Методическая разработка элективного курса

Построение графиков функций, уравнений и

соответствий

(элективный курс предпрофильной подготовки для учащихся 9 класса)

Григорьева Нина Анатольевна, учитель математики

МБОУ « Тюрлеминская СОШ» Козловского района

Чувашской Республики

Введение.

Современная школа требует новых форм обучения в образовании

детей, поскольку уровень знаний детей разного жизненного уклада различен

и требует особого подхода. Сегодня в школу пришло новое поколение детей,

чье детство проходит у экранов телевизоров, у многих рядом с компьютером.

Наши сегодняшние дети растут в другом информационном пространстве.

Учебный материал по теме «Построение и преобразование графиков

функций» разбит на несколько лет обучения: изучение линейной функций и

начальные сведения о степенной функции (y=x

2

и y=x

3

) изучаются в 7 классе;

обратная пропорциональность, функция

y

=

√

x

и в 8 классе; квадратичная

функция – в 9 классе; преобразование графиков этих функций (растяжение,

сжатие, параллельный перенос, модуль) – в 9 и 10 классах.

Отношение к теме «Линейная функция» у учащихся формируется, не

как к основной, а второстепенной теме, что приводит к неправильному ее

восприятию и быстрому забыванию. Затем, в 8 -9 классах при изучении

квадратного

трехчлена,

квадратных

уравнений

и

неравенств,

тема

«Квадратичная функция» тоже является, как бы вспомогательной, а уж об

обратной пропорциональности и говорить не приходится. График функции

y

=

k

x

,

его

построение,

способы

его

задания

и

преобразование

вообще

вызывают у учащихся стойкое отвращение.

Часто, требование учителя к оформлению чертежей остаются без

вниманий. Как следствие, задачи на преобразование графиков сложных, а

также задачи, требующие графического решения, как более рационального,

становятся для учащихся часто непреодолимым препятствием. Возникает

психологический барьер перед решением таких задач. Поэтому, в расчете на

то, что учителя – народ творческий и благодаря наработанному опыту сами в

состоянии разработать поурочное планирование, составить планы уроков, с

учетом разнообразия их форм и видов, я предлагаю задания, которые можно

использовать

при

организации

повторения

и

подготовки

к

итоговой

аттестации в 9 классе. Программа

содержит материалы

для повторения

теоретического материала, самостоятельные работы, контрольные работы,

индивидуальные задания, тесты, вопросы для зачета.

Общеобразовательная школа должна формировать новую систему

универсальных знаний, умений, навыков. Не секрет, что в одном и том же

классе

дети

ведут

себя

по-разному,

поэтому

разработан

программа

для

учителей, которые готовы находиться рядом со своими учениками, когда те

учатся говорить, читать, слушать других, ставить вопросы и искать на них

ответы, решать задачи.

Пояснительная записка

В преподавании любой дисциплины нельзя учить всех одному и тому же,

в

одинаковом

объёме

и

содержании,

в

первую

очередь,

в

силу

разных

интересов,

а

затем

и

в

силу

способностей,

особенностей

восприятия,

мировоззрения. Необходимо предоставлять обучаемым возможность выбора

дисциплины для более глубокого изучения.

Школьная программа по математике содержит лишь самые необходимые,

максимально упрощённые знания. Практика показывает громадный разрыв

между

содержанием

школьной

программы

по

математике

и

теми

требованиями, которые налагаются на абитуриентов, поступающих в высшие

учебные заведения. Поступить в ВУЗ нашим выпускникам становится трудно

не только в силу экономических и социально-политических условий, но и по

причине несоответствия знаний выпускника, которого добросовестно учили

по программе, и уровнем вступительных экзаменов в вуз. Учащиеся 10-11

классов

посещают

дополнительно

платные

курсы

(которые

не

всем

доступны),

а

учителя

математики

проводят

для

них

дополнительные

занятия.

В

целях

наилучшего

результата

делать

это

надо

не

только

в

последние годы обучения, но значительно раньше.

Главная цель предлагаемой программы заключается не только в

подготовке

к

вступительному

экзамену,

и

в

овладении

определённым

объёмом знаний,

но и в том, чтобы научить самостоятельно мыслить,

творчески подходить к любой проблеме.

В связи с этим и создаётся программа элективного курса по математике.

Элективный курс «Построение

графиков

функций,

уравнений

и

соответствий» по предпрофильной подготовке учащихся 9 классов посвящен

одному из основных понятий современной математики – функциональной

зависимости.

Понятие

функциональной

зависимости,

являясь

одним

из

центральных мест в математике, пронизывает все ее приложения, оно, как ни

одно другое, приучает воспринимать величины в их живой изменчивости, во

взаимной

связи

и

обусловленности.

Изучение

поведения

функций

и

построение

их

графиков

являются

важным

разделом

школьного

курса.

Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать

сложные задачи, а порой является единственным средством их решения.

Кроме того, умение строить графики функций представляет большой интерес

для самих учащихся. Однако на базе основной школы материал, связанный с

этим вопросом, представлен несколько хаотично, изучается недостаточно

полно, многие важные моменты не входят в программу.

Цель элективного курса – прояснить и дополнить школьный материал,

связанный с функциями и построение их графиков.

На изучение всего курса отводится 14 ч, по окончании предусмотрено

зачетная работа на 2 ч в виде контрольной или тестовой работы, возможны

также другие, комбинированные формы диагностики (защита проектов и

презентаций творческих и исследовательских работ учащихся). Реферативная

и

исследовательская

деятельность

учащихся

позволяет

удовлетворять

их

индивидуальные

потребности

и

интересы,

выявлять

их

индивидуальные

возможности, т.е. максимально индивидуализировать обучение.

Данная программа курса сможет привлечь внимание учащихся, которым

интересна

математика,

кому

она

понадобится

при

учебе,

подготовке

к

экзаменам,

в

частности,

к

ЕГЭ.

Слушателями

этого

курса

могут

быть

учащиеся различного профиля обучения.

Данный

курс

имеет

прикладное

и

общеобразовательное

значение,

способствует развитию логического мышления учащихся, систематизации

знаний при подготовке к выпускным экзаменам. Используются различные

формы

организации

занятий,

такие

как

лекция

и

семинар,

групповая,

индивидуальная деятельность учащихся. Результатом предложенного курса

должна быть успешная сдача ЕГЭ.

Научить ребят видеть красоту математики, развить, сформировать

интерес

к

ней – одна из важнейших задач обучения математике. Ведь

устойчивый познавательный интерес – один из инструментов, побуждающий

учащихся

к

более

глубокому

познанию

предмета,

развивающий

их

способности.

Считаю,

что

в

обучении

гораздо

важнее

научить

ребёнка

мыслить, чем сообщить ему те или иные знания. Открыть ребёнку всю

радость, привлекательность, роскошь мысли – ещё одна из важных задач,

стоящих перед учителем: не мыслям нужно учить, а мыслить. И если глаза

учеников блестят от радости открытий, и если кто-то скажет: “Как я люблю

эти функции и их графики!”, то, наверно, мой труд не напрасен.

Главное богатство математики – это созданный ею мир идей. Наиболее

значительные из них должны войти в сознание каждого конкретного человека

независимо от выбираемого им профессионального пути. Ведь математика

формирует

качества

личности,

необходимые

человеку

для

полноценной

жизни

в

современном

обще стве:

ясно сть

и

точно сть

м ысли,

сообразительность,

интуиция,

способность

к

преодолению

трудностей,

творческая

активность

и

самостоятельность,

способность

воспринимать

красоту и гармонию мира.

Именно этим целям служат мои элективные курсы, основной идеей,

которой является:



как

научить

применять

хорошо

известные

свойства

функций

в

тех

ситуациях, где ученики не умеют ими пользоваться;



как

с

помощью

геометрических

преобразований

быстро,

легко

и

красиво построить график уравнения, содержащего один, два, три и

большее число модулей;



как построить график сложной функции, применяя разные способы и

приёмы.

Замечу, что, говоря о построении графика функции, имеется в виду лишь

его эскизное изображение, отражающее характерные особенности функции,

передающие

ее

ход

на

всей

области

определения.

Это

требует

умения

математически грамотно размышлять, продумывать, на что следует обратить

внимание и как передать те или иные черты поведения функции на рисунке.

Ожидаемый результат изучения курса

:

В результате изучения курса учащиеся

должны уметь:



определять значение функции по значению аргумента при различных

способах задания функции;



строить графики изученных функций;



описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и

свойства

функций,

находить

по

графику

функции

наибольшие

и

наименьшие значения;



решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства

функций и их графиков;



использовать

приобретенные

знания

и

умения

в

практической

деятельности и повседневной жизни.



описать с помощью функций различных зависимостей, представлять их

графически, интерпретации графиков.

Краткая программа элективного курса по математике «Построение

графиков функций, уравнений и соответствий».

СОДЕРЖАНИЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

Тема 1. Понятия функции и графика (2 часа).

На первых двух занятиях учащимся сообщается цель и значение данного

элективного

курса.

Выявляются

и

систематизируются

их

знания

о

функциональной

зависимости.

Определяется

понятийный

аппарат,

круг

доступных

задач,

предоставляется

дополнительная

информация

для

расширения возможностей учащихся. При этом целесообразно использование

разнообразного наглядного материала.

Тема 2. Преобразование графиков (4 часа).

При построении графиков многих функций можно избежать проведения

подробного исследования. Изложению методов, упрощающих аналитическое

выражение

функции

и

облегчающих

построение

графиков,

посвящены

следующие четыре урока. В результате учащиеся получают практическое

руководство для построения эскизов графиков многих функций.

Тема 3. Действия над функциями (3 часа).

Графики суммы (разности) произведения и частного двух функций также

можно

построить

без

применения

методов

математического

анализа,

используя определенные правила. Особенно эффективен этот метод в случае,

когда

исходные

функции

являются

элементарными.

В

этой

же

теме

рассматривается построение графиков функций, содержащих знак модуля.

Тема 4. Дополнительный материал (4 часа).

В качестве дополнительного материала рассматривается функционально-

графический подход к решению задач.

Календарно – тематический план элективного курса (0,5 ч в неделю)

№

Тема занятий

Количество часов

Форма

проведения

Образователь

ный продукт

всего

теория

практика

1

Понятия функции и

графика:

зависимость;

график функции;

способы задания

функции

2

1

1

лекция

опорный

конспект

2

Преобразование

графиков:

перенос вдоль оси

ординат;

перенос вдоль оси

абсцисс;

сжатие (растяжение)

вдоль оси ординат;

сжатие (растяжение)

вдоль оси абсцисс

4

2

2

лекция,

практикум,

тренинг

опорный

конспект,

решенные

задания

3

Действия над

функциями:

сумма (разность)

функций;

произведение функций;

частное двух функций;

функции, содержащие

операцию взятия

модуля

3

1

2

лекция,

мастер

класс

таблицы,

схемы,

опорный

конспект

4

Дополнительный

материал:

функционально-

графический подход к

решению задач

4

2

2

лекция,

практикум

решенные

задания

5

Итоговая диагностика

1

-

1

защита

работы,

проекта

Итого

14

6

8

Задания для самоконтроля

I. Повторение теоретического материала.

Функция y=kx+b

Вопросы:

1. Дать определение линейной функции.

2. Что является графиком линейной функции?

3. Сколько точек достаточно для построения графика линейной функции?

Функция

у

=

к

ах

+

в

+

с

Вопросы:

1. Функция какого вида называется дробно-линейной?

2. Какая кривая является графиком этой функции?

3. Как строится гипербола?

4. Пусть

известен

вид

графика

функции y=ƒ(x).

Как

получается

из

данного графика графики функций:

а ) y=-ƒ(x);

б) y=ƒ(-x); в) у=ƒ(х)+а, а-const; г) у=ƒ(х+а); д) у=к ƒ(х), к-

const; е) у=ƒ(кх); ж) у=|ƒ(x)|; з) у=ƒ(|x|).

Функция y=ax

2

+bx+c

Вопросы:

1. Как называется функция вида y=ax

2

+bx+c?

2. Как называется кривая, являющаяся графиком квадратичной функции?

3. Как найти координаты вершины параболы?

4. Что такое нули функции?

5. Как расположены ветви параболы в зависимости от коэффициентов?

6. Как располагается парабола в зависимости от дискриминанта?

7. Как строится парабола?

Функция

у

=

√

х

Вопросы:

1. Какова область определения функции

у

=

√

х

?

2. Как расположен график функции

у

=

√

х

?

3. Принадлежит ли графику функции

у

=

√

х

начало координат?

4. Какие значения принимает функция при х>0?

5. Когда функция

у

=

√

х

обращается в ноль?

II. Самостоятельные работы.

Функция y=kx+b

1) Постройте графики функций, заданные формулами:

а) у=2х+5; б) у=2х+2; в) у=2х-2; г) у=2х-6.

2) Не

выполняя

построения

графика

функции

у=1,2х-7,

выясните,

проходит ли этот график через точку: а) А(100;113); б) В (-15;-25); в) С (-

10;5); г) Д (300; 353).

Функция у = ах

2

+вх+с

1) В одной координатной плоскости постройте график функций

у=-

х

2

+2х+8 и у=2х

2

.

2) В одной координатной плоскости постройте графики функций у=2х

2

-2

и у=2(х-3)

2

.

Функция

у

=

к

ах

+

b

+

c

Используя график функции постройте графики следующих функций:

1)

у

=

2

х

−

2

; 2)

у

=

4

4

−

х

; 3)

у

=

3

х

−

3

; 4)

у

=

3

х

+

2

−

4

; 5)

у

=

х

−

3

х

−

2

; 6)

у

=

2 х

+

1

х

−

2

;

7)

у

=

2

4 х

+

3

; 8)

у

=

3 х

+

1

2 х

−

5

; 9)

у

=

2

|

х

|

; 10)

у

=|−

3

х

|

; 11)

у

=

3

|

х

|+

2

;

12)

у

=|

2

х

+

2

−

1

|

; 13)

у

=|

х

−

2

х

+

2

|

; 14)

у

=

|

х

|−

2

|

х

|+

2

; 15)

у

=|

|

х

|−

2

|

х

|+

2

|

.

Функция

у

=

√

х

1) Пользуясь графиком функции

у

=

√

х

, найдите:

а) значения

√

х

при х=1; 2,5; 4; 5,5; 7; 9.

б) значение х, к которому соответствует

√

х

=1; 1,2; 2; 2,4; 3; 4.

2) Принадлежит ли графику функции

у

=

√

х

точка А (64; 8); В (10000;

100); С (-81; 9); Д (2,5; -5)?

3) С

помощью

графика

функции

у

=

√

х

сравните

числа:

а)

√

0,5

и

√

0,8

; б)

√

4,2

и

√

5,7

; в)

√

7

и

√

8

.

4) Пересекает ли график функции

у

=

√

х

прямую: а) у=1; б)у=4; в)у=-

10; г)у=100?

III. Тестовые задания.

1)

Какая из ниже перечисленных функций, является линейной:

1. а) у=2х-3; 2. а) у=-х

2

; 3. а) у=х

3

+1;

б) у=х

2

;

б) у=7-9х ; б) у=0;

в) у=1-х

2

; в) у=4х+х

3

; в) у=5х-х

4

;

г) у=5х-х

2

. г)

у

=

10 х

−

7

х

. г)

у

=

−

х

+

5

2

.

2)

Даны функции: а) у=2х+5; у=2х+2; у=2х-2; у=2х-6.

а)

Запишите

функцию,

график

которой

будет

параллелен

любой

из

перечисленных выше функций;

б) Запишите формулу функции, график которой параллелен графикам у=2х+6

и у=2х+2, и проходящей между ними.

3)

Не выполняя построения, найдите координаты точек графика функции

у=-2,4х+9,6 с осями координат:

а) (0; 9,6) и (0; 4) ; б) (0; 9,6) и (4; 0); в) (9,6; 0) и (4; 0) ; г) (9,6; 0) и (0; 4).

4)

Является ли прямой пропорциональностью функция, заданная формулой:

1. а) у=2х; 2. а) у=-1; 3. а) у=х+5;

б) у==х+1; б)

у

=

х

5

; б) у=4х

2

;

в) у=х

2

; в)

у

=

5

х

; в) у= -7х;

г) у=5. г) у=х

2

-1. г) у=7-х

2

.

5)

Чему равен угловой коэффициент линейной функции, заданной формулой

у=-х+0,5.

а) К=1; б) К=-1; в) К=0; г) К=0,5.

6)

Выберите верное утверждение:

а) Если К≠0, то график функции у=кх+b пересекает ось х;

б) Если К=0, b≠0, то график функции у=кх=b параллелен оси х;

в) Если К=0, b=0, то график функции у=кх+b совпадает с осью х.

7)

График какой функции пересекает ось абсцисс:

а) у=5х-3; б) у=3; в) у=3-х; г) у=-5.

8)

График какой функции параллелен оси абсцисс:

а) у=6; б) х=6; в) у=х+1; г) у=-х+1.

9)

График какой функции совпадет с осью абсцисс:

а) у=0; б) х=0; в) у=х; г) у=-х.

10) График линейной функции пересекает оси координат в точках (-5; 0) и

(0; 11). Задайте данную функцию формулой: а) у=22К+11; б) у=2,2х-11;

в) у=2,2К+1; г) у=-2,2К-11.

Функция у=ах

2

+bx+с.

1)

Выбрать четные и нечетные функции:

а) ƒ(х)=(3х+2)

2

; б) ƒ(х)=х

4

-х

2

+9; в) ƒ(х)=(х-5)

2

+(х+5)

2

.

2)

Выбрать верное утверждение:

а) График функции у=ах

2

является параболой, которую можно получить

растяжением параболы у=х

2

от оси х в а раз, если а>1, или сжатием к оси х

в

1

а

раз, если 0<а<1.

б) График функции у=ах

2

является параболой, которую можно получить

расстоянием параболы у=х

2

от оси у в а раз, если а>1, сжатием к оси у в

1

а

раз, если 0<а<1.

Функция

у

=

√

х

1)

Для функции

у

=

√

х

: если х=0, то а) у<0; б) у=0; в) у>0; г) у≠0.

2)

Для функции

у

=

√

х

: если х>0, то а) у=0; б) y>0; в) у<0; г) у≠0.

3)

График функции

у

=

√

х

принадлежит точка: а) А (5; 25); б) В (25; 5);

в) С (-5; 25); г) Д (-5; 10).

4)

Числа расположены в порядке возрастания. Выберите правильный ответ:

а) 0,5;

√

1

2

;

√

1

3

; б)

√

1

2

;

√

1

3

; 0,5; в) 0,5;

√

1

3

;

√

1

2

; г)

√

1

2

; 0,5;

√

1

3

.

5)

Сравните числа. Выберите правильный ответ:

а)

√

10

<3; б)

√

5

>

√

6

; в)

√

1

5

<

√

1

6

; г)

√

10

<

√

11

.

IV. Контрольные задания.

Функция у=кх+b.

1) Постройте график прямой пропорциональности, заданной формулами: а)

у=2х; б) у=-2х; в) у=3|x|; г) у=-3|x|.

2) Напишите

общую

формулу,

которой

задается

линейная

функция,

расположенная в I и III коорд. четвертях, II и IV коорд. четвертях.

3) Выполните построение графиков:

а) у=0,5х-2; б) у=0,5х+2; в) у=-0,5х-2; г) у=-0,5х+2; д) у=0,5|x|+2;

е) у=-0,5|x|-2; ж) у=|-0,5х+2|.

Функция у=ах

2

+bх+с .

1. Постройте график функции:

а) у=х

2

-4х+3; б) у=х

2

-4|x|+3; в) у=|х

2

-4х+3|; г) у=|х

2

-4|x|+3|.

2. Постройте

график

функции

у=2х|x|+х

2

-6х

и

найдите:

а)

область

определения и множество значений; б) промежутки монотонности; в) точки

пересечения с осями координат; г) промежутки знакопостоянства.

3. Найдите такую квадратичную функцию у=ах

2

+bх+с, чтобы ее график

пересекал ось абсцисс в точках (-3; 0) и (1; 0), а ось ординат в тоске (0; -9).

4. Дана квадратичная функция у=ах

2

+bx+с такая, что у(-2)<0, y(3)>0, y(1)>0.

Сравните с нулем: а) а; б) b

2

-4ас; в) у(-4)×у(6).

Функция

у

=

к

ах

+

b

+

c

1) Используя график функции

у

=

к

х

, постройте следующие графики:

I. 1)

у

=

3

х

−

3

; 2)

у

=−

1

х

−

1

; 3)

у

=

х

+

2

х

+

1

.

II. 2)

у

=

2

|

x

|−

1

; 2)

у

=

2

|

x

−

1

|

; 3)

y

=|

2

x

−

1

+

3

|

; 4)

y

=|

x

+

1

x

−

1

|

.

III. 1)

y

=

|

x

|+

1

|

x

|−

1

; 2)

y

=|

|

x

|+

1

|

x

|−

1

|

.

Функция

у

=

√

х

1) При каком значении х точка А (х; 36) принадлежит графику функции

у

=

√

х

?

2) При каких значениях у точка В (-7; у) принадлежит графику функции

у

=

√

х

?

3) Постройте график функции у=0,5

√

х

.

V. Индивидуальные задания.

Функция у=кх+b.

1) Постройте график линейной функции

а) у=|2|x-3|+4|; б) y=|2|x-3|-4|.

2)

Используя

функции

предыдущего

задания,

напишите

формулы

линейных функций

а) параллельных данным функций.

б)

параллельных

данным

функциям

и

проходящим

через

начало

координат.

Функция у=ах

2

+bx+c.

1. Постройте график функции:

а) у=х

2

+2х-3 в) у=|x

2

+2x-3|

б) у=х

2

+2|x|-3 г) у=|x

2

+2|x|-3|

2. Построить график функции: у=4х|x|+x

2

-15x и найдите: а) Д(у) и Е(у);

б) промежутки знакопостоянства.

3. Найти такую квадратичную функцию у=ах

2

+bx+c, чтобы ее график

пересекал ось абсцисс в точках (-2; 0) и (4; 0), а ось ординат в точке (0; 24).

4. Дана квадратичная функция у=ах

2

+bx+c

такая,

что

у(-4)>0, y(2)>0,

y(0)<0. Сравните с нулем: а) а; б) b

2

-4ac; в) у(-5):у(3).

Функция

у

=

к

ах

+

b

+

с

1. Пусть данная функция ƒ(х)=

6

х

. Постройте графики функций: а) ƒ(х)-1;

б)

1

2

ƒ(х); в)

1

2

ƒ(х)-1; г) ƒ(-х); д) ƒ(|x|); е) |ƒ(x)|.

2. Пусть дана функция ƒ(х)=

−

4

х

. Постройте график функций: а) ƒ(-х);

б) –ƒ(х); в) ƒ(х)+2; г) ƒ(х-1); д) |ƒ(x-1)+2|; е)ƒ(|x|)-3.

3. Пусть дана функция ƒ(х)=

−

5

х

. Постройте графики функций: а) ƒ(х)-2;

б) ƒ(х-2); в) ƒ(х-2)+3; г) ƒ(-х); д) ƒ(|x|)+4; е) |ƒ(|x|)|.

Литература.

1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М., 1978.

2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций: Справочник.

Киев, 1981.

3. Ершов Л.В., Райхмист Р.Б. Построение графиков функций: Книга для

учителя. М., 1994.

4. Егерев В.К., Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения

графиков функций. М., 1967.

5. Крейнин Я.Л. Функции, пределы, уравнения и неравенства с

параметрами. М., 1995.

6. Сивашинский И.Х. Элементарные функции и графики. М., 1965.

7. Шилов Г.Е. Как строить графики? М., 1982.