9 класс. Геометрия

Правильный многоугольник

Правильный многоугольник является частным

случаем произвольного многоугольника.

Определение. Многоугольник –

это

замкнутая

ломаная без самопересечений.

Или: многоугольник – это фигура, составленная

из отрезков, так что:

1. смежные отрезки не лежат на одной прямой;

2. несмежные отрезки не имеют общих точек.

Отрезки

называются

сторонами

многоугольника,

концы

этих

отрезков

–

вершинами многоугольника.

Если

провести

прямую

А1А6,

то

весь

многоугольник лежит по одну сторону от этой

прямой. Если же провести другую прямую

А4А5, то она разделит многоугольник на две

части, лежащие по разные стороны от этой

прямой. Такой многоугольник – невыпуклый.

Теперь

рассмотрим

многоугольник,

справа.

Какую бы прямую, содержащую одну из его

сторон, мы не построили (например, А1А2,

А4А5), многоугольник всегда будет лежать по

одну

сторону

от

любой

подобной прямой.

Данный многоугольник – выпуклый.

Сформулируем

определение:

выпуклым

называется многоугольник, целиком лежащий по

одну сторону от прямой, проведенной через

любые две соседние вершины многоугольника.

Правильным называется

выпуклый

многоугольник, у которого все стороны равны

и все углы равны

n = 3. Это уже хорошо знакомый нам

правильный треугольник. У него все стороны

равны (АВ = ВС = АС) и все углы равны (ÐА =

ÐВ = ÐС = 60°), сумма углов равна 180°.

n=4. Это не менее хорошо знакомый нам квадрат

(правильный четырехугольник). Все стороны

равны (АВ = ВС = CD = AD) и все углы равны

(ÐА = ÐВ = ÐС = ÐD = 90°), сумма внутренних

углов равна 360°.

Сумма

углов

выпуклого

многоугольника

равна

,

где

n

–

число

сторон

многоугольника.

Для произвольного выпуклого многоугольника

важную роль играет

теорема о сумме внешних углов:

Сумма

внешних

углов

выпуклого

многоугольника

равна 360°.

Имея

на

вооружении

сформулированные

свойства

правильных

многоугольников и

доказанные теоремы, приступим к решению

задач.

Дано число сторон правильного многоугольника

n. Найти угол αn.

Решение.

Согласно теореме, сумма углов многоугольника

равна 180° · (n – 2). С другой стороны, поскольку

многоугольник правильный, все его углы равны,

а следовательно, сумма этих углов равна

,

где αn – искомый угол. Приравнивая эти два

выражения,

получим,

что

внутренний

угол

правильного

многоугольника

равен:

.

9 класс. Геометрия

Сколько

сторон

имеет

правильный

многоугольник, если:

а)

каждый

его

угол

αn равен 150°?

б) каждый его внешний

угол βn равен 120°?

Решение.

а)

Используем

формулу

для

угла

правильного

многоугольника,

полученную при решении предыдущей задачи

. Отсюда выразим число сторон

многоугольника

; подставив в это

выражение значение угла, данное в условии

задачи, получим n = 12.

б) Очевидно, что у правильного многоугольника

все

внешние

углы

равны

между

собой,

следовательно,

сумма

внешних

углов

правильного

многоугольника

равна

.

С

другой стороны, теорема о сумме внешних углов

многоугольника дает нам численное значение

этой суммы, т. е. 360°. Приравнивая этому

значению

выражения

для

суммы

углов

и

учитывая заданное в условии значение внешнего

угла, получим:

, откуда

n = 3

(равносторонний треугольник).

Окружность, описанная около правильного

многоугольника

На

Рис.

приведен

пример

правильного

многоугольника А1

… Аn.

Он является выпуклым,

поскольку

целиком

располагается

по

одну

сторону

(в

одной

полуплоскости) от прямой, проведенной через

любую из его сторон (например,

через сторону A1A2).

Все

стороны

многоугольника

равны

между

собой:

an = A1A2 = A2A3 = … = An-1An = AnA1

Все углы фигуры также равны между собой,

причем

.

Вспомним ещё одно определение: окружность

называется описанной

около

многоугольника,

если

все

его

вершины

лежат

на

этой

окружности.

Диагонали

прямоугольника

пересекаются

в

точке О,

равноудаленной от

его

вершин,

причем расстояние

от этой точки до

любой вершины равно радиусу окружности:

OA = OB = OC = OD =

R.

Следующий пример –

равнобедренная

трапеция ABCD.

Как

известно, около такой

трапеции

можно

описать

окружность,

т. е. существует такая

точка О, которая равноудалена от всех вершин

трапеции:

OA = OB = OC = OD = R.

Вспомним

и

его

определение:

серединным

перпендикуляром

к

отрезку

называется

геометрическое место точек, равноудаленных

от концов отрезка.

9 класс. Геометрия

О

∈

р

⟺

ОА=ОВ (точка О принадлежит

серединному перпендикуляру р тогда и только

тогда, когда ОА = ОВ).

Примером тому может служить следующее

утверждение:

около n-угольника А1

… Аn

можно описать окружность тогда и только

тогда, когда серединные перпендикуляры всех

его сторон имеют общую точку:

,то

есть

эта

точка О равноудалена от всех вершин фигуры.

Приведем конкретные примеры.

Правильный

треугольник (n = 3)

Известно,

что

около

любого

треугольника АВС,

в

том числе правильного,

можно

описать

окружность.

Ее

центр

лежит

на

пересечении

серединных перпендикуляров

(

).

Особенность

этого

случая

такова,

что

в

случае

правильного

треугольника на серединных перпендикулярах

лежат и биссектрисы, и медианы, и высоты.

Точка О равноудалена

от

всех

вершин

треугольника.

Правильный

четырехугольник

(n =

4),

то

есть

квадрат АВСD.

Около такой фигуры

также можно описать

окружность.

Ее

центр будет лежать

на

пересечении

серединных

перпендикуляров.

Особенностью

этого

случая

является

то,

что

серединные

перпендикуляры

противоположных

сторон

квадрата совпадают (р1 = р3; р2 = р4). Тем не

менее все серединные перпендикуляры будут

иметь общую точку О, равноудаленную от всех

вершин квадрата: OA = OB = OC = OD = R.

Теорема:

Около

любого

правильного

многоугольника можно описать окружность и

притом только одну.

Окружность, вписанная в правильный

многоугольник

Определение: прямая, имеющая только одну

общую

точку

с

окружностью,

называется

касательной к этой окружности, а их общая

точка называется точкой касания прямой и

окружности.

Окружность

называется

вписанной

в

многоугольник,

если

все

стороны

многоугольника касаются этой окружности.

9 класс. Геометрия

АС и ВD – диагонали квадрата, являющиеся

одновременно биссектрисами его углов. Точка О

их

пересечения,

по

свойствам

биссектрис,

равноудалена от всех сторон квадрата.

В выпуклый многоугольник можно вписать

окружность, если биссектрисы всех его углов

имеют общую точку.

У

приведенного

пятиугольника

биссектрисы

всех

углов

пересекаются

в

точке

О.

Следовательно, эта точка равноудалена от всех

сторон

пятиугольника,

являясь

центром

вписанной

окружности.

При

этом

OH1 = OH2 = … =

OH5 = r.

Биссектрисы

соседних

углов

правильного

многоугольника пересекаются.

Основная теорема урока:

В любой правильный многоугольник можно

вписать окружность, и притом только одну. .

Формулы для вычисления площади

правильного многоугольника и его элементов

Вот фрагмент правильного n-угольника:

–

сторона,

–

длина

этой стороны,

– угол (рис. 1). Все стороны

равны, и все углы тоже равны:

Особенности

правильного

многоугольника:

1.

Серединные

перпендикуляры всех

сторон пересекаются в одной точке (

), в центре

описанной окружности, радиусом окружности

является отрезок

;

и т. д.

9 класс. Геометрия

2. Все биссектрисы всех внутренних углов

пересекаются в одной точке

.

Если

мы

зафиксируем

,

то

важнейшими

элементами

n-угольника

являются:

длина

стороны

(

);

длина

радиуса

описанной

окружности

(

);

длина

радиуса

вписанной

окружности (

); периметр (

); площадь (

.

Рис. 2. Правильный многоугольник с описанной

и вписанной окружностями

Задача 1, вычисление элементов правильного n –

угольника через радиус описанной окружности

Зададим

(рис.

3),

требуется

найти

все

остальные

элементы

(

),

заметим,

что

у нас – фиксированное число.

Решение

основано

на

треугольнике

.

– это центр n-угольника,

центр

вписанной

и

описанной окружности;

–

это

вершина,

она

лежит

на

описанной

окружности, значит,

–

это и есть радиус.

– это

половина

стороны,

потому что

точка

–

это

точка

касания

с

вписанной

окружностью.

(

∠

,

а

–

половина этого угла).

– радиус описанной окружности;

– радиус

вписанной окружности;

– половина стороны.

Если нам дан радиус, то, по существу, нам

необходимо

решить

прямоугольный

треугольник, в котором дана гипотенуза (

) и

острый угол.

Чтобы найти катет (

), необходимо гипотенузу (

) умножить на синус противолежащего угла (

):

Задача 2, вычисление элементов правильного n –

угольника через длину стороны

Дано:

Найти:

Решение основано на

.

Находим

,

–

гипотенуза,

чтобы

найти

гипотенузу,

необходимо катет

разделить на

синус противолежащего угла.

Находим

(рис. 4),

– катет, чтобы найти катет

через другой катет, необходимо этот другой

катет умножить на котангенс прилежащего угла:

9 класс. Геометрия

Осталось найти

:

Рис.

4.

Радиусы

описанной

и

вписанной

окружностей

Задача 3, для площади правильного n – угольника

Дано:

Найти:

Решение

– это периметр (

)

Ответ:

.

Задача 4, для правильного треугольника

Важнейшим

частным

случаем

является

правильный треугольник.

Первый способ

Дано:

;

Найти:

Решение

Второй способ

Рис.

5.

Радиусы

описанной

и

вписанной

окружности

Рисунок 6.

Чтобы найти катет (

) (рис. 5), необходимо

гипотенузу умножить на

:

Катет,

лежащий

против

угла

в

,

равен

половине гипотенузы:

Чтобы найти катет, нужно гипотенузу умножить

на

: