Некоторые виды нестандартных задач по математике и

приемы их решения.

В

современной

школе

возрастают

требования,

направленные

на

усиление

развивающей

функции

обучения.

Хорошую

помощь

учителю

в

развитии

мыслительных

способностей

учеников

могут

оказать

нестандартные задачи.

Под

нестандартной

задачей

в

начальной

школе

понимают

такую

задачу, алгоритм решения которой не знаком учащемуся и в дальнейшем не

формируется как программное требование. Часто такие задачи не имеют

общих правил, определяющих программу их решения. Это и обусловливает

их

развивающий

характер.

Они

учат

применять

известные

алгоритмы

действий в новых ситуациях, находить свои способы решения, препятствуют

закреплению

шаблонного

мышления,

оказывают

влияние

на

развитие

логики, смекалки и сообразительности, учат нахождению новых связей в

знаниях, способствуют овладению разнообразными приемами умственной

деятельности,

обеспечивают

сознательное

усвоение

математических

понятий,

развивают

познавательный

интерес

и

творческие

способности

учеников.

Развитие

творческих

способностей

–

важнейшая

задача

начального

образования, ведь этот процесс пронизывает все этапы развития личности

ребёнка,

пробуждает

инициативу

и

самостоятельность

принимаемых

решений, привычку к свободному самовыражению, уверенность в себе.

Умению работать творчески можно и нужно специально обучать. На

первых порах желательно познакомиться с опытом творческой деятельности

других. Однако этого мало. Узнать новую идею - это не то же самое, что

выдвинуть, предложить ее. Основное препятствие на пути поиска нового -

шаблонность мышления. Преодолеть его помогут нестандартные задачи.

Эффективность

обучения

младших

школьников

решению

нестандартных задач зависит от нескольких условий:

1.

Задачи

следует

вводить

в

процесс

обучения

в

определенной

системе с постепенным нарастанием сложности, так как непосильная задача

мало повлияет на развитие учащихся.

2 .

Н е о бход и м о

п р едо с т а вл я т ь

у ч е н и ка м

м а кс и м а л ь н у ю

самостоятельность в поиске решения задач, давать возможность пройти до

конца по неверному пути, убедиться в ошибке, вернуться к началу и искать

другой, верный путь решения.

3.

Нужно

помочь

учащимся

осознать

некоторые

способы,

приемы,

общие подходы к решению нестандартных арифметических задач.

На первом этапе учащиеся должны усвоить процесс решения любой

задачи

(читаю

задачу,

выделяю,

что

известно

и

что

надо

узнать)

и

познакомиться

с

приемами

работы

над

задачей

(видами

наглядной

интерпретации, поиска решения, проверки решения задачи и др.)

На

втором

этапе

учащиеся

применяют

ранее

сформулированные

некоторые

способы,

приемы,

общие

подходы

к

решению

нестандартных

арифметических задач в ходе самостоятельного поиска решения конкретных

задач.

Памятка для учеников:

Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:

- сделать к задаче рисунок или чертеж (подумай, может быть надо

сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе

решения задачи);

- ввести вспомогательный элемент (часть);

- использовать для решения задачи способ подбора;

- переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более

понятной и знакомой;

- разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям;

- начать решение задачи с «конца»

В данном пособии подобраны некоторые виды нестандартных задач

для учеников 3-4 классов. Задачи заимствованы из разных источников: книг,

посвящённых

проблеме

решения

нестандартных

задач,

учебников,

методических пособий, математических олимпиад, интернет ресурсов.

Задачи

собраны

по

группам

в

соответствии

с

основным

способом

действия, что помогает помочь ученикам освоить и закрепить предлагаемый

способ действий. Многие приведенные задачи имеют объяснение решения и

ответы, для облегчения работы учителя, при использовании этих заданий.

Пособие может быть полезно в урочной и внеурочной деятельности, а

также при подготовке учеников к олимпиадам.

1.

Задачи

на

планирование

действий. (В

том

числе

задачи

на

переливание, взвешивание, переправы)

Задачи

на

взвешивание

–

достаточно

распространенный

вид

математических

задач.

В

таких

задачах

требуется

локализовать

отличающийся

от

остальных

предмет

по

весу

за

ограниченное

число

взвешиваний.

Поиск

решения

в

этом

случае

осуществляется

путем

операций

сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов

между собой.

Задачи на переливание – это задачи, в которых с помощью сосудов

известных ёмкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Задача 1.

Из девяти монет одна фальшивая: она легче остальных.

Как за два

взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?

Решение: Разобьём монеты на 3 кучки по 3 монеты.

Первое взвешивание: положим по 3 монеты на каждую чашку весов.

Возможны два варианта:

1.

Равновесие. Тогда на весах только настоящие монеты, а фальшивая

среди тех монет, которые не взвешивались.

2 . Одна из кучек легче. Значит в ней фальшивая монета.

Второе взвешивание: теперь требуется найти фальшивую среди трёх

монет (по методу первого взвешивания).

Задача 2.

В

мешке

24

кг

гвоздей.

Как

с

помощью

чашечных

весов

без

гирь

отмерить 9 кг ?

Решение: Доступна операция деления на равные части. Используем ее.

Для удобства запишем получаемые данные в таблицу:

шаги

1 кучка

2 кучка

3 кучка

4 кучка

1 шаг

12 кг

12 кг

2 шаг

12 кг

6 кг

6 кг

3 шаг

12 кг

6 кг

3 кг

3 кг

Искомые 9 кг можно получить, объединив 2 и 3 кучки.

Задача 3.

Геологи нашли 7 камней, вес которых 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 6 кг, 7 кг.

Эти камни они разложили в 4 рюкзака так, что в каждом рюкзаке маса

камней была одинаковая. Как они это сделали?

Решение: найдем общую массу камней: 1+2+3+4+5+6+7= 28 кг. Тогда в

каждом рюкзаке должно быть по (28:4) 7 кг. Теперь наберем из данных

камней эту массу: 1 рюкзак – 1 камень в 7 кг; 2 рюкзак – 6 кг + 1 кг; 3 рюкзак –

5 кг+2 кг; 4 рюкзак – 3 кг + 4 кг.

Задача 4.

Для приготовления каши в туристическом лагере надо взять 7 литров

воды, но есть ведра только емкостью 5 л и 8 л. Как с их помощью отмерить 7

л?

Решение: для решения таких задач удобно пользоваться таблицей:

Ведро 5 л

5

0

5

2

2

0

5

0

Ведро 8 л

0

5

5

8

0

2

2

7

Задача 5.

Имеется семилитровая банка сока и две пустые банки: 3 л и 4 л. Как с

их помощью налить в трехлитровую банку 2 литра сока?

7 л

7

4

4

1

1

4 л

0

0

3

3

4

3 л

0

3

0

3

2

Задача 6.

Крестьянину

нужно

переправить

через

реку

козу,

капусту

и

волка.

Лодка вмещает только крестьянина с козой, или крестьянина с волком, или

крестьянина с капустой. При этом нельзя оставить козу с капустой, а волка с

козой. Как переправить всех?

Решение: алгоритм переправы:

Шаг 1. Крестьянин перевозит козу.

Шаг 2. Крестьянин возвращается.

Шаг 3. Крестьянин перевозит капусту.

Шаг 4. Крестьянин возвращается с козой.

Шаг 5. Крестьянин перевозит волка.

Шаг 6. Крестьянин возвращается.

Шаг 7. Крестьянин перевозит козу.

Конец.

Задачи, с подобными способами действия:



Имеются

4

монеты,

внешне

неразличимые.

Среди

них

одна

фальшивая,

она

легче

остальных.

Как

найти

ее

за

два

взвешивания на чашечных весах без гирь?



Имеется 16 кг муки и несколько одинаковых по массе пустых

мешков. Как с помощью чашечных весов без гирь отмерить 10 кг

муки?



Как с помощью чашечных весов и гирь в 1, 3, 9 кг определить

массу любого груза в пределах от 1 до 13 кг.



У хозяйки есть чашечные весы и гиря в 100 г. Как с их помощью за

три взвешивания отвесить 700 г крупы?



Имеются

чашечные

весы,

гири

в

200

г

и

50

г.

Как

за

три

взвешивания из 9 кг муки взять 2 кг?



Как

при

помощи

чашечных

весов

без

гирь

разделить

24

кг

пряников на 9 кг и 15 кг?



Для варки компота нужно взять 8 литров воды. Есть кастрюли

емкостью

в

10

л

и

6

л.

Как

с

их

помощью

набрать

8

л

для

компота?



В восьмилитровом бидоне находится молоко. Как с помощью

пятилитрового бидона и трёхлитровой банки отмерить 4 литра

молока?



В бочке 12 литров кваса. Как отмерить 6 литров, если есть две

емкости 5л и 8 л?



Отец

и

два

сына

подошли

к

берегу

реки.

У

них

есть

лодка

вмещающая одного взрослого или двух мальчиков. Как им всем

переправиться на другой берег?



Трое

ребят

пошли

на

рыбалку,

взяв

с

собой

лодку,

выдерживающую 100 кг. Как всем троим перебраться на остров,

если их вес 40 кг, 50 кг и 70 кг?



Собрался Иван-царевич на бой со Змеем Горынычем, трехглавым

и треххвостым. Баба Яга дала ему меч-кладенец. Этот меч может

отсечь одним махом либо одну голову, либо две головы, либо

один

хвост,

либо

два

хвоста.

Если

срубить

один

хвост

–

два

вырастут, срубить два хвоста – голова вырастет, срубить голову –

голова вырастет, срубить две головы – ничего не вырастет. За

сколько ударов Иван-царевич сможет срубить Змею все головы и

все хвосты? (Так как по условия только рубка двух голов приводит

к их ликвидации, надо добиться четного количества голов. Три

удара по каждому хвосту увеличат их количество до шести. Три

удара попарно отрубающие хвосты увеличат количество голов до

шести. Три удара попарно отрубающие головы победят Змея.

Всего 9 ударов.)



Однажды

в

стране

Математике

четыре

числа

1,

8,

9

и

10

отправились путешествовать. Они долго шли, наконец, подошли

к реке Размышлений. На берегу они увидели плот и записку на

нем:

«Дорогие

путешественники,

плот

может

переправить

на

другой берег только те числа, сумма которых меньше 11» Какое

наименьшее количество раз им придется переплывать реку на

плоту, чтобы всем оказаться на другом берегу? Варианты ответа:

3, 4, 5, 7 – выбери верный.



Имеются

три

ключа

от

трех

чемоданов

с

разными

замками.

Достаточно ли трех проб, чтобы подобрать ключи к чемоданам?

( берем первый ключ, пробуем его к первым двум чемоданам.

Возможны варианты:

Вариант1: Он подошел к первому чемодану. Остается два чемодана и

два

ключа,

если

второй

ключ

не

подходит

ко

второму

чемодану,

он

от

третьего, а оставшийся ключ от второго. (хватило двух проб)

Вариант

2:

он

не

подошел

к

первому

чемодану,

еще

одна

проба

установит, что он от второго или от третьего чемодана. И теперь остается два

чемодана и два ключа. (понадобилось три пробы)

Таким образом, трех проб достаточно, чтобы установить три ключа к

трем чемоданам.

2.

Задачи на нахождение чисел по сумме и разности или кратному

отношению.

Задача 1.

Ручка и карандаш вместе стоят 26 рублей. Ручка дороже карандаша на

20 рублей. Сколько стоит карандаш.

Решение:

Известна

сумма

и

разность

цен.

План

решения

хорошо

демонстрировать на графической модели в виде двух отрезках друг под

другом. 26-20=6 - рублей стоили бы ручка и карандаш вместе, если бы

ручка и карандаш имели одинаковую стоимость; 6:2=3 руб. стоит карандаш.

Задача 2.

Максим в два раза старше своей сестры Тани. У Тани было в 3 раза

больше орехов, чем у Максима. Число орехов у Тани больше числа лет

Максима на 35, а число орехов у Максима больше числа лет Тани в три раза.

Сколько лет каждому? Сколько орехов у каждого?

Решение: Возьмём возраст Тани за одну часть. Тогда возраст Максима

две такие части, Число орехов Максима три такие части, число орехов Тани 9

таких частей. Разница числа орехов Тани и возраста Максима – 35, значит

семь частей составляют 35, а в одной части 5. Ответ: Тане-5 лет, у нее 45

орехов, Максиму - 10 лет, у него 15 орехов)



На двух полках стояло 49 книг. Когда с верхней полки сняли 7

книг, на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг стояло на

полках первоначально?



Три брата Саша, Паша и Антон поймали 29 карасей. Саша поймал

на 4 больше, чем Антон, а Паша на 1 карася больше, чем Антон.

Сколько карасей поймал каждый из братьев.



Вова, Игорь, Андрей и Гриша ловили рыбу. Вместе они поймали

26 рыб. Вова поймал на 3 рыбы больше, чем Игорь, Игорь на 3

больше, чем Андрей, а Андрей на 3 больше, чем Гриша. Сколько

рыб поймал каждый мальчик?



Ручка

в

подарочной

упаковке

стоит

24

рубля.

Ручка

дороже

упаковки на 20 рублей. Сколько стоит ручка без упаковки?



Андрей и Сергей – братья. Вместе им 11 лет. Лена и Вера – их

сестры. Им вместе 15 лет. Сергей старше Лены на 1 год, а вместе

им

13

лет.

Сколько

лет

каждому?

(Возраст

Лены

и

Сергея

установить

по

способу

решения

1

задачи,

потом

вычислить

возраст остальных детей, как неизвестные слагаемые.)



Один господин встретил во время прогулки знакомую семью:

деда, отца и сына. Поздоровавшись со всеми, он спросил в шутку,

сколько им лет. «Нам всем вместе 121 год», - сказал дед, а отец

добавил: « Мне с сыном вместе 44 года, а сын на 28 лет младше

меня». Сколько же лет каждому члену этой семьи?



Через 5 лет Оля будет вдвое старше, чем сейчас. Сколько лет Оле

сейчас?

(Воспользуемся

для

решения

графической

моделью.

Один отрезок Олин возраст, второй такой же, покажет вместе с

первым Олин возраст через 5 лет. Этот второй отрезок содержит

5 лет. Значит и Олин возраст сейчас - 5 лет.)



Через 2 года Сереже будет вдвое старше, чем он был 2 года

назад. Сколько лет будет тогда Сереже?



Дочери 10 лет, а матери – 36. Через сколько лет мать будет вдвое

старше дочери? (Мать старше дочери на 26 лет, следовательно в

два раза старше она будет, когда дочери будет 26, а ей 52.)



Дедушка старше внука в 6 раз, а внук моложе своего отца в 3

раза. Вместе им троим 100 лет. Сколько лет каждому? (Примем

возраст внука за 1 часть, тогда возраст отца 3 таких части, а

возраст

деда

6

таких

частей.

10

одинаковых

частей

вместе

составляют 100 лет. Одна часть – 10 лет, значит внуку 10 лет, отцу

30 лет, а деду 60 лет.)



Когда отца и сына спросили по сколу им лет, сын сказал: «Я

моложе папы на 24 года», а отец сказал: «Я старше сына в три

раза». Сколько лет отцу и сколько сыну?



Бабушки 55 лет, а внучке 15 лет. Через сколько лет бабушка будет

вдвое старше внучки?



В коробке лежат 12 карандашей. Цветных в 5 раз больше, чем

простых. Сколько простых и сколько цветных карандашей в этой

коробке?

(Пусть

простых

карандашей

2

часть,

тогда

цветных

карандашей 5 таких частей. : одинаковых частей составляют 12

карандашей, значит одна часть – 2 карандаша. Отсюда - простых

2 карандаша, цветных – 10 карандашей)



Один мальчик беседовала в парке со старушкой:

– Бабушка, сколько лет вашему внуку?

- Ему столько месяцев, сколько мне лет.

- А сколько Вам лет?

- Нам с внуком вместе 91 год. А уж, сколько лет внуку, сосчитай

сам.

Сколько лет внуку? (Так как внуку столько месяцев, сколько лет

бабушке, то бабушка старше внука в 12 раз. Возьмем за одну

часть возраст внука, тогда возраст бабушки 12 таких частей. 13

одинаковых частей составляют 91 год. В одной части 91:13= 7 лет.

Внуку 7 лет.)



Помещик, рассчитав, что корова стоит вчетверо дороже собаки, а

лошадь вчетверо дороже коровы, захватил с собой на ярмарку

200

рублей

и

на

все

эти

деньги

купил

собаку,

двух

коров

и

лошадь. Сколько стоит каждое из купленных животных?



Кирпич

весит

1

кг

и

еще

столько,

сколько

весит

полкирпича.

Сколько весит кирпич?



Гусь стоит 80 рублей и еще половину стоимости гуся. Сколько

стоит гусь?



Мешок

сахара

весит

на

25

кг

больше,

чем

половина

такого

мешка. Сколько весит мешок с сахаром?



Туристы

в

первый

день

прошли

одну

третью

часть

всего

маршрута, и оказалось, что им осталось пройти на 12 км больше,

чем в первый день. Найдите длину всего маршрута.



Масса ящика с конфетами 37 кг. Какова масса пустого ящика, если

после продажи половины конфет ящик имел массу 18 кг? (1 кг)



В первом ящике 55 кг апельсинов. Когда из него продали 23 кг, в

нем осталось на 29 кг меньше, чем во втором и третьем ящике

вместе. Сколько кг апельсинов в третьем ящике, если во втором

ящике 25 кг?(26 кг)



В пакете лежат апельсины, мандарины и лимоны – всего 20 штук.

Апельсинов в 6 раз больше чем лимонов, а мандаринов меньше,

чем апельсинов. Сколько мандаринов в пакете?(6)



Петя говорит Васе: «Я легче тебя в два раза», А Вася говорит Пете:

«А

я

тяжелее

тебя

на

22

килограмма»

Оба

говорят

правду.

Сколько килограммов весит Петя?



Полная банка с водой весит 5 кг, а та же банка, наполненная до

половины,

весит

3

кг

250

г.

Сколько

граммов

воды

вмещает

банка?(3500г)



Пес Трезор на 12 кг тяжелее кота Мурзика, а Мурзик вчетверо

легче Трезора. Сколько весит Мурзик? (4кг)



Раздели 21 персик, не разламывая их, между тремя сестрами так,

чтобы младшей досталась половина того, что досталось средней

сестре, а средней – половина того, что досталось старшей сестре.

(3,6,12)



В

саду

яблонь

в

семь

раз

больше,

чем

слив,

а

слив

на

420

деревьев меньше, чем яблонь. Сколько слив и сколько яблонь в

саду? (60и 480)



Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь, мой отец

старше меня вдвое. Сколько мне лет?(23)



Сельский плотник дядя Тимофей

Шесть имеет сыновей.

На селе нет молодцев краше!

Один другого четырьмя годами старше,

А старший Николашка

Втрое старше младшего Ивашки.

Только вот проблема – старый Тимофей

Не помнит, сколько лет каждому из сыновей.

Не

ошибиться

бы

только,

действительно

–

сколько?

(10,14,18,22,26,30)



На дворе встретились Андрюша, Боря, Вова, Гена и Дима. Андрей

сказал: «Я на 2 года старше Бори». Боря сказал: «Дима вдвое

старше меня». Вова сказал: «Я на год младше Гены». Гена сказал:

«Я на 4 года старше Бори». Дима сказал: « Я на 2 года старше

Вовы» Кому сколько лет? (А-7, Б-5, Д-10, Г-9, В-8)



1

000

яблок

уложили

в

4

ящика:

в

первый

и

второй

ящик

-

поровну;

в

третий

на

50

яблок

больше,

чем

во

второй,

а

в

четвертый - на 100 яблок больше, чем в третий. Сколько яблок

уложили в каждый ящик? (1-200 яблок, 2 - 200 яблок, 3 - 250

яблок, 4 - 350 яблок)



С трех грядок сорвали 305 огурцов. Со второй грядки в 3 раза

больше, чем с первой, а с третьей - на 25 огурцов больше, чем со

второй. Сколько огурцов собрали с каждой грядки в отдельности?

(1-40 огурцов, 2-120

огурцов, 3-145 огурцов)



В трех мешках 184 кг гороха. Во втором мешке на 12 кг больше,

чем в первом, но на 4 кг меньше, чем в третьем мешке. Сколько

килограммов гороха было в каждом мешке?(1-52 кг, 2-64 кг, 3-68

кг)



В школьном живом уголке живут голуби, волнистые попугайчики

и

канарейки

-

всего

30

птиц.

Голубей,

на

2

больше,

чем

попугайчиков,

а

попугайчиков

на

2

больше,

чем

канареек.

Сколько в живом уголке птиц каждого вида?



На речном вокзале было продано 42 билета второго и третьего

класса.

Билетов

второго

класса

продали

вдвое

меньше,

чем

билетов третьего класса. Сколько денег получил кассир за все

проданные билеты, если каждый билет второго класса стоил 127

500 рублей, а третьего класса на 30 000 рублей меньше?



Для

обработки

поля

площадью

600

га

его

разделили

между

двумя бригадами так, что вторая бригада получила в три раз

больше

земли,

чем

первая.

Сколько

гектаров

земли

должна

обработать каждая бригада?



В двух пачках 270 тетрадей. Сколько тетрадей в каждой пачке,

если в одной из них тетрадей в 4 раза больше, чем в другой?



На двух заводах выплавили за сутки 8430 т стали. Па первом

заводе выплавили в 2 раза больше стали, чем на втором. Сколько

стали выплавили на первом заводе и сколько на втором?



Если Андреев даст Петрову 300 руб., то у них будет поровну. На

сколько

у

Андреева

денег

больше,

чем

у

Петрова?

(На

600

рублей).



Пять победителей конкурса «Кто громче крикнет» получили в

награду по одинаковому количеству орехов. Трое из них сразу

съели по 5 орехов и увидели, что у них вместе осталось столько

орехов, сколько было выдано двум другим. Сколько всего орехов

было выдано всем пятерым? (Трое съели 15 орехов. После этого у

них осталось столько, сколько было выдано двум другим. А до

этого

у

них

было

столько,

сколько

выдали

троим.

Значит,

15

орехов было выдано каждому из них. Ответ: 75.)



Маркизу Карабасу было 31 год, а его молодому энергичному Коту

в Сапогах 3 года, когда произошли известные по сказке события.

Сколько лет произошло с тех пор, если сейчас Кот в три раза

младше своего хозяина? (11 лет)

3.

Задачи на нахождение чисел по суммам, взятым попарно.

Задача 1.

В

одной

семье

три

брата.

Когда

их

спросили,

сколько

им

лет,

то

старший сказал: « Нам всем вместе 29 лет, мне и Паше 18 лет, а Паше и

Вале – 16 лет» Сколько лет каждому?

Решение:

Существенную

помощь

в

решении

таких

задач

окажет

графическая модель. 29-18=11 лет Паше, соответственно 5 лет Вале и

13 лет третьему брату



Трех девочек спросили, сколько им лет? Они ответили:

Маша: «Мне вместе с Наташей 21 год»

Наташа: «Я моложе Тамары на 4 года»

Тамара:

«Нам

всем

вместе

34

года».

Сколько

лет

каждой

девочке? (12,9,13)



Сто орехов разложены на пять кучек. В первой и второй вместе 52

ореха. Во второй и третьей вместе 43 ореха, в третьей и четвертой

вместе 34 ореха, в четвертой и пятой вместе 30 орехов. Сколько орехов

в каждой кучке?



У Алеши и Саши вместе 27 марок, У Саши и Кости вместе 23 марки, у

Алеши и Кости вместе 20 марок. Сколько марок у Алеши, Кости и Саши

вместе? Сколько марок у каждого? (При решении применим прием

уравнивания данных: А+С+С+К+К+А = 27+23+20, т. о. 2А+2С+2К= 70, а

значит А+С+К= 70:2=35. Дальше исключаем парами 35-27=8 марок у

Кости, 35- 23= 12 марок у Алеши, 35-20=15 марок у Саши.)



Школьники увлеклись разведением комнатных растений. У первого и

второго класса вместе 44 растения, у второго и третьего -

58 , а у

первого и третьего 50 растений. Сколько всего растений у трех классов,

У какого класса растений больше всех. У какого класса меньше всех?

(76 у всех, 32 у третьего – больше всех, 26 у второго, 18 у первого)



Майя и Кира вместе весят 40 кг, Кира и Соня – 50 кг, Соня и Дина – 60

кг, Дина и Галя 70 кг, а Галя и Майя – 80 кг. Сколько весит каждая из

девочек? (М – 30, К – 10, С – 40, Д – 20, Г – 50)



Пять учеников купили 100 тетрадей. Кирилл и Витя купили 52 тетради,

Витя и Юра – 43 тетради, Юра и Сева – 34 тетради, Сева и Миша – 30

тетрадей. Сколько тетрадей купил каждый мальчик?



Для подарка внуку дедушка купил 4 книги. Все книги без первой стоят

84

рубля,

без

второй-

80

рублей,

без

третьей

–

76

рублей,

без

четвертой – 72 рубля. Какова стоимость каждой книги?



В оранжерее были срезаны розы: белых и розовых – 500 штук, розовых

и красных – 400 штук, белых и красных – 300 штук. Сколько роз каждого

цвета было срезано?

4.

Задачи

на уравнивание данных.

Задача 1.

За

4

дня

велосипедисты

проехали

88

км.

Сколько

километров

они

проехали в первый день, если каждый следующий день они проезжали на 2

км меньше, чем в предыдущий?

Решение:

1

способ

88+2+4+6=100,

100:4=25;

2

способ

88-2-4-6=76,

76:4=39, 39+6=25

Задача 2.

3 открытки и 4 конверта стоят 18 рублей, 6 открыток и 5 конвертов стоят

27 рублей. Сколько стоит 1 открытка и один конверт.

Решение:

3О+4К=18

6О+5К= 27

Уровняем число открыток, для этого умножим первое уравнение на 2:

6О+8К=36. Теперь в первом уравнении конвертов больше на 3 (8-5), а сумма

больше на 9 (36-27), значит 3 конверта стоят 9 рублей, а один конверт – 3

рубля (9:3) Далее вернемся к одному из уравнений и найдем стоимость

конверта – 2 рубля.

Задача 3.

5 автобусов и 2 троллейбуса могут за один рейс перевезти 225 человек,

2

автобуса

и

3

троллейбуса

могут

за

один

рейс

перевезти

200

человек.

Сколько пассажиров вмещается в один троллейбус?

Решение: составим уравнения:

5А+2Т= 450

2А+3Т=200

Уравняем число автобусов в первом и втором уравнении, для этого

первое умножим на 2, а второе на 5:

10А+4Т=450

10А+15Т=1000

Разница в 11 троллейбусов равна 550, в одном троллейбусе 50 человек



Масса

4

одинаковых

яблок

и

3

одинаковых

апельсинов

составляет 1кг 250г, а 7 таких яблок и 5 апельсинов – 2кг 150г.

Найдите массу яблока и массу апельсина. (200г – яблоко, 150 г –

апельсин)

Задача 4.

Витя решил купить маме на день рождения цветы. Если он купит 3

тюльпана, то у него останется 6 рублей, а на покупку 5 тюльпанов, ему не

хватает 18 рублей. Сколько денег у Вити?

Решение: Уравняем данные по количеству денег: 3Т+6=5Т-18, можно

решить уравнение, можно рассуждать: для покупки еще 2 тюльпанов надо

взять недостающие 18 рублей и оставшиеся от покупки трех тюльпанов 6

рублей. Значит 2 тюльпана стоят 24 рубля, значит 1 тюльпан стоит 12 рублей,

а денег у Вити 12Х3+6=42 рубля.



Если Грушам дать по груше, то одна в избытке груша, если дать по

паре груш, то не хватит пары груш. Сколько Груш и сколько груш?

(Уравняем

данные

по

количеству

груш:

1хГ+1=2хГ-2,

Чтобы

каждая Груша получила на 1 грушу больше (пару груш) надо взять

к оставшейся в первом случае груше еще две грушу, т.е. 3 груши.

Значит Груш было 3, а груш – 4.)



Летели галки, сели на палки. Сели по одной – одна галка лишняя,

сели по две – одна палка лишняя. Сколько было палок, и сколько

галок? (Чтобы на каждую палку село на одну птицу больше, надо

к

оставшейся

от

первого

случая

(когда

сели

по

одной)

галке

добавить еще 2 птицы, значит для увеличения птиц на каждой

палке на один надо три птицы, значит палок было 3, а галок,

соответственно – 4.)



На поляне паслись ослы. К ним подошли мальчики. «Сядем по

одному

на

осла»,

-

решили

они.

Двум

мальчикам

ослов

не

хватило.

«Сядем

по

двое»,

-

предложил

старший.

Один

осел

остался без седока. Сколько было мальчиков, и сколько ослов?

(Чтобы на каждом осле стало на одного мальчика больше надо 4

мальчика, значит, ослов было 4, а мальчиков 6)



Для

посадки

кустов

выделили

несколько

грядок.

Ребята

сосчитали, что если посадить на каждую грядку по 3 куста, то для

посадки всех кустов не хватит 6 грядок. А если посадить по 5

кустов,

то

4

грядки

останутся

свободными.

Сколько

кустов

и

сколько грядок было? (Если на каждой грядке будет по 3 куста, то

6 грядок не хватит, т.е. останутся без грядок 6х3=18 кустов, если

на каждой грядке будет по 5 кустов, то останутся без кустов 4

грядки, т. е. 5х4=20 – кустов не хватит. Уравняем по количеству

кустов: 3хГ+18=5хГ-20. Для посадки на каждую грядку по 2 куста

потребуется 18+20= 38 кустов. Значит, грядок было 38:2= 19, а

кустов 19х3+18=75.



В понедельник Андреев заработал вдвое больше Петрова. Во

вторник Андреев истратил 100 руб., а Петров заработал еще 200

руб.

После

этого

у

них

оказалось

денег

поровну.

Сколько

заработал каждый из них в понедельник? (Заработок Андреева в

понедельник

без

100

рублей

равен

заработку

Петрова

в

понедельник

плюс

200

рублей,

так

как

Адреев

заработал

в

понедельник вдвое больше, то два заработка Петрова минус 100

рублей равны одному заработку Петрова плюс 200 рублей, т. о.

заработок Петрова 100+200=300 рублей, а Андреева 600 рублей)

Задача 5.

Три мальчика сообща купили мяч, но у одного не было с собой денег,

поэтому один его товарищ уплатил 12 рублей, а второй 18 рублей. В тот же

вечер

он

отдал

им

10

рублей.

Как

надо

разделить

эти

деньги

между

ребятами?

Решение: мяч стоил 12+18=30 рублей, значит каждый должен уплатить

30:3=10 рублей. Первый уплатил 12 рублей и должен вернуть себе 12-10= 2

рубля, второй, соответственно, 8 рублей



В понедельник журналист получил гонорар за статью. Во вторник

он истратил половину этого гонорара, а в среду получил еще 2000

руб. за другую статью, после чего у него осталось еще 4000 руб.

Каков был гонорар за первую статью? (половина первого и 2000

рублей вместе составляют 4000 рублей, отсюда, целый гонорар за

первую статью два раза по 2000, т.е. 4000 рублей.)



На верхней полке было в 7 раз больше книг, чем на нижней.

Когда с верхней полки взяли 12 книг, а на нижнюю поставили еще

8 книг, то на верхней полке оказалось в три раза больше книг,

чем

на

нижней.

Сколько

книг

было

на

каждой

полке

первоначально?

Одно из возможных уравнений составляется так:

(Стало на верхней полке) = 3 · (Стало на нижней полке),

х — было на нижней полке, 7х — было на верхней полке,

7х — 12 = 3 · (х + 8).

Ответ: на верхней полке было 63 книги, на нижней — 9.

5.

Задачи, решаемые с помощью графов. Комбинаторные задачи.

Комбинаторика

-

раздел

математики,

рассматривающий

задачи,

связанные

с

подсчётом

числа

всевозможных

комбинаций

из

элементов

данного конечного множества при сделанных исходных предположениях.

Способ решения таких задач для детей – использование графов.

Граф – геометрическая фигура, состоящая из точек (вершины графа) и

линий, их соединяющих (рёбра графа).

Задача 1.

У

Лёвы

2

конверта:

обычный

и

авиа,

и

3

марки:

прямоугольная,

квадратная и треугольная. Сколькими способами он может выбрать конверт

и марку, чтобы отправить письмо?

Решение:

Письмо

Обычный К

Почтовый К

КМ ПМ ТМ

КМ ПМ ТМ

6 способов.



Саша, Вася, Петя и Алеша играли в шахматы. Каждый сыграл с

каждым

по

одной

партии.

Сколько

партий

было

сыграно?

(6

партии)



Для двух учебников у Васи есть три обложки. Сколько существует

разных способов обернуть эти учебники? (6 способов)



Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 при

условии, что цифры могут повторяться? (9 чисел)



Несколько мальчиков встретились на вокзале и поздоровались

рукопожатием.

Все

они

поехали

за

город,

на

дачу.

Сколько

мальчиков

поехало

на

дачу,

если

рукопожатий

было

10?

(5

мальчиков)

Задача 2.

В

стране

Алфавит

восемь

городов:

А,

Б,

В,

Г,

Д,

Е,

Ж,

З

и

8

непересекающихся дорог между городами А и Б, Е и Д, Б и Ж, З и А, В и Г, Г и

Д, Ж и З, В и Е. Можно ли по этим дорогам проехать из А в Г? (

Решение: построив графы, увидим, что их ребра соединяют А,Б,Ж,З и

В,Е,Д,Г. Дорог соединяющих А и Г среди указанных нет)



В городе десять автобусных остановок: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. И

десять непересекающихся дорог между остановками 3 и 4, 1 и 10,

6 и 7, 7 и 8, 4 и 9, 2 и 1, 2 и 3, 5 и 6, 9 и 10, 5 и 8. Можно ли

доехать на автобусе от остановки 7 до остановки 3? От остановки

9 до остановки 1?

Задача 3.

Катя старше Вали, а Нина старше Кати, но младше Светы. Поставь девочек в

ряд по возрасту, чтобы, первой была самая старшая.

Решение: построим граф отношения «быть старше», т.е. будем проводить

стрелки от девочки, которая старше к девочке, которая младше:

С

Н

К

В

Таким образом, очевиден ответ: света, Нина, Катя, Валя.



Известно, что поросенок тяжелее собаки, кролик легче зайца, а

собака

тяжелее

зайца.

Кто

легче:

кролик

или

собака?

Кто

тяжелее:

поросенок

или

заяц?

Кто

из

этих

животных

самый

легкий, кто самый тяжелый? (Построим граф отношений «быть

тяжелее», граф покажет, что животные располагается по весу от

большего к меньшему так:

поросенок, собака, заяц, кролик.

Значит: кролик легче собаки, поросенок тяжелее зайца, самый

легкий кролик, самый тяжелый поросенок.)



Мы наблюдаем за вертолетом, орлом, дирижаблем, самолетом.

Орел находится выше вертолета, но ниже самолета. Вертолет

ниже

самолета,

но

выше

дирижабля.

В

каком

порядке

располагались по высоте все эти объекты?



Из лагеря вышли пять туристов. Их имена: Вася, Галя, Толя, Лена,

Маша. Толя идет впереди Маши, Лена – впереди Васи, но позади

Маши, Галя – впереди Толи. Кто идет первым, а кто последним?

Между какими ребятами идет Маша?



В этом году на нашей улице построили 5 домов: № 10, 11, 12, 13,

14.

Один

из

них

пятиэтажный,

другой

шестиэтажный,

третий

семиэтажный, четвертый восьмиэтажный, пятый девятиэтажный.

Соотнеси этажность и номера домов, если известно, что в доме

№ 14 этажей больше, чем в доме № 10, в доме № 11 больше, чем

в доме № 13, и меньше, чем в доме № 10, В доме № 14 этажей

меньше, чем в доме № 12.



На

военном

параде,

посвященном

Дню

Победы,

по

Красной

площади прошли несколько подразделений Российской армии:

моряки,

десантники,

ракетчики,

артиллеристы,

пограничники.

Моряки

шли

за

артиллеристами,

но

перед

ракетчиками,

десантники

-

после

пограничников,

а

артиллеристы

за

десантниками. В каком порядке шли подразделения?



В детском лагере отдыха в одной комнате живут четыре девочки:

Маша, валя, Таня и Галя. Две из них ровесницы. Известно, что

Таня старше Маши, которая Моложе Гали. Таня моложе Вали,

которая Старше Гали. Кто ровесницы?

(Граф «быть старше»

покажет, что Валя старше всех, Маша младше всех, ровесницами

могут быть только Таня и Галя.)

6.

Задачи на установление взаимно однозначного соответствия.

Многие

логические

задачи

связаны

с

рассмотрением

нескольких

конечных множеств с одинаковым количеством элементов, между которыми

имеются

некоторые

зависимости.

Требуется

установить

взаимно

однозначное соответствие между элементами данных множеств. Решение

задач такого типа оформляется в виде таблицы. Элементы одного множества

располагаются по строкам, другого – по столбцам. Если по условию задачи

между элементами множеств есть соответствие, то в клетке на пересечении

данных строки и столбца ставится «плюс», в случае отсутствия зависимости –

«минус». Рассмотрим этот метод на примере конкретных задач.

Задача1.

Оля, Таня, Юля и Ира варили варенье. Две девочки варили его из

смородины, две девочки – из клубники. Таня и Ира варили варенье из разных

ягод. Ира и Оля тоже варили его из разных ягод. Ира варила варенье из

клубники. Из каких ягод варила варенье каждая девочка?

Заносим

в

таблицу

данные

в

соответствии

с

условием,

потом

в

соответствии с логическими выводами из условия задачи.

смородина

клубника

Оля

+

Таня

+

Юля

+

Ира

+



Наташа, Валя, Маша, Галя и Лена вырезали из бумаги разные

фигуры. Кто-то вырезал круг из бумаги в клетку, кто-то круг из

бумаги

в

линейку,

кто-то

квадрат

из

бумаги

в

клетку,

кто-то

квадрат из бумаги в линейку, а кто-то флажок из белой бумаги.

Галя и Валя вырезали круги. Галя и Наташа вырезали из бумаги в

клетку. Наташа и Маша вырезали квадраты. Кто что вырезал?



В соревнованиях по гимнастике Заяц, Мартышка, Удав и Попугай

заняли первые 4 места. Определите, кто какое место занял, если

известно, что Заяц -2, Попугай не стал победителем, но в призёры

попал, а Удав уступил Мартышке.



В бутылке, стакане, кувшине и банке налиты молоко, лимонад,

квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, в банке –

не

лимонад

и

не

вода,

а

сосуд

с

лимонадом

стоит

между

кувшином и сосудом с квасом. Стакан стоит около банки и сосуда

с молоком. Определи, в каком сосуде какая жидкость. (Ответ:

молоко в кувшине, лимонад в бутылке, квас в банке, вода в

стакане)

Задача 2.

Три девочки, Алла, Вера и Даша на праздник пришли одна в красном

платье, другая в белом, третья в синем платье. Среди высказываний: Алла

была в красном; Вера не в красном; Даша не в синем платье – одно верно, а

два других неверны. В каком платье была каждая девочка?

Решение:

Построим

таблицу

с

учетом

истинности

и

ложности

утверждений и рассмотрим три случая:

П о

у с л о в и ю

задачи

1

случай

(верно

первое

высказывание)

2

случай

(верно

второе

высказывание)

3

случай

Верно

третье

высказывание)

Алла в красном

Истина

Ложь,

и Алла в

белом

Л о ж ь ,

А л л а

в

синем

В е р а

н е

в

красном

Истина

Истина

Л о ж ь ,

В е р а

в

красном

Даша не в синем

Истина

Истина,

Даша

не

в

с и н е м ,

а

в

белом

Противоречит

у с л о в и ю ,

т . к .

т о л ь к о

о д н о

высказывание

верно

Противоречит

у с л о в и ю ,

т . к .

т о л ь к о

о д н о

высказывание

верно

Это ответ задачи



Маша, Нина, Оля и Вера участвовали в соревнованиях по бегу.

Перед

стартом

болельщики

предположили

следующие

результаты:

Первый

болельщик:

Ольга

займет

первое

место,

Нина

–

второе.

Второй

болельщик:

Ольга

второе

место,

Вера

третье. Третий болельщик: Маша второе, Вера – четвертое. После

соревнований выяснилось, что одно из высказываний каждого

болельщика верное, а другое нет. Какое место заняла каждая из

девочек? (Ответ: 1-Оля, 2 – Маша, 3 – Вера, 4- Нина.)



Три ученика из разных школ города приехали на отдых в один

лагерь. На вопрос вожатой, в каких школах они учатся, каждый

дал ответ:

Петя сказал, что он учится в школе № 6, а Лёня учится в школе №

8. Лёня сказал, что он учится в школе № 6, а Петя в школе № 3.

Коля сказал, что он учится в школе № 6, А Петя в школе № 8.

Вожатая удивилась и попросила уточнить, где правда, а где ложь.

Тогда

ребята

сказали,

что

одно

утверждение

каждого

из

них

правдиво,

а

второе

ложно.

В

каких

школах

учатся

мальчики?

(Ответ: Коля в школе № 6, Петя в школе № 3, Лёня в школе № 8)

7.

Задачи, решаемые с «конца»

Выделение данных задач в отдельную группу связано со способом

рассуждения

при

решении,

которое

выполняется

с

«конца»

задачи.

В

математической литературе он назван методом инверсии. Суть его состоит в

следующем: если надо найти число, которое после ряда операций приводит

к

известному

числу,

то

необходимо

с

известным

числом

произвести

в

обратном порядке все обратные операции Умение менять ход мысли на

обратный

-

ценнейшее

качество

ума.

Задачи,

решаемые

с

конца,

способствуют формированию гибкости ума.

Задача 1.

Продавец,

сидя

на

рынке,

рассуждала:

«Если

к

моим

яблокам

прибавить половину их да ещё десяток, то у меня была бы целая сотня!»

Сколько яблок у неё было ?

Решение: ( 100 – 10) : 3 х 2 Ответ: 60 яблок



Гуси. Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась

половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на

семи

озерах.

Сколько

было

гусей?

(На

последнее

озеро

сел

1

последний гусь, который и есть половина гусей плюс еще полгуся. На 2

от конца озеро сели 2 гуся, из оставшихся трех. На 3 озеро сели 4 гуся

из семи, на 4 озеро 8 гусей из 15, на 5 озеро 16 гусей из 31, на 6 озеро

32 гуся из 61, на 7 озеро 64 гуся из 127. А всего было 64+32+16+8+4+2+1

= 127 гусей)



Крестьянин и царь. Крестьянин пришел к царю и попросил:

“Царь,

позволь

мне

взять

одно

яблоко

из

твоего

сада”.

Царь

ему

разрешил.

Пошел

крестьянин

к

саду

и

видит:

весь

сад

огорожен

тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около

каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и

сказал: “Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада”. “Возьми, но

при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь,

и еще одно”, – поставил условие страж. Это же повторили ему второй и

третий. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как

отдаст части трем стражам, у него осталось одно яблоко?

(1) (1+1)*2=4 яблока должно быть у крестьянина перед третьим

сторожем

2) (4+1)*2=10 яблок должно быть у крестьянина перед втором

сторожем

3) (10+1)*2=22 яблока должен сорвать крестьянин)



Старинная задача: Веселый человек пришел в трактир с неизвестной

суммой денег. Кроме этого он занял у хозяина трактира столько денег,

сколько у него уже имелось. Из всей суммы он отдал один рубль. После

этого он пошел в другой трактир и опять занял столько денег, сколько у

него было, а затем отдал один рубль. В третьем и четвертом трактирах

весельчак сделал то же самое. В результате из четвертого трактира он

вышел без денег. Спрашивается, сколько денег было у весельчака. (93 и

¾

копейки,

93

копейки

и

три

полушки.

Из

истории

русских

денег:

деньга

–

половина

копейки,

полушка

–

половина

деньги,

соответственно четверть копейки)



К подобному роду задач относятся и загаданные числа:

Я задумала число, умножила его на 7, прибавила 15 и получила

50. Какое число я задумала?

Решение: (50 – 15) : 7 = 5 Ответ: 5

8.

Задачи, решаемые по принципу Дирихле.

Принцип

Ди р и х л

е́

(«принцип

ящиков»)

—

у т в е р ж де н и е ,

устанавливающее связь между объектами (« кроликами ») и контейнерами

(«клетками») при выполнении определённых условий. В некоторых языках

утверждение известно как «принцип голубей и ящиков», когда объектами

являются голуби, а контейнерами — ящики.

Наиболее распространена следующая формулировка этого принципа:

Если в N клетках сидят не менее N + 1 кроликов, то в какой-то из клеток сидит

не менее двух кроликов.

Более общая формулировка звучит так :

Если в N клетках сидят не менее kN + 1 кроликов, то в какой-то из клеток

сидит по крайней мере k + 1 кролик.

Возможны также формулировки для частных случаев:

Если число клеток больше, чем число кроликов, то, как минимум, одна

клетка пуста.

9 клеток содержат 7 голубей, по принципу Дирихле хотя бы

9-7= 2 клетки свободны.

Задача 1.

В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся как минимум 2 ученика,

отмечающих дни рождения в один месяц .

Решение:

Пусть 15 учеников будут «зайцы». Тогда «клетками» будут месяцы года, их 12.

Так как 15 больше 12, то, по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна

клетка, в которой будет сидеть, по крайней мере, 2 «зайца». То есть, найдется

месяц, в котором будут отмечать дни рождения не менее 2 учеников класса.

Задача 2.

В ковре размером 3x3 метра мыши проделали 8 дырок. Докажите, что

из него можно вырезать коврик размером 1x1 метр, не содержащий внутри

себя дырок (Дырки моно считать точечными)

Решение: Здесь дырки будут «зайцами». Разрежем ковер на 9 ковриков

размерами 1x1 метр. Так как ковриков - «клеток» — 9, а дырок-«зайцев» —

8,то найдется хотя бы одна «клетка», в которой не будет «зайцев», то есть

найдется коврик без дырок внутри.

Задача 3.

В

коробке

лежат

5

карандашей:

2

синих

и

3

красных.

Сколько

карандашей надо взять из коробки, не глядя в неё, чтобы среди них был хотя

бы 1 красный?

Решение:

3

карандаша:

если

достанем

2

синих,

то

третий

будет

красным.



В классе 27 учеников. Найдется ли месяц, в котором отмечают свои дни

рождения не меньше, чем три ученика этого класса.



В одном из классов школы 26 учеников. Можно ли утверждать, что в

этом

классе

найдутся

хотя

бы

два

ученика,

фамилии

которых

начинаются с одной и той же буквы?



В одной коробке хранятся перчатки. 5 пар белых и 5 пар чёрных.

Сколько перчаток необходимо взять из этой коробки для того, чтобы

можно было выбрать 1 пару перчаток? (если учитывать, что перчатки

должны быть разными для правой и левой руки, надо вытащить 11

перчаток, так как десять могут быть перчатками только для правой или

только для левой руки)



В коробке лежит несколько одинаковых по размеру мячиков синего,

красного и оранжевого цветов. Из коробки вынули 4 мячика. Есть ли

среди них хотя бы 2 мяча одинакового цвета? ( 4)



В ящике 4 черных и 6 синих носков. Какое наименьшее количество

носков надо вынуть из ящика, чтобы из них выбрать два синих и два

черных носка? (8 носков, так как 6 носков могут быть только синими,

два следующих будут обязательно черными)



В коробке лежат одинаковые по форме конфеты двух сортов: 10 конфет

с мармеладной начинкой и 6 конфет с шоколадной начинкой. Карлсон

съел 8 конфет. Можно ли утверждать, что среди них была конфета с

шоколадной начинкой? Какое наименьшее количество конфет надо

съесть,

чтобы

среди

них

точно

оказалась

конфета

с

шоколадной

начинкой? ( Чтобы точно съесть конфету с шоколадной начинкой, надо

съесть 11 конфет, так как 10 конфет могут быть мармеладными.)



В классе 30 учеников. В диктанте Витя сделал 12 ошибок, а каждый из

остальных - не больше. Докажите, что, по крайней мере, трое учеников

сделали одинаковое количество (среди них может быть ноль) ошибок.

(Разделим всех учеников на группы по количеству возможных ошибок:

таких групп будет 13 (12 ошибок максимум и 0 ошибок минимум)

предположим,

что

все

группы

заняты,

тогда

в

каждой

будет

по

2

ученика, и еще 4 ученика разместятся по группам третьими: 13 х 2=26,

30 – 26 = 4. Таким образом, обязательно будет группа, в которой три

ученика совершили одинаковое количество ошибок.)



В

коробке

лежат

4

красных

и

5

желтых

фломастеров.

Их

берут

в

темноте.

Сколько

надо

взять

фломастеров,

чтобы

среди

них

был

обязательно один красный? (При варианте «не везет» мы достанем все

5 желтых фломастеров, только шестой фломастер окажется красным.

Ответ: 6)



В коробке лежат карандаши: 5 красных и 3 синих. В темноте берем

карандаши.

Сколько

надо

взять

карандашей,

чтобы

среди

них

оказалось не меньше трех красных и не меньше двух синих? (Ответ: 7)

Данное пособие может послужить основой копилки, банка нестандартных

задач в арсенале учителя. Оно включило задачи таких видов:

1.

Задачи на планирование действий

2.

Задачи на нахождение чисел по сумме и разности или кратному

отношению.

3.

Задачи на нахождение чисел по суммам, взятым попарно.

4.

Задачи на уравнивание данных.

5.

Задачи, решаемые с помощью графов. Комбинаторные задачи.

6.

Задачи на установление взаимно однозначного соответствия.

7.

Задачи, решаемые с «конца»

8.

Задачи, решаемые по принципу Дирихле.

Каждый

может

добавить

задачи

в

существующие

в

пособии

разделы

и,

конечно, дополнить его другими видами нестандартных задач.