Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Теплоключевская» СОШ ,Томпонский район, Республика Саха(Якутия)

Об одном способе введения понятия

«Производная» в школьном курсе математики.

Учитель математики

Беловолосова Марианна Афанасьвна.

2020-2021г

Об одном способе введения понятия «Производной» в школьном курсе

математики

Введение

Понятие производной является центральным в математическом анализе. От того,

насколько полно и всесторонне школьник усвоит это понятие, можно предположить,

зависит его дальнейшая адаптация в математической деятельности.

В данной работе сделана попытка, выделить важные моменты при формировании

понятия производной функции.

Понятие производной не возникло сразу в таком виде, каким пользуемся сейчас, а

прошло длинный путь диалектического и исторического развития, как все

фундаментальные понятия. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта,

французского математика Роберваля, английского ученого Л.Грегори. В 17 веке на основе

учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция

производной. Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления

опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Независимо друг от друга в 18 веке И.Ньютон и Г.

Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления. Лейбниц пришёл к

понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии,

объяснив этим ее геометрический смысл.

Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Бернулли, Лагранж,

Эйлер, Гаусс.

Производная функции применяется везде, где есть неравномерное протекание

процесса: это и неравномерное механическое движение, и линейная плотность

неоднородного стержня, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный

распад вещества, и экономические изменения и.т.д. С помощью производной

происходит исследование функции и построение ее графика, нахождение наибольшего и

наименьшего значений функции.

Производная функции

Глава 1. Понятие скорости равномерного процесса

При изучении линейной функции

y=kx+b

было отмечено, что путь

S,

пройденный

телом при равномерном движении, есть линейная функция времени

S=vt+S

0

.

Здесь роль

коэффициента пропорциональности

k

играет скорость

v,

постоянная в данном движении

и понимаемая как путь, пройденный в единицу времени. Всякий равномерный процесс

характеризуется линейной функцией и имеет ту особенность, что изменение функции

пропорционально изменению аргумента:

∆

y =k

∆

x. (1)

В самом деле, если

y=kx+b, (2)

то

y+

∆

y=k(x+

∆

x)+b. (3)

Вычитая из равенства

(3)

равенство

(2),

придем к соотношению

(1).

Отсюда ясно, число

k =

∆ y

∆ x

и будем его называть скоростью линейной функции

независимо от того, какой конкретный смысл имеют переменные

х

и

у

в каждом

отдельном случае, так как всегда, при

∆

х = 1

приращение

∆

у = k

означает изменение

функции, приходящееся на единицу изменения аргумента, что по аналогии с

равномерным движением, есть скорость изменения данной функции.

Другое дело, когда мы сталкиваемся с неравномерными процессами, например,

неравномерное механическое движение, остывание нагретого тела в среде с постоянной

температурой, истечение жидкости из отверстия под меняющимся давлением и других

явлений. Впоследствии чего, возникают два вопроса:

1) что называть скоростью неравномерного процесса?

2) как вычислить эту скорость после того, как дано само определение скорости?

Ответы на заданные вопросы можно получить рассматривая следующие задачи…

Глава 2. Задачи, приводящие к понятию производной

1.

Задача о нахождении скорости неравномерного механического процесса.

Лифт после включения движется по закону

S=1,5t

2

+2t+12,

где

t -

время в секундах

, S

-

пройденный путь в метрах. Найти скорость движения в конце четвертой секунды, считая

с момента начала движения. Решение :

Составим таблицу соотношений

t

и

S:

t

0

1

2

3

4

5

S

12

15,5

22

31,5

44

59,5

∆

t

1

1

1

1

1

∆

S

3,5

6,5

9,5

12,5

15,5

Из этой таблицы видим, что в равные промежутки времени лифт проходит различные

расстояния. Движение лифта всё ускоряется, и мы пока не знаем , что принять за скорость

движения в конце четвёртой секунды, да и вообще для любого другого момента времени.

Рассмотрим промежуток времени от конца четвёртой секунды до

(4+

∆

t)

секунд.

Подсчитаем пройденный за этот промежуток времени :

при

t=4

путь

S= 1,5

∙

4²+2

∙

4+12=44

(м),

при

t=4+

∆ t

путь

S+

∆

S=1,5

∙

(4+

∆

t)

2

+2(4+

∆

t)+12

(м).

Вычитанием находим:

∆

S=14

∙

∆

t +1,5

∙

(

∆

t)².

А теперь введем понятие средней скорости.

Определение. Средней скоростью за промежуток времени

∆

t

(сек) называется

отношение

приращения пути

∆

S

к приращению времени

∆

t :

V

ср

=

∆ S

∆ t

. (1)

В рассмотренном примере

V

ср

=

∆ S

∆ t

=

14 ∆ t

+

1,5

¿ ¿

,

V

ср

=14+1,5

∆ t

(м/сек).

Будем находить среднюю скорость за все уменьшающиеся промежутки времени,

пользуясь формулой

(1)

∆ t

1

0,1

0,01

0,001

V

ср

15,5

14,15

14,015

14,0015

Истинную, или мгновенную, скорость найдём, если промежуток

∆ t

будем считать

бесконечно малой величиной, т. е.

∆ t → 0

;

тогда

V

ср

=

lim

∆t → 0

V

ср

=

lim

∆t → 0

(

14

+

1,5 ∆ t

)

=14

(м/сек).

Следовательно, мгновенная скорость движения есть предел средней скорости,

отнесенной к бесконечно малому промежутку времени:

V

мгн

=

lim

∆t → 0

∆ S

∆ t

.

2. Задача об определении линейной плотности неоднородного стержня.

Стержнем можно назвать физическое тело, которое по форме приближается к

отрезку прямой, например, проволока, тонкий брусок; при этом можно предположить,

что поперечные сечения стержня вдоль всей его длины одинаковы и малы по сравнению

с его длиной.

Если стержень однородный, то вдоль его длины масса распределена равномерно

и

тогда его

линейной плотностью

называется отношение его массы на длину:

p =

M

l

.

Если же стержень неоднородный, т.е. масса распределена неравномерно вдоль его

длины (допустим, стержень изготовлен из различных материалов), то уже нельзя говорить

о плотности стержня вообще, т.к масса, приходящаяся на 1 см его длины, будет различна,

в

зависимости

от того, на каком расстоянии от начала стержня выделяется участок стержня

длиной 1 см.

Решение:

Предположим, что нам известен закон распределения массы:

М= f(x).

Масса есть

функция расстояния от начала стержня. Требуется определить плотность в сечении х.

Х х+

∆ х

Проведем близкое сечение на расстоянии

х+

∆

х.

Приращению длины стержня на

величину

∆

х

соответствует приращение массы на величину

∆

М.

Таким образом,

∆ М

∆ х

–

средняя линейная плотность участка стержня между сечениями

х и

х

+

∆ х

.

Предел

средней плотности при условии, что приращение стержня

∆

х

→0

,

будем называть

линейной плотностью в сечении

х:

P

x

=

lim

∆ x →0

∆ M

∆ x

.

2.

Задача о проведении касательной к кривой.

Дана некоторая кривая

у= f(x

) (можно взять конкретную функцию, например параболу

у=

1

2

х

2

).

Требуется провести касательную к этой кривой в точке, абсцисса которой равна

х.

Прежде надо уточнить само понятие «касательная к кривой». Пусть

у=f(х)-

непрерывная функция, график которой изображен на рисунке.

у

М

1

∆

у

М α Т

β у

∆

х у х

0 х х+

∆

х

Возьмём на кривой произвольную точку

М (х, у),

которую будем считать неподвижной,

фиксированной точкой. Сместимся по кривой от точки

М

в новое положение

М

1

,

и

координаты точки

М

1

обозначим через

х+

∆ х , у

+

∆ у

,

так что

М

1

(х+∆х, у+∆у).

Соединив

точки

М и М

1

прямой, получим секущую

ММ

1

.

Заставим точку

М

1

по кривой

неограниченно

приближаться к

точке

М,

тогда секущая

ММ

1

при этом будет

поворачиваться вокруг точки

М

и в момент

слияния точки

М

1

с точкой

М

станет

касательной

МТ

к кривой в точке

М.

Определение:

Касательной к кривой в данной точке М называется предельное

положение секущей

ММ

1

.

Точку

М

на кривой, в которой проводится касательная, определяют по её абсциссе

х

, так

как, зная абсциссу и уравнение кривой, легко отыскать и координаты точки

М.

Исходя из данного определения касательной, можно вычислением найти положение

касательной: прямая (касательная есть прямая) в координатной системе определяется

вполне точкой, через которую она проходит, и своим направлением, т.е. коэффициентом

k=tg β.

Решение:

Приняв во внимание вышеизложенные соображения, решим конкретную задачу о

проведении касательной к параболе

у=

1

2

х

2

в произвольной точке с абсциссой

х.

Возьмём две точки на параболе:

М(х, у) и М

1

(х+

∆

х; у+

∆

у).

Секущая

ММ

1

образует с

положительным направлением оси

Ох

угол

α,

причем угловой коэффициент секущей, т.е.

tgα=

∆ y

∆ x

.

Но

y=0,5x

2

,

y+

∆

y = 0,5

∙

(x+

∆

x)

2

,

откуда вычитанием находим:

∆

у=0,5[(x+

∆ х

¿

²

−

х ²

¿

],

∆ у

=

0,5

[

2 х ∆ х

+(

∆ х

)

²

]

,

∆ у

∆ х

=0,5

∙

(2х+

∆

х) = х + 0,5

∙ ∆

х, tg α = х + 0,5

∙ ∆

х .

Если точка

М

1

неограниченно приближается к точке

М ,

то

∆ х→ 0

и угол

α

при этом

стремится к предельному углу

β,

образованному касательной

МТ

с осью

Ох.

Следовательно,

lim

∆ х →0

∆ у

∆ х

=

lim

∆ х →0

tgα

=

lim

∆ x →0

(

x

+

0,5 ∙ ∆ x

)

=x,

или

tg β=x.

Таким образом, мы нашли, что угловой коэффициент касательной к параболе

у =

1

2

х ²

в

произвольной точке равен

х,

т.е. абсциссе точки касания.

Если

х=1, tg β=1, β=45

°

,

т.е. в точке с абсциссой

х=1

касательная наклонена под

углом

45

°

к оси

Ох.

Рассмотренные три задачи были различны по своему физическому и

геометрическому содержанию, однако их решение требовало применения одних и тех же

рассуждений: искомая величина в каждой задаче оказалась пределом

отношения двух

приращений. Можно привести ряд других задач из техники и естествознания, которые

решались бы тем же методом.

Ввиду исключительной важности для математики и прикладных наук отмеченного

выше предела ему присвоено

«особое»

название: «Производная».

Глава 3. Определение производной

Пусть

у=f(x)-

некоторая функция.

Определение .

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента,

когда приращение аргумента стремится к нулю, называется производной от данной

функции:

lim

∆ х →0

∆ у

∆ х

= у'= f'(x) =

dy

dx

-

производная.

Теперь можно сказать, что:

1)

Если формулой

S=f(t)

задан закон прямолинейного движения, то скорость движения

(мгновенная скорость) для любого момента времени есть производная от пути по

времени:

V

мгн

=

dS

dt

2)

Если дан закон распределения массы по длине неоднородного стержня, т.е.

М= f(x)

, то

линейная плотность стержня в сечении

х

есть производная от массы по длине

( по расстоянию):

p

x

=

dM

dx

3)

Если дано уравнение кривой

у = f(x),

то производная от ординаты по абсциссе есть

угловой коэффициент касательной

МТ,

проведенной к кривой в точке

М:

K

кас

= tg β =

dy

dx

В этой формулировке дан геометрический смысл производной.

Внимание:

1)

При фиксированном значении аргумента

х=х

0

,

производная от данной функции есть

постоянное число. Это число обозначается

у'(х

0

)

или

f'(х

0

).

Например: при решении задачи 1 о движении лифта, требовалось найти скорость , в

момент времени

t=4

сек, то

S'(4) =14

или

dS

dt

=14.

2)

Если же исходное значение аргумента не фиксируется, а остается произвольным , то

производная от данной функции есть функция того же аргумента, но только закон

зависимости

у'

от

х

другой,

чем закон зависимости

у

от

х.

Например: при решении задачи 3, функция

у=0,5 х

2

,

её производная

у'=х.

3)

Фразы «найти производную функции» и «продифференцировать функцию» по своему

смыслу равнозначны.

Глава 4. Общее правило нахождения производной

Производная от любой дифференцируемой функции

у= f(х)

находится по

следующему алгоритму:

1)

Аргументу

х

даем приращение

∆ х

и находим приращенное значение функции

у+

∆ у

= f (х +

∆ х

)

2)

Из приращенного значения функции вычитаем начальное значение функции

∆ у

= f ( х+

∆ х

) – f(х)

3)

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента

∆ у

∆ х

=

f

(

x

+

∆ x

)

−

f

(

x

)

∆ x

(это – средняя скорость изменения функции).

4)

Находим предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда

приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел и есть производная от данной

функции:

lim

∆ х →0

∆ у

∆ х

= у'.

Спасибо за внимание!