Особенности учебно-исследовательской деятельности учащихся

при изучении математики

Специфика

учебного

исследования

при

изучении

математики

определяется не только особенностями предметного содержания, но и, как

показывает

изучение

практики

применения

исследовательского

метода

в

обучении,

историческим

контекстом.

В

силу

своей

многогранности

исследовательская деятельность приобретала те или иные характеристики,

была

направлена

на

достижение

различных

целей

в

зависимости

от

«политики» в сфере образования.

О применении исследовательского метода при изучении математики в

начале двадцатого века нам удалось обнаружить достаточно скудные сведения.

Это

так

называемые

«рабочие

книги»

по

математике

[21].

Такие

книги

служили

как

бы

руководством

по

исследованию

конкретных

вопросов

математического

содержания.

В

них

по

принципу

вопросника

излагался

материал,

необходимый

(на

взгляд

автора

этой

«рабочей

книги»)

для

исследования определенной проблемы. План исследования этой проблемы,

задания и указания формулировались в виде последовательных вопросов. Чем

интересна данная проблема, с чем связана необходимость ее решения, как

создается план исследования в данных книгах не рассматривалось.

Некоторые ученые того периода времени (Б.Е. Райков, В.Ю. Ульянинский,

К.П.

Ягодовский)

считали,

что

исследовательский

метод

обучения

естествознанию «претендует на особое положение в школе» [116, с. 11]. По их

мнению,

математическая

учебно

-

исследовательская

деятельность

не

удовлетворяет

в

полной

мере

некоторым

требованиям:

не

вытекает

из

жизненных

потребностей,

не

обладает

общественной

полезностью.

Предпочтение отдавалось прикладным исследованиям, результатом которых

могут быть объективно новые знания.

В последнее десятилетие в связи с изменением социальной политики

общества

скорректированы

цели

образования.

Магистральной

идеей

современного образования является развитие личности учащегося средствами

предмета.

Исследовательская

деятельность

обладает

значительным

развивающим

потенциалом,

и

потому

может

выступать

как

средство

самореализации, саморазвития, самообразования учащихся.

Таким

образом,

обостряется

интерес

к

проблеме

организации

исследовательской деятельности учащихся в процессе обучения математике,

но теперь уже под девизом «математика ради развития».

Изучим особенности учебно-исследовательской деятельности учащихся

при изучении математики в контексте современных тенденций образования.

Условно

можно

выделить

особенности,

которые

приобретает

исследовательская деятельность учащихся как учебное исследование (степень

новизны,

уровень

самостоятельности,

уровень

сформированности

мыслительных умений, возрастные и личностные возможности учащихся), и

математические особенности, присущие математике как предметной области

(абстрактность,

необходимость

проведения

логических

обоснований,

доказательств, характер исследуемых проблем, гипотез).

Специфика

учебного

исследования

при

изучении

математики

определяется

характером

новизны

результата.

В

научном

исследовании

–

результат является объективно новым, в учебном — новизна результата может

быть субъективна. В математике из-за однозначности истины приближение к

научному

исследованию

более

условно,

чем

в

области

гуманитарных

дисциплин, и возможность получить объективно новые для науки знания мала.

Современное

понимание

исследовательской

деятельности

учащихся

как

учебно-познавательной

деятельности,

характеризуемой

высокой

степенью

самостоятельности,

высоким

уровнем

субъективной

новизны,

активностью

учащихся, позволяет отнести учебные исследования в предметной области

математика к исследовательскому поиску.

В

предыдущем

параграфе

(1.1)

была

определена

структура

учебного

исследования

в

общем

виде.

Напомним,

что

она

представляет

собой

последовательность следующих действий:



Выделение и уточнение проблемы.



Организация и анализ данных.



Выдвижение гипотез.



Проверка и обоснование гипотез.



Формулирование выводов.

Каждое

из

перечисленных

действий

в

математическом

учебном

исследовании

приобретает

специфику,

которая

определяется

предметными

особенностями самих проблем, гипотез и видами деятельности учащихся,

присущими математике.

Первый

этап

УИД

связан

с

выделением

проблемы

исследования.

В

методологической литературе [2, 11, 29, 61, 69, 110, 111, 117, 121, 122, 132]

указываются

типы

проблем,

характерных

для

математических

научных

исследований.

Это

проблемы

существования

математических

объектов,

истинности математического знания, изучение объектов, их свойств, явлений

математическими методами (аксиоматический метод, метод математического

моделирования, математическая статистика). По аналогии с типами проблем

математических

исследований

можно

говорить

о

типологии

проблем

для

учебного

исследования

при

изучении

математики.

Так,

проблема

математического учебного исследования чаще всего связана с обоснованием

существования

или

невозможности

существования

абстрактных

математических

объектов,

с

нахождением

свойств

этих

объектов,

с

нахождением метрических характеристик объекта (длина, площадь, объем), с

выяснением

влияния

определенного

условия

на

выполнение

некоторого

свойства

объекта

(установление

взаимосвязи

элементов

одного

объекта,

установление

взаимосвязи

различных

объектов).

Приведем

примеры

возможных проблем учебного исследования.

1.

В

основании

пирамиды

лежит

треугольник

со

сторонами

3,4,5.

Боковые грани наклонены к плоскости основания пирамиды под углом 45°.

Чему может быть равна высота пирамиды?

2.

Основание

пирамиды

-

квадрат.

Две

боковые

грани

пирамиды

перпендикулярны

плоскости

основания.

Какими

другими

свойствами

обладают боковые грани этой пирамиды?

Проблема исследования может быть поставлена учителем, получена в

результате совместного обсуждения учителя и учащихся, выделена учащимся

или группой учащихся самостоятельно. Проблема может возникнуть в ходе

анализа

соответствующей

литературы.

Специфика

математических

текстов

проявляется в том, что одно понятие может иметь различные символьные

обозначения в различных книгах, могут быть даны разные эквивалентные

определения понятий. Поэтому важно, чтобы учащиеся умели оперировать

числовой и знаковой символикой, отделять форму от содержания, работать с

эквивалентными определениями.

Специфика второго этапа учебного исследования — организация и анализ

данных – определяется видом данных и возможными способами их сбора. В

математике

это

числовые

данные,

описывающие

количественные

характеристики

объектов,

сведения

о

форме

и

взаимном

расположении

объектов и их элементов, различного рода соответствия.

Сбор данных, на основании анализа которых формулируется гипотеза о

некоторой закономерности, свойстве объекта, может быть организовано как

практическая так и теоретическая деятельность.

Практическая

деятельность

по

сбору

информации

может

состоять

в

проведении опытов по теории вероятностей, измерении отдельных элементов

моделей многогранников, наложении и сравнении картонных или деревянных

фигур. Если рассматривать практическую деятельность в математике не только

по внешним проявлениям, то она состоит из двух шагов: непосредственно

практических действий, указанных выше, и логической обработки результатов

этих

действий.

После

первого

шага

мы

получаем

некоторые

данные,

анализируя

которые

на

втором

шаге,

получаем

эмпирический

факт.

Практическая

деятельность

носит

индуктивный

характер,

объекты

этой

деятельности не характеризуются массовостью. Эта деятельность направлена

на догадку, на обнаружение закономерности и формулировку гипотезы.

Теоретический сбор данных основан на приемах логического мышления:

анализ-синтез,

сопоставление,

сравнение,

аналогия

и

так

далее.

Перечисленные

мыслительные

операции

характерны

для

исследования

в

любой предметной области. Их специфика в математике заключается в том,

что объекты, над которыми осуществляются эти операции, обладают высокой

степенью

абстрактности.

В

этой

связи

для

осуществления

логической

обработки

данных

часто

возникает

необходимость

выполнять

различные

преобразования информации. А именно, переводить словесную информацию в

наглядную, то есть по условию задачи строить чертежи, диаграммы, графики;

и наоборот, символическую информацию - в словесную (по чертежу или

схематической записи составить условие задачи).

На

геометрическом

материале

можно

реализовать

оба

способа

сбора

информации.

Это

связано

с

«природой»

геометрических

объектов.

Геометрические

объекты

евклидова

пространства

-

фигуры

и

отношения

между ними - исторически были получены как результат абстрагирования и

обобщения реальных физических тел, поэтому сохраняется связь школьной

геометрии с реальностью. Это позволяет подобрать для той или иной фигуры

своеобразный аналог - соответствующую конструкцию из картона, дерева,

каркасную

модель

или

даже

окружающие

предметы.

Как

отмечает

А.Д.

Александров, специфика геометрического метода состоит в том, что "само

логическое

рассуждение

или

решение

задачи

направляется

наглядным

представлением" [4, с. 10].

В

силу

абстрактности

математических

объектов

анализ

информации

должен сопровождаться проверкой непротиворечивости данных. В противном

случае

может

исследоваться

некорректная

с

точки

зрения

математической

теории ситуация.

В математических научных исследованиях исходные данные могут быть

представлены системой аксиом. В этом случае к системе начальных данных

предъявляются

требования

непротиворечивости,

независимости

аксиом,

полноты

системы

аксиом.

В

школьной

математике

исходных

данных,

как

правило,

достаточно

для

решения

задачи,

при

этом

используются

все

указанные в условии данные. В противном случае говорят об избыточных или

недостающих данных.

Определение избыточных или недостающих данных является элементом,

как

математической

научной

исследовательской

деятельности,

так

и

УИД

учащихся при изучении математики.

В результате анализа данных выдвигается некоторая гипотеза (3 этап

УИД). Некоторые дидакты и методисты (Ганеев Х.Ж., Зверева Н.М., Кларин

М.В., Лернер И.Я., Цукарь А.Я.) считают определяющим этапом учебного

исследования выделение проблемы. На наш взгляд, в УИД при изучении

математики наиболее важным является выдвижение гипотезы. Этому этапу

подчинено

все

исследование.

Анализ

данных

направлен

на

обнаружение

некоторого гипотетического свойства объекта, проверка гипотезы определяет

его достоверность, в случае истинности гипотезы обнаруженное свойство

становится

результатом

исследования

и

решением

выделенной

ранее

проблемы.

Гипотеза

может

состоять

в

предположении

относительно

некоторого

свойства

данного

математического

объекта,

выявлении

общих

или

аналогичных свойств объектов, обнаружении закономерностей.

Следует

отметить,

что

гипотеза

часто

носит

характер

обобщения.

В

геометрии достаточно часто выдвигают гипотезу с использованием вывода по

аналогии. Имеют место аналогии типа плоскость - пространство, когда для

плоской

фигуры

ищут

её

пространственный

аналог

и

формулируют

его

гипотетические свойства аналогично тем, которые присущи исходной фигуре.

Так, пространственным аналогом треугольника является тетраэдр. Формулируя

утверждения по аналогии известным свойствам треугольника, можно получить

интересные,

зачастую

неочевидные

свойства

тетраэдра.

Например,

если

в

тетраэдре при одной из вершин три прямых плоских угла, то сумма квадратов

площадей боковых граней равна квадрату площади основания. Это свойство

тетраэдра

сформулировано

по

аналогии

с

теоремой

Пифагора

для

прямоугольного треугольника.

Гипотетический

характер

результатов

анализа

данных

не

зависит

от

способа

накопления

и

обработки

информации

и

обязательно

нуждается

в

логическом

обосновании.

Поэтому

важным

этапом

математического

исследования является проверка и обоснование гипотезы. Подкрепить свою

догадку

позволяет

первоначальная

проверка

гипотезы

-

использование

неполной индукции, практическая деятельность. Однако эти действия еще не

позволяют

говорить

о

достоверности,

истинности

гипотезы,

они

свидетельствуют

лишь

о

ее

правдоподобности.

Но

любая

гипотеза

в

математике,

даже

очевидная

и

правдоподобная,

требует

строгого

доказательства.

На заключительном этапе исследования формулируют выводы, указывают

область применения новых знаний. Вывод учебного исследования может быть

сформулирован

как

некоторое

обобщение

проблемы

проведенного

исследования, перенос полученных знаний в другие ситуации, рассмотрение

предельных

случаев.

Сформулированный

вывод

может

породить

новую

проблему

для

дальнейшего

исследования.

Например,

решение

задачи

о

возможности существования тетраэдра с заданными ребрами 2, 3, 4, 5, 6, 7

порождает более общую проблему: при каких условиях существует тетраэдр

вообще.

Выявленные особенности отдельных этапов УИД в предметной области

математика

позволяют

не

только

определить

специфику

самой

УИД

при

изучении

математики,

раскрыть

содержание

этой

деятельности,

но

и

в

дальнейшем целенаправленно моделировать этапы УИД в процессе изучения

математики.