Обобщающий урок в 9 классе по теме «Арифметическая прогрессия» Учитель математики: С.С.Курова Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая прогрессия» Цели урока: образовательные – обобщить и систематизировать знания учащихся по изучаемой теме, провести контроль уровня усвоения материала, корректировка выявленных пробелов; развивающие – развитие способности делать осознанный выбор способов учебной деятельности каждым учеником, в зависимости от его уровня развития, умения оценивать результат своей работы и работы других, корректировать имеющиеся ошибки, осуществлять взаимопомощь; воспитательные – формировать у учащихся интерес к математике, рефлексию по оцениванию результатов решения и способов деятельности учащихся в классе. Ход урока. 1.Орг. момент. - Здравствуйте, ребята. Садитесь. - Дежурные – кто отсутствует? - Проверка наличия домашней работы. ( слайд 1) Сегодня наш урок я хотела бы начать словами А.С.Пушкина: «О, сколько нам открытий чудных.. Готовит просвещенье дух, И опыт – сын ошибок трудных, И гений – парадоксов друг» Я хочу, чтоб наша встреча сегодня принесла много открытий, опыта и хорошего настроения. Мы сегодня на уроке будем заниматься повторением и обобщением знаний по теме «Арифметическая прогрессия» и рассмотрим применение арифметической прогрессии при решении задач практического содержания из жизни. (слайд 2) Вместе с вами мы будем двигаться вперед, т.к. слово «Прогрессия» имеет латинское происхождение и означает «Движение вперед» (слайд 3) Этим термином прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. 2. Устная работа. Мы живём в реальном мире, и для его познания нам необходимы знания. А сейчас мы выясним, как вы знаете определения и формулы по данной теме. Какими знаниями по этой теме вы готовы поделиться? ( Учащиеся отвечают, используя схему. Названия блоков, из которых состоит схема, открываются по мере их называния.) итак, работаем устно. (слайд 4)
Вопросы: 1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией? 2. Выясните, где записана арифметическая прогрессия: а) 5; 10; 15; 20;… б) 3; 5; 6; 7; … в) 8; 8; 8; … (а, в) 3. Как найти разность арифметической прогрессии. Назовите формулу. 4. Чему равна разность арифметической прогрессии в данных примерах: а) 5; 10; 15; 20;… (5) б) 8; 8; 8; … (0) в) 9; 6; 3; 0;… ( -3) 5. Какова должна быть разность арифметической прогрессии, чтобы прогрессия была убывающей? (d меньше 0) Возрастающей? ( d больше 0) 6. Назовите первый член и разность арифметической прогрессии: а п = 2п + 5. ( а 1 = 7; а 2 = 9; d = 2 ) 7. Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии. 8. Первый член арифметической прогрессии равен 1, разность равна 4. Найдите десятый член прогрессии. ( 37) 8. Продолжите предложение : для каждого члена арифметической прогрессии, начиная со второго, верно равенство … 9. Назовите формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии. 10. Найдите член арифметической прогрессии обозначенный буквой: -6; -4; а; ( -2) Вот видите, сколько необходимо знать, а всякое знание должно перейти в умение и навык. (слайд 5) Зная формулы арифметической прогрессии, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания. 3. Кратко «Сведения из истории» (слайд 6) Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.
В Древнем Египте
в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы. Арифмети ческая прогрес- сия Разность арифмети- ческой прогрессии Формула п-го члена Свойство арифмети ческой прогрес- сии Формула арифмети- ческой прогрес- сии Формулы суммы первых п членов арифм. прогр.
Примеры отдельных арифметических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более. Одним из древних ученых, занимавшимися прогрессиями был Архимед. Он первым обратил внимание на связь между прогрессиями. (слайд 7) Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие. (слайд 8) Вопросами последовательности занимался Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является «задача о размножении кроликов», которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, именуемой впоследствии «рядом Фибоначчи». Задача Фибоначчи : Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения (показано в таблице). Месяцы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Пары кроликов 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д. (слайд 9) В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы. 1+2+3+4+…+98+99+100 = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)= =101x50 =5050. Это – арифметическая прогрессия. (слайд 10) В 18 веке в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессии: Прогрессии широко встречаются в окружающей нас жизни. И мы сегодня рассмотрим примеры решения задачиз жизни с использованием формул арифметической прогрессии. Запишем в тетради число, классная работа. (слайд 11) 4.Решеним задачи на применении формул арифметической прогрессии из нашей жизни. №1.Наследство: Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$ , а каждый следующий месяц он тратил на 50 $ больше, чем в предыдущий. Сколько он истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой беззаботной жизни? (слайд 12) а 1 = 100; d = 50; п = 10, а 10 =? а п =а 1 +d(n-1), а 2 = 100 + 50 = 150 , а 3 = 150 + 50 = 200 а 10 = 100 + 50(10 – 1) = 100 + 450 = 550
Наследства хватит на 12 месяцев безбедной жизни. 5. Работа с учебником ( закрепление материала) Прогрессии в медицине. № 16.64 Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.
Решение (на доске.)
Составим математическую модель задачи: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 а п =а 1 +d(n-1), 40=5+5(п-1), п=8, S п =((a 1 +a п )n)/2, S 8 =(5+40)·8:2=180, 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства. Прогрессия в спорте.№16.66 Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?
Решение (на доске).
Составим математическую модель задачи: 1400, 1300,1200, …, a 1 =1400; d=-100, S n =5000. Надо найти n. S n = (2a 1 + d (n-1))n:2; 5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет 10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 а n =-1000, но а n >0) 10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили 100 n 2 -2900 n+10000=0; высоту за 4 дня. n 2 -29 n+100=0; n=25, n=4. Ответ: за 4 дня. Мы с вами рассмотрели применение прогрессии в спорте, медицине и при делении наследства. И для решения этих задач мы применяли формулы нахождения п-го члена и суммы п-ых членов арифметической прогрессии. Задачи на применение прогрессий встречаются в старых учебниках по математике, в книгах по занимательной математике, но не только в математике мы встречаемся с прогрессией. 6. Прогрессия в литературе: (слайд 13) Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями. Так вспомним строки из «Евгения Онегина»: «Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить..» (слайд 14)
ЯМБ – это стихотворный размер с ударением на четные слоги 2; 4; 6; 8; … Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2. ЯМБ: «МОЙ ДЯДЯ САМЫХ ЧЕСНЫХ ПРАВИЛ…» Прогрессия: 2; 4; 6; 8; .. (слайд 15) Старик, я слышал много раз, Что ты меня от смерти спас. (слайд 16) ХОРЕЙ – это стихотворный размер с ударением на нечетные слоги стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7;.. с первым ее членом 1 и разностью 2. ХОРЕЙ: «Я ПРОПАЛ, КАК ЗВЕРЬ В ЗАГОНЕ..» (Б.Л.Пастернак) Прогрессия: 1, 3; 5;… (слайд 17) ХОРЕЙ: Буря мглою небо кроет… (слайд 18) Вот еще хорей ( из Бунина): Яблони и сизые дорожки, Изумрудно – яркая трава, На березах – серые сережки. И ветвей плакучих кружева. Мы с вами увидели, что отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Стихотворная речь - явление литературное, эстетическое. Но некоторые особенности стихотворной речи требуют применения математических знаний. Я надеюсь, что наш урок поможет вам понять, что наука и искусство тесно связаны, а мир так многолик, чтобы познать его нужно быть и ученым, и поэтом в душе. 7. Проверочный тест ( с разными уровнями сложности) (слайд 19) «Да, путь познания не гладок, Но знаем мы со школьных лет, Загадок больше, чем разгадок И поискам предела нет» И мы продолжим разгадывать загадки и далее - самостоятельная работа в форме теста. А чтобы ответить на вопросы теста, необходимо вспомнить все формулы, которые мы сегодня повторяли. ( у каждого ученика на столе листочки с заданиями теста и листочки для записи ответов теста и решения примеров) Вариант 1 № вопрос ответ
1 Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется а) прогрессия б) последовательность в) уравнение 2 Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие называют а) записью б) рекуррентной в) функцией 3 Какой член последовательности следует за членом а n+1 а) а n б) а n-1 в) а n+2 4 (а n ) – арифметическая прогрессия а n+1 = …+d вставьте пропущенное а) а n-1 б) а n в) а n+2 5 (а … ) – арифметическая прогрессия. Запишите формулу n-го члена через а 1 и d a) a n =a 1 +(n-1)*d б) a n =a 1 +n*d 6 Дано: :(а n ) а 1 = 20, d = 3 Найти: а 5 а) 12; б) 32; в) 25 г) др.ответ 7 Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, если а 1 = -17 d=6 а) 26; б) 32; в) 30 г) др.ответ 8 Найти сумму первых ста членов арифметической прогрессии а n = 2 n + 3 а) 5400 б) 5000 II вариант № вопрос ответ 1 Последовательность ( x n ) задана формулой x n = 10n 2 + 4. Найти x 10 а) 104; б) 204; в) 1004; г) др.ответ 2 Числовая последовательность задана формулой x n = 2n + 3. Найти номер члена последовательности, равного 43 а) 23; б) 20; в) 21; г) др.ответ 3 Найти пятнадцатый член арифметической прогрессии 3; 7;… а) 59; б) 98; в) 63; г) др.ответ 4 Запишите формулу члена арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10;… а) а n = n 2 ; б) а n = 3n - 2; в) а n = 3n+1; г) др.ответ 5 Разность арифметической прогрессии равна 1,5. Найти а 1 , если а 7 = -4. а) -23; б) -60; в) -13; г) др.ответ 6 В арифметической прогрессии (а n ) а 1 = 8, d = 4. Найти сумму шестнадцати членов прогрессии. а) 720; б) 608; в) 594; г) др.ответ 7 Найти сумму всех натуральных чисел от 2 до 98 включительно. а) 5050; б) 4500; в) 4850; г) др.ответ 8 Арифметическая прогрессия задана формулой а n = 3n + 2. Найти сумму двадцати первых членов. а) 670; б) 630; в) 400; г) др.ответ III вариант № вопрос ответ
1 Последовательность ( x n ) задана формулой x n = 2n-1. Найти x 20 . а) 19; б) 39; в) 29; г) др. ответ 2 Числовая последовательность задана формулой x n = n2 -1. Найти номер члена последовательности, равного 224 а) 10; б) 15; в) 25; г) др. ответ 3 Найти десятый член арифметической прогрессии 4; 9; … а) 45; б) 49; в) 40; г) др.ответ 4 Запишите общую формулу арифметической прогрессии 1; 5; 9; 13;… а) 4n+1; б) 4n-1; в) 4n-3; г) др.ответ 5 Разность арифметической прогрессии равна 2. Найти а1, если а 6 = -3. а) 10; б) -13; в) 13; г) др.ответ 6 Число -20 является членом арифметической прогрессии, у которой а 1 = -31, а разность равна 3. Найти его номер. а) 6; б) 7; в) 10; г) др.ответ 7 В арифметической прогрессии (а n ) а 1 = 5, d = 3. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии. а) 640; б) 570; в) 670; г) др.ответ 8 Найти сумму всех натуральных чисел от 5 до 95 включительно. а) 4550; б) 5050; в) 4050; г) др.ответ IV вариант № вопрос ответ 1 Последовательность задана рекуррентной формулой а n+1 = n a и условием а 1 = 256. Найти четвертый член последовательности. а) 16; б) 8; в) 2; г) др.ответ 2 Числовая последовательность задана формулой а n = n 2 -2n-6. Найти номер члена последовательности, равного -9. а) 4; б) 5; в) 8; г) др.ответ 3 Запишите формулу общего члена арифметической прогрессии 2; 6;… а) аn = n2+n; б) аn = 4n-2; в) аn = 4n+2; г) др.ответ 4 Число -59 является членом арифметической прогрессии 1; -5;… а) 13; б) 19; в) 11; г) др.ответ 5 Найти девятый член и разность арифметической прогрессии, если а 8 = 126, а 10 = 146. а) d=10, а9=136; б) d=8, а9=134; в) d=5, а9=131; г) др.ответ 6 Найти сумму двадцати пяти первых членов арифметической прогрессии (а n ), если а 1 =66 и d = -8 а) -680; б) 680; в) -750; г) др.ответ 7 Найти сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3. а) 1192; б) 2038 в) 1234; г) др.ответ 8 Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если ее четвертый член равен 3, а шестой равен -1,2. а) -31; б) -27; в) -26; г) др.ответ 8. Далее рассмотрим примеры применения прогрессии в школьных предметах: (слайд 20)
В биологии: Высота саженца 60 см, первые полгода она увеличивается ежемесячно в среднем на 4 см. Применяя формулу п-го члена, мы сможем найти рост саженца в первые полгода. (слайд 21) В физике: Брошенное с некоторой высоты тело в первую секунду падает на 5 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Можно определить сколько пролетит тело за несколько секунд. (слайд 22) В химии: Заряды ядер атомов элементов, расположенных в таблице Менделеева друг за другом, отличаются на +1. Заряд ядра атома водорода (№1) равен +1. Элементы таблицы Менделеева образуют арифметическую прогрессию. 9. Итог урока: Подведем итог нашего урока. 1. Какие правила мы сегодня повторили? 2. Сообщение учащимся, кому и на какие вопросы необходимо обратить внимание. 3. Выставление оценок за урок. (слайд 23) 10. Домашнее задание: № 16.65, № 16.62 11. Рефлексия: Проанализируйте свой уровень знаний. Ответьте каждый для себя на вопрос: что я хорошо знаю по данной теме и что еще мне надо повторить? Подумайте, над чем надо поработать дома. (слайд (24) Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучен космос и моря, Строенье звезд и вся земля. Но математиков зовет Известный лозунг «Прогрессия – движение вперед». Мы изучили арифметическую прогрессию, а далее продолжим движение вперед и будем изучать геометрическую прогрессию.