Первый признак подобия

треугольников

:

Учитель

Некрасова Анна

Юрьевна

Вспомним подобные треугольники

:

Определение: треугольники называются подобными, если углы

одного треугольника равны углам другого треугольника

и стороны одного треугольника пропорциональны

сходственным сторонам другого.

А

1

В

1

С

1

А

В

С

А

1

= А, В

1

= В, С

1

= С,

А

1

В

1

В

1

С

1

А

1

С

1

АВ

ВС

АС

k.

A

1

B

1

C

1

ABC,

K – коэффициент подобия.

~

Сходственными сторонами в подобных треугольниках

называются стороны, лежащие против равных углов.

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно

равны двум углам другого треугольника,

то такие треугольники подобны.

(по двум углам)

Доказательство:

Т. к. по условию А = М и В = Р, то С = К.

По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол,

получаем:

S

АВС

S

МРК

СА ∙ СВ

КМ

∙

КР

S

АВС

S

МРК

АВ ∙ АС

МР

∙

МК

S

АВС

S

МРК

ВА ∙ ВС

РМ

∙

РК

;

;

Из этих равенств следует:

АВ

МР

ВС

РК

АС

МК

Итак, углы одного треугольника равны углам другого треугольника,

а их сходственные стороны пропорциональны, значит,

по определению треугольники АВС и МРК подобны.

Доказать:

АВС МРК.

~

Дано: АВС и МРК,

А = М,

В = Р.

A

C

B

К

Р

М

Реши задачу

1.

F

R

D

N

S

T

Являются ли треугольники подобными ?

Реши задачу

2.

68

0

22

0

С

В

А

М

Р

К

Являются ли треугольники подобными ?

Реши задачу

Являются ли треугольники подобными ?

С

А

Е

М

В

3.

Реши задачу

4

.

F

N

S

R

A

Назови подобные треугольники и сходственные стороны в них:

FN RS

Реши задачу

5.

Назови

подобные треугольники и сходственные стороны в них:

C

D

H

K

Z

HZ CK

Реши задачу

6.

Назови

подобные треугольники и сходственные стороны в них:

F

L

N

Q

V

FLNQ – трапеция.

Реши задачу

7.

Е

К

6

5

А

В

С

3

?

Реши задачу

8.

7

5

14

x

Реши задачу

9.

Н

М

О

Р

Х

12

12

4

?

10.

С

А

В

О

У

?

9

Реши задачу

АО

СО

3

2

Реши задачу

11.

АВ СУ

С

В

О

У

10

2,5

1,4

?

А

Решение задачи

Диагонали трапеции АВСК пересекаются в точке О. Площади

треугольников ВОС и АОК относятся как 1: 9. Сумма оснований

ВС и АК равна 4,8 см. Найдите основания трапеции.

Дано: АВСК – трапеция, ВС + АК = 4,8 см,

S

СОВ

: S

АОК

= 1 : 9.

Найти: ВС, АК.

Решение:

АВСК – трапеция, значит, ВС АК, следовательно, САК = АСВ,

как накрест лежащие (секущая – АС), аналогично АКВ = СВК.

О

А

В

С

К

Значит, по двум углам треугольники СОВ и АОК подобны, следовательно,

S

СОВ

: S

АОК

= k

2

,

а по

условию S

СОВ

: S

АОК

= 1 : 9, т. е. k

2

= 1/9; k = 1/3.

По доказанному треугольники СОВ и АОК подобны, следовательно,

ВС : АК = k, т. е. ВС : АК = 1/3, значит, ВС = 1/3 АК или АК = 3 ВС.

А по условию ВС + АК = 4,8 см, значит, ВС + 3 ВС = 4,8; 4 ВС = 4,8.

Получаем: ВС = 1,2 см, АК = 4,8 – 1,2 = 3,6(см).

Ответ: ВС = 1,2 см, АК = 3,6 см.

Нужный вывод

О

А

В

С

К

Дано: О, АВ СК.

Доказать:

ОА

АС

ОВ

ВК

Доказательство:

1

3

М

2

Проведём АМ ОК, значит, 1 = О.

Т. к. по условию АВ СК, то 2 = 3.

Значит, АОВ и САМ подобны по двум углам, следовательно,

ОА

АС

ОВ

АМ

сходственные стороны пропорциональны:

ВАМК – параллелограмм, значит, АМ = ВК

ОА

АС

ОВ

ВК

Вывод: если стороны угла пересечены параллельными прямыми,

то отрезки, образованные последовательно на одной стороне угла,

пропорциональны отрезкам, образованным последовательно

на другой стороне угла.

Реши задачу

6

3

5

?

А

В

С

М

О

Дано: АВ СМ.

Реши задачу

А

В

С

М

О

Дано: АВ СМ.

?

6

8

6