ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

На выполнение экзаменационной работы по математике даётся 4 часа (240 мин).

Работа

состоит

из

двух

частей

и

содержит

19

заданий.

Часть

1

проводится

в

форме

электронного тестирования в среде программы СТ-М тест. Время выполнения первой части

90 минут. Часть 2 выполняется письменно, время выполнения второй части 150 минут.

Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1 – В12) базового и повышенного

уровней по материалу курса математики. Задания части 1 считаются выполненными, если

экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Часть 2 содержит 7 заданий высокого уровня сложности (С1 – С7) с развёрнутым

решением по материалу курса математики.

Система оценивания отдельных заданий и экзаменационной работы в целом.

Правильный ответ в зависимости от сложности каждого задания оценивается одним

или несколькими баллами. Баллы, полученные за все выполненные задания, суммируются.



Правильное решение каждого из заданий В1-В12 приносит 1 балл.



Максимальное количество баллов — 12.



Все задания части 2 (С1 — С7) оцениваются от 0 до 4 баллов.



Полное правильное решение каждого из заданий С1 и С2, С3 оценивается 2 баллами,

каждого из заданий С4 и С5 — 3 баллами. Каждое из заданий С6 и С7 оценивается

4 баллами.



Максимальное количество баллов за всю работу — 32.



Шкала перевода первичных баллов в оценку:

0 – 6 баллов - «2»

7 –10 баллов – «3»

11-15 баллов – «4»

16-32 баллов – «5»

Вариант 1.

Часть 1.

В 1.Оптовая цена учебника 170 рублей. Розничная цена на 20% выше оптовой. Какое наи-

большее число таких учебников можно купить по розничной цене на 7000 рублей?

В 2. В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не

вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке эта зависимость

представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с мо-

мента начала реакции, на оси ординат - масса оставшегося реагента, который еще не вступил

в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реак-

цию за три минуты?

В 3. Найдите биссектрису треугольника ABC, проведенную из вершины B, если стороны

квадратных клеток равны 1.

В 4.В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых.

По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите

вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

В 5.Найдите корень уравнения log

5

(4+х) = 2

В 6. Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая

боковая сторона составляет с основанием угол 45°.

В7.На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой

х

0

. Найдите значение производной функции f(x) в точке х

0

.

В

8.

Радиус

основания

цилиндра

равен

2,

высота

равна

3.

Найдите

площадь

боковой

поверхности цилиндра, деленную на π.

В 9. Найдите значение выражения (5

12

)

3

: 5

37

В10.

Зависимость

температуры

(в

градусах

Кельвина)

от

времени

(в

минутах)

для

нагревательного

элемента

некоторого

прибора

была

получении

экспериментально

и

на

исследуемом интервале температур дается выражением T(t) = T

0

+ at + bt

2

, где T

0

= 340 K, a =

28 К/мин, b = −0,2 К/мин. Известно, что при температурах нагревателя свыше 1000 К прибор

может испортиться, поэтому его надо отключать. Определите (в минутах), через какое

наибольшее время после начала работы надо отключать прибор.

В 11. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате

строительства новых домов, число жителей выросло на 8 % , а в 2010 году на 9% по

сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

В12. Найдите наименьшее значение функции

y = 15x - sin x + 8 на отрезке [ 0; π\2]

Часть 2.

С 1. а) Решите уравнение:

log

3

(3

х

4

+ 42) = 1 + log

√

3

√

13

х

2

+ 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

[−

5

4

; 2].

C2. В правильной четырёхугольной призме АВСDА

1

В

1

С

1

D

1

сторона основания равна 5, а

высота равна 5

√

2

. Найдите расстояние от вершины А до плоскости ВDМ, где М – середина

ребра СС

1.

С3. Решите неравенство: lg

2

(

х

−3)

2

18

(х-2) > lg

2

х

−2

2

.

С4. В трапеции АВСD продолжения боковых сторон АВ и СD пересекаются в точке Р, Q –

точка пересечения диагоналей этой трапеции, АD = 3ВС. Найдите отношение площади

треугольника АDQ к площади треугольника ВСР.

С5.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых.

Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет

проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей

переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма

ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

С6. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение соs 2x – 4 = p (1 + tg

2

x)

имеет хотя бы один корень.

С7. Группу школьников нужно перевези из летнего лагеря одним из двух способов: либо

двумя автобусами типа А за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько

рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса типа В будет на один меньше,

чем

рейсов

каждого

автобуса

типа

А.

В

каждом

из

случаев

автобусы

заполняются

полностью.

Какое максимальное количество школьников можно перевезти при указанных условиях, если

в автобус типа В входит на 7 человек меньше, чем в автобус типа А?

Вариант 2.

Часть 1.

В 1. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьми-

ча равна 12500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?

В2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Ка-

зани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали -

количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности

жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые

выпало 5 миллиметров осадков.

В 3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 8.

В 4. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите ве-

роятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

В 5. Найдите корень уравнения log

5

(5-х) = log

5

3

В 6. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в

градусах.

В

7.

На

рисунке

показан

график

движения

автомобиля

по

маршруту.

На

оси абсцисс

откладывается время (в часах), на оси ординат - пройденный путь (в километрах). Найдите

среднюю скорость движения автомобиля на данном маршруте. Ответ дайте в км/ч.

В 8. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O - центр основания, S -

вершина, SO = 8 , BD = 30. Найдите боковое ребро SC.

В 9. Найдите значение выражения:

*

В 10.Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой:

При каком минимальном значении температуры нагревателя T1 КПД этого двигателя будет

не меньше 60%, если температура холодильника T1 = 200? Ответ дайте в градусах Кельвина.

В 11. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном

направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и

через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость

второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

В 12. Найдите точку минимума функции

у =

Часть 2.

С 1. Решите уравнение: 9

х+1

– 2 * 3

х+2

+5 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

[log

3

3

2

;

√

5

].

С2. В правильной четырёхугольной призме АВСDА

1

В

1

С

1

D

1

высота АА

1

в два раза длиннее

стороны основания. Найдите объём призмы, если расстояние между серединами рёбер АD и

А

1

В

1

равно 6

√

2.

С3. Решите неравенство: log

x/3

(log

3

��

−12

��

−10

)

0

С4. Из вершины В параллелограмма АВСD проведены его высоты ВМ и ВN, Н – точка

пересечения высот треугольника ВМN. Найдите длину отрезка ВН, если известно, что МN =

15, ВD = 17.

С5.

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из

первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил

на

счет

одну

и

ту

же

фиксированную

сумму.

К

концу

пятого

года

после начисления

процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на

725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

С6. Функции f (x) и g (x) определены формулами: f (x) = 2

x

– 7,

g (x) = 1 + sin

���

2

Решите уравнение: f ( g (x) + 1) – g ( f (x) ) = 1.

С7.

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг

(раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5

тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5

тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в)

Какое

наименьшее

количество

грузовиков,

грузоподъёмностью

5

тонн

каждый,

понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик

выбранные глыбы поместятся?