Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Большеталовская средняя общеобразовательная школа

Зерноградского района

Тема:

Как научить(ся) решать задачи по

планиметрии.

Площадь: нахождение и использование

Учитель:

Барсукова И.Е.

2018 – 2019 учебный год

Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики.

Решение геометрических задач вызывает трудности у многих учеников. Это связано как с обилием

различных типов задач, так и с многообразием приемов и методов их решения.

В отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Практически

каждая задача требует «индивидуального» подхода.

Как же научить(ся) решать задачи?

Искусство - решать задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании

достаточного количества геометрических фактов и в овладении определённым арсеналом приёмов и

методов решения. Поэтому, чтобы ученики умели решать задачи нужно:

1. Нужно добиваться от ученика знаний теоретического материала.

2 . Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание.

Надо: а) ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание, при этом схватывается общая

ситуация, описанная в задаче;

б) ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание. При этом нужно выделить в задаче

данные и искомые, а в задаче на доказательство - посылки и заключения.

3. После прочтения сделать рисунок от руки или с помощью линейки.

Нужно научиться делать хорошие, большие и красивые чертежи, а иногда не чертежи, а рисунки.

Чертежи - рисунки, если они выполнены грамотно, могут сильно облегчить поиск решения, работу над

ним.

Рисунок может подсказать какое-либо геометрическое соотношение между отрезками или углами.

Нужно пытаться изобразить все возможные конфигурации, отвечающие на первый взгляд условиям

задачи, а затем с помощью рассуждений отбросить лишние.

Следует изображать лишь «функционирующие» части геометрических фигур.

Необходимо избегать чрезмерного усложнения рисунка. Так, если в задаче надо найти радиус

окружности, вписанной в треугольник, то в большинстве случаев саму эту окружность не следует

изображать. Если же в условии задачи фигурируют точки этой окружности, т.е.окружность

"функционирует" в условии, то ее изображение может оказаться полезным.

4. Необходимо знание методов решения геометрических задач

Эти методы обладают некоторыми особенностями: большое разнообразие, трудность формального

описания, взаимозаменяемость, отсутствие чётких границ области применения.

При решении геометрических задач обычно используются три основных метода:

геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из

ряда известных теорем;

алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных

зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений;

комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других –

алгебраическим. Какой бы путь ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от

знания теорем и умения применять их.

В качестве основного метода решения геометрических задач, который стоит освоить и отработать в

первую очередь, выступает алгебраический метод.

Существует ещё несколько методов решения геометрических задач:

Метода опорного элемента, метод дополнительного построения,

метод введения вспомогательного элемента или параметра,

метод треугольника, метод подобия, метод площадей, метод ключевой задачи.

Метода опорного элемента

Иногда, нарисовав рисунок фигуры и отметив на нем все данные величины, не удается найти

требуемые в задаче отрезки или углы. В этой ситуации может помочь использование метода опорного

элемента - он является основным методом составления уравнений в геометрических задачах и

заключается в следующем: один и тот же элемент (сторона, угол, площадь, радиус, средняя линия и т.

д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя разными способами, и полученные

выражения приравниваются.

Метод дополнительного построения

Во многих случаях решать задачи помогает введение в чертеж дополнительных линий - так

называемые дополнительные построения.

Такие дополнительные построения, вводящие новые углы и новые отрезки, иногда приводят к

появлению геометрических фигур, облегчающих решение задачи.

выделим три разновидности дополнительных построений:

1.

продолжение отрезка (отрезков) на определенное расстояние или до пересечения с

заданной прямой;

2.

проведение прямой через две заданные точки;

3.

проведение через заданную точку прямой, параллельной данной прямой, или

перпендикулярной данной прямой.

Следующее дополнительное построение - удвоение медианы

Характеристика метода. Когда в условии задачи фигурирует медиана треугольника, то стоит

попытаться продолжить эту медиану на расстояние равное длине медианы, т.е. продлить ее за

точку, лежащую на стороне треугольника. Полученная новая точка соединяется с вершиной

(вершинами) исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство

соответствующих элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или доказать

предложенное утверждение.

Метод введения вспомогательного элемента или параметра

1. Вспомогательный отрезок

Характеристика метода. Длину некоторого отрезка рассматриваемой в задаче фигуры полагают

равной, например, x и затем находят искомую величину. При этом в одних случаях

вспомогательная величина в процессе решения задачи «исчезает» (сокращается), а в других ее

нужно определить через данные условия и поставить в полученное для искомой величины

выражение.

2. Bспомогательный треугольник

Характеристика метода. При помощи некоторого дополнительного построения (продление

отрезка, геометрическое преобразование и др.) получают треугольник, который дает возможность

получить решение задачи. Обычно такой треугольник обладает двумя важными для решения

задачи свойствами:

1)

его элементы некоторым образом связаны с элементами, фигурирующими в условии

задачи;

2) для его элементов легче найти характеристики, позволяющие получить решение, чем для

фигур непосредственно заданных условием.

3. Вспомогательная окружность.

Рассмотрим один из основных геометрических методов решения задач – метод вспомогательной

окружности. Вспомогательные окружности часто облегчают вычисление углов в задачах о "некруглых"

фигурах.

Метод треугольника

Как известно, с давних времен, существует целая наука тригонометрия ("тригон"- по-гречески означает

"треугольник"). С ее помощью можно было, измерив одну сторону и два угла треугольника, найти

длины всех его сторон. Но еще ранее с ее помощью научились измерять воображаемые треугольники на

небе, вершинами которых были звезды.

Основные составляющие данного метода – это соотношения между сторонами и углами треугольника,

перечислим их:

1.Используя свойства площадей многоугольников, можно установить

замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Такая

теорема называется теоремой Пифагора и является важнейшей теоремой геометрии.

2. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике: косинус острого угла

прямоугольного треугольника, синус угла , тангенс угла

3. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника:

в треугольнике против большей стороны лежит больший угол .

Следствие: гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета.

4.Теорема о неравенстве треугольника: в каждом треугольнике любая сторона меньше суммы двух

других его сторон.

5. Теорема о сумме углов треугольника: сумма углов треугольника равна 180°.

6. Теорема Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его

стороне равные отрезки, то они отсекают и на другой его стороне равные отрезки.

Следствия:

• В треугольнике может быть только один неострый (прямой или тупой угол).

• Из данной точки на данную прямую можно опустить только один перпендикуляр.

• Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

7. Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус

двоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

«Тригон» и его методы широко вошли в курс геометрии и крепко основались. Нет ни одной фигуры,

кроме треугольника, у которого существуют столь разнообразные приемы нахождения неизвестной

величины.

Для более детального рассмотрения метода треугольника как основного способа нахождения того или

иного элемента, целесообразно рассмотреть типовые задачи.

Метод подобия

Метод подобия применяется в задачах на построение, применяется подобие к доказательству теорем, а

так же в задачах используются свойства подобных треугольников для определения длин

пропорциональных отрезков.

1.«Метод подобия» при решении геометрических задач на построение заключается в следующем.

Пусть даны некоторые элементы фигуры: величины углов или сами углы, её линейные элементы

(отрезки или их длины, а может быть, сумма некоторых линейных элементов) и, возможно, отношения

некоторых линейных элементов, т.е. одни данные определяют форму искомой фигуры, а другие -

линейные - определяют её размеры. Тогда, используя углы (или их величины) или отношения линейных

элементов, строят фигуру, подобную искомой, выбрав коэффициент подобия k равным отношению

соответствующих линейных элементов, затем, используя остальные данные, строят искомую фигуру.

Метод площадей

( решение задач с использованием свойств площадей)

Метод площадей является близким «родственником» метода подобия. Во многих теоремах и задачах

они с успехом заменяют друг друга.

Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь.

Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через

разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным

оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом

случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы

определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из

геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы

уравнений). Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным в формулах

площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить за. Иногда площадь фигуры

представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения,

основанные на различную зависимость между ее элементами.

Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно

рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых (или обе) содержит в себе искомые

элементы.

Задачи, взаимосвязанные методом решения.

1.Стороны АВ и ВС треугольника ABC равны 8 и 11, а высота, проведенная к стороне ВС,

равна 4. Найдите высоту, проведенную к стороне АВ.

2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите длину высоты, проведенной к

гипотенузе.

3. В равнобедренном треугольнике сторона основания равна 8, а боковые стороны - 10. Найдите длину

высоты, проведенной к боковой стороне.

4. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 12, а основание 16. Найдите расстояние от

середины основания треугольника до боковой стороны.

5. В треугольнике стороны относятся как 1:2. Высота, проведенная к большей из этих сторон, равна 10.

Найдите длину высоты, проведенной к меньшей из этих стороне.

С помощью площадей

задача.

В произвольном треугольнике АВС биссектриса ВЕ перпендикулярна медиане АD, причем

ВЕ = AD = 4. Найти стороны треугольника АВС.

Решение :Так как АО = ОD = 2, ВЕ = 4 и АD перпендикулярно ВЕ, то площадь каждого из

треугольников ВАЕ и ВDE равна 4 (рис. 2). Площадь треугольника СDE также равна 4, так как медиана

ED делит треугольник ВСЕ на два равновеликих треугольника. Значит, площадь треугольника АВС

равна 12.

Так как AD – медиана треугольника АВС, то площадь треугольника ABD равна 6.

По формуле площади треугольника SABD = АО · ВО = 6. Но АО = 2, а значит, ВО = 3.

Стороны треугольника АВС можно найти по теореме Пифагора.

Итак, задача может быть решена, если догадаться соединить точки D и Е, а затем вычислять

площади треугольников.

Основные свойства площадей.

Свойство №1 Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то

площадь при этом не изменится

Свойство №2 Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно

отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

Свойство №3 Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение

сторон, заключающих этот угол.

Свойство №4 Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Свойство № 5 Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Свойство №6 Медианы треугольника делят его на три равновеликие части

Свойство №7 Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади,

которых равны одной четвертой части площади

ABC

Свойство №8 Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Метод ключевых задач

Учиться решать задачи с помощью ключевых – идея древняя.

Метод составления системы задач, построенный по принципу - каждая задача системы использует

результат решения одной какой-либо опорной (базисной) задачи, называется методом ключевой задачи.

Существует две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из них состоит в рассмотрении

ключевой задачи как задачи-факта. Зачастую такая ключевая задача оказывается дополнительной

теоремой школьного курса. Вторая точка зрения состоит в рассмотрении ключевой задачи как задачи-

метода. При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум

задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на

уровне программных требований по изучаемой теме.

Например, по теме «треугольник» ключевыми являются:

задача о параллельных прямых, пересекающих стороны угла,

задача о медиане, проведенной к гипотенузе (в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к

гипотенузе, равна половине гипотенузы),

задача об отношении площадей треугольников, имеющих общую высоту (основание),

задача о свойстве биссектрисы угла треугольника,

задача об отношении площадей подобных треугольников.

Ключевые задачи:

1. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от

вершины.

2. Медиана делит треугольник на два равновеликих.

3. Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

4.В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна ее половине.

5. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

6. Если в треугольнике длина медианы равна половине длины стороны, к которой она проведена, то

этот треугольник - прямоугольный.

7.Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные

прилежащим сторонам.