Захарова Валентина Анатольевна

МБОУ «СОШ № 7»

г.Мариинск, Кемеровской области

Учитель математики

Методы решения логических задач

Наша жизнь непрерывное решение больших и маленьких логических

проблем. Без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно,

жить

трудновато. Логика нужна любому специалисту, будь он математик,

медик или биолог. Она учит человека мыслить четко, лаконично, правильно.

Если человек способен самостоятельно провести анализ ситуации и сделать

соответствующие выводы, то он всегда сможет найти из неё выход. Один из

самых мощных инструментов развития мышления и интеллекта – логические

задачи .

В них вроде бы нет никакой математики - нет ни чисел, ни функций, ни

треугольников, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. Возникает

проблема: как установить логические связи между разрозненными фактами и

как оформить в виде единой целой.

Рассмотрим примеры решения задач.

Метод рассуждений – самый простой способ. Он подходит абсолютно для

всех

задач.

Идея

метода:

в

ходе

решения

используются

рассуждения,

последовательно

учитывающие

все

условия

задачи,

которые

постепенно

приводят к выводу и правильному ответу.

Задача1. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе

появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду,

другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор

знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто

– нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что

никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех

троих

в

кабинет

и

поговорил

с

мальчиками.

Коля

сказал:

«Я

всегда

прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша сказал:

«Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все, что

говорит Коля, – правда». Директор понял, кто из них кто. Расположите

первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда

лжет», «говорит правду через раз».

Решение: 1.во-первых, есть «точная» информация, которая не подвергается

сомнению: все трое прогуляли урок астрономии в первый раз

2.запишем высказывания мальчиков:

Коля: 1. Я всегда прогуливаю астрономию.

2. Саша лжет. Саша: Я в первый раз прогулял астрономию.

Миша: Коля говорит правду.

3.Известно, что один из них все время лжет, второй – говорит правду, а

третий говорит правду через раз (то есть, из двух его высказываний одно

истинно, а второе – ложно; если у нас есть только одно высказывание

«полу-лжеца», оно может быть как истинным, так и ложным)

4.Сопоставив первое высказывание Коли и высказывание Саши с «точной»

информацией , сразу определяем, что тут Коля лжет, а Саша сказал правду;

это значит, что второе высказывание Коли – тоже неверно, поэтому мальчик

Коля всегда лжет.

5.Тогда один из оставшихся, Саша или Миша, говорит правду всегда, а

второй – через раз.

6.Мишино высказывание неверно, поскольку мы уже определили, что Коля

лжет; это значит, что Миша не всегда говорит правду, он – «полу - лжец»

7.Тогда

получается,

что

Саша

всегда

правдив,

и

действительно,

его

высказывание верно

8.Таким образом, верный ответ – СКМ (Саша – правдив, Коля – лжец, Миша

– «полу- лжец» ).

Возможные проблемы: а) длинное запутанное условие, из которого нужно

выделить действительно существенную информацию и применить ее;

б)легко

по

невнимательности

перепутать

порядок

букв

в

ответе

(здесь

сначала правдивый, потом – лжец, потом – «полу-лжец»)

Задача 2. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе

появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду,

другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор

знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто

– нет. Встретив однажды всех троих в коридоре, директор решил поговорить

с мальчиками. Коля сказал: «Саша всегда лжет». Саша сказал: «Коля прав».

Директору стало все понятно. Расположите первые буквы имен мальчиков в

порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз».

Решение:1.В отличие от предыдущей задачи, здесь нет точной информации

2.У нас всего два высказывания мальчиков:

Коля: Саша всегда лжет. Саша: Коля прав.

3.В отличие от предыдущей задачи, второе высказывание связано с

первым:

Сашино

утверждение

относится

к

данному

конкретному

высказыванию Коли, а не к честности Коли вообще.

4.В такой ситуации нужно предположить, что истинно одно из высказываний

и проверить, не приводит ли это к противоречию.

5.Предположим,

что

Коля

сказал

правду;

тогда

получается,

что

Саша

(который всегда лжет) солгал и на этот раз; однако если Саша солгал, то

получается, что Коля сказал неправду, то есть, мы пришли к противоречию, и

Коля в самом деле солгал.

6.Если Коля солгал, то получается, что Саша тоже солгал, то есть, оба

мальчика сказали неправду; отсюда следует, что один из них – лжец, а второй

«полу- лжец», тогда как Миша (ничего не сказавший) говорит всегда правду.

7.Остается определить, кто из двоих (Коля или Саша) лжец, а кто – «полу-

лжец».

8.С

первого

взгляда

кажется,

что

это

невозможно

сделать,

но

ложные

утверждения двух мальчиков разные: Коля говорит (неправду) о том, что

Саша всегда лжет,

а

Саша

говорит

только

о

последнем

(предыдущем)

утверждении Коли; на этой разнице и основано решение.

8.Мы уже выяснили, что Коля солгал, то есть Саша не всегда лжет, он –

«полу- лжец»; тогда сразу получается, что Коля – лжец.

9.Таким образом, верный ответ – МКС (Миша – правдив, Коля – лжец, Саша

– «полу- лжец»).

Возможные проблемы: а) в этой задаче нет точной информации, поэтому

приходится

предполагать

истинность

того

или

другого

высказывания

и

проверять,

не

противоречат

ли

этому

предположению

остальные

утверждения;

б) если мы выяснили, что высказывание «Саша всегда лжет» ложно, это не

означает, что Саша всегда говорит правду; Саша не всегда лжет, то есть, он

может быть и правдивым, и «полу- лжецом».

Метод таблиц .

Основной прием, который используется при решении

текстовых логических задач. Элементы первого множества записываем в

строках,

элементы

второго

–

в

столбцы.

Начертив

таблицу,

нужно

придерживаться некоторых правил.1) В каждой строке и в каждом столбце

таблицы может стоять только один знак соответствия (например «+»).

2) Если

в

строке

(или

столбце)

все

«места»,

кроме

одного,

заняты

элементарным

запретом

(знак

несоответствия,

например

«-»),

то

на

свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже

есть знак «+», то остальные места должны быть заняты знаком «-».

Преимущества метода:1) наглядность,2)возможность контролировать процесс

рассуждений,3)возможность

формализовать

некоторые

логические

рассуждения.

Задача

3.

Их

было

пять

человек:

Андреев,

Борисов,

Иванов,

Петров

и

Сидоров. Профессии у них были разные: один из них - маляр, другой -

плотник, третий - штукатур, четвёртый - каменщик, пятый - электрик. Они

рассказали о себе следующее. Петров и Иванов никогда не держали в руках

малярной кисти. Петров и Борисов живут в одном доме со штукатуром.

Андреев и Петров подарили электрику красивую вазу. Борисов и Петров

помогали

плотнику

строить

гараж.

Борисов

и

Сидоров

по

субботам

встречаются у электрика, а штукатур по воскресеньям приходит в гости к

Андрееву. Кто есть кто?

Решение: Составим краткую запись по условию задачи.

1.Петров и Иванов никогда не держали в руках малярной кисти. Значит, в

столбце «Маляр» (М) против этих фамилий ставим прочерки (Таблица1).

2. Петров и Борисов живут в одном доме со штукатуром. Значит, Петров и

Борисов – не штукатуры. В столбце «Штукатур» (Ш) против этих фамилий

ставим прочерки.( Таблица1).

3. Андреев и Петров подарили электрику красивую вазу. Из этого условия

следует, что Андреев и Петров – не электрики. В столбце «Электрик»

(Э)против этих фамилий ставим прочерки. (Таблица1)

4. Борисов и Петров помогали плотнику строить гараж. Борисов и Петров –

не

плотники.

В

столбце

«Плотник»(П)

против

этих

фамилий

ставим

прочерки. (Таблица1).

5. Борисов и Сидоров по субботам встречаются у электрика. Борисов и

Сидоров - не электрики. В столбце «Электрик» против этих фамилий

ставим прочерки. (Таблица1).

6. Штукатур по воскресеньям приходит в гости к Андрееву. Андреев не

Таблица1 Таблица2

штукатур. В столбце «Штукатур» против этой фамилии ставим прочерк.

Фамили

я

М П Ш К Э …………

.

Фамилия

М П Ш К Э

Андреев

-

-

Андреев

-

-

Борисов

-

-

-

Борисов

-

-

-

Иванов

-

Иванов

-

-

-

-

+

Петров

-

-

-

-

Петров

-

-

-

-

Сидоров

-

Сидоров

-

(Таблица1).

Теперь видно, что в столбце «Электрик» есть только одна

свободная клетка. Значит, электрик - это Иванов. В соответствующей клетке

ставим плюс. (Таблица2). Но поскольку Иванов -электрик, то все остальные

специальности не его профессии, и поэтому в строке «Иванов» мы везде

Таблица 3 Таблица 4

(кроме клетки с плюсом) ставим прочерки. Нетрудно заметить, что в строке

«Петров»

есть

тоже

только

одна

свободная

клетка.

Значит,

Петров

-

каменщик. В соответствующей клетке ставим плюс и в столбце «Каменщик»

(К) прочёркиваем все остальные клетки. (Таблица3). В столбце «Штукатур»

свободная клетка одна – против фамилии Сидоров – он электрик. Ставим

против его фамилии плюс . А в клетках «Маляр» и «Плотник» против его

фамилии ставим прочерк. (Таблица3). В столбце «Плотник» одна свободная

клетка. Вывод: Андреев – плотник, а значит не маляр. Маляр – Борисов.

(Таблица4). Ответ: Андреев – плотник , Борисов - маляр, Иванов - электрик,

Петров – каменщик, Сидоров – штукатур.

Метод

графов.

Слово «граф» в математической литературе появилось

совсем недавно. Понятие графа используется не только в математике , но и в

технике и даже в повседневной жизни под разными названиями – схема ,

диаграмма . Примером графа может служить схема метро.

Основная идея метода: При использовании данного способа главное –

построить

граф

–

это

совокупность

объектов

со

связями

между

ними.

Объекты представляются как вершины, или узлы графа (они обозначаются

точками),

а

связи

–

как

дуги,

или

ребра.

Употребляют

сплошную

или

штриховую линии, или линии со стрелками.

Фамили

я

М П Ш К Э …………

.

Фамилия

М П Ш К Э

Андреев

-

-

-

Андреев

-

+

-

-

-

Борисов

-

-

-

-

Борисов

+

-

-

-

-

Иванов

-

-

-

-

+

Иванов

-

-

-

-

+

Петров

-

-

-

+

-

Петров

-

-

-

+

-

Сидоров

-

-

+.

-

-

Сидоров

-

-

+.

-

-

Задача

4. Любители музыки.

В клубе «Отдых» познакомились 3 любителя

клубной музыки видов техно, хаус, рейв. Один говорит: «Вы какую музыку

больше любите? Я техно люблю!». Другой ответил, что любит хаус, а третий

сказал, что не любит ни техно, ни хаус, но зато обожает рейв. Интересно то,

что все они были в банданах и рубашках черного, белого и желтого цветов, но

цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. А у любителя

хаус ни рубашка, ни бандана не были белыми. А любитель рейв был в желтой

рубашке. Определите цвет рубашек и бандан каждого из любителей клубной

музыки.

Решение:

По условию: 1.Любитель рейв был в желтой рубашке. Рейв соединяем с

желтой рубашкой.

2.У любителя хаус ни рубашка, ни бандана не были белыми.

3.Цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. Из 1, 2и 3

утверждений следует, что у любителя техно и рубашка, и бандана

были

белыми. Строим граф (рис.1):

Техно Хаус Рейв

Бандана черная Рубашка черная

Бандана белая Рубашка белая

Бандана желтая Рубашка желтая

Рис.1

Рубашка осталась свободная только черная, значит у любителя хауса (рис.2)

Техно Хаус Рейв

Бандана черная

Рубашка черная

Бандана белая Рубашка белая

Бандана желтая Рубашка желтая

Рис. 2

рубашка черная, а бандана желтая, т.к. цвет рубашки и банданы не

совпадают, а у любителя рейв черная бандана.

Ответ: У любителя техно рубашка и бандана –белые,

у любителя хаус рубашка –черная, бандана - желтая,

у любителя рейв рубашка – желтая, бандана - черная.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой требуется

найти некоторое пересечения множеств или их объединение, соблюдая

условия задачи.

Задача 5. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке,

32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в

хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и

драмкружок

и

хор.

Сколько

ребят

не

поют,

не

увлекаются

спортом,

не

занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение: По условию есть дети, которые занимаются в нескольких

кружках.

Поэтому

круги,

изображающие

число

детей

в

кружках,

попарнопересекаются (рис.3). Пусть Д – драмкружок, Х – хор, С – спорт.

Тогда в круге Д – 27 ребят, в круге Х – 32 человека, в круге С – 22 ученика. Те

10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов

Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх

кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8 – 3 = 5

спортсменов, не поющих в хоре и

6 – 3 = 3, не посещающих драмкружок.

Легко видеть, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов

посещают хор или драмкружок, 22 – (5 + 3 +

3) = 11 занимаются только спортом; 70 –

(11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – не поют в

хоре,

не

занимаются

в

драмкружке,

не

увлекаются спортом. В драмкружке 10

ребят из хор (в общей части драмкружка

Рис.3 и хора - 10

детей), в хоре 6 спортсменов(в общей части хора и спорта - 6 детей),в

драмкружке 8 спортсменов; (в общей части драмкружка и спорта- 8 детей),3

спортсмена посещают и драмкружок и хор (в общей части драмкружка,

спорта и хора- 3 детей). Ответ: 10 человек и 11 человек

Метод блок – схем. Идея метода: описать последовательность выполнения

операций, определить порядок их выполнения и фиксировать состояния в

отдельную

таблицу.

Преимущества

метода:

значительно

упрощает

оформление решения задачи.

Задача 6. Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно,

пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды. В

нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать

воду.

Решение.

Перечислим

все

возможные

операции,

которые

могут

быть

использованы нами, и введем для них следующие сокращенные

обозначения: НБ — наполнить больший сосуд водой из-под крана;

НМ — наполнить меньший сосуд водой из-под крана;

ОБ — опорожнить больший сосуд, вылив воду в раковину;

ОМ — опорожнить меньший сосуд, вылив воду в раковину;

Б→М — перелить из большего в меньший, пока больший сосуд не опустеет

или меньший сосуд не наполнится;

М→Б — перелить из меньшего в больший, пока меньший сосуд не опустеет

или больший сосуд не наполнится. Выделим среди перечисленных команд

только три: НБ, Б→М, ОМ. Кроме этих трех команд рассмотрим еще две

вспомогательные команды: Б = 0 ? — посмотреть, пуст ли больший сосуд; М

= З ? — посмотреть, наполнен ли малый сосуд. В зависимости от результатов

этого осмотра мы переходим к выполнению следующей команды по одному

из двух ключей - "да" или "нет". Такие команды в программировании принято

называть командами "условного перехода" и изображать в блок-схемах в виде

ромбика

с

двумя

ключами-выходами.

Договоримся

теперь

о

последовательности выполнения выделенных команд. После Б→М будем

выполнять ОМ всякий раз, как меньший сосуд оказывается наполненным, и

НБ всякий раз, как больший сосуд будет опорожнен. Последовательность

команд изобразим в виде блок-схемы. Начнем выполнение программы. Будем

фиксировать, как меняется количество воды в сосудах, если действовать по

приведенной схеме. Результаты оформим в виде таблицы (табл.).

Итак,

изначально

в

обоих

сосудах

нет

воды

(столбец

№1).

Наполняем

большой сосуд, записываем в таблице 5л (столбец №2). Идем по стрелке (Б

→ М

),переливаем из большого в маленький 3л, в большом остается 2л, а в

маленьком соответственно 3л (столбец №3). Получено 2л и 3л. По стрелке

ОМ выливаем из маленького 3л (столбец №4). По стрелке Б=0

(столбец №5) переливаем 2л в маленький. По стрелке ДА. Наполняем

большой сосуд (столбец №6). В обоих сосудах вместе 7л. Далее Б

→ М

,

перелили в маленький 1л. В большом получили 4 л. (столбец №7). По стрелке

ОМ (столбец №8).Затем переливаем из большого 3л в маленький (столбец

№9).Получили в большом 1л. По стрелке ОМ (столбец №10).

По стрелке Б = 0 (столбец №11). По стрелке ДА наполняем большой сосуд.

(столбец №12). Вместе 6л. Б

→ М

(столбец №13). ОМ (столбец №14). Б

→ М

(столбец №15). НБ(столбец №16). Вместе 8л.

№ 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Б

0

5

2

2

0

5

4

4

1

1

0

5

3

3

0

5

М

0

0

3

0

2

2

3

0

3

0

1

1

3

0

3

3

Таблица

Метод

бильярда.

Для

решения

задачи

необходимо

нарисовать

бильярдный

стол

и

интерпретировать

действия

движениями

бильярдного шара по разным

траекториям. При этом необходимо вести записи возможных результатов в

отдельной таблице.

Преимущества метода: 1)Наглядность 2)Привлекательность идеи бильярда

3)Возможность обобщить метод на широкий класс задач.

Задача 7. Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота

Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых

бидона:

трехлитровый

и

пятилитровый

и

восьмилитровое

ведро,

наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью

имеющихся сосудов?

Решение: Для решения задачи будем вычерчивать

бильярдную

траекторию

шара,

отражающегося

от

бортов

ромбического

стола.

Границы

таких

столов

удобнее

всего

нарисовать

с

помощью

одинаковых

равносторонних

треугольников.

В

рассматриваемой

задаче

стороны стола должны иметь длины 3 и 5 единиц (объемы пустых сосудов)

(рис.5).. По горизонтали отложено количество воды в 5-литровом сосуде в

любой момент времени, а по вертикали — та же величина для 3-литрового

сосуда. Представим себе, что шар находится в левой нижней вершине в точке

0. Он будет перемещаться вдоль нижнего основания ромба до тех пор, пока не

достигнет правой боковой стороны в точке 5(рис.6).. Это означает, что 5-

литровый сосуд наполнен до краев, а 3-литровый пуст (таблица 1).

Рис.5 Рис. 6

5

л

5

… 5

л

5

2

… 5

л

5

2

2

…

3

л

0

3

л

0

3

3

л

0

3

0

8

л

3

8

л

3

3

8

л

3

3

6

Таблица1 Таблица2 Таблица3

Отразившись

упруго

от

правого

борта,

шар

покатится

вверх

и

влево

и

ударится о верхний борт в точке с координатами 2 по горизонтали и 3 по

вертикали (рис.7). Это означает, что в 5--литровом сосуде осталось всего 2

литра молока а 3 литра из него перелили в меньший сосуд (Таблица 2).

(рис.7) (рис.8)

Отразившись

упруго

от

верхнего

борта,

шар

покатится

вниз

и

влево

и

ударится о нижний борт в точке с координатами 2 по горизонтали и 0 по

вертикали (рис.8). Это означает, что в 5-литровом сосуде осталось 2 литра

молока, а из 3 литрового сосуда

перелили молоко в

8 литровый сосуд

(таблица 3).Отразившись упруго от нижнего борта, шар покатится вверх и

влево и ударится о левый борт в точке с координатами 0 по горизонтали и 2

по вертикали (рис.9). Это означает, из 5-литрового сосуда вылили молоко 2

литра в 3 литровый сосуд (таблица 4).

(рис.9) (рис.10)

5

л

5

2

2

0

… 5

л

5

2

2

0

5

… 5

л

5

2

2

0

5

4

…

3

л

0

3

0

2

3

л

0

3

0

2

2

3

л

0

3

0

2

2

3

8

л

3

3

6

6

8

л

3

3

6

6

1

8

л

3

3

6

6

1

1

Таблица 4 Таблица5 Таблица 6.

Отразившись упруго от левого борта, шар покатится вправо

и ударится о

правый

борт

в

точке

с

координатами

5

по

горизонтали и 2 по вертикали (рис.10).Это означает,

в 5-литровый сосуд налили 5 литров молока, а в 3

литровом сосуде осталось 2 литра

Рис.11

(таблица5).

Отразившись

упруго

от

правого

борта,

шар

(рис.11)покатится вверх и влево

и ударится о верхний

борт в точке с

координатами 4 по горизонтали и 3 по вертикали (рис.11). Это означает, из

5- литрового сосуда вылили 1 литр молока в 3 литровый сосуд, где стало 3

литра, а в 5 - литровом осталось 4 литра (таблица 6).

Задача решена. Ответ: В пятилитровом бидоне 4 л