Урок по теме «Решение уравнений, сводящихся к квадратным»

Подготовила и провела учитель математики

МБОУ Рассветовской СОШ Аксайского района Ростовской области

Вешкурова Наталья Васильевна

Цели урока: 1. Проверить умения решать квадратные уравнения, пользуясь общей формулой

корней квадратного уравнения; продолжить у отдельной категории детей

выработку умений решения квадратных уравнений; организовать работу по

формированию умений решать уравнения, сводящиеся к квадратным.

2. Развитие способностей анализа ситуации, логики мышления, делать выбор, работать

со вспомогательным материалом.

3. Воспитание усидчивости, аккуратности, внимания, чувства долга.

Тип урока. Комбинированный: формирование обязательных результатов обучения и изучение

нового материала (выполнение заданий уровня возможностей).

Используемая технология: уровневая дифференциация на основе индивидуализации.

Оборудование: карточки для индивидуальной работы, карточки – инструкции.

Ход урока.

1.

Проверка домашнего задания (фронтальная, с обязательным разбором невыполненных

заданий).

2.

Актуализация знаний. (Беседа по вопросам теории).



Что называют уравнением?



Что значит решить уравнение?



Что называют корнем уравнения?



Какое уравнение называют квадратным?



Сколько корней может иметь квадратное уравнение?



От чего зависит количество корней квадратного уравнения?



Что такое дискриминант?



Какова связь между знаком дискриминанта и количеством корней квадратного уравнения?



Как найти корень, если D > 0?



Как найти корень, если D < 0?



Как найти корень, если D = 0?

3.

Решение упражнений.

Каждый ученик получает персональную карточку №1, в которой записаны три квадратных

уравнения общего вида. Например, 12х

2

+ 7х + 5 = 0, 6х

2

– 11х + 5 = 0, х

2

+ 2х

+ 1 = 0. Решив

эти уравнения, учащийся обращается за проверкой к учителю. Если все задания выполнены

верно, то ученик получает карточку-инструкцию №3, разобрав которую и решив предложенные

уравнения, вновь сдаёт работу для проверки. Если всё решено верно – переходит к карточке-

инструкции №4 и выполняет такую же работу, что и с карточкой №3.

Ученик, не выполнивший задания из карточки №1, получает карточку-инструкцию №2 и

работает с ней до тех пор, пока не будет верно решать квадратные уравнения общего вида.

Затем переходит к карточке-инструкции №3 и т.д.

На дом учащиеся получают для решения уравнения того вида, над которыми они работали в

классе.

Карточка –инструкция №2.

Уравнение вида ах

2

+ bх + с = 0, где а, b, с – некоторые числа, причём а ≠ 0, называется

квадратным.

Алгоритм решения квадратного уравнения: 1). Выпишите коэффициенты а, b, с.

2). Вычислите дискриминант, воспользовавшись формулой D = b

2

– 4ac.

3). Если D > 0, то для отыскания корней используйте формулу x

1,2

=

−

b ±

√

D

2 a

.

Если D = 0, то используйте формулу x =

−

b

2a

.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

4). Запишите ответ.

Примеры. а). 3х

2

– 7х – 10 = 0.

1). а = 3, b = - 7, с = -10.

2). D = b

2

– 4ac, D = (-7)

2

- 4

‧

3

‧

(-10) = 49 + 120 = 169, D > 0

3). x

1,2

=

−

b ±

√

D

2 a

. х

1,2

=

−

(

−

7

)

±

√

169

2 ∙ 3

х

1,2

=

7 ±13

6

, х

1

=

7

+

13

6

, х

1

=

10

3

,

х

2

=

7

−

13

6

, х

2

= - 1.

Ответ. -1;

10

3

.

б). 4х

2

– 36х + 81 = 0

1). а = 4, b = - 36, с = 81.

2). D = b

2

– 4ac, D = (-36)

2

- 4

‧

4

‧

81 = 1296 – 1296 = 0

3). x =

−

b

2a

. х =

−

(

−

36

)

2 ∙ 4

х =

36

8

, х = 4,5

Ответ. 4,5.

в). 5х

2

+ 2х + 8 = 0

1). а = 5, b = 2, с = 8.

2). D = b

2

– 4ac, D = 2

2

- 4

‧

5

‧

8 = 4 – 160 = -156, D < 0, поэтому уравнение

корней не имеет.

Ответ. Корней нет.

Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения. г). 7х

2

+ 2х – 9 = 0 д). х

2

– 3х + 12 = 0 е). 4х

2

+ 4х + 1 = 0

Карточка – инструкция №3.

Уравнение вида ах

4

+ bх

2

+ с = 0, где а, b, с – некоторые числа, причём а ≠ 0, называется

биквадратным. Биквадратные уравнения при помощи замены решаются по формулам

квадратного уравнения.

Примеры. а). 6х

4

– х

2

– 1 = 0, 6(х

2

)

2

– х

2

– 1 = 0. Пусть х

2

= у, где у ≥ 0, тогда заданное

уравнение примет вид: 6у

2

– у – 1 = 0.

а = 6, b = -1, с = -1.

D = b

2

– 4ac, D = (-1)

2

– 4

‧

6

‧

(-1) = 1 + 24 = 25, D > 0, у

1,2

=

−

b ±

√

D

2 a

.

у

1,2

=

−

(

−

1

)

±

√

25

2∙ 6

у

1,2

=

1± 5

12

у

1

=

1

+

5

12

у

1

=

1

2

у

2

=

1

−

5

12

у

2

= -

1

3

.

Условию у ≥ 0 число

1

2

удовлетворяет, а число -

1

3

– нет, поэтому х

2

=

1

2

,

х = ±

√

1

2

.

Ответ. ±

√

1

2

.

б). х

4

– 5х

2

+ 7 = 0, (х

2

)

2

– 5х

2

+ 7 = 0. Пусть х

2

= у, где у ≥ 0, тогда заданное уравнение

примет вид: у

2

– 5у + 7 = 0.

а = 1, b = -5, с = 7.

D = b

2

– 4ac, D = (-5)

2

– 4

‧

1

‧

7 = 25 – 28 = - 3, D < 0, поэтому полученное

квадратное уравнение, а значит и исходное биквадратное уравнение не имеют корней.

Ответ. Корней нет.

в). х

4

+ 9х

2

+ 20 = 0, (х

2

)

2

+ 9х

2

+ 20 = 0. Пусть х

2

= у, где у ≥ 0, тогда заданное уравнение

примет вид: у

2

+ 9у + 20 = 0.

а = 1, b = 9, с = 20.

D = b

2

– 4ac, D = 9

2

– 4

‧

1

‧

20 = 81 – 80 = 1, D > 0, по теореме, обратной теореме

Виета: у

1

+ у

2

= – 9 и у

1

у

2

= 20, значит у

1

= – 4, у

2

= – 5.

Условию у ≥ 0 числа – 4 и – 5 не удовлетворяют, поэтому заданное биквадратное

уравнение корней не имеет.

Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения. г). 7х

4

+ 2х

2

– 9 = 0 д). х

4

– 3х

2

+ 12 = 0 е). 4х

4

+ 4х

2

+ 1 = 0

Карточка – инструкция №4.

(Уравнения, решаемые при помощи замены).

а). (х

2

– 3х)

2

– 2(х

2

– 3х) = 8. Пусть х

2

– 3х = у, тогда заданное уравнение примет вид у

2

– 2у = 8,

у

2

– 2у – 8 = 0.

а = 1, b = – 2, с = – 8.

D = b

2

– 4ac, D = (– 2)

2

– 4

‧

1

‧

(– 8) = 4 + 32 = 36, D > 0, по теореме, обратной теореме

Виета: у

1

+ у

2

= 2 и у

1

у

2

= – 8, значит у

1

= – 2, у

2

= 4.

1). х

2

– 3х = – 2, х

2

– 3х + 2 = 0

а = 1, b = – 3, с = 2.

D = b

2

– 4ac, D = (– 3)

2

– 4

‧

1

‧

2 = 9 – 8 = 1, D > 0,

по теореме, обратной теореме Виета: х

1

+ х

2

= 3 и х

1

х

2

= 2, значит х

1

= 1, х

2

= 2.

2). х

2

– 3х = 4, х

2

– 3х – 4 = 0

а = 1, b = – 3, с = – 4.

D = b

2

– 4ac, D = (– 3)

2

– 4

‧

1

‧

(– 4) = 9 + 25 = 36, D > 0,

по теореме, обратной теореме Виета: х

1

+ х

2

= 3 и х

1

х

2

= –4, значит х

1

= – 1, х

2

= 4.

Ответ. х = – 1, х = 1, х = 2, х = 4.

б). (х

2

– 5х)( х

2

– 5х + 10) + 24 = 0.

Пусть х

2

– 5х = у, тогда заданное уравнение примет вид у(у + 10) + 24 = 0, у

2

+ 10у + 24 = 0.

а = 1, b = 10, с = 24.

D = b

2

– 4ac, D = 10

2

– 4

‧

1

‧

24 = 100 – 96 = 4, D > 0,

по теореме, обратной теореме Виета: у

1

+ у

2

= – 10 и у

1

у

2

= 24, значит у

1

= – 6, у

2

= – 4.

1). х

2

– 5х = – 6, х

2

– 5х + 6 = 0

а = 1, b = – 5, с = 6.

D = b

2

– 4ac, D = (– 5)

2

– 4

‧

1

‧

6 = 25 – 24 = 1, D > 0,

по теореме, обратной теореме Виета: х

1

+ х

2

= 5 и х

1

х

2

= 6, значит х

1

= 2, х

2

= 3.

2). х

2

– 5х = – 4, х

2

– 5х + 4 = 0

а = 1, b = – 5, с = 4.

D = b

2

– 4ac, D = (– 5)

2

– 4

‧

1

‧

4 = 25 – 16 = 9, D > 0,

по теореме, обратной теореме Виета: х

1

+ х

2

= 5 и х

1

х

2

= 4, значит х

1

= 1, х

2

= 4.

Ответ. х = 1, х = 2, х = 3, х = 4.

Задания для самостоятельной работы.

Решите уравнения. г). (х

2

+ х)

2

– 11(х

2

+ х) = 12 д). (х

2

+ 4х)( х

2

+ 4х – 17) + 60 = 0.