Три теоремы планиметрии, используемые

при решении задач

п

овышенной сложности в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.

Потапова Фэимэ Фагимовна

ГБОУ СОШ №4-Кусто

2018-2019уч.год

1. Теорема Стюарта и параметры треугольников

1

Теорем и задач, которые вошли в учебники геометрии довольно много. Некоторые

из них заслуживают определённого внимания, так как обладают некоторой общностью и

могут помочь в сложных заданиях ЕГЭ.

Формулы, позволяющие определить медианы и биссектрисы треугольника по

заданным сторонам треугольника, являются частными случаями более общей формулы,

которая является основой теоремы Стюарта (Мэтью Стюарт, шотландский астроном и

математик , 1717-1785). Рассмотрим треугольник АВС (см.

рис.), в котором АВ = с, ВС = а, ВК = х, АК = p, КС = q,

АС = b. Задача состоит в том, чтобы по заданным четырём

параметрам – а, с, p, q – определить отрезок ВК.

Воспользуемся известным равенством для векторов

,

,

:

, из которого после возведения в квадрат

получаем выражение

. С другой стороны,

.

Таким образом, после подстановки и некоторых преобразований, можно получить

формулу для определения отрезка ВК:

.

Тот же результат можно получить, если записать теорему косинусов для

треугольников АВК и АВС, выбрав общий угол А.

Рассмотрим частные случаи этой формулы.

1). Пусть ВК является медианой. Тогда

и имеем формулу для расчета медиан

.

2).

Пусть ВК является биссектрисой.

Тогда

и получаем формулу для

биссектрисы

.

3). Если ВК – отрезок в равнобедренном треугольнике, то в этом случае

,

где а – боковая сторона треугольника.

Следующие формулы для биссектрисы являются необходимым дополнением к

решению треугольников.

2

Формула

легко получается из простого

соотношения

(все

обозначения

соответствуют рис.).

Формула для биссектрисы, выраженная через три

стороны

треугольника,

получается

после

ряда

преобразований.

Так

как

,

откуда

, то первую формулу для биссектрисы легко преобразовать в

следующую:

. Таким образом, имеем

.

Учитывая, что

, получаем ещё ряд полезных соотношений:

,

включая и уже полученный ранее результат

.

Формула для медианы, полученная ранее, также

выводится из других источников. Например, следует

из

известного

равенства

для

параллелограмма

, если в нём принять

,

(см. рис.). В результате

получаем следующее выражение

.

Этот же результат можно получить, применяя теорему косинусов для треугольников ABC

и AOC, выбрав общий угол ОАС.

2. Теорема Чевы. Пересечение высот в треугольнике.

В обязательный минимум содержания основных образовательных программ профильного

уровня по геометрии входят известные теоремы планиметрии: теорема Чевы и теорема

Менелая.

Но

эти

теоремы

интересны

ещё

и

своими

следствиями.

Прежде обратимся к самой теореме Чевы

(Джованни Чева, итальянский математик, 1648-1734).

3

Теорема Чевы

Если на сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС (см. рис.) взяты соответственно

точки С

1

, А

1

, В

1

, то отрезки АА

1

, ВВ

1

, СС

1

пересекаются в одной точке тогда и только

тогда, когда

(*)

В основе доказательства прямой теоремы лежат следующие соображения. Пусть отрезки

пересекаются в точке О,

тогда

. При выводе был использован принцип

равных отношений:

.

Таким образом, имеем:

,

,

. Перемножая эти

выражения, получаем соотношение (*).

В обратной теореме на сторонах треугольника взяты точки С

1

, А

1

, В

1

так, что выполняется

равенство (*). Пусть точка

. Проведём

, которая пересекается с

в

точке

. По доказанному выше, имеем равенство:

.

Поделив оба выражения друг на друга почленно, окончательно приходим к выводу, что

, т.е. точки

и

делят сторону

в одном и том же отношении, что

означает совпадение этих точек и исходные отрезки пересекаются в одной точке.

Воспользовавшись этим результатом, докажем теперь теорему о пересечении чевиан.

Теорема о пересечении чевиан

Чевианы в треугольнике АВС точкой пересечения О делятся в отношении

, считая от вершины.

Имеем, с одной стороны:

и

. Откуда следует, что:

. С другой стороны, получаем такой же результат

из другого условия:

. Таким образом, утверждение

теоремы доказано.

4

Рассмотрим частные случаи этой формулы. В случае медиан получаем классический

результат:

или

.

В случае пересечения биссектрис следует учесть, что

и

. Таким

образом, имеем:

.

Рассмотрим подробнее задачу о пресечении высот, так как здесь возможны две

конфигурации.

1.

Случай остроугольного треугольника (см. рис.).

При пересечении высот следует учесть, что каждый

отрезок

можно записать через высоты и

углы

треугольника.

А

именно,

.

В результате

окончательно получаем

. Конечно, данный результат можно получить и

другим путём, не используя теорему о чевианах. Однако, такой подход наиболее

оптимален.

2.

Случай тупоугольного треугольника (см. рис.).

Воспользуемся

формулой,

полученной

выше:

.

Из рисунка следует, что

или

.

5