сегмент

делится

пересекающим

его

сегментом

в

золотом

сечении

(т.

е.

отношение

синего

отрезка

к

зеленому, красного к синему, зеленого к фиолетовому, равны 1.618). 

 

Рис. 3. Золотое сечение в пятиконечной звезде

Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша

«О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое

отношение 44 : 56.  

Такая пропорция обнаружена в архитектуре.  

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции

золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится

точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из

точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в

отношении 56 : 44.  

Рис. 4. Построение второго золотого сечения

Золотой треугольник (пентаграмма)

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов

можно пользоваться пентаграммой.  

Рис.5. Построение правильного пятиугольника и пентаграммы

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.

Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер. Пусть

O —

центр

окружности,

A —

точка

на

окружности

и

Е —

середина

отрезка

ОА.

Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в

точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны

вписанного

в

окружность

правильного

пятиугольника

равна

DC.

Откладываем

на

окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника.

Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все

диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой

пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его

стороны образуют угол 360 при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону,

делит ее в пропорции золотого сечения.  

Проводим

прямую

АВ.

От

точки

А

откладываем

на

ней

три

раза

отрезок

О

произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ,

на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d

и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая

точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1

пользуются для построения «золотого» прямоугольника.  

Рис.6. Построение золотого треугольника

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор,

древнегреческий философ и математик. Есть предположение, что Пифагор свое знание

золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян.   

И

действительно,

пропорции

пирамиды

Хеопса,

храмов,

предметов

быта

и

украшений

из

гробницы

Тутанхамона

свидетельствуют,

что

египетские

мастера

пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор

Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе,

изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого

деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его

имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции

золотого деления.  

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при

помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были

основанием для построения динамических прямоугольников.  

Рис. 7. Динамические прямоугольники

Платон также знал о золотом делении. Пифагореец Тимей в одноименном диалоге

Платона говорит: «Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без

третьей, так как между ними должна появиться вещь, которая скрепляла бы их. Это

наилучшим образом может выполнить пропорция, ибо если три числа обладают тем

свойством, что среднее так относится к меньшему, как большее к среднему, и, наоборот,

меньшее так относится к среднему, как среднее к большему, то последнее и первое будет

средним, а среднее — первым и последним.  

Таким образом, все необходимое будет тем же самым, а так как оно будет тем же

самым, то оно составит целое».  

Земной мир Платон строит, используя треугольники двух сортов: равнобедренные и

неравнобедренные. Прекраснейшим прямоугольным треугольником он считает такой, в

котором гипотенуза вдвое больше меньшего из катетов (такой прямоугольник является

половиной равностороннего, основной фигуры вавилонян, в нем выступает отношение

1 : 31/2, отличающееся от золотого сечения примерно на 1/25, и называемое Тимердингом

«соперником

золотого

сечения»).

С

помощью

треугольников

Платон

строит

четыре

правильных многогранника, ассоциируя их с четырьмя земными элементами (землей,

водой, воздухом и огнем).  

И

лишь

последний

из

пяти

существующих

правильных

многогранников —

додекаэдр,

всеми

двенадцатью

гранями

которого

служат

правильные

пятиугольники,

претендует на символическое изображение небесного мира. 

ГРУППА №2 Икосаэдр и додекаэдр

Честь

открытия

додекаэдра

(или,

как

полагалось,

самой

Вселенной,

этой

квинтэссенции

четырех

стихий,

символизируемых,

соответственно,

тетраэдром,

октаэдром, икосаэдром и кубом) принадлежит Гиппасу, впоследствии погибшему при

кораблекрушении.

В

этой

фигуре

действительно

запечатлено

множество

отношений

золотого сечения, поэтому последнему отводилась главная роль в небесном мире, на чем

впоследствии и настаивал брат минорит Лука Пачоли.

Рис. 8. Додекаэдр — представитель семейства платоновых тел, т. е. правильных

выпуклых многогранников

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции.

При

его

раскопках

обнаружены

циркули,

которыми

пользовались

архитекторы

и

скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены

пропорции золотого деления.  

.

Рис. 9. Античный циркуль золотого сечения

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в

«Началах» Евклида. Во второй книге «Начал» дается геометрическое построение золотого

деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до

н. э.), Папп (III в. н. э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились

по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III век)

сделал

к

переводу

комментарии.

Секреты

золотого

деления

ревностно

оберегались,

хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.  

Такая пропорция лишь одна, а единственность — высочайшее свойство Бога. В ней

воплощено святое триединство. Эта пропорция не может быть выражена доступным

числом, остается скрытой и тайной и самими математиками называется иррациональной

(так и Бог не может быть ни определен, ни разъяснен словами). Бог никогда не изменяется

и представляет все во всем и все в каждой своей части, так и золотое сечение для всякой

непрерывной и определенной величины (независимо от того, большая она или малая) одно

и то же, не может быть ни изменено, ни по-иному воспринято рассудком. Бог вызвал к

бытию небесную добродетель, иначе называемую пятой субстанцией, с ее помощью и

четыре других простых тела (четыре стихии — землю, воду, воздух, огонь), а на их основе

вызвал к бытию всякую другую вещь в природе; так и наша священная пропорция,

согласно Платону в «Тимее», дает формальное бытие самому небу, ибо ему приписывается

вид тела, называемого додекаэдром, который невозможно построить без золотого сечения.

 

Рис. 10. Леонардо да Винчи — итальянский художник, ученый,

изобретатель, писатель

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он

производил

сечения

стереометрического

тела,

образованного

правильными

пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом

делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до

сих пор как самое популярное.  

ГРУППА №3 Трактат о пропорциях человека. А.Дюрер

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился

Альбрехт Дюрер. Он делает    наброски введения к первому варианту трактата о

пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому

других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя

по

одному

из

писем

Дюрера,

он

встречался

с

Лукой

Пачоли

во

время

пребывания

в

Италии.

Альбрехт

Дюрер

подробно

разрабатывал

теорию

пропорций

человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому

сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией,

проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица — ртом и

т. д.

Рис. 11. Пропорция в частях тела человека

Как показано на рисунке 11, длина каждого сустава пальца соотносится с длиной

следующего сустава по пропорции Ф. Такое же соотношение проявляется во всех пальцах

рук и ног. Эта связь как-то необычна, потому что один палец длиннее другого без всякой

видимой закономерности, но это все не случайно, как не случайно все в теле человека.

Расстояния на пальцах, отмеченные от А до В до С до D до Е, все соотносятся друг с

другом по пропорции Ф, равно как и фаланги пальцев от F до G до H. соответствует

модели пропорции Ф точно так, как и в теле человека.

Тело человека и золотое сечение

Все

кости

человека

выдержаны

в

пропорции

золотого

сечения.

Пропорции

различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если

эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека

считается идеально сложенными.  

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней

человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Рис. 13. Идеальные пропорции тела. Золотое сечение и пропорции тела

Расстояние

от

уровня

плеча

до

макушки

головы

и

размера

головы

равно

1:1.618.   Расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки

головы равно 1:1.618.  

Расстояние

точки

пупа

до

коленей

и

от

коленей

до

ступней

равно

1:1.618.   Расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика

верхней губы до ноздрей равно 1:1.618. 

Собственно, точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал

красоты для человеческого взора. Расстояние от кончика подбородка до верхней линии

бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618. 

Высота лица/ширина лица.

Центральная точка соединения губ до основания

носа/длина носа. 

Высота лица/расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения

губ. 

Ширина рта/ширина носа. 

Ширина носа/расстояние между ноздрями. 

Расстояние между зрачками/расстояние между бровями. 

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть

на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. 

Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма длин двух первых фаланг

пальца

в

соотношении

со

всей

длиной

пальца

и

дает

число

золотого

сечения

(за

исключением большого пальца). 

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу

золотого сечения. 

У

человека

две

руки,

пальцы

на

каждой

руке

состоят

из

трех

фаланг

(за

исключением большого пальца). На каждой руке имеется по пять пальцев, то есть всего

10, но, за исключением двух двухфаланговых больших пальцев, только восемь пальцев

создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа

последовательности Фибоначчи. 

Также следует отметить тот факт, что у большинства людей расстояние между

концами расставленных рук равно росту. 

Истины

золотого

сечения

внутри

нас

и

в

нашем

пространстве.

Особенность

бронхов,

составляющих

легкие

человека,

заключена

в

их

асимметричности.

Бронхи

состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой

(правый)

короче.

Было

установлено,

что

эта

асимметричность

продолжается

и

в

ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение

длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1.618.

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea («Улитка»), который исполняет

функцию передачи звуковой вибрации. Эта кистевидная структура наполнена жидкостью

и также сотворена в форме улитки, содержащей в себе стабильную логарифмическую

форму спирали, равную 73.43’.  

Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно

достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия (систолы). В артериях во время

систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной

115-125 мм рт. ст. у молодого здорового человека. В момент расслабления сердечной

мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт. cт. Отношение максимального

(систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1.6, то

есть близко к золотой пропорции.  

Если взять за единицу среднее давление крови в аорте, то систолическое давление

крови

в

аорте

составляет

0.382,

а

диастолическое

0.618,

то

есть

их

отношение

соответствует

золотой

пропорции.

Это

означает,

что

работа

сердца

в

отношении

временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же

принципу — закону золотой пропорции.  

ГРУППА №4 Принципы формообразования в природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять

место

в

пространстве

и

сохранить

себя.

Это

стремление

находит

осуществление

в

основном

в

двух

вариантах:

рост

вверх

или

расстилание

по

поверхности

земли

и

закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного

уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной

35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет

неполным, если не сказать о спирали.  

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и

вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его

именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда

широко применяется в технике.  

Рис. 12. Спираль Архимеда

Еще

Гете

подчеркивал

тенденцию

природы

к

спиральности.

Винтообразное

и

спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно.  

Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах,

кактусах

и

т.

д.

Совместная

работа

ботаников

и

математиков

пролила

свет

на

эти

удивительные

явления

природы.

Выяснилось,

что

в

расположении

листьев

на

ветке

(филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало

быть,

проявляет

себя

закон

золотого

сечения.

Паук

плетет

паутину

спиралеобразно.

Спиралью

закручивается

ураган.

Испуганное

стадо

северных

оленей

разбегается

по

спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой

жизни».Золотая спираль тесно связана с циклами. Современная наука о хаосе изучает

простые циклические операции с обратной связью и порожденные ими фрактальные

фороста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.  

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает

золотой

пропорции.

Сложив

крылья,

ночная

бабочка

образует

правильный

равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип

членения тела на 2, 3, 5, 8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции:

отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста. 

ГРУППА №5 Золотое сечение в архитектуре

В книгах о золотом сечении можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и

в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в

здании с одной стороны кажутся образующими золотое сечение, то с других точек зрения

они

будут

выглядеть

иначе.

Золотое

сечение

дает

наиболее

спокойное

соотношение

размеров тех или иных длин.   

Одним

из

красивейших

произведений

древнегреческой

архитектуры

является

Парфенон (V в. до н. э.).  

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением.

Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф = 0.618...  

Рис. 14. Парфенон – древнегреческий храм

Парфенон имеет восемь колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы

сделаны

целиком

из

квадратов

пентилийского

мрамора.

Благородство

материала,

из

которого

построен

храм,

позволило

ограничить

применение

обычной

в

греческой

архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и

красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0.618. Если

произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы

фасада.  

На плане пола Парфенона также можно заметить золотые прямоугольники:   

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери

(Нотр-Дам де Пари), и в пирамиде Хеопса.  

Не

только

египетские

пирамиды

построены

в

соответствии

с

совершенными

пропорциями

золотого

сечения,

то

же

самое

явление

обнаружено

и

у

мексиканских

пирамид.   

Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили все «на глазок», без

особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские

архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чем свидетельствует анализ

геометрии древних храмов.   

Известный

русский

архитектор

М.Казаков

в

своем

творчестве

широко

и

спользовал золотое сечение. Его талант был многогранным, но в большей степени он

раскрылся

в

многочисленных

осуществленных

проектах

жилых

домов

и

усадеб.

Например, золотое сечение можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. По

проекту

М.Казакова

в

Москве

была

построена

Голицынская

больница,

которая

в

настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова. Еще

один архитектурный шедевр Москвы — дом Пашкова — является одним из наиболее

совершенных произведений архитектуры В.Баженова.   

ГРУППА №6 Золотое сечение в поэзии

Исследования поэтических произведений с этих позиций только начинаются. И

начинать нужно с поэзии А.С.Пушкина.

Ведь

его

произведения —

образец

наиболее

выдающихся

творений

русской

культуры, образец высочайшего уровня гармонии. С поэзии А.С.Пушкина мы и начнем

поиски золотой пропорции — мерила гармонии и красоты. 

Рис. 15. Александр Сергеевич Пушкин – величайший русский писатель и поэт

Многое

в

структуре

поэтических

произведений

роднит

этот

вид

искусства

с

музыкой.

Четкий

ритм,

закономерное

чередование

ударных

и

безударных

слогов,

упорядоченная

размерность

стихотворений,

их

эмоциональная

насыщенность

делают

поэзию

родной

сестрой

музыкальных

произведений.

Каждый

стих

обладает

своей

музыкальной формой, своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении

стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных произведений, закономерности

музыкальной гармонии, а, следовательно, и золотая пропорция.  

Начнем с величины стихотворения, то есть количества строк в нем. Казалось бы,

этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако оказалось, что это не

так.

Например,

проведенный

Н.Васютинским

анализ

стихотворений

А.С.Пушкина

показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что А. С.

Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).  

Многими

исследователями

было

замечено,

что

стихотворения

подобны

музыкальным

произведениям;

в

них

также

существуют

кульминационные

пункты,

которые

делят

стихотворение

в

пропорции

золотого

сечения.

Рассмотрим,

например,

стихотворение А.С.Пушкина «Сапожник»:  

Картину раз высматривал сапожник

И в обуви ошибку указал;

Взяв тотчас кисть, исправился художник,

Вот, подбочась, сапожник продолжал:

«Мне кажется, лицо немного криво...

А эта грудь, не слишком ли нага?

Тут Апеллес прервал нетерпеливо:

«Суди, дружок, не выше сапога!»

Есть у меня приятель на примете:

Не ведаю, в каком бы он предмете

Был знатоком, хоть строг он на словах,

Но черт его несет судить о свете:

Попробуй он судить о сапогах!

Проведем

анализ

этой

притчи.

Стихотворение

состоит

из

13

строк.

В

нем

выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13,

8, 5 — числа Фибоначчи).  

Одно из последних стихотворений А. С. Пушкина «Не дорого ценю я громкие

права...» состоит из 21 строки и в нем выделяется две смысловые части: в 13 и 8

строк:  

Не дорого ценю я громкие права,

От коих не одна кружится голова.

Я не ропщу о том, что отказали боги

Мне в сладкой участи оспаривать налоги

Или мешать царям друг с другом воевать;

И мало горя мне, свободно ли печать

Морочит олухов, иль чуткая цензура

В журнальных замыслах стесняет балагура.

Все это, видите ль, слова, слова, слова.

Иные, лучшие, мне дороги права:

Иная, лучшая, потребна мне свобода:

Зависеть от царя, зависеть от народа —

Не все ли нам равно? Бог с ними.

Никому Отчета не давать, себе лишь самому

Служить и угождать; для власти, для ливреи

Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;

По прихоти своей скитаться здесь и там,

Дивясь божественным природы красотам,

И пред созданиями искусств и вдохновенья

Трепеща радостно в восторгах умиленья,

Вот счастье! Вот права...

Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию

делится

на

8

и

5

строк,

то

есть

все

стихотворение

построено

по

законам

золотой

пропорции.  

Представляет несомненный интерес анализ романа «Евгений Онегин», сделанный

Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50

стихов.

Наиболее

совершенной,

наиболее

отточенной

и

эмоционально

насыщенной

является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это

точно соответствует числу Фибоначчи 55!  

Н.Васютинский констатирует: «Кульминацией главы является объяснение Евгения

в любви к Татьяне — строка «Бледнеть и гаснуть... вот блаженство!» Эта строка делит всю

восьмую главу на две части: в первой 477 строк, а во второй — 295 строк. Их отношение

равно 1.617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо

гармонии, совершенное гением А. Пушкина!»  

ГРУППА №7 Золотое сечение в живописи

Еще

в

эпоху

Возрождения

художники

открыли,

что

любая

картина

имеет

определенные

точки,

невольно

приковывающие

наше

внимание,

так

называемые

зрительные

центры.

При

этом

абсолютно

неважно,

какой

формат

имеет

картина —

горизонтальный или вертикальный. 

Рис. 16. Зрительные центры картины

Таких

точек

всего

четыре,

и

расположены

они

на

расстоянии

3/8

и

5/8

от

соответствующих краев плоскости.  

Данное открытие у художников того времени получило название «золотое сечение

картины».  

Переходя к примерам золотого сечения в живописи, нельзя не остановить своего

внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность — одна из загадок истории.

Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать

мои труды».  

Он

снискал

славу

непревзойденного

художника,

великого

ученого,

гения,

предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в. 

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали

уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так

как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные

рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете». Он писал справа

налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный, из существующих

образец зеркального письма. 

Рис. 17 Леонардо да Винчи «Мона Лиза» («Джоконда»)

Портрет

Моны

Лизы

(Джоконды)

долгие

годы

привлекает

внимание

исследователей,

которые

обнаружили,

что

композиция

рисунка

основана

на

золотых

треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует

очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.  

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо дель Джокондо

написать портрет молодой женщины, жены банкира, Моны Лизы.

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о

том   глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему

удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных

частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности

выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине

изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой

ГРУППА №8 Золотое сечение и космос

Природа, понимаемая как весь мир в многообразии его форм, состоит как бы из

двух частей: живая и неживая природа. Для творений неживой природы характерна

высокая

устойчивость,

слабая

изменчивость,

если

судить

в

масштабах

человеческой

жизни. Человек рождается, живет, стареет, умирает, а гранитные горы остаются такими

же, и планеты вращаются вокруг Солнца так же, как и во времена Пифагора.

Рис. 18. Две Золотые Спирали Галактики

Мир

живой

природы

предстает

перед

нами

совсем

иным —

подвижным,

изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический

карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций! Мир неживой природы —

это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир

природы —

это

прежде

всего

мир

гармонии,

в

котором

действует

«закон

золотого

сечения». 

В современном мире наука приобретает особое значение, в связи с усилением

воздействия человека на природу. Важными задачами на современном этапе являются

поиск

новых

путей

сосуществование

человека

и

природы,

изучение

философских,

социальных,

экономических,

образовательных

и

других

проблем,

стоящих

перед

обществом.  

В данной работе было рассмотрено влияние свойств золотого сечения на живую и

не живую природу, на исторический ход развития истории человечества и планеты в

целом.

Анализируя

все

вышеизложенное

можно

еще

раз

подивиться

грандиозности

процесса познания мира, открытию все новых его закономерностей и сделать вывод:

принцип

золотого

сечения —

высшее

проявление

структурного

и

функционального

совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Можно ожидать,

что законы развития различных систем природы, законы роста не очень разнообразны и

прослеживаются

в

самых

различных

образованьях.

В этом

и проявляется

единство

природы.

Идея

такого

единства,

основанная

на

проявлении

одних

и

тех

же

закономерностей

в

разнородных

явлениях

природы,

сохранила

свою

актуальность

от

Пифагора до наших дней.  

4. Исследование числа Ф

Выясним

чему

равно

значение

золотой

пропорции,

и

какое

это

число

-

р а ц и о н а л ь н о е

и л и

и р р а ц и о н а л ь н о е ?

Д л я

э т о г о

в о с п о л ь з у е м с я

математическими выкладками.

Пусть точка К делит отрезок в золотом отношении: <Рисунок 4>

a — длина всего отрезка, b — длина большей его части.

Тогда имеет место пропорция:

Разделим обе части равенства на b2

обозначив отношение, получим уравнение:

Его положительный корень

есть число иррациональное, приблизительно

равное 1,6.

5. Практическое задание. Построение "золотого" прямоугольника

Задача.

Построим

“золотой

прямоугольник”.

Для

построения

золотого

прямоугольника необходимо выполнить следующие действия:

1. Начертить квадрат и разделить его на два равных прямоугольника;

2. В одном из прямоугольников провести диагональ АВ;

3. Циркулем провести окружность, радиус которой АВ будет иметь центр в точке А;

4. Продолжить основание квадрата до пересечения с дугой в точке F и провести под

прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.

Измерить

линейкой

длины

сторон

построенного

прямоугольника CDEF, и

вычислить отношение большей стороны к меньшей, убедившись, что оно равно значению

1,6.

Теперь

докажем,

что

построенный

прямоугольник

является

золотым.

Найдем

соотношение сторон построенного прямоугольника <Рисунок 5>

Пусть сторона квадрата а, выразим диагональ АВ через а.

Согласно теореме Пифагора

Найдем длины сторон построенного прямоугольника:

Отношение большей стороны прямоугольника к меньшей равно

.

Таким образом, построенный прямоугольник является “золотым”.

Учащиеся получают индивидуальные задания исследовательского характера:



Найти примеры фрактальной геометрии в природе.



Изучить свойства чисел в ряду Фибоначчи. (Каждое последующее число является

суммой двух предыдущих. Отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к

золотой пропорции).



Найти золотое сечение в пентаграмме. (Каждый конец пятиугольной звезды

представляет собой золотой треугольник, его стороны образуют угол 36° при

вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции

золотого сечения.).

6. Золотые пропорции в литературе. Поэзия и золотое сечение

Необходимо

отметить,

что

литература

не

является

наукой,

это

особый

вид

искусства, поэтому нельзя подходить к анализу художественных произведений только с

точки

зрения

математических

формул,

логики.

Литература

часто

обращается

к

иррациональному, субъективному, недосказанному, находя путь к уму и сердцу читателя. В

основе

литературного

произведения

лежат

принципы

гармонии

и

красоты,

а

следовательно, и золотая пропорция. Это проявляется в:



чередовании ударных и безударных слогов (ритм),



проявлении законов симметрии,



композиционном построении произведений,



в эмоциональной насыщенности и т.д.

Андрей Чернов, исследуя памятник древнерусской литературы ХП века “Слово о

полку

Игореве”,

пришел

к

выводу,

что

структура

произведения

подчиняется

математическим законам: в основе лежит круговая композиция. [7]

Если число стихов во всех трех частях (804) разделить на число стихов в первой и

последней части (256), получается 3,14, т.е. число

.

Академик

АН

СССР

Г.В.Церетели,

изучая

структуру

поэмы

Шота

Руставели

“Витязь в тигровой шкуре”, написанную катренами, каждый стих которой состоит из 16

слогов и делится на равные полустишия по 8 слогов с цезурой (слоговой раздел, пауза)

между полустишиями, пришел к выводу, что поэма построена по принципу золотого

сечения. Проявляется симметрия в строках, построенных по формуле (16=8+8, 8+8) и

золотое сечение в ассиметричных строках (16=8+8, 8=5+3=3+5).

Кроме

того,

грузинский

лингвист

заменил

каждое

слово

числом,

равным

количеству

слогов

в

нем

(перевел

на

числовой

язык),

и

установил,

что

в

6348

шестнадцатисложных

строках

проявляется

золотое

сечение,

выраженное

в

сочетании

чисел 3,5,8. [7]

Учащимся предлагается проанализировать отрывок из поэмы, найти проявление

золотого сечения:

Вот в саду моем прекрасном сохнет роза, увядая,

Но, смотрите, ей на смену появляется другая.

Долго жил я в этом мире, ныне смерть ко мне стучится,-

Дочь моя пускай отныне правит вами как царица.

Стоит обратить внимание на величину стихотворения, то есть на количество строк

в нем. Казалось бы, этот параметр стихотворения может изменяться произвольно. Однако

оказалось, что это не так.

Например, анализ стихотворений А.С. Пушкина с этой точки зрения показал, что

поэт явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).

Вместе с учащимися находим в сборниках стихотворения, соответствующие этим

размерам. (8 строк: “В крови горит огонь желанья…”, “Я вас любил: любовь еще, быть

может…”,

“Пора,

мой

друг,

пора!

покоя

сердце

просит…”; 13-14

строк: “Сапожник”,

“Поедем, я готов; куда бы вы, друзья…”, “Сонет”, “Поэту”, “Мадонна”, “Няне”; 20-21

строк: “Храни меня, мой талисман…”, “Во глубине сибирских руд…”, “Поэт”, “Когда в

объятия мои…”, “Я памятник себе воздвиг нерукотворный…”).

Числа

Фибоначчи

в

творчестве

А.С.Пушкина

часто

определяют

внутреннюю

композицию

стихотворений.

Кульминацией

является

точка

деления

произведения

по

законам золотого сечения. Из 106 произведений в 54 встречается деление, равное числам

Фибоначчи: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

Гений А.С.Пушкина в полной мере раскрывается в романе “Евгений Онегин”. Н.

Васютинский нашел проявление золотой пропорции в этом произведении. Исследователя

заинтересовала

8

глава,

которая,

по

его

мнению,

является

самой

яркой

в

произведении: "Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне -

строка "Бледнеть и гаснуть ... вот блаженство!". Эта строка делит всю восьмую главу на

две

части

-

в

первой

477

строк,

а

во

второй

-

295

строк.

Их

отношение

равно

1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии,

совершенное гением Пушкина!".

Практическое задание:

Проанализируйте

стихотворение

“Пора,

мой

друг,

пора!”.

Найдите

проявление

золотой пропорции в данном стихотворении. Обоснуйте свое мнение.

Пора, мой друг, пора! Покоя сердце просит –

Летят за днями дни, и каждый час уносит

Частичку бытия, а мы с тобой вдвоем

Предполагаем жить… И глядь – как раз – умрем.

На свете счастья нет, но есть покой и воля.

Давно завидная мечтается мне доля –

Давно, усталый раб, замыслил я побег

В обитель дальнюю трудов и чистых нег.

Стихотворение состоит из 8 строк, которые можно разделить на две смысловые

части. 1 часть -5 строк, в которых содержится обращение к другу, рассуждения о сущности

бытия. 2 часть – 3 строки, в которых лирический герой рассказывает о своих планах. В 8

строках

стихотворения

мы

видим

13

простых

предложений.

Это

закономерность

творческого восприятия поэта, интуитивное чувство гармонии.

Многие

литературоведы

обращают

внимание

на

знаменитое

стихотворение

Лермонтова "Бородино". Оно делится на две части: вступление ("Скажите, дядя, ведь

недаром..."), и главную часть, которая распадается на две части (ожидание боя и сам бой).

Граница

между

этими

частями

является

кульминационной

точкой

произведения

и

приходится как раз на точку деления его золотым сечением. [7]

Главная часть стихотворения состоит из 13 семистиший, то есть из 91 строки.

Разделив

ее

золотым

сечением

(91:1,618

=

56,238),

убеждаемся,

что

точка

деления

находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!".

Таким

образом,

золотое

сечение

играет

в

поэзии

весьма

осмысленную

роль,

выделяя кульминационный пункт стихотворения.

Учащиеся получают задание:

Подготовить

доклады

на

тему

“Золотое

сечение

в

застывшей

музыке

храмов,

архитектурных шедевров”.

Доклады – репродуктивный вид деятельности. Для подготовленных классов можно

предложить

исследовательскую

работу

по

нахождению

золотого

сечения

в

зданиях

родного города.

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО НАХОЖДЕНИЮ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ В

ЗДАНИЯХ ГОРОДА

7. Итог занятия (обобщающая беседа)

1.

Все в нашем мире взаимосвязано и подчинено законам гармонии и красоты. Это

утверждение имеет научное обоснование. Дайте определение этому явлению.

2.

Можно ли считать понятие “золотое сечение” только математическим? Обоснуйте

свое мнение.

3.

Кому приписывают авторство понятия “золотое сечение”?

4.

Приведите примеры геометрических “золотых фигур”.

5.

Назовите ученых, занимавшихся изучением “золотого сечения”.

6.

С какой геометрической фигурой, являющейся примером “золотого сечения”,

связаны религиозные представления людей в разные исторические эпохи?

7.

Как может проявляться “золотое сечение” в литературе?

8.

Назовите произведения искусства, в которых соблюдается “божественная

пропорция”.

9.

Прокомментируйте эпиграф, в котором заключается основная мысль нашего

интегрированного занятия.

Следовательно, в школе необходима интеграция учебных предметов. Мы можем

смело

утверждать

о

тесной

связи

математики,

литературы,

живописи,

музыки,

архитектуры

–

словом,

всего

того,

что

и

составляет

нашу

жизнь.

Человек

должен

научиться видеть единство всего сущего. Чтобы природа, мир не рассматривались как

механическая

совокупность

химических,

биологических,

исторических

и

других

факторов, а рассматривались как единое целое.

Литература:

1.

Н.Васютинский “Золотая пропорция”, М, Молодая гвардия, 1990.

2.

С.Андреенко “Таганрог познавательное путешествие по легендам и былям старого

города”, Таганрог, АНТОН, 2004.

3.

Волошинов А.В. "Математика и искусство", Просвещение, 2000.

4.

Квант, 2003, №2.

5.

Приложение к журналу "Квант", 2004, №3.

6.

И.М.Соколов "Фракталы", Квант, 1989, №5.

7.

Энциклопедический словарь юного математика, Педагогика, М., 1985.