Методика изучения темы «Многогранники», ориентированная на

развитие исследовательского потенциала учащихся

В данном параграфе описывается построение методики организации

исследовательской

деятельности

учащихся

при

изучении

темы

«Многогранники» в старших классах общеобразовательной средней школы.

Разрабатывая методику, мы учитывали требования и основные положения,

сформулированные ранее.

Мы остановились на изучении геометрии в старших классах в силу ряда

причин, одна из которых заключается в том, что учебный предмет геометрия

в

силу

своей

специфики

обладает

богатыми

исследовательскими

возможностями, которые максимально полно позволили реализовать наши

методические идеи по организации УИД учащихся. Соотношение в нем

интуиции

и

логики

отражает

чувственную

и

рациональную

стороны

исследования, этапы выдвижения гипотезы и ее проверки. Более тесная связь

школьной геометрии с реальностью позволяет иллюстрировать абстрактные

геометрические

объекты

соответствующими

конструкциями

из

картона,

дерева, каркасными моделями или даже окружающими предметами. Это дает

возможность

«обнаружить»

математическую

проблему

исследования

в

некоторой

реальной

ситуации,

совместить

в

учебном

исследовании

практическую

и

теоретическую

деятельность,

«подключить»

образное

мышление,

«выйти»

на

обобщение

–

применение

некоторого

математического закона на практике.

Выбор

именно

старших

классов

связан

с

тем,

что

возрастные

особенности

старшеклассников,

как

уже

отмечалось

ранее,

являются

наиболее

соответствующими

для

участия

в

учебно-исследовательской

деятельности, и, более того, УИД позволяет реализовать познавательные

потребности старших подростков. Ребята обладают достаточно обширным

фондом

знаний

и

умений,

необходимых

для

участия

в

учебном

исследовании,

им

доступны

все

этапы

УИД

и

различные

способы

осуществления

этих

этапов.

Работа

со

старшеклассниками

позволяет

моделировать учебное исследование в целом, оценить «пробелы» и найти

возможности их своевременного предотвращения.

Выбор

темы

«Многогранники»

обусловлен,

во-первых,

тем,

что

многогранники

являются

по

сути

центральными

объектами

изучения

школьной стереометрии. Элементы работы с многогранниками пронизывают

практически

все

темы:

взаимное

расположение

прямых

и

плоскостей,

комбинации

многогранников

и

тел

вращения,

площади

поверхностей,

объемы

и

непосредственно

изучение

различных

видов

многогранников.

Теория многогранников имеет тысячелетнюю историю и связана с многими

ра зд е ла ми

зна ний:

топологие й,

т е орие й

гра фов ,

л и н е й н ы м

программированием, теорией оптимального управления, кристаллографией,

архитектурой,

оригами.

Таким

образом,

при

изучении

темы

«Многогранники»

могут

быть

исследованы

различные

проблемы

межпредметного

характера

и

практические

приложения.

Это

не

только

расширяет

круг

возможных

тем

для

исследовательских

проектов,

но

и

положительно влияет на мотивацию учащихся к УИД.

Кроме того, многогранники интересны и сами по себе. Разнообразие

многогранников

позволяет

рассматривать

отдельные

виды

этих

фигур;

искать

общие

для

данного

вида

свойства

или

изучать

особенности

конкретного

многогранника;

исследовать

условия

существования

многогранника.

Содержание

этой

темы

позволяет

сконструировать

практически все выделенные нами типы учебно-исследовательских задач.

Многогранники

являют ся

про ст ранственными

а н а л о г а м и

многоугольников.

Это

позволяет

использовать

аналогию

плоскость

—

пространство для поиска некоторых свойств многогранников.

Достаточно

широко

в

исследовании

многогранников

применяется

мысленное

или

реальное

конструирование

моделей

многогранников:

для

доказательства существования некоторого многогранника или комбинации

многогранников, для предъявления контрпримера, для измерения некоторых

метрических параметров с целью выдвижения или проверки гипотезы.

В теме «Многогранники» рассматривается два класса фигур: призмы и

пирамиды. Исследования этих фигур во многом схожи (последовательность,

идеи доказательства). Поэтому изучение многогранников можно строить как

два

исследования:

изучение

призм

и

пирамид.

Причем

уровни

этих

исследований по степени самостоятельности учащихся будут различными.

Например, общий план изучения призм рекомендуется учителем, а изучение

пирамид планируют учащиеся. И степень самостоятельности учащихся при

исследовании пирамид повышается.

Таким образом, тема «Многогранники» предоставляет благоприятные

содержательные возможности для организации УИД учащихся.

Согласно

сформулированным

выше

требованиям

к

методике

организации

УИД

изучению

темы

«Многогранники»

предшествовало

проведение констатирующего эксперимента с целью выявления исходного

уровня исследовательского потенциала учащихся. Подобранные для этого

задания, обработка и интерпретация результатов описаны в § 6. Здесь же

приведем

лишь

общие

характеристики

выявленного

исследовательского

потенциала

учащихся,

которые

повлияли

на

характер

организации

УИД

учащихся при изучении темы «Многогранники».

По результатам констатирующего эксперимента учащиеся не готовы к

участию в целостном учебном исследовании. Одним из наиболее сложных

для

учащихся

этапом

исследования

является

выдвижение

гипотезы.

Затруднения

в

проведении

данного

этапа

связаны

не

только

с

его

объективной сложностью, но также и с тем, что учащиеся редко занимаются

поиском свойств математического объекта. Их математическая деятельность

сводится,

как

правило,

к

доказательству

уже

сформулированного

утверждения.

Таким

образом,

возможность

проявить

творческие

способности

на

уроках

математики,

развить

исследовательские

умения,

потренироваться в поиске и формулировании свойств фигур практически

отсутствует.

Удивительным для нас оказался тот факт, что несмотря на привычную в

математике необходимость логически обосновывать все рассуждения редкие

учащиеся

аргументируют

свои

выводы.

При

выполнении

экспертных

заданий учащиеся часто обращались к учителю за разъяснениями по поводу

того,

какие

вопросы-проблемы

и

гипотезы

можно

сформулировать,

как

объяснить свои догадки. В этой связи возникает необходимость не только

организации отдельных этапов УИД, но и знакомства учащихся с общей

структурой исследования. Низкий уровень исследовательского потенциала

большинства учащихся, требование разъяснения заданий свидетельствуют о

невысокой степени самостоятельности учащихся. Это отразится на формах

организации УИД (предпочтительнее групповые и коллективные формы) и

формулировках

исследовательских

заданий.

Для

учащихся

с

высоким

исследовательским

потенциалом

предполагаются

индивидуальные

исследовательские задачи соответствующей степени сложности.

Результаты

констатирующего

эксперимента

определили

цели

подготовительной

работы

с

учащимися,

предваряющей

изучение

многогранников, - ознакомление учащихся со структурой и особенностями

исследовательской деятельности.

Для проведения такой работы мы предварительно проанализировали

существующие

методики

ознакомления

учащихся

со

структурой

исследовательской деятельности.

В ходе нашей подготовительной работы была проведена мастерская

«Что такое исследование?», в которой учащиеся делились собственными

представлениями

об

исследовании

вообще,

составляли

«портрет

исследователя», выявляли возможности, которые предоставляет им участие в

учебном исследовании. Мастерская, посвященная отдельному этапу УИД -

этапу

выделения

проблемы,

-

проводилась

уже

при

изучении

темы

«Многогранники» и описана ниже.

В рамках деятельности НОУ проводился круглый стол, посвященный

работе с различными источниками информации. О традиционном источнике

информации

–

книге,

о

правилах

пользования

каталогом

и

составлении

библиографии рассказывала библиотекарь школы.

Начальный опыт в формулировании математических гипотез учащиеся

приобрели

при

обнаружении

свойств

параллелепипеда

по

аналогии

со

свойствами параллелограмма.

Таким образом, к началу изучения темы «Многогранники» учащиеся

получили

некоторое

представление

о

структуре

исследовательской

деятельности.

Подготовительная

работа

позволила

также

несколько

ослабить боязнь учеников дать неверный ответ, познакомить с правилами

участия в мастерских.

Тема «Многогранники» изучается по учебникам А.В.Погорелова и А.Д.

Александрова

в

11

классе,

по

учебнику JI.C. Атанасяна - в 10 классе.

Тематическим планированием на изучение этой темы отводится 15-18 часов

в зависимости от учебника. Организуя исследовательскую деятельность в

этой

теме,

мы

старались

уложиться

в

отведенные

для

изучения

темы

временные рамки.

К основным учебным целям изучения данной темы добавляется не

менее важная развивающая цель – развить исследовательский потенциал

учащихся.

Приведенная ниже таблица 3 отражает место и средства организации

УИД при изучении темы «Многогранники».

Таблица 3.

Место и средства организации УИД при изучении темы

«Многогранники»

№ урока

Тема урока

УВД

1

Многогранник.

Элементы

многогранника.

Формирование

представления

о

многограннике

и

его

элементах

с

и с п о л ь з о в а н и е м

а н а л о г и и

многоугольник

—

многогранник

(мастерская).

Р е ш е н и е

н а б о р а

У И З

с

применением конструктора.

В ы б о р

у ч а щ и м и с я

т е м ы

исследовательского проекта (домашнее

задание).

2-3

Призма.

Элементы

призмы.

В в е д е н и е

п о н я т и я

п р и з м а

(мастерская).

Р е ш е н и е

н а б о р а

У И З :

суще ствование

призмы,

п о и с к

заданного

объекта,

обоснование

или

опровержение

м а т е м а т и ч е ского

утверждения.

4-5

П р и з м а .

Р е ш е н и е

задач.

Решение

УИЗ

на

обнаружение

с в о й с т в

н е к о т о р ы х

п р и з м

и

вариативность

сечений

призмы

плоскостью.

Составление

учащимися

плана

исследовательского

проекта

по

выбранной теме (домашнее задание).

6

Площадь поверхности

призмы.

Вывод

формулы

нахождения

п л о щ а д и

б о к о в о й

и

п о л н о й

п о в е р х н о с т и

п р я м о й

п р и з м ы

(групповая работа).

7

Пирамида.

Составление

учащимися

плана

изучения темы «Пирамида».

Введение

понятий

пирамида,

элементы пирамиды (мастерская).

Р е ш е н и е

н а б о р а

У И З :

с у щ е с т в о в а н и е

п и р а м и д ы ,

обнаружение

свойств

пирамиды,

обоснование

или

опровержение

математического утверждения.

8

Площадь поверхности

пирамиды.

Вывод

формулы

нахождения

п л о щ а д и

б о к о в о й

и

п о л н о й

поверхности

правильной

пирамиды

(работа в парах).

9

Усеченная пирамида.

10-11

Пирамида.

Решение

задач.

Решение

УИЗ

об

обнаружении

с в о й с т в

п и р а м и д

с

равнонаклоненными

к

основанию

ребрами (гранями) в группах.

В ы д е л е н и е

п р о б л е м ы

(мастерская).

12

Проверочная работа.

Дополнительная задача - УИЗ.

Ре ц е н зи р о ва н и е

у ч а щ и м и с я

и с с л е д о в а т е л ь с к и х

п р о е к т о в

одноклассников (домашнее задание).

13-14

Повторение.

Обобщение.

Решение

задач.

Решение

УИЗ

(индивидуальные

задания

для

учащихся

с

высоким

исследовательским потенциалом).

15

Контрольная работа.

Дополнительная задача - УИЗ.

16

Представление

исследовательских

проектов учащихся.

Кроме

того,

организации

исследовательской

деятельности

учащихся

различных классов был посвящен «день проектов».

Приведенные

в

таблице

данные

иллюстрируют

основные

положения

разработанной

нами

методики

организации

УИД

при

изучении

темы

«Многогранники». Так, организация УИД при введении основных понятий

темы

-

многогранник,

призма,

пирамида

-

осуществляется

посредством

мастерских. При этом реализуются такие этапы УИД как формулирование

проблемы,

на

основании

анализа

данных

выделяются

гипотетические

существенные признаки, позволяющие определить новое понятие. Введение

понятия многогранника построено на использовании аналогии плоскость -

пространство. В этой связи в качестве анализируемых данных выступали

многоугольники,

гипотезы

о

признаках

многогранника

и

его

элементов

выдвигались по аналогии с соответствующими признаками многоугольника.

Методической идеей при введении понятия пирамиды было использование

бытового представления об этой фигуре. Выделить существенные признаки

для формулировки понятия призмы учащимся предлагалось на основании

анализа чертежей различных видов призм.

После

введения

нового

понятия

выясняются

условия

существования

соответствующего

объекта,

осуществляется

поиск

основных

его

свойств,

устанавливаются

связи

с

известными

объектами

посредством

решения

соответствующих

типов

учебно-исследовательских

задач.

При

этом

комплексно осуществляются этапы анализа данных, выдвижения и проверки

гипотезы.

П ом и м о

э то го

вед е т с я

в н еу р оч н а я

р а б от а

п о

с о з д а н и ю

исследовательского проекта: учащиеся выбирают тему своего исследования,

уточняют исследуемую проблему, собирают и анализируют информацию,

оформляют

работу,

представляют

результаты

своего

исследования,

рецензируют работы одноклассников.

В

конце

изучения

темы

проводится

повторная

диагно стика

исследовательского потенциала с целью выявления его развития.

Рассмотрим организацию исследовательской деятельности учащихся при

введении

понятия

призма.

Задания

1-2,

6

учащиеся

выполняют

самостоятельно.

1. Среди нарисованных многогранников многогранники под номерами

1, 2, 5, 8, 9 являются призмами. Выделите существенные признаки призмы.

Дайте определение понятия призма.

(

На рисунках намеренно представлены различные виды многогранников.

Сравнение учащимися призм не только между собой, но и с другими

многогранниками позволяет точнее выделить существенные свойства

призмы.)

2.

Нарисуйте «свою» призму, не представленную на рисунках.

3.

Учащиеся

по

желанию

выносят

нарисованные

ими

призмы

на

доску. Чаще всего это наклонная или прямая призма с выпуклым основанием.

Прослеживаем

способы

их

построения.

При

этом

формулируется

конструктивное определение призмы. Оно помогает уточнить выделенные

учащимися

существенные

признаки.

Выясняется,

какие

многоугольники

(выпуклые, невыпуклые) могут участвовать в образовании призмы.

4.

Учащиеся

диктуют

выделенные

ими

существенные

признаки

призмы,

учитель

записывает

их

на

доске.

Выделяется

набор

признаков,

необходимых

и

достаточных

для

определения

призмы.

Могут

быть

рассмотрены различные определения призмы.

5.

К

неверно

сформулированным

определениям

учащиеся

ищут

контрпримеры или указывают избыточные признаки.

6.

Каждый учащийся изображает на рисунке «своей» призмы

основные элементы, которые определяют это тело. Придумывают им

названия, дают определения.

7.

Проделанная

работа

обсуждается.

На

доске

отмечаются

учителем или учениками различные элементы призмы: вершины, ребра

(некоторые

учащиеся

предлагали

использовать

термин

«стороны»),

углы (плоские, многогранные), грани (основания и боковые грани),

высота призмы. Формулируются обобщенные определения элементов,

выявляются

свойства

этих

элементов.

Например,

равенство

и

параллельность

боковых

ребер

призмы.

Вводится

обозначение

и

название призмы.

8.

Устанавливаем связи между различными видами призм..

Рассматриваем

наклонные,

прямые

и

правильные

призмы,

параллелепипеды, кубы как частные случаи призмы.

9.

Выводятся свойства граней прямой призмы, правильной

призмы.

10.

Установить аналогичные связи между различными видами

параллелепипедов

учащимся

предлагается

дома

с

последующим

обсуждением в классе.

11.

Для осознания введенных понятий учащимся предлагается

блок учебно-исследовательских задач.

1)

Существует ли призма, которая имеет 14 ребер; 15 ребер?

2)

Призма

имеет n ребер. Какой многоугольник лежит в основании

этой призмы?

3)

Призма

имеет k граней. Какой многоугольник лежит в основании

этой призмы?

4)

Верно ли, что многогранник, все грани которого квадраты, является

кубом?

5)

Является

ли

призма,

все

ребра

которой

равны

друг

другу,

правильной?

6)

Верно

ли,

что

многогранник,

составленный

из

двух

равных

многоугольников,

расположенных

в

параллельных

плоскостях,

и

параллелограммов, называется призмой?

Как

один

из

возможных

вариантов

организации

выполнения

этого

задания

можно

предложить

такой:

учащиеся

выполняют

задание

«под

копирку». Один вариант сдают учителю, другой оставляют себе. Происходит

обсуждение решения. Учащиеся при этом могут сверять верные рассуждения

со своими и осуществляют самоконтроль.

Заметим, что задания 10-13 можно выполнить на следующем уроке.

Аналогичный блок учебно-исследовательских задач может быть

предложен при изучении понятия пирамида.

1)

Какой многоугольник лежит в основании 32 реберной пирамиды?

2)

Существует ли пирамида, которая имеет а) 20 ребер; б) 21 ребро?

3)

Существует ли пирамида с нечетным числом ребер?

4)

Может ли ребро пирамиды являться её высотой?

5)

Может ли высота пирамиды проектироваться на одну из сторон

основания?

6)

Всякий ли тетраэдр является пирамидой?

7)

Всякая ли пирамида является тетраэдром?

8)

Верно ли, что многогранник, все грани которого треугольники,

является тетраэдром?

Похожий

набор

задач

был

предложен

на

первых

уроках

темы.

Но

решение

этих

задач

осуществлялось

с

помощью

конструирования

соответствующих

многогранников.

Каждый

ученик

класса

имеет

«конструктор», состоящий из пластилиновой «плоскости», спиц, спичек, с

помощью которых изображаются отрезки и прямые, кусочков пластилина для

их скрепления. Такие «конструкторы» учащиеся собрали под руководством

учителя на первых в учебном году уроках геометрии и периодически ими

пользуются.

Мы

также

посчитали

уместным

прибегнуть

к

конструированию

многогранников при решении следующих задач.

1.

Сконструируйте многогранники, имеющие 8 ребер; 9 ребер.

2.

Сколько ребер может иметь многогранник с 5 вершинами?

3.

Сколько ребер может иметь многогранник с 3 вершинами?

4.

Возможен ли невыпуклый многогранник с 4 гранями?

5.

Какое

минимальное

число

вершин

может

иметь

многогранник

(необходимо рассмотреть выпуклый и невыпуклый многогранники)?

6.

Какое

наибольшее

число

сторон

может

иметь

грань

выпуклого

6-гранника; 100-гранника?

7.

Школьник нарисовал несколько многогранников, а затем в каждом

стер все внутренние линии, оставив лишь контур. В результате получились

многоугольники:

правильные

треугольник,

пятиугольник,

шестиугольник,

квадрат. Для каждого многоугольника укажите, какой многогранник мог быть

нарисован учеником.

8.

Придумайте

какой-нибудь

многогранник,

изображением

которого

является квадрат с проведенными диагоналями.

9.

Сконструируйте

многогранник,

заданный

проекциями

на

три

попарно перпендикулярные плоскости:

Эти задания примечательны еще и тем, что может быть предложено

несколько вариантов, удовлетворяющих условию задачи.

При отсутствии средств для решения задач с помощью конструирования,

они

могут

быть

переформулированы.

Для

этого

вместо

задания

сконструировать

тот

или

иной

многогранник

дается

задание

нарисовать,

описать искомый многогранник.

Задачи

могут

выполняться

синхронно

с

демонстрацией

учителю

и

классу. Можно давать задания небольшими блоками, объединив, например, в

один

блок

первые

шесть

заданий,

а

в

другой

-

оставшиеся

три.

Затем

обсудить с классом решение этих блоков. Возможен вариант, когда указанные

блоки заданий выполняются на различных уроках.

На дом задаются задачи, требующие более длительного обдумывания и

сложного конструирования. Например, следующие задачи, приведенные в

учебнике Шарыгина.

6.

Существует ли многогранник с нечетным числом ребер, все грани

которого – многоугольники с четным числом? [148, с. 6, № 7]

7.

Куб – это шестигранник, у которого имеется 8 вершин и 12 ребер.

Все

грани

куба

–

четырехугольники.

Придумайте

какой-нибудь

шестигранник, у которого 8 вершин и 12 ребер, причем есть грани с числом

сторон, не равным четырем. Возможен ли шестигранник, у которого четыре

грани — треугольники, а две оставшиеся – шестиугольники? [148, с.6, № 9]

8.

Возможно ли, чтобы у многогранника нашлась грань, являющаяся

многоугольником

с

числом

сторон,

большим,

чем

число

граней

у

многогранника? [148, с. 6, № 10]

Урок, цель которого вывести формулу нахождения площади боковой и

полной поверхности прямой призмы, был организован следующим образом.

Учащиеся были разделены на 3 группы. Для того, чтобы большинство

ребят могли принять активное участие в исследовании, в каждую группу

были объединены учащиеся примерно одного уровня исследовательского

потенциала. Такая группировка позволяет предоставить учащимся наиболее

допустимые

для

них

уровень

сложно сти

задания

и

с т е п е н ь

самостоятельности его выполнения. В первую группу вошли учащиеся, чей

исследовательский потенциал находится на низком уровне, во вторую группу

- учащиеся со средним исследовательским потенциалом, в третью группу -

учащиеся, обладающие высоким исследовательским потенциалом. Каждая

группа получила задание, сформулированное в соответствии с потенциалом

группы.

Номер

задания

будет

соответствовать

номеру

группы,

его

выполняющего.

Задание 1.

(Группе 1 выдается картонная модель прямой треугольной призмы, все

задания относятся к этой призме.)

1.

Из чего состоит боковая поверхность призмы?

2.

Как можно найти площадь боковой поверхности призмы?

3.

Найдите

площадь

боковой

поверхности

вашей

призмы.

(Для

нахождения

необходимых

элементов

призмы

используйте

замеры

соответствующих элементов.)

4.

Сформулируйте

правило

нахождения

площади

боковой

поверхности произвольной треугольной прямой призмы.

5.

Сформулируйте более общее правило.

6.

Из чего состоит полная поверхность призмы?

7.

Как можно найти площадь полной поверхности призмы?

8.

Найдите площадь полной поверхности вашей призмы.

9.

Сформулируйте правило нахождения площади полной поверхности

произвольной треугольной прямой призмы.

10.

Сформулируйте более общее правило.

Задание 2.

Нужно изобрести формулу для нахождения площади боковой и полной

поверхности прямой призмы.

1.

Постройте произвольную четырехугольную прямую призму.

Задайте ее размеры.

2.

Из чего состоит боковая поверхность призмы; полная поверхность

призмы?

3.

Как можно найти площадь боковой поверхности призмы; полной

поверхности призмы? Рассмотрите различные способы.

4.

Найдите площади боковой и полной поверхности вашей призмы.

5.

Сформулируйте правило нахождения площади боковой и полной

поверхности произвольной четырехугольной прямой призмы.

6.

Сформулируйте более общее правило.

Задание 3.

1.

Дана n-угольная прямая призма.

2.

Определите

понятия

боковая

поверхность

призмы,

площадь

боковой поверхности призмы.

3.

Найдите площадь боковой поверхности призмы.

4.

Проведите

аналогичное

исследование

для

нахождения

площади

полной поверхности призмы.

На

выполнение

этого

задания

было

отведено

20

м и н у т.

Затруднительным для учащихся всех групп оказался переход к произвольной

призме, упускался тот факт, что рассматриваются лишь прямые призмы.

Затем учащиеся представили результаты проделанной ими работы у

доски. В ходе совместного обсуждения были уточнены формулировки новых

понятий,

получена

теорема

о

нахождении

площадей

боковой

и

полной

поверхности

прямой

призмы.

Учащиеся

отметили

общую

структуру

выполненных заданий: рассмотрение конкретной прямой призмы; изучение

произвольной прямой призмы заданного вида; обобщение на произвольную

прямую призму.

Оставшаяся часть урока была посвящена решению задач на нахождение

площади поверхности призмы с различными заданными элементами.

Ознакомление

учащихся

с

первым

этапом

исследовательской

деятельности

-

выделение

проблемы

-

мы

провели

на

одном

из

закрепляющих уроков по теме. Была организована работа в группах. Но

деление на группы теперь проводилось по-другому. Группы были примерно

равноценными.

В

каждой

группе

присутствовали

учащиеся

различных

уровней.

1.

Первый этап урока был посвящен изучению этимологии самого

слова «проблема», интерпретации понятия.

Сейчас мы называем проблемой некоторую трудность, затруднительное

положение. Исходное значение слова несколько другое. Слово «проблема»

греческого происхождения. Его буквальное значение — задача, задание. В

связи с такой трактовкой часто употребляемое «нет проблем» означает, что

человек не ставит перед собой никаких задач, ему нечего решать, нечего

узнавать. Таким образом, проблема является движущей силой познания. В

этом случае проблема как бы передает суть того, что познается.

2.

На листах записаны фразы:

«Я ищу, значит, учусь.» Анри Бассис.

«Глубина - вот цель любого размышления.» Курт Вовенарг.

«Я знаю, что ничего не знаю.» Сократ.

Учащимся предлагается сформулировать проблему, увиденную в этих

фразах. Учащиеся могут дополнять друг друга.

3.

Данному уроку предшествовало домашнее задание подготовить по

одному

примеру

того,

какие

проблемы

ставили

перед

собой

и

решали

различные

науки,

проанализировать,

откуда

возникали

эти

проблемы.

И

теперь учащиеся рассказывают о выявленных ими примерах.

4.

Учащимся дается задание записать необходимые, на их взгляд,

условия для возникновения научной проблемы. После обсуждения учащиеся

различных групп диктуют по очереди условия возникновения проблемы,

учитель записывает их на доске. В результате были записаны следующие

условия:

-

жизненная потребность;

-

необходимость новых знаний;

-

потребность объяснить имеющиеся знания;

-

совершенствование знаний, методов;

-

противоречие;

-

любопытство;

-

заказ других наук;

-

случайность.

5. Переход к математическим проблемам.

В математике мы все время решаем задачи, значит имеем дело с

проблемами. Попробуем определить типы возникающих проблем в связи с

рассмотрением пирамиды.

Группы учащихся самостоятельно заполняют таблицу:

Тип проблемы

Пример проблемы

1. …

1. …

2. …

2. …

Затем группы обмениваются листами. Изучают мнение другой группы,

обсуждают,

вносят

поправки,

объединяют

типы

проблем.

Решают

поставленные проблемы.

В результате были приведены следующие типы проблем и примеры,

иллюстрирующие эти проблемы на материале пирамиды.

Таблица 4.

Типы проблем и примеры, иллюстрирующие эти проблемы на

материале пирамиды

Тип проблемы

Пример проблемы

1. Существование.

1.

Суще ствует

ли

пирамида

с

нечетным числом ребер?

2. Определенность.

2.

Можно

ли

однозначно

задать

п и р а м и д у

т р е м я

л и н е й н ы м и

элементами?

3. Взаимосвязь элементов.

3. Основание пирамиды - треугольник

со сторонами 13, 14, 15. Каждое боковое

ребро наклонено к основанию под углом

60°. Найти высоту пирамиды.

4. Взаимосвязь с другими

фигурами.

4.

Как

могут

располагаться

по

отношению

друг

к

другу

точка

и

пирамида?

5. Достоверность.

5. Верно ли, что если боковые грани

пирамиды

являются

правильными

треугольниками,

то

эта

пирамида

правильная?

6. Нахождение площади,

6.

Основание

пирамиды

-

трапеция,

объема.

боковые стороны которой равны 2 см и 4

см.

Боковые

грани

пирамиды

равно

наклонены

к

плоскости

основания.

Высота одной из боковых граней равна 5

с м .

Н а й д и т е

п л о щ а д ь

б о к о в о й

поверхности пирамиды.

6. В заключении урока учащиеся высказывают свои мысли по поводу

решения проблем. Приведем некоторые из них.

Ребята отметили, что известная поговорка «глаза боятся, а руки делают»

в

математике

означает:

задача

кажется

сложной,

но

надо

попытаться

ее

решить. Так же было сказано, что для решения какой-то проблемы должна

быть некоторая основа, база. Еще заметили, что проблему можно разбить на

подпроблемы.

В

ходе

такого

урока

учащиеся

не

только

расширили

кругозор

о

структуре исследования, но и выявили возможные типы математических

проблем,

приобрели

опыт

самостоятельного

формулирования

и

решения

некоторых математических проблем.

Уже несколько лет в лицее № 3 практикуется вид работы, получивший

название «день проектов». В течение этого «дня» учителя реализуют любой

свой методический проект. Во время проведения нашего преобразующего

эксперимента и состоялся очередной «день проектов». Конечно, наш проект

был связан с организацией УИД на математическом содержании и назывался

«Исследователь».

Основная

сложность

заключалась

в

том,

что

учащиеся

записывались

для

участия

в

том

или

ином

проекте

по

желанию.

«Исследователями»

решили

стать

учащиеся

старших

классов.

Отбирая

содержание

для

этого

проекта,

мы

старались

учесть

возможности

всех

участников

исследования

и

в

то

же

время

как-то

связать

их

в

одно

и с с л е д о в а н и е .

В ы д в и н у т ы м

т р е б о в а н и я м

с о о т в е т с т в о в а л и

изопериметрические

задачи.

Во-первых,

эти

задачи

при

определенной

организации являются учебно-исследовательскими задачами. Во-вторых, в

основе

этих

задач

лежит

общая

идея,

которая

и

составила

основу

исследования.

В-третьих,

изопериметрические

задачи

могут

быть

сформулированы для различных множеств геометрических фигур. Выбирая

определенные множества фигур, мы сформулировали доступные задачи для

различных возрастных групп. Учащимся старших классов была предложена

такая задача.

Задача

.

Из

всех

треугольных

призм

с

высотой

10

см

и

общим

основанием наименьшую площадь боковой поверхности имеет ... призма.

Определите вид призмы. На работу с задачей было отведено около 20 минут.

В результате этой работы учащиеся выдвинули по своим задачам гипотезы о

соответствующих

фигурах.

При

этом

каждая

группа

использовала

свои

приемы работы. Учащиеся седьмых и девятых классов предпочли перебор

возможных

вариантов.

Старшеклассники

пришли

к

своей

гипотезе

с

помощью логических рассуждений. Такая организация работы позволила

наглядно показать учащимся различные способы выдвижения гипотезы.

После этого учащимся дается задание доказать свою гипотезу. Затем мы

предложили учащимся обобщить свои задачи. Нам было интересно, по каким

основаниям

ребята

произведут

обобщения.

Группа

1

показала,

что

доказанное

ими

свойство

верно

для

прямоугольников

произвольного

периметра.

Группа

2

-

свойство

верно

для

групп n-угольных

призм

с

одинаковой высотой и общим основанием. После такого обобщения группы 2

группа

1

привела

еще

одно

обобщение:

среди n-угольников

заданного

периметра

наибольшую

площадь

будет

иметь

правильный n-

угольник.

Обосновать это утверждение помогли старшеклассники.

Следующим

заданием

было

найти

практическое

применение

выведенного

ими

математического

факта.

Группа

1

предложила

вариант

применения, который мы ожидали услышать от группы 2. Тем не менее,

ребята рекомендовали строить архитектурные сооружения с «правильным

основанием» как более просторные и экономные. Объясняя свои выводы тем,

что

каждый

«слой»

кирпичей

имеет

одинаковое

количество,

а

площадь

образованного ими внутреннего помещения больше. Группа 2 добавила, что

по этим же причинам экономнее «прямые» сооружения. И Пизанская башня

в

этом

смысле

построена

нерационально.

Кроме

того,

группой

2

была

приведена известная им задача о рациональном огораживании участка земли

проволокой данной длины.

После этого участники различных проектов представляли результаты

своего

участия

в

проекте

перед

всей

секцией

математики.

По

этим

представлениям выбирали проект-победитель в данной секции.

Наш проект соответствовал своему названию «Исследователь», так как,

решая предложенные задачи, учащиеся осуществляли УИД: анализировали

данные, на основании перебора или логических рассуждений выдвигали

гипотезы, проверяли их, делали обобщения, формулировали выводы.

Вне урока учащиеся выполняли исследовательские проекты по теме

«Многогранники». Работа в этом направлении организовывалась следующим

образом. На одном из первых уроков по данной теме при введении понятия

многогранника

обсуждался

вопрос

о

возможных

приложениях

теории

многогранников.

Учащиеся

в

ходе

обсуждения

этого

вопроса

приводили

различные известные им примеры использования многогранников. После

чего они получили задание на дом выбрать вопрос по изучаемой теме для

самостоятельного

изучения.

Приведем

наиболее

интересные

вопросы,

исследуемые учащимися:

■

Заполнение пространства многогранниками.

■

История многогранников.

■

Многограники в искусстве (гравюры Эшера, кубизм, архитектура,

ювелирное дело).

■

Кристаллы - природные многогранники.

■

Правильные

многогранники

(теорема

Эйлера,

свойства

и

моделирование правильных многогранников).

■

Многогранники, вписанные в сферу и описанные около сферы.

Следующим заданием становится составление учащимися плана своей

работы,

по

которому

учитель

может

в

некоторой

степени

судить

о

содержании работы, предложить что-то скорректировать, дополнить. Сдача

готовых

работ

по

времени

соотносится

с

завершением

изучения

темы.

Учитель

знакомится

с

работами,

но

рецензируют

работы

ученики.

По

наиболее интересным вопросам ребята готовят небольшие доклады, которые

заслушиваются и обсуждаются на одном из заключительных по данной теме

уроков.

В

конце

изучения

темы

была

проведена

повторная

диагностика

исследовательского потенциала учащихся, которая выявила положительные

изменения в развитии учащихся. Подробнее об этом — в параграфе 2.3.

Последующую

работу

по

организации

учебно-исследовательской

деятельности мы видим в увеличении степени самостоятельности учащихся,

в моделировании не одного, а нескольких этапов или целостного учебного

исследования, в продолжении работы над ученическим исследовательским

проектом, представлении этого проекта на конференциях НОУ.

В

заключение

данного

параграфа

еще

раз

сформулируем

аспекты

организации УИД при изучении конкретной темы:

-

выявление

учителем

содержательных

возможностей

темы

для

организации УИД учащихся;

-

периодическая

диагностика

исследовательского

потенциала

учащихся;

-

использование

предметного

содержания

математики

для

ознакомления учащихся со структурой УИД;

-

организация

этапов

УИД,

к

которым

учащиеся

менее

всего

подготовлены,

посредством

соответствующих

учебно-исследовательских

задач;

-

введение некоторых понятий посредством организации мастерских;

обнаружение

некоторых

свойств

и

признаков

объектов,

вывод

формул

посредством решения учащимися учебно-исследовательских задач;

-

выполнение учащимися исследовательских проектов.

2.3

Методика

проведения

и

результаты

экспериментального

исследования

Данный параграф посвящен описанию педагогического эксперимента и

его результатов. В нашем эксперименте можно выделить несколько этапов:

1.

Ориентационный или подготовительный этап.

2.

Констатирующий эксперимент.

3.

Поисковый эксперимент.

4.

Преобразующий эксперимент.

Основной целью первого этапа нашего исследования было выявление

современного

состояния

включения

исследовательской

деятельности

в

учебный

процесс.

Для

этого

был

проведен

сравнительный

анализ

литературных источников по проблеме исследования, уточнены основные

понятия,

согласованы

психолого-дидактические

и

методические

аспекты

изучаемого вопроса. Сравнительный исторический анализ позволил выявить

особенности

учебного

исследования,

обусловленные

историческим

контекстом,

и

точнее

определить

современные

цели

организации

исследовательской деятельности учащихся.

После

проведенного

теоретического

исследования

мы

обратились

к

изучению практики организации исследовательской деятельности в школе.

С

целью

изучения

практики

организации

исследовательской

деятельности учащихся в современной общеобразовательной школе нами

было проведено анкетирование 43 учителей различных предметов (анкета

приведена

в

приложении

1).

В

результате

анализа

анкетных

данных

и

индивидуальных

бесед

с

учителями

мы

получили

следующую

картину

использования исследовательской деятельности в обучении.

Большинство учителей (около 80 % опрошенных) понимают суть и

значение

исследовательской

деятельности:

самостоятельное

получение

знания, открытие нового, поиск путей решения некоторой проблемы. Но не

имеют достаточно четкого представления о реализации элементов учебного

исследования

на

практике.

Лишь

немногие

учителя

(17

%

опрошенных)

привели примеры исследовательских ситуаций, несмотря на то, что около 80

% опрошенных указали на использование ими при организации обучения

элементов исследования. Учителя считают более целесообразным проведение

учебных

исследований

при

закреплении

и

повторении

материала,

при

введении

нового

материала

в

основном

используются

репродуктивные

методы обучения. Преобладают исследования учащихся на факультативах и

кружках.

Содержательно

учебные

исследования

отражают

в

основном

межпредметные

связи.

Основные

трудности

проведения

исследования

на

уроках учителя видят в дефиците времени для организации этой работы, в

отсутствии

необходимых

материалов

и

соответствующих

методик,

недостаточном

для

самостоятельного

исследования

уровне

развития

учащихся.

Во

время

нашей

совместной

с

учителями

работы

по

внедрению

в

процесс

обучения

математике

элементов

исследования

мы

заметили,

что

учителя

еще

недостаточно

готовы

психологически

к

«самостоятельному

познанию

ребенка

через

пробы

и

ошибки».

В

одном

из

заданий

предполагалось, что ученики после рассмотрения нескольких конкретных

треугольников заметят некоторую закономерность и выдвинут гипотезу об

этой закономерности в общем виде для произвольного треугольника, после

чего докажут или опровергнут свое предположение. Учитель посчитал такую

формулировку

задания

не

эффективной

и

предложил

сразу

вынести

на

доказательство

общее

утверждение,

мотивируя

такой

подход

экономией

времени, избежанием путаницы. Этот и многие другие похожие примеры

показывают,

что

для

учителей

по-прежнему

приоритетнее

передача

«готовых» знаний, чем развитие учащихся. Ведь была упущена возможность

самостоятельного

выполнения

детьми

сбора

и

анализа

данных

о

треугольниках,

обнаружения

ими

общего

свойства,

закономерности,

обобщения

этого

свойства

на

произвольный

треугольник,

формулировки

гипотетического утверждения, критический анализ достоверности гипотезы.

Таким образом, несмотря на то, что организация исследовательской

деятельности

учащихся

позволяет

реализовать

многие

современные

образовательные тенденции, применение этого метода в школе по-прежнему

затруднено.

Изучение

практики

организации

учебных

исследований

в

школе,

соотнесение полученных данных с теоретическими положениями позволило

выявить

причины,

затрудняющие

организацию

исследовательской

деятельности

учащихся,

и

определило

выбор

нашей

позиции

в

данном

вопросе. Укажем эти причины:

•

особенности исследовательского метода

(дефицит

в р е м е н и ,

отсроченность результата);

•

перегруженность учебных программ;

•

низкий

уровень

владения

учащимися

общими

и

специальными

исследовательскими умениями;

•

недостаточность соответствующего методического обеспечения;

•

недостаточный уровень подготовленности учителя к организации

исследовательской деятельности в школе.

Вторым

этапом

стало

проведение

констатирующего

эксперимента,

направленного

на

выявление

исходного

исследовательского

потенциала

учащихся.

Исследовательская

деятельность

тесно

связана

с

индивидуальными

возможностями и особенностями ученика, поэтому прежде, чем включить

учащихся

в

исследовательскую

деятельность,

необходимо

определить

их

наличный исследовательский потенциал. Опишем методику проведения и

результаты констатирующего эксперимента.

Организуя

экспериментальное

исследование,

мы

исходили

из

следующих теоретических положений:

■

Выявление исследовательского потенциала учащихся целесообразно

осуществлять в процессе решения ими учебно-исследовательских задач.

■

Охарактеризовать

исследовательский

потенциал

учащегося

позволяют выделенные критерии и уровни исследовательского потенциала.

■

Успешность выполнения того или иного задания определяется не

только соответствующими умениями, но и знаниями, заинтересованностью,

прошлым опытом. Чтобы несколько ослабить доминирующее влияние знания

учащимися пройденного материала, мы составляли задания, не требующие

полного решения геометрических задач.

■

О предрасположенности учащихся к отдельному этапу учебного

исследования

будем

судить

по

выполнению

моделирующих

этот

этап

заданий.

Для

получения

более

полного

представления

о

возможностях

учащихся один этап моделировали несколько заданий, отражая различные

стороны этого этапа. Этапы исследовательской деятельности тесно связаны

между собой. Поэтому выделение и обособление одного из них несколько

условно

и

влечет

выполнение

вспомогательных

действий,

отражающих

другие этапы исследовательской деятельности. Так, например, выдвижение

гипотезы основано на анализе данных. Таким образом, в задании зачастую

моделируется

несколько

элементов

исследования,

но

мы

будем

концентрировать своё внимание на одном из них.

Цель: выявить исследовательский потенциал учащихся 10 класса на

математическом содержании.

Задачи:

■

составить

(подобрать)

экспертные

задания,

соответствующие

выделенным

этапам

математической

учебно-исследовательской

деятельности;

■

сформулировать критерии оценивания заданий;

■

провести эксперимент и обработать полученные данные.

Гипотезы: исследовательский потенциал учащихся недостаточно высок

для участия в самостоятельном цельном учебном исследовании; к некоторым

этапам исследовательской деятельности учащиеся более подготовлены, чем к

другим.

Сразу оговорим, что об исходном исследовательском потенциале мы

судили в основном по уровню развития его операционной составляющей.

Отдельное исследование мотивационной и рефлексивной его составляющих

требуют

проведения

дополнительных

экспериментов

по

специальным

методикам

и

не

являлось

предметом

нашего

экспериментального

исследования.

Однако,

учитывая

связь

между

всеми

составляющими

исследовательского потенциала и подбор средств комплексного выявления

исследовательского потенциала, мы можем судить о развитии мотивационной

и

рефлексивной

составляющих

исследовательского

потенциа ла

опосредованно через уровень развития операционной составляющей.

В эксперименте принимали участие десятиклассники МБОУ «Лицей

№3». Всего в эксперименте участвовало 48 учащихся.

Эксперимент проводился одновременно со всем классом. Каждому из

учащихся предлагалась индивидуальная карточка со всеми заданиями. Таким

образом,

учащиеся

могли

выполнять

задания

в

удобной

для

них

последовательности

и

темпе.

На

выполнение

заданий

было

отведено

3

академических

часа.

Результаты

эксперимента

обрабатывались

нами

по

каждому заданию, подвергались качественному и количественному анализу,

делались обобщающие выводы по группе заданий, отражающих различные

аспекты одного этапа учебно-исследовательской деятельности. Тем самым

получили

представление

об

исследовательском

потенциале

каждого

учащегося к отдельным этапам учебно-исследовательской деятельности. В

итоге была получена общая характеристика исследовательских возможностей

учащихся.

Выявляемые составляющие исследовательского потенциала учащихся,

их

соответствие

этапам

исследовательской

деятельности

и

экспертным

заданиям отражены в таблицах 5 и 6. Для удобства составлены две по-

разному

организованные

таблицы.

По

таблице

5

удобно

проследить

соответствующие

определенному

этапу

исследовательской

деятельности

задания. По таблице 6 - какие элементы учебного исследования моделирует

то

или

иное

задание.

Так,

например,

возможности

учащихся

выделять

проблему мы исследуем с помощью заданий №№ 1, 2, 3, 4 (см. таблицу 5). Из

таблицы 6 видно, что задание №1 моделирует также этапы организации и

анализа данных, выдвижения гипотезы.

Таблица 5

Соотношение этапа исследовательской деятельности и задания

Этапы УИД

Исследовательский

потенциал

Типы и номера

заданий.

Выделение

проблемы

исследования.

Постановка вопросов

к данным.

Формулирование

проблемы

в

общем

виде.

Задачи на постановку

дополнительных вопросов

(№ III).

Задачная ситуация с

несформулированным

вопросом (№ IV).

Мини-исследование с

предложенным планом

действий (№ I).

Выявление свойств

геометрического объекта (№

II).

Организация

и

анализ данных

Выполнение

различных

преобразований

информации.

Оперирование

числовой

и

знаковой

символикой.

Выполнение

основных

мыслительных

Задачные

ситуации,

по

условию

которых

требуете?

выбрать

соответствующие

чертежи (№ V).

Подбор условия (данных)

по заданному вопросу (№ VI).

Мини-исследование

с

п р е д л о ж е н н ы м

п л а н о м

действий (№ I).

В ы я в л е н и е

с в о й с т в

операций.

геометрического

объекта (№

II).

Выдвижение

гипотезы.

Нахождение способа

упорядочивания

объектов,

продолжение

р я д а

о б ъ е к т о в ,

обнаружение

лишнего

объекта.

Выявление

общих

и л и

а н а л о г и ч н ы х

свойств объектов.

Выдвижение гипотезы на

основе

экспериментальны

данных (№ VII).

О б о б щ е н и е

н а

геометрическом материале (№

VIII).

Мини-исследование

п р е д л о ж е н н ы м

п л а н о м

действий (№ I).

В ы я в л е н и е

с в о й с т в

геометрического

объекта

(№

II).

Проверка и

обоснование

гипотезы.

Неполная индукция.

Поиск

контрпримеров.

Поиск объекта,

удовлетворяющего данным

условиям (№ IX).

Поиск контрпримера (№

IX).

Формулирование

выводов.

Обобщение

Мини-исследование

п р е д л ож е н н ы м

п л а н о м

действий (№ I).

Таблица 6

Соотношение элементов учебного исследования

Тип задания и его номер.

Эт апы

УИД,

м о д ел и р у ем ы

соответствующим заданием.

I .

М и н и - и с с л е д о в а н и е

с

предложенным планом действий.

Выделение проблемы исследования.

Организация

и

анализ

данных.

Выдвижение гипотезы.

I I .

В ы я в л е н и е

с в о й с т в

геометрического объекта.

Выделение проблемы исследования.

Организация

и

анализ

данных.

Выдвижение гипотезы.

I

I

I

. Задачи

на

п о с т а н о в ку

дополнительных вопросов.

Выделение проблемы исследования.

I V.

З а д а ч н а я

с и т у а ц и я

с

несформулированным вопросом.

Выделение проблемы исследования.

V. Задачные ситуации, к условию

к о т о р ы х

т р е б у е т с я

в ы б р а т ь

соответствующие чертежи

Организация и анализ данных.

VI.

Подбор

условия

(данных)

к

заданному вопросу

Организация и анализ данных.

VII.

Выдвижение

гипотезы

на

основе экспериментальных данных

Выдвижение гипотезы.

VIII. Обобщение на

геометрическом материале

Выдвижение гипотезы.

IX. Поиск объекта,

удовлетворяющего данным условиям

Проверка гипотезы.

Рассмотрим

указанные

в

таблицах

задания

более

подробно:

охарактеризуем

типы

заданий

и

их

возможное

содержание,

инструкции

учащимся

по

выполнению

заданий,

принципы

анализа

результатов

выполнения отдельного задания.

Первые

два

задания

представляют

собой

более

цельные

учебные

исследования,

чем

другие

задания,

моделирующие

лишь

отдельные

элементы.

В

этих

заданиях

отражены

практически

все

этапы

исследовательской деятельности (это видно из таблицы 2). Причем этапы

исследовательской деятельности выступают здесь как составляющие единого

исследования. Такие задания позволяют проследить готовность учащихся к

исследованию в целом и к отдельным его этапам.

Задание

I.

Мини-исследование

с

предложенным

планом

действий.

Известно, что если на сторонах прямоугольного треугольника с катетами 3 ед.

и

4

ед.

построить

квадраты,

то

площадь

квадрата,

построенного

на

гипотенузе, будет равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Сохранится ли это свойство для площадей равносторонних треугольников и

полукругов,

построенных

на

этих

сторонах

данного

прямоугольного

треугольника?

Для

ответа

на

вопрос

выполните

следующие

подзадания

в

любой

удобной для вас последовательности.

1.

Сформулируйте

общий

вопрос,

относящийся

к

любому

прямоугольному

треугольнику,

который

можно

исследовать,

имея

ввиду

содержание предложенной задачи.

2.

Выберите, кроме заданного, ещё 2 прямоугольных треугольника с

другими

сторонами.

Ответьте

на

заданный

в

задаче

вопрос

для

этих

треугольников. Запишите полученные значения площадей в таблицы.

3.

Сформулируйте

гипотезы

о

зависимости

площадей

правильных

треугольников,

а

также

полукругов,

построенных

на

сторонах

прямоугольного треугольника, решив только приведенную задачу.

4.

Как можно подтвердить (или опровергнуть) выдвинутые гипотезы?

Попробуйте это сделать.

5.

Как бы вы сформулировали положительный (или отрицательный)

результат

исследования

проблемы

о

зависимости

площадей

некоторых

«правильных»

фигур,

построенных

на

сторонах

прямоугольного

треугольника? Выберите наиболее грамотный с вашей точки зрения вариант.

a)

для

данного

прямоугольного

треугольника

площадь

квадрата,

построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных

на катетах;

b)

для

данного

прямоугольного

треугольника

площадь

квадрата,

построенного на гипотенузе, не всегда равна сумме площадей квадратов,

построенных на катетах;

c)

для

данного

прямоугольного

треугольника

площадь

квадрата

(правильного

треугольника

или

полукруга),

построенного

на

гипотенузе,

равна сумме площадей соответствующих фигур, построенных на катетах;

(d)

для

данного

прямоугольного

треугольника

площадь

квадрата

(правильного треугольника или полукруга), построенного на гипотенузе, не

всегда

равна

сумме

площадей

соответствующих

фигур,

построенных

на

катетах;

е)

для

любого

прямоугольного

треугольника

площадь

квадрата

(правильного

треугольника

или

полукруга),

построенных

на

гипотенузе,

равна сумме площадей подобных фигур, построенных на катетах.

Задание

II.

Выявление

свойств

геометрического

объекта. Из

6

одинаковых спичек составлен объект так, что каждые 3 спички соединяются

одним общим концом.

•

Нарисуйте этот объект .

•

Исследуйте геометрические свойства этого объекта. Записывайте не

только сами свойства, но и ваши рассуждения.

•

Как бы вы назвали полученную геометрическую фигуру, исходя из

выясненных вами свойств?

З а д а н и е III.

Задачи

на

постановку

дополнительных

вопросов.

Инструкция ученикам:

К

каждой

из

предложенных

задач

сформулируйте

ещё

один

или

несколько вопросов. Все необходимые вам пометки (краткая запись условия,

рисунок) делайте на опросном листе. Решать задачи не нужно.

1.

В равнобедренном треугольнике ABC угол В равен 120°, АС=4V3

см. Чему равна площадь треугольника ABC?

2.

В выпуклом четырехугольнике ABCD углы А и В – прямые, ВС=6

см, AD=8 см, AB=2V3

CM

. Чему равна площадь четырехугольника ABCD?

В

первой

задаче

предложен

более

общий

вопрос,

в

качестве

дополнительных

вопросов

учащиеся

могут

предложить

найти

промежуточные

для

ответа

на

поставленный

вопрос

данные,

например

стороны AB,ВС. Ко второй задаче поставлен вопрос, не требующий для

ответа на него нахождения промежуточных данных. Нас интересует также,

будут ли учащиеся находить только заданные элементы фигуры (стороны,

углы)

или

выполнять

дополнительные

построения,

например,

искать

среднюю линию.

Задание IV. Заданные ситуации с не сформулированным вопросом. В

заданиях этого типа вопрос не формулируется ни прямо, ни косвенно, но он

логически

вытекает

из

данных

в

задаче

математических

отношений.

Устанавливалось,

может

ли

испытуемый

сформулировать

вопрос,

воспринимает ли он логику данных отношений и зависимостей, способен ли

определить

достаточность

и

непротиворечивость

данных.

В

задачной

ситуации 2 описывается несуществующий прямоугольный треугольник. Для

того,

чтобы

выяснить

как

учащиеся

воспринимают

различные

типы

информации,

мы

предлагаем

условие

задачи

в

двух

видах:

привычной

словесной формулировке и в виде "готового чертежа" с отмеченными на нем

отношениями и числовыми (буквенными) данными.

Инструкция

ученикам. Поставьте

вопросы

к

условию

задачи,

что

можно найти по предложенным данным? Все необходимые вам пометки

( краткая запись условия, рисунок) делайте на опросном листе. Решать задачи

не нужно.

Задачи:

1.

В

прямоугольнике

точка

пересечения

диагоналей

отстоит

от

меньшей

стороны

на

6

см

дальше,

чем

от

большей

стороны.

Периметр

прямоугольника 44 см.

2.

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 5 см и

гипотенузой 12 см.

3.

4.

Задание V. Задачные ситуации, к условию которых требуется выбрать

соответствующие чертежи.

Подобраны

задачные

ситуации,

которым

соответствует

несколько

геометрических

чертежей,

вследствие

чего

возможно

не сколько

равноправных

решений.

Выберут

ли

учащиеся

несколько

вариантов

или

ограничатся одним?

Инструкция ученикам. Укажите те из предложенных чертежей, которые

соответствуют тексту.

Материал:

1. Даны две касающиеся окружности с радиусами R

1

и R

2

.

Задание

VI. Дан

вопрос

-

подобрать

условие,

данные.

Задание,

«обратное»

задачным

ситуациям

с

несформулированным

вопросом.

В

задании

моделируется

этап

сбора

и

анализа

данных.

Нас

интересует,

предложат

ли

ученики

«прямое»

условие,

содержащее

данные,

непосредственно

необходимые

для

ответа

на

поставленный

вопрос,

или

промежуточные

данные,

то

есть

получат

задачу

в

одно

или

несколько

действий.

Возьмут

ли

АВ

и

СО

как

стороны

фигуры

или

как

«самостоятельные» прямые в пространстве или на плоскости?

Инструкция ученикам. Подберите к поставленному вопросу условие,

данные,

позволяющие

ответить

на

этот

вопрос,

тем

самым

составьте

математическую задачу.

1. Дана трапеция АВСО, в которой

….

Найти

площадь

д а н н о й

трапеции.

2. ……. Докажите, что прямые АВ и СО параллельны.

Задание

VII.

Выдвижение

гипотезы. Описывается

некоторая

геометрическая

ситуация

(рассматриваются

прямоугольники

с

фиксированным периметром 24 см и основанием х). Приводится таблица с

конкретными

значениями

взаимосвязанных

характеристик

(сторона

прямоугольника

-

площадь

прямоугольника),

учащиеся

могут

при

необходимости

добавить

свои

значения

стороны

прямоугольника

и

соответствующей ей площади. На основании этих данных учащиеся должны

сформулировать гипотетическое предположение о прямоугольнике большей

площади, имеющего данный периметр. Нас интересует: смогут ли учащиеся

качественно интерпретировать количественную информацию, в каком виде

учащиеся выскажут предположение, как опишут искомый прямоугольник

(ограничатся указанием только основания, найдут и другую сторону, укажут,

что искомая фигура - квадрат).

Задание. Даны различные прямоугольники с одинаковым периметром

Р=24 см. Обозначим одну сторону прямоугольника через х см, а площадь S

через

см

2

.

Задавая

конкретные

значения

х

и

высчитывая S,

получили

следующую таблицу:

X 2

3

4

5

5,5

5,8

5,

9

6

6,2

6,5

7

8

9

S

20

27

32

35

35,75

35,96

35,99

36

35,96

35,75

35

32

27

Проанализируйте

данные,

представленные

в

таблице,

при

необходимости

добавьте

свои

значения.

Какие

гипотезы

вы

можете

сформулировать на основе этого анализа?

Задание VIII. Обобщение на геометрическом материале. Учащимся

предлагаются

наборы

некоторых

геометрических

объектов,

подобранные

таким образом, что один из них является по отношению к ч

остальным

лишним. Для выполнения задания учащиеся должны установить связь между

данными

объектами

и

выбрать

тот,

который

не

состоит

в

этой

связи

с

остальными, т.е. сгруппировать объекты по некоторому признаку и выделить

неподходящий, объяснив свой выбор. При этом группировка в некоторых

случаях не определяется однозначно. Так, в задании 3 «лишним» объектом

можно выбрать скрещивающиеся прямые (не лежат в одной плоскости) или

пересекающиеся

прямые

(имеют

одну

общую

точку)

.

Для

выявления

особенностей

восприятия

учащимися

материала

объекты

задаются

различными способами: словесно, с помощью изображений геометрических

фигур.

Число

объектов

в

каждом

задании

не

должно

быть

большим.

Инструкция учащимся: укажите, какой из объектов лишний, объясните свой

выбор.

Задания.

1.

Прямоугольник, параллелограмм, трапеция, ромб, квадрат.

2.

Параллелограмм, трапеция, ромб, квадрат, треугольник.

3.

Параллельные прямые, пересекающиеся прямые, скрещивающиеся

прямые.

Задание IX.

В

этом

задании

необходимо

не

только

выдвинуть

гипотезу,

но

и

проверить, обосновать ее. Для ответа на первые три вопроса необходимо

осуществить

поиск

объекта,

удовлетворяющего

некоторым

условиям,

в

остальных - предъявить контрпример. Анализируя выполнение учащимися

этого задания, мы будем обращать внимание на то, в каком виде учащиеся

предложат обоснования своих предположений.

Инструкция учащимся. Ответьте на вопросы, кратко обоснуйте свой

ответ.

1. Существует ли треугольник, в котором две высоты перпендикулярны

друг другу?

2.

Можно

ли

построить

четырехугольник,

который

не

является

параллелограммом, но имеет два равных противоположных угла?

3.

Существует ли треугольная призма, у которой ровно одна грань

прямоугольник?

4.

Даны два равных острых угла. Будут ли они вертикальными?

5.

Даны два угла, каждый их них равен 90°. Будут ли они смежными?

6.

Всегда ли перпендикуляр короче наклонной?

7.

Верно

ли,

что

если

прямая

параллельна

плоскости,

то

она

параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости?