Подготовила учитель математики

КОГОБУ СШ с УИОП пгт.Кильмезь

Кировской области Полежаева Я.А.

Методы

решения

квадратных

уравнений

Определение квадратного уравнения

•

Определение 1.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах

2

+ bх + с =

0, где коэффициенты а, в, с- действительные числа, а ≠ 0.

•

Определение 2.

Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в

котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны

от нуля.

•

Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из

коэффициентов в или с равен нулю.

•

Определение 3.

Корнем квадратного уравнения ах

2

+ вх + с = 0 называют всякое

значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах

2

+ вх + с

обращается в нуль.

•

Определение 4.

Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни

или установить, что корней нет.

Разложение левой части уравнения на множители.

•

Решим уравнение х

2

+ 10х - 24 = 0.

•

Разложим левую часть на множители:

х

2

+ 10х - 24 = х

2

+ 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х -

2).

•

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

•

Произведение множителей равно нулю, если по крайней

мере, один из его множителей равен нулю.

х + 12= 0 или х – 2=0

х=-12 х=2

•

Ответ: -12; 2.

Метод выделения полного квадрата.

•

Решим уравнение х

2

+ 6х - 7 = 0.

•

Выделим в левой части полный квадрат:

х

2

+ 6х - 7 = х

2

+ 2• х • 3 + 3

2

- 3

2

- 7 = (х + 3)

2

- 9 - 7 = (х + 3)

2

-

16

тогда данное уравнение можно записать так:

(х + 3)

2

- 16 =0,

(х + 3)

2

= 16.

х + 3=4 или х + 3 = -4

х

1

= 1 х

2

= -7

•

Ответ: 1; -7.

Решение квадратных уравнений по

формулам.

Решение уравнений с использованием

теоремы Виета.

•

Сумма корней приведенного квадратного

уравнения равна второму коэффициенту, взятому

с противоположным знаком, а произведение

корней равно свободному члену.

Если x

2

+px+q=0, то

x

1

⋅

x

2

=q,

x

1

+x

2

=−p

•

x

2

−14x+40=0, x

1

⋅

x

2

=40, x

1

+x

2

=14 →x

1

=10,x

2

=4.

Ответ: x

1

=10,x

2

=4

Решение уравнений способом «переброски».

•

Рассмотрим квадратное уравнение

ах

2

+ bх + с = 0, где а ≠ 0.

•

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а

2

х

2

+

аbх + ас = 0.

•

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у

2

+ by + ас = 0, равносильное данному.

•

Его корни у

1

и у

2

найдем с помощью теоремы Виета и

окончательно:

х

1

= у

1

/а и х

1

= у

2

/а.

•

При этом способе коэффициент а умножается на

свободный член, как бы «перебрасывается» к нему,

поэтому его называют способом «переброски».

Пример:

•

Решим уравнение 2х

2

– 11х + 15 = 0.

•

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к

свободному члену, в результате получим

уравнение

у

2

– 11у + 30 = 0.

•

Согласно теореме Виета

у

1

= 5 , х

1

= 5/2 , x

1

= 2,5

у

2

= 6; x

2

= 6/2; x

2

= 3.

•

Ответ: 2,5; 3.

Свойства коэффициентов квадратного

уравнения.

•

Пусть дано квадратное уравнение

ах

2

+ bх + с = 0, где а ≠ 0.

•

Если

а+ b + с = 0 (т.е. сумма

коэффициентов равна нулю), то

х

1

= 1, х

2

= с/а.

•

Если

a – b + c=0, то

х

2

=-1, х

2

= -с/а

Примеры:

1)Решим уравнение 345х

2

– 137х – 208 = 0.

•

Решение:

Так как а + b + с = 0 (345 – 137 –

208 = 0), то х

1

= 1, х

2

= c/a = -208/345.

•

Ответ: 1; -208/345.

2) Решим уравнение 132х

2

– 247х + 115 = 0.

•

Решение:

Так как а + b + с = 0 (132 – 247 +

115 = 0), то х

1

= 1, х

2

= c/a = 115/132.

•

Ответ: 1; 115/132.

Графическое решение квадратного

уравнения.

Используя знания о функциях и их

графиках, можно решить

квадратное уравнение

функционально-графическим

методом.

Литература:

•

Глейзер, Г.И. История математики в школе/

Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.

•

Гусев, В.А. Математика. Справочные

материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович - М.:

Просвещение, 1988, 372с.

•

Интернет-ресурсы.