Пояснительная записка

Данная программа составлена на основе авторской программы Гомонова С.А. Элективные курсы по математике. Образовательная область

«Математика». Министерство образования РФ.

Предлагаемый курс предусматривает намеченные, но совершенно не проработанные в основном курсе школьной математике, вопросы. Он

дополняет базовую программу по математике, позволяя учащимся пройти путь от способов доказательств несложных числовых неравенств, до

обоснования «замечательных» неравенств Коши – Буняковского, Чебышева и др.

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни

математическая статистика, ни экономика.

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, использует

межпредметные связи.

Материал предлагаемого курса даст возможность показать учащимся как красоту и совершенство, так и сложность и изощренность

математических методов, порожденных не только алгеброй и математическим анализом, но и геометрией, и даже физикой.

Работа учащихся по этой программе предполагает их выход либо на первый уровень – ознакомление с основными методами и приемами

получения и применения замечательных неравенств, либо на второй уровень, предполагающий усиление самостоятельной работы (в том числе и с

дополнительными источниками) под руководством учителя, решение более сложных задач. Таким образом, материал может применяться для

различных групп учащихся.

С помощью классических неравенств во многих случаях можно осуществить исследование на максимум и минимум целого ряда функций без

обращения к нахождению и исследованию их производных. К сожалению, в основной школе почти ни чего не говорится о существовании истинного

математического богатства, именуемого классическими неравенствами .Данный элективный курс состоит из двух частей. В первой части излагаются

наиболее распространенные приемы сравнения действительных чисел и установление истинности неравенств с переменными. Вторая часть ставит

своей целью познакомить с основными источниками-генераторами замечательных неравенств, дать представление о применении неравенств при

решении задач ,привести к идее такого современного раздела математики, как выпуклый анализ .Работа учащихся с курсом предполагает их выход

на один из трех уровней освоения теоретического материала и его приложений.

Элективный курс «Замечательные неравенства» рассчитан на учащихся 10 класса, желающих познакомиться с некоторыми классическими

неравенствами. Программа рассчитана на 35 часов. При проведении занятий на первое место должны выйти такие организационные формы работы,

как дискуссия («Какое доказательство лучше», «Многообразие метода подстановки» и т. д.), выступления с докладами (в частности, с отчетными

докладами по результатам индивидуального домашнего задания, по результатам написания рефератов и др) или содокладами, дополняющими

выступление учителя или ученика. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, например отчетные доклады

по результатам самостоятельных «поисков» изучаемых вопросов на страницах сайтов в Интернете, книг, журналов.

Формой итогового контроля в зависимости от уровня усвоения изучаемого материала от уровня усвоения изучаемого материала может стать:

решение учеником индивидуального домашнего задания, требовавшего проведения небольшого самостоятельного математического исследования;

написание реферата на предложенные учителем темы.

Цель курса: изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование (в той степени строгости, которая соответствует

уровню школьной математики) методов их получения, а так же выход на приложения изученного теоретического материала.

Задачи курса:

- рассмотреть примеры на установление истинности числовых неравенств, встречающихся на экзаменах

- познакомить с основными методами решения задач на установление истинности неравенств с переменными;

- рассмотреть метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств;

- рассмотреть неравенство Коши для произвольного числа переменных и неравенство Коши – Буняковского и их применение к решению

задач;

- дать представление о математике как общекультурной ценности на примерах применения неравенства в математической статистике,

экономике, задач на оптимизацию;

- развивать навыки организации умственного труда и самообразования.

Требования к уровню подготовки учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны знать:

- понятие «больше», «меньше», «не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства;

- основные методы сравнения двух чисел: «по определению», сравнение их отношений с единицей, сравнение их степеней, сравнение их с

промежуточным числом, метод использования «замечательных неравенств»;

- основные методы установления истинности неравенств с переменными: метод анализа, метод синтеза, метод «от противного», метод

использования тождеств, метод подстановки (введение новых переменных), метод оценивания (усиление и ослабления);

- схему применения метода математической индукции;

- неравенство Коши для произвольного числа переменных;

- соотношение Коши- Буняковского;

-средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое двух положительных чисел, их геометрическое интерпретация.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- применять основные методы сравнения двух чисел;

-применять основные способы доказательства истинности неравенств с переменными;

- применять метод математической индукции для доказательства неравенств;

- применять неравенство Коши - Буняковского при n = 2 и n = 3;

-применять замечательные неравенства для нахождения наибольшего и наименьшего значений функций, решения несложных задач на

оптимизацию.

Тематическое планирование

№

Раздел, темы.

Виды деятельности

Тема 1. Числовые неравенства и их свойства

1

Строгие числовые неравенства и их простейшие

свойства.

применять основные методы сравнения двух чисел;

2

Понятие нестрогого неравенства.

применять основные методы сравнения двух чисел;

Тема 2. Основные методы установления

истинности числовых неравенств

3

Сравнение значений 2 числовых выражений "по

определению" и сравнению с единицей.

основные методы сравнения двух чисел: «по определению», сравнение их

отношений

с

единицей,

сравнение

их

степеней,

сравнение

их

с

промежуточным числом, метод использования «замечательных неравенств»;

4

Сравнение с помощью сопоставления значений

степеней выражений и методом оценок.

практическое приложение изученного теоретического материала;

5

Метод вспомогательной функции и использования ее

свойств.

практическое приложение изученного теоретического материала;

6

Использование замечательных неравенств и свойств

определенного интеграла

применять основные способы доказательства истинности неравенств с

переменными;

7

Решение задач на доказательство числовых

неравенств.

развивать навыки организации умственного труда и самообразования;

Тема 3. Основные методы решения на

установление истинности неравенств с

переменными.

8

Неравенства с переменными, основные понятия и

свойства.

применять основные способы доказательства истинности неравенств с

переменными;

9

Методы анализа и синтеза

практическое приложение изученного теоретического материала;

10

Метод "от противного" и метод использования

тождеств.

основные методы установления истинности неравенств с переменными:

метод «от противного», метод использования тождеств;

11

Метод оценивания и метод введения новых

переменных

основные методы установления истинности неравенств с переменными:

метод подстановки (введение новых переменных);

12

Метод вспомогательных функций.

практическое приложение изученного теоретического материала;

13

Методы упрощения задач и метод моделей.

практическое приложение изученного теоретического материала;

14

Некоторые частные случаи неравенства Коши и их

применение.

применение неравенство Коши для произвольного числа переменных;

15

Применение неравенства Коши для нахождения

наибольших и наименьших значений функции

применение неравенство Коши для произвольного числа переменных;

16

Решение задач на доказательство неравенств с

переменными.

применять основные способы доказательства истинности неравенств с

переменными;

Тема 4. Метод математической индукции и его

применение к доказательству неравенств

17

Полная индукция- метод перебора всех вариантов.

отработка схемы применения метода математической индукции;

18

Аксиома. Принцип и метод математической индукции

отработка схемы применения метода математической индукции;

19

Теоремы о сравнениях соответствующих членов двух

последовательностей.

практическое приложение изученного теоретического материала;

20

Неравенство Коши для произвольного числа

переменных.

применение неравенство Коши для произвольного числа переменных;

21

Применение неравенства Коши для получения новых

неравенств и решения задач

применение неравенство Коши для произвольного числа переменных;

Тема 5. Неравенство Коши-Буняковского

22

Неравенство Коши-Буняковского. Тождество

Лагранжа.

применять неравенство Коши - Буняковского при n = 2 и n = 3;

23

Векторный вариант записи неравенства и

тригонометрические подстановки.

развивать навыки организации умственного труда и самообразования;

24

Применение неравенства к решению задач.

применять основные способы доказательства истинности неравенств с

переменными;

Тема 6. Неравенства подсказывают методы их

обоснования

25

Метод выравнивания значений переменных (метод

Штурма)

рассмотреть

метод

математической

индукции

и

его

применение

к

доказательству неравенств;

26

Метод выравнивания значений переменных и метод

раздвигания значений переменных.

рассмотреть метод математической индукции и его применение к

доказательству неравенств;

27

Использование для доказательств неравенств

свойства симметричности функции.

рассмотреть метод математической индукции и его применение к

доказательству неравенств;

28

Простейшие приемы установления геометрических

неравенств

применять замечательные неравенства для нахождения наибольшего и

наименьшего значений функций, решения несложных задач на оптимизацию;

29

Условные тождества и условные неравенства

развивать навыки организации умственного труда и самообразования;

Тема 7.Средние степенные величины: свойства,

происхождение и применение

30

Среднее арифметическое, геометрическое,

гармоническое, квадратическое.

средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое

двух положительных чисел;

31

Соотношения между средними гармоническим,

геометрическим, арифметическим и квадратическим.

средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое

двух положительных чисел;

32

Геометрические интерпретации средних величин

средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое

двух положительных чисел, их геометрическое интерпретация;

33

Четыре средних линии трапеции. Среднее

арифметико-геометрическое Гаусса

применять замечательные неравенства для нахождения наибольшего и

наименьшего значений функций, решения несложных задач на оптимизацию;

34-

35

Симметрическое среднее. Теорема Мюрхерда

применять замечательные неравенства для нахождения наибольшего и

наименьшего значений функций, решения несложных задач на оптимизацию;

Итого 35часов

Литература для учащихся.

1.

Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. М.: Дрофа, 2005.

2.

Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2002.

3.

Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач. М.: Просвещение, 1984.

4.

Дорофеев Г.В. и др. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.: Наука, 1976.

5.

Математика: Большой справочник для школьников. М.: Дрофа, 1998.

Литература для учителя.

1.

Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. М.: Физматлит, 2002.

2.

Петров В.А. Прикладные задачи на уроках математике. Смоленск: Изд-во СГПУ, 2001.

3.

Монахов В.М. и др. Методы оптимизации. Применение математических методов в экономике: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978.

Статьи журнала «Математика в школе».

4.

Петров В.А. Элементы финансовой математики на уроке. № 8, 2002.

5.

Вороной А.Н. Пять способов доказательства одного неравенства. № 4, 2000

6.

Ярский. А.С. Как научить доказывать неравенства. № 1, 1997

7.

Курляндчик Л.Д. Неравенство Коши. № 5, 1987.

8.

Гальперин И.М., Габович И.Г. Использование векторного неравенства Коши- Буняковского при решении задач по алгебре. № 2, 1991.

9.

Далингер В.А. Как сделать теорему о среднем арифметическом и средним геометрическом средством познания. № 9, 2003

10. Фирстова Н.И. Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств. № 1, 2002

11. Дорофеев Г.В. и др. Геометрические доказательства теоремы о средних: Курс по выбору «Избранные вопросы математики». № 10, 2003

Статьи в приложении к газете «Первое сентября». «Математика»

12. Клостер Г. Метод математической индукции. № 23, 2003

13. Винокуровы Е. и Н. Экономика в задачах. № 34, 1998

14. Башарин Г.П. Элементы финансовой математики. № 16, 1996

15. Антонова Н, Солодовников С. Неравенство Коши о средних арифметическом и геометрическом. № 20, 1999.

Календарно-тематическое планирование по математике элективный курс 10 класс.

Дат

а

Тема

урока

Тип и

Форма

проведения

Элемент

содержания

Основные виды

учебной деятельности

Планируемые результаты

А) Ученик научится

Б) Ученик получит

возможность научиться

Контрольно-

оценочная

деятельность

(Вид, форма)

Домашнее задание

1

2

3

4

5

6

7

8

1.Числовые неравенства и их свойства

1.Строгие

числовые

неравенства

и

их

простейшие

свойства.

УОНМ

Понятие

строго

числового

неравенства.

Способам

решения

новых учебных задач,

доброжелательное

отношение

к

сверстникам.

А)

применять

основные

методы сравнения двух чисел;

Б)

применять

свойства

простейших неравенств;

РМ

Инд.задания.

2.Понятие нестрогого

неравенства.

УОСЗ

Понятие нестрого

неравенства.

Анализируют

соответствие

результатов

требованиям учебной

задачи.

А)

применять

основные

методы сравнения двух чисел;

Б)

применять

свойства

простейших неравенств;

ПР

Инд.задания.

2. Основные методы установления истинности числовых неравенств

3.Сравнение

значений 2 числовых

выражений

"по

определению"

и

сравнению

с

единицей.

УОНМ

Числовые

неравенства.

Познавательные:

самостоятельно

определяет

какая

информация

нужна

для решения учебной

задачи.

А)

применять

основные

методы сравнения двух чисел:

«по определению», сравнение

их

отношений с единицей,

сравнение

их

степеней,

сравнение

их

с

промежуточным числом;

Б)

использовать

метод

использования

«замечательных неравенств»;

ИМ

Инд.задания.

4.Сравнение

с

помощью

сопоставления

значений

степеней

выражений

и

методом оценок.

УОСЗ

Метод

оценки

неравенств.

Регулятивные:

работают

по

составленному плану,

используют основные

и

дополнительные

средства

получения

информации.

А)

применять

основные

методы сравнения двух чисел:

«по определению», сравнение

их

отношений с единицей,

сравнение

их

степеней,

сравнение

их

с

промежуточным числом;

Б)

использовать

метод

использования

«замечательных неравенств»;

РМ

Инд.задания.

5.Метод

УОНМ

Построение

Анализируют

А) практическое приложение

ПР

Инд.задания.

вспомогательной

функции

и

использования

ее

свойств.

графиков функций и

использование

ее

свойств.

соответствие

результатов

требованиям учебной

задачи.

изученного

теоретического

материала;

Б)

использовать

метод

использования

«замечательных неравенств»;

6.Использование

замечательных

неравенств и свойств

определенного

интеграла.

УОСЗ

Свойства

определенного

интеграла.

Способам

решения

новых учебных задач,

доброжелательное

отношение

к

сверстникам.

А) практическое приложение

изученного

теоретического

материала;

Б)

применять

основные

способы

доказательства

истинности

неравенств

с

переменными;

ИМ

Инд.задания.

7.Решение задач на

доказательство

числовых

неравенств.

УПЗУ

Доказательство

числовых

неравенств.

Познавательные:

самостоятельно

определяет

какая

информация

нужна

для решения учебной

задачи.

Б) практическое приложение

изученного

теоретического

материала;

Б)

применять

основные

способы

доказательства

истинности

неравенств

с

переменными;

РМ

Инд.задания.

3. Основные методы решения на установление истинности неравенств с переменными.

8.Неравенства

с

переменными,

основные понятия и

свойства.

УОНМ

Решение неравенств

с переменными.

Способам

решения

новых учебных задач,

доброжелательное

отношение

к

сверстникам;

А)

применять

основные

способы

доказательства

истинности

неравенств

с

переменными;

Б) применение свойств при

решении неравенств;

ПР

Инд.задания.

9.Методы анализа и

синтеза.

УПЗУ

Методы анализа и

синтеза.

Познавательные:

самостоятельно

определяет

какая

информация

нужна

для решения учебной

задачи.

А) практическое приложение

изученного

теоретического

материала;

Б)

применение

анализа

и

синтеза

при

решении

неравенств;

РМ

Инд.задания.

10.

Метод

"от

противного" и метод

использования

тождеств.

КУ

Решение

разноуровневых

неравенств.

Анализируют

соответствие

результатов

требованиям учебной

задачи.

А)

применение метода

«от

противного»

Б) метод «от противного»

практическая направленность;

ИМ

Инд.задания.

11.

Метод

оценивания и метод

введения

новых

переменных.

УОСЗ

Решение

разноуровневых

неравенств.

Способам

решения

новых учебных задач,

доброжелательное

отношение

к

сверстникам.

А)

основные

методы

установления

истинности

неравенств с переменными:

Б)

метод

оценивания

практическая направленность;

СР

ДМ

12.Метод

вспомогательных

УОНМ

Метод

вспомогательных

Регулятивные:

работают

по

А) практическое приложение

изученного

теоретического

ПР

ДМ

функций.

функций.

составленному плану,

используют основные

и

дополнительные

средства

получения

информации.

материала;

Б)

применение

метода

вспомогательных функций;

13.Методы

упрощения задач и

метод моделей.

УОСЗ

Методы упрощения

задач

и

метод

моделей.

Способам

решения

новых учебных задач,

доброжелательное

отношение

к

сверстникам.

А) практическое приложение

изученного

теоретического

материала;

Б)

применение

метода

моделей;

РМ

ДМ

14.Некоторые

частные

случаи

неравенства Коши и

их применение.

УПЗУ

Частные

случаи

неравенства Коши.

Способам

решения

новых учебных задач,

доброжелательное

отношение

к

сверстникам.

А)

применение

неравенство

Коши

для

произвольного

числа переменных;

Б)

рассмотрение

частных

случаев неравенства;

РМ

ДМ

15.Применение

неравенства

Коши

для

нахождения

наибольших

и

наименьших

значений функции.

КУ

Частные

случаи

неравенства Коши.

Анализируют

соответствие

результатов

требованиям учебной

задачи.

А)

применение

неравенство

Коши

для

произвольного

числа переменных;

Б)

рассмотрение

частных

случаев неравенства;

ИМ

Инд.задания.

16.Решение задач на

доказательство

неравенств

с

переменными.

УОНМ

Частные

случаи

неравенства Коши.

Познавательные:

самостоятельно

определяет

какая

информация

нужна

для решения учебной

задачи.

А)

применять

основные

способы

доказательства

истинности

неравенств

с

переменными;

Б)

рассмотрение

частных

случаев неравенства;

СР

Инд.задания.

4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств

17. Решение задач на

доказательство

неравенств

с

переменными.

УПЗУ

Метод перебора

вариантов.

Регулятивные:

работают

по

составленному плану,

используют основные

и

дополнительные

средства

получения

информации.

А)

отработка

схемы

применения

метода

математической индукции;

Б) применение при решении

новых неравенств;

ИМ

Инд.задания.

18.Аксиома.

Принцип

и

метод

математической

индукции.

УОНМ

Метод

математической

индукции.

Познавательные:

самостоятельно

определяет

какая

информация

нужна

для решения учебной

задачи.

А)

отработка

схемы

применения

метода

математической индукции;

Б) применение при решении

новых неравенств;

РМ

ДМ

19.Теоремы

о

сравнениях

соответствующих

УПЗУ

Метод

математической

индукции.

Регулятивные:

работают

по

составленному плану,

А) практическое приложение

изученного

теоретического

материала;

РМ

ДМ

членов

двух

последовательностей.

используют основные

и

дополнительные

средства

получения

информации.

Б) применение при решении

новых неравенств;

20.Неравенство

Коши

для

произвольного числа

переменных.

КУ

Неравенство Коши.

Анализируют

соответствие

результатов

требованиям учебной

задачи.

А)

применение

неравенство

Коши

для

произвольного

числа переменных;

Б) применение при решении

новых неравенств;

СР

Инд.задания.

21.Применение

неравенства

Коши

для получения новых

неравенств

и

решения задач.

УОНМ

Решение неравенств

прикладного

характера.

Регулятивные:

работают

по

составленному плану,

используют основные

и

дополнительные

средства

получения

информации.

А) практическая

направленность неравенств

Коши;

Б) применение при решении

новых неравенств;

ИМ

Инд.задания.

5. Неравенство Коши-Буняковского

22.

Неравенство

Коши-Буняковского.

Тождество Лагранжа.

УПЗУ

Неравенство Коши-

Буняковского.

Тождество

Лагранжа.

Познавательные:

самостоятельно

определяет

какая

информация

нужна

для решения учебной

задачи.

А) решать тестовых задач с

помощью системы

нелинейных уравнений на

проценты;

Б) применяют при решении

текстовых задач

алгебраические уравнения;

ПР

ДМ

23.Векторный

вариант

записи

неравенства

и

тригонометрические

подстановки.

УОНМ

Векторный вариант.

Регулятивные:

работают

по

составленному плану,

используют основные

и

дополнительные

средства

получения

информации.

А) решать тестовых задач с

помощью системы

нелинейных уравнений на

проценты;

Б) применяют при решении

текстовых задач

алгебраические уравнения;

РМ

ДМ

24.

Применение

неравенства

к

решению задач.

УОСЗ

Неравенство Коши-

Буняковского.

Тождество

Лагранжа.

Способам

решения

новых учебных задач,

доброжелательное

отношение

к

сверстникам.

А) решать тестовых задач с

помощью системы

нелинейных уравнений на

движение, на части, на

проценты;

Б) применяют при решении

текстовых задач

алгебраические уравнения;

СР

Инд.задания.

6. Неравенства подсказывают методы их обоснования.

25.Метод

выравнивания

значений

переменных

(метод

УПЗУ

Метод Штурма.

Регулятивные:

работают

по

составленному плану,

используют основные

А) решать тестовых задач с

помощью системы

нелинейных уравнений на

движение, на части, на

РМ

ДМ

Штурма).

и

дополнительные

средства

получения

информации.

проценты;

Б) применяют при решении

текстовых задач

алгебраические уравнения;

26.

Метод

выравнивания

значений

переменных и метод

раздвигания

значений

переменных.

УОНМ

Метод Штурма.

Познавательные:

самостоятельно

определяет

какая

информация

нужна

для решения учебной

задачи.

А) решать тестовых задач с

помощью системы

нелинейных уравнений на

движение, на части, на

проценты;

Б) применяют при решении

текстовых задач

алгебраические уравнения;

ПР

ДМ

27.

Использование

для

доказательств

неравенств свойства

симметричности

функции.

КУ

Свойства

симметричности

функции.

Познавательные:

самостоятельно

определяет

какая

информация

нужна

для решения учебной

задачи.

А) решать тестовых задач с

помощью системы

нелинейных уравнений на

движение, на части, на

проценты;

Б) применяют при решении

текстовых задач

алгебраические уравнения;

РМ

ДМ

28.Простейшие

приемы

установления

геометрических

неравенств.

УОСЗ

Геометрические

неравенства.

Способам

решения

новых учебных задач,

доброжелательное

отношение

к

сверстникам.

А) решать тестовых задач с

помощью системы

нелинейных уравнений на

движение, на части, на

проценты;

Б) применяют при решении

текстовых задач

алгебраические уравнения;

ИМ

Инд.задания.

29.Условные

тождества

и

условные

неравенства.

УПЗУ

Геометрические

неравенства.

Анализируют

соответствие

результатов

требованиям учебной

задачи.

А) решать тестовых задач с

помощью системы

нелинейных уравнений на

движение, на части, на

проценты

СР

Инд.задания.

7.Средние степенные величины: свойства, происхождение и применение.

30.Среднее

арифметическое,

геометрическое,

гармоническое,

квадратическое.

УОНМ

Среднее

арифметическое,

геометрическое,

гармоническое,

квадратическое.

Способам

решения

новых учебных задач,

доброжелательное

отношение

к

сверстникам.

А) решать тестовых задач с

помощью системы

нелинейных уравнений на

движение, на части, на

проценты;

Б) применяют при решении

текстовых

задач

алгебраические уравнения;

РМ

ДМ

31.Соотношения

УОСЗ

Среднее

Анализируют

А) практическое приложение

ПР

ДМ

между

средними

гармоническим,

геометрическим,

арифметическим

и

квадратическим.

арифметическое,

геометрическое,

гармоническое,

квадратическое.

соответствие

результатов

требованиям учебной

задачи.

изученного

теоретического

материала;

Б)

применение

анализа

и

синтеза

при

решении

неравенств;

32.Геометрические

интерпретации

средних величин.

УПЗУ

Геометрические

величины.

Познавательные:

самостоятельно

определяет

какая

информация

нужна

для решения учебной

задачи.

А) практическое приложение

изученного

теоретического

материала;

Б)

применять

основные

способы

доказательства

истинности

неравенств

с

переменными;

ИМ

Инд.задания.

33.Четыре

средних

линии

трапеции.

Среднее арифметико-

геометрическое

Гаусса.

УОНМ

Среднее

арифметико-

геометрическое

Гаусса.

Способам

решения

новых учебных задач,

доброжелательное

отношение

к

сверстникам.

А) практическое приложение

изученного

теоретического

материала;

Б)

применение

анализа

и

синтеза

при

решении

неравенств;

ПР

ДМ

34.

Симметрическое

среднее.

Теорема

Мюрхерда.

УОНМ

Теорема Мюрхерда.

Анализируют

соответствие

результатов

требованиям учебной

задачи.

А) практическое приложение

изученного

теоретического

материала;

Б)

применять

основные

способы

доказательства

истинности

неравенств

с

переменными;

проект

проект